专题06 期末复习专题：平行四边形（5个知识点+12大常考题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

专题06 期末复习专题：平行四边形 目录 【考点一 利用平行四边形的性质求解】 3 【考点二 平行四边形的性质与判定多结论问题】 7 【考点三 利用平行四边形的性质求动点问题】 12 【考点四 平行四边形中的折叠问题】 16 【考点五 判断能否构成平行四边形】 24 【考点六 平行四边形中的作图】 26 【考点七 平行四边形中的性质和判定】 31 【考点八 与三角形中位线有关的求解问题】 37 【考点九 平行四边形与中位线综合问题】 41 【考点十 多边形内角和、外角和问题】 47 知识点01 平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 知识点02 平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 知识点03 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 知识点04 三角形的中位线定理 （1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） （2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，. 知识点05 多边形的概念、内角和、外角和 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 4.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 5.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【考点一 利用平行四边形的性质求解】 例题：（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，、相交于点O，交于点E，则的周长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将绕点A，逆时针旋转得到，连接，点E恰好在线段上，则的度数为 ．    2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交的延长线于点．若，，，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在平行四边形内，，，，为线段上一点，若为等腰三角形，则 【考点二 平行四边形的性质与判定多结论问题】 例题：（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的个数为(    )    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，平分，则下列结论中不正确的是（  ） A． B． C． D． 【考点三 利用平行四边形的性质求动点问题】 例题：（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，点E是平行四边形的边上一动点，以为一条边作平行四边形，使点A始终在边上，在动点E从点C向点D的运动过程中，关于平行四边形的面积，下列说法正确的是（    ）    A．始终不变 B．逐渐减小 C．先减小再增大 D．不能确定 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图1，中，，动点E从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动至B点停止，设运动的时间为t（单位：秒），的面积为S，且S与t之间的关系如图2所示，则下列说法正确的是（    ） A．边长为2 B．平行四边形的周长为16 C．的面积为18 D．m的值为8 2．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时， ． 3．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，平行四边形中，， 两动点M， N同时从点A出发， 点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点 N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点 N的运动时间的关系图象如图2所示， 已知． （1） N点的运动速度是 ； （2）c处的数值等于 ． 【考点四 平行四边形中的折叠问题】 例题：（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．    (1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】 如图，在中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点，连接． 【问题探究】 (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若，，，当点落在上时，求的长． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在中，，，，点分别为边上异于端点的动点，且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形．    (1)如图1，边，交于点，若，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (3)当点落在的边上时，求点之间的距离． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)如图1，若点 恰好落在边上时， 四边形的形状是 ． (2)如图2，若点三点在同一条直线上时，求证：； (3)如图3，若时，连接，并延长交于点F．若平行四边形纸片的面积为24，，求线段的长． 【考点五 判断能否构成平行四边形】 例题：（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，已知，对角线，相交于点，若增加下列条件，则可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 3．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D． 【考点六 平行四边形中的作图】 例题：（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图， 在平行四边形中，． (1)利用尺规作图，在边上确定点E，使点E到边，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若 ， ， 求的长． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江西·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：在上确定一点，使，作的平分线交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所做的图形中，连接，若，且，，则 ． 2．（23-24八年级下·江西抚州·期末）已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）    (1)如图①，为上任意一点，请仅用无刻度直尺在上找出另一点，使； (2)如图②，为上任意一点，请仅用无刻度直尺在上找出另一点，使． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O， (1)尺规作图，作的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在第（1）问的基础上，若直线交于点E，交于点F，试判断四边形是不是平行四边形，并说明理由． 【考点七 平行四边形中的性质和判定】 例题：（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，．求的的长． 2．（24-25八年级上·重庆·期末）在四边形中，是的中点，连接，，是线段上一点，连接，，过作，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的度数． 3．（24-25九年级上·山东威海·期末）在四边形中，对角线，交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交，于点E，F（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，过点D作，，连接，求的最小值． 【考点八 与三角形中位线有关的求解问题】 例题：（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，点H、G分别是边、上的动点，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为 ． 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，，平分，过点作的延长线于点，点为的中点，连接，若，，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，且，点，分别是，的中点，连接，则线段的长为 ． 