北师大版八年级下册数学期末检测提升A卷【范围：八下全册】-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

北师大版八年级下册数学期末检测提升A卷 （范围：全册，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 2．下列剪纸中，可以看作是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．下列说法中，错误的是（   ） A．不论为何值，分式总有意义 B．当时，分式的值为1 C．若分式的值为零，则 D．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 7．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若关于x的方程的解为正数，则m的值可以为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（    ） A． B．垂直平分线段 C． D． 10．如图，在正六边形中，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的条件的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 12．若多项式因式分解的结果为，则 ． 13．如图所示，准备在楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价为100元，楼梯宽5米，其侧面如图所示，则购买这种地毯至少需要 元． 14．如图，在中，的平分线交于点，在的延长线上取一点，使得，连接，则的值是 ． 15．关于的不等式组有且只有四个整数解，则的取值