【考点九 平行四边形与中位线综合问题】 例题：（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，如图，分别是的和边上的中线，过C作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求线段的长． 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，和的角平分线，交于边上的点． (1)求证：E为的中点； (2)若点F为的中点，连接交于点G．写出与间的数量关系，并说明理由． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，还会发现新的结论． 【实践探究】 （1）在中，点为的中点，沿着向上折叠，点落在处，连接并延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （2）连接，兴趣小组发现，若，，求的长． 【考点十 多边形内角和、外角和问题】 例题：（23-24八年级下·上海·期末）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ． 2．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转，再沿直线前进15米，又向左转⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米． 3．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）如图1螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2．小明将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点A且交于点P，量得长为，六边形的边长为长为 ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 期末复习专题：平行四边形 目录 【考点一 利用平行四边形的性质求解】 3 【考点二 平行四边形的性质与判定多结论问题】 7 【考点三 利用平行四边形的性质求动点问题】 12 【考点四 平行四边形中的折叠问题】 16 【考点五 判断能否构成平行四边形】 24 【考点六 平行四边形中的作图】 26 【考点七 平行四边形中的性质和判定】 31 【考点八 与三角形中位线有关的求解问题】 37 【考点九 平行四边形与中位线综合问题】 41 【考点十 多边形内角和、外角和问题】 47 知识点01 平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 知识点02 平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 知识点03 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 知识点04 三角形的中位线定理 （1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） （2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，. 知识点05 多边形的概念、内角和、外角和 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 4.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 5.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【考点一 利用平行四边形的性质求解】 例题：（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，、相交于点O，交于点E，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质．先证明是对角线的中垂线，可得，再进一步利用三角形的周长公式可得答案． 【详解】解：∵在中，O是对角线的交点，且， 是对角线的中垂线， ， 的周长为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将绕点A，逆时针旋转得到，连接，点E恰好在线段上，则的度数为 ．    【答案】/110度 【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角，根据旋转的性质，得到，等边对等角，求出的度数，进而求出的度数，根据平行四边形的对角相等，即可得到的度数． 【详解】解：根据旋转可得， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交的延长线于点．若，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查作角平分线、平行四边形的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行四边形的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，可得．由平行四边形的性质可得，，则，进而可得，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ． 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在平行四边形内，，，，为线段上一点，若为等腰三角形，则 【答案】2或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题根据 分情况讨论：当时，作于点， 于点，得到，，，得到； 当时，作于点，于点，由题意得到，证明，得到，求出，即可得到的值；求出，得到，得到答案即可． 【详解】解：平行四边形，，， ，， 为等腰三角形， 当时， 如图，作于点， 于点， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ； 当时， 如图，作于点，于点， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，连接，作于点，于点， ， ， ， ， 不是等腰三角形； 故答案为：或． 【考点二 平行四边形的性质与判定多结论问题】 例题：（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、判断三边能否构成直角三角形、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②③正确；然后由平行四边形的性质得，则④错误；最后求出，故⑤错误；即可得出答案． 【详解】解：，，， 是直角三角形， ，故①正确； ，都是等边三角形 和都是等边三角形 ，， 在与中 ，故②正确； 同理可证： 四边形是平行四边形，故③正确； ，故④错误； 过作于，如图所示：    则 四边形是平行四边形 ，故⑤错误． 综上所述，正确的是①②③，共3个． 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】根据平行四边形性质得出，，，，根据，得出，即可判断②正确；取的中点N，连接，证明四边形为平行四边形，得出，证明，根据等腰三角形的性质得出，，求出，即可判断①正确；根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，即可判断③正确；求出，根据平行四边形的性质得出，判断④错误． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴，故②正确； 取的中点N，连接，如图所示： 则， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，故④错误； 综上分析可知：正确的有3个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行四边形的判定和性质． 2．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的个数为(    )    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；证，得，，则，得，再证出四边形是平行四边形，得，故②③正确，不一定等于，故①不正确，不一定成立，故④不正确，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 又E、F分别是、的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，，，故②正确 ， ， 四边形是平行四边形，故③正确 ， 而不一定成立，故④不正确． 不一定等于， 不正确，故①不正确， 故选：B． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，平分，则下列结论中不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质等知识，根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出可判断A正确；根据等腰三角形性质求出，即可推出，故B正确；由三角形内角和定理易得，结合，可证明，故C正确．过点E作，易得，结合三角形外角的性质以及角平分线的性质可知，故D错误． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，故A正确，不符合题意； ∵，平分， ∴， 又， ∴，故B正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 如图，过点E作， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 【考点三 利用平行四边形的性质求动点问题】 例题：（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，点E是平行四边形的边上一动点，以为一条边作平行四边形，使点A始终在边上，在动点E从点C向点D的运动过程中，关于平行四边形的面积，下列说法正确的是（    ）    A．始终不变 B．逐渐减小 C．先减小再增大 D．不能确定 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．由平行四边形，可得，由平行四边形，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴在动点E从点C向点D的运动过程中，平行四边形的面积始终不变， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图1，中，，动点E从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动至B点停止，设运动的时间为t（单位：秒），的面积为S，且S与t之间的关系如图2所示，则下列说法正确的是（    ） A．边长为2 B．平行四边形的周长为16 C．的面积为18 D．m的值为8 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了平行四边形的性质，函数的图像，三角形面积，熟练掌握知识点，正确理解题意，从函数图像中获取信息是解题的关键． 当点E在上时，面积随着高的增大而增大，当点E运动点D时，此时时间为2秒，故可求，以及平行四边形的周长，此时面积最大，则可求出高即为平行四边形的高，继而可求平行四边形的面积，当点E在上运动，的面积不变，当点E在上运动时，以为底的高在变小，因此面积随着高的减小而减小，点E从点C运动点D的时间与从点A运动到点B的时间一样，即可判断D选项． 【详解】解：过点E、D分别作，交延长线于点H，G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当点E在边上时，， ∴面积S关于高的函数是正比例函数，S随着的增大而增大， 当点E运动到点D时，此时S最大，且为9， ∴， ∴， 当点E运动到点D时运动时间2秒，因此，故A选项不符合题意， ∴周长为，故B选项不符合题意； 平行四边形的面积为：，故C选项符合题意； 当点E从点A返回时，由于，且速度不变，因此运动的时间不变，仍为2秒，故，故D选项不符合题意， 故选：C． 2．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时， ． 【答案】或2或4 【知识点】利用平行四边形的性质求解、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查平行四边形的性质、解一元一次方程，设t秒后四边形是平行四边形，由题意得，，，由列方程求解即可；当四边形是平行四边形，由题意得，，，由或列方程求解即可． 【详解】解：设t秒后四边形是平行四边形， 由题意得，，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即秒时四边形是平行四边形； 当四边形是平行四边形， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 当时，， 解得， ∴或2或4秒时，直线将四边形截出一个平行四边形， 故答案为：或2或4． 3．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，平行四边形中，， 两动点M， N同时从点A出发， 点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点 N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点 N的运动时间的关系图象如图2所示， 已知． （1） N点的运动速度是 ； （2）c处的数值等于 ． 【答案】 1 10 【知识点】利用平行四边形的性质求解、动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含直角三角形的性质，由点M的速度和路程可知，时，点M和点B重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图2可得当时，点N和点D重合，进而可求出的长；即可求解． 【详解】解：∵，点M的速度为， ∴当点M从点A到点B，用时， 当时，过点N作于点E，    ∴， ∴， 在中，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴N点的运动速度是； ∴点N从D到C，用时， 由图2可知，点N从A到D用时3s， ∴， ∴， 故答案为∶1；10． 【考点四 平行四边形中的折叠问题】 例题：（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．    (1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质结合勾股定理求得，由折叠知，由折叠的性质可得，再由平行四边形的性质求得，据此即可求解． （2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由折叠知， 由折叠知， ∵， ∴， ∴， 由折叠知， ∴， 故答案为：，； （2）证明：由折叠知，，． ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ，点在延长线上， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】 如图，在中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点，连接． 【问题探究】 (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若，，，当点落在上时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】折叠问题、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理， （1）由四边形是平行四边形得，，，由折叠得，可得，即可得，则，即可得； （2）作交的延长线于点H，根据得．根据点落在上得，则，即可得，根据，，，得，，则，根据直角三角形的性质得，根据勾股定理得，则，根据，即可得； 掌握平行四边形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠得， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：作交的延长线于点H， ∵， ∴． ∵点落在上， ∴， ∴， 则． ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴的长是． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在中，，，，点分别为边上异于端点的动点，且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形．    (1)如图1，边，交于点，若，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (3)当点落在的边上时，求点之间的距离． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)4或或． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形性质和判定证明、折叠问题 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理． （1）先证，再由已知平行四边形即可； （2）如图1，过点作的垂线，交延长线于点，连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，结合勾股定理即可计算； （3）分情况：当点落在边上时，如图2；当点落在边上时，如图3，连结交于点；当点落在边上时，如图4，连结交于点，分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在平行四边形中，， ∴四边形为平行四边形； （2）如图1，过点作的垂线，交延长线于点， 连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，    在中， ∵ ∴ 由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 即，解得， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 由平行四边形的中心对称性，得; （3）当点落在边上时，如图2，    由折叠可知，，， ∵ ∴ 在平行四边形中，， ∴四边形是平行四边形 ∴ 在中， ∴ ∴ 当点落在边上时，如图3，连结交于点 由平行四边形的中心对称性，得， 由翻折，得， ∴， ∴， 在中， ∴ 由勾股定理，得 当点落在边上时，如图4，连结交于点， 由折叠可知，则垂直平分， 由轴对称性可知垂直平分，    ∴点与点重合 过点作的垂线交于点， 在中，，， 由勾股定理，得． 综上所述，点之间的距离为4或或． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)如图1，若点 恰好落在边上时， 四边形的形状是 ． (2)如图2，若点三点在同一条直线上时，求证：； (3)如图3，若时，连接，并延长交于点F．若平行四边形纸片的面积为24，，求线段的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、折叠问题 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 【考点五 判断能否构成平行四边形】 例题：（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，已知，对角线，相交于点，若增加下列条件，则可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边的判定定理是解题的关键．根据平行四边的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A. 由，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B. 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D. 由，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 结合全等三角形的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故C符合题意， 但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意， 故选：C． 2．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理．熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； B中，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； C中，，不能判定四边形是平行四边形，故符合要求； D中，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； 故选：C． 3．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解本题的关键在熟练掌握平行四边形的判定定理． 【详解】解：A．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； C．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； D．只能得到一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：D． 【考点六 平行四边形中的作图】 例题：（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图， 在平行四边形中，． (1)利用尺规作图，在边上确定点E，使点E到边，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若 ， ， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形的性质求解、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图—作角的平分线，角平分线的定义． （1）作的平分线交于，则利用角平分线的性质可得到点满足条件； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义可证明则  然后计算即可． 【详解】（1）如图，点为所作； （2）∵点到边的距离相等, ∴平分 , ∵四边形为平行四边形， , ， ， ， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江西·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：在上确定一点，使，作的平分线交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所做的图形中，连接，若，且，，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、作角平分线(尺规作图) 【分析】此题考查了角平分线的作图、等角对等边、勾股定理、平行四边形的性质等知识，正确作图是解题的关键． （1）按照角平分线的作图方法，作交于点E，作的平分线交于点； （2）求出，，得到，，再由勾股定理即可得到，则． 【详解】（1）如图所示，即为所求， （2）如图， ∵， ∴， ∵作的平分线交于点 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 2．（23-24八年级下·江西抚州·期末）已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）    (1)如图①，为上任意一点，请仅用无刻度直尺在上找出另一点，使； (2)如图②，为上任意一点，请仅用无刻度直尺在上找出另一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接交于，连接并延长交于，点即为所作； （2）连接交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接交于，点即为所作． 【详解】（1）解：如图①，连接交于，连接并延长交于，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点即为所作； （2）解：如图②，连接交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接交于，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点即为所作． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O， (1)尺规作图，作的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在第（1）问的基础上，若直线交于点E，交于点F，试判断四边形是不是平行四边形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查尺规作图以及平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的定义画图即可； （2）根据平行四边形的性质与判定进行证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求 （2）解：四边形是平行四边形 四边形是平行四边形， 的垂直平分线， ， 在和中， ， 故四边形是平行四边形． 【考点七 平行四边形中的性质和判定】 例题：（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】证明四边形是平行四边形、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的判定和性质得到，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点作于点．根据等腰三角形的性质求得，在中，，，求得，，据此计算即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，．求的的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 在中， ∴， ∴， 在中， ∴ 2．（24-25八年级上·重庆·期末）在四边形中，是的中点，连接，，是线段上一点，连接，，过作，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）过点作交于点，设交于点，证明四边形是平行四边形，得，证明，得，证明，得，即可得证； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得，，四边形是平行四边形，得，证明，得，根据等边对等角得，再将数据代入可得结论． 【详解】（1）证明：过点作交于点，设交于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等边对等角等知识点．通过作辅助线构造全等三角形和平行四边形是解题的关键． 3．（24-25九年级上·山东威海·期末）在四边形中，对角线，交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交，于点E，F（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，过点D作，，连接，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)13 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据平行四边形的判定即可得证； （3）连接，先证出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据等量代换可得，根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）已证：四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 所以的最小值为13． 【考点八 与三角形中位线有关的求解问题】 例题：（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，点H、G分别是边、上的动点，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解、垂线段最短 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含30度的直角三角形，勾股定理，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接，过点作于点，由三角形中位线定理可得，即当时，即点在位置时，有最小值，此时最小，根据平行四边形的性质和直角三角形的性质，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 点E为的中点，点F为的中点， 是的中位线， ， 当时，即点在位置时，有最小值，此时最小， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为： 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，，平分，过点作的延长线于点，点为的中点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质．如图，延长交于点G，根据角平分线和垂线证得，进而得到，，再利用中位线的性质得到，即可求得答案． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴，， ∴E是的中点， ∵F是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，且，点，分别是，的中点，连接，则线段的长为 ． 【答案】// 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形的中位线以及全等三角形的判定和性质，利用中线+平行构造全等三角形转化线段和角是解题关键． 根据利用中线+平行构造，得，，由勾股定理求出，再利用是中位线三角形的中位线可得． 【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵，，即是中位线， ∴， 故答案为：． 【考点九 平行四边形与中位线综合问题】 例题：（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据三角形的中位线的性质即可得证； 【详解】（1）∵是的中点， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 （2）∵及分别是的中点， ∴是的中位线 ∴ 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，如图，分别是的和边上的中线，过C作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是平行四边形、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质求出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证明结论； （2）根据三角形中位线的判定与性质求出、，结合平行线的性质、等腰三角形的性质求出，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图：连接， ∵四边形是平行四边形； ∴， ∵，是的边上的中线， ∴是的中位线， ∴、，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练运用平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，和的角平分线，交于边上的点． (1)求证：E为的中点； (2)若点F为的中点，连接交于点G．写出与间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，理由见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形的性质求解、根据等角对等边证明边相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，，而，，所以，，则，，所以，则为的中点； （2）取的中点，连接，由三角形的中位线定理得，，即可证明，，推导出，则，得，由，，得，则． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 点在边上，且平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． （2）解：，理由如下： 取的中点，连接， 点为的中点， ，， ∵，，且， ，， ， 在和， ， ， ， ， ∵， ， ，且， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，还会发现新的结论． 【实践探究】 （1）在中，点为的中点，沿着向上折叠，点落在处，连接并延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （2）连接，兴趣小组发现，若，，求的长． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2） 【知识点】含30度角的直角三角形、勾股定理与折叠问题、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）四边形是平行四边形得到，由翻折可证明是的中位线，则，即可证明； （2）过点E作于点H，则，，，由得到，则由勾股定理得，可得为等腰直角三角形，则，继而． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点为中点， ∴， 由翻折得：， ∴是的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）过点E作于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由翻折得：， ∵， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，角直角三角形的性质，折叠的性质等知识点，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【考点十 多边形内角和、外角和问题】 例题：（23-24八年级下·上海·期末）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】6 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个正多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为，结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数是6， 故答案为：6． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式． 根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：八边形的内角和为：， 故选：． 2．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转，再沿直线前进15米，又向左转⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米． 【答案】300 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角，解题关键是理解小明每前进15米后向左转18°，当他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形． 根据题意判断小明每前进15米后向左转，当他回到出发地A地时，走过的路程形成正多边形，然后根据正多边形的外角和是，求出多边形的边数，从而求出答案即可． 【详解】解：由题意得：小明从A地出发，他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形，外角和为，每个外角的度数是， ∴多边形的边数为：， ∴一共走的路程为：（米）， 故答案为：300． 3．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）如图1螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2．小明将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点A且交于点P，量得长为，六边形的边长为长为 ． 【答案】7 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、正多边形的内角问题 【分析】本题考查正多边形内角，勾股定理，等腰三角形，连接，过点作的垂线段，交于点，证明，即可利用勾股定理解答，做出正确的辅助线是正确解答的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作的垂线段，交于点， 六边形是正六边形， ，， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 故答案为：． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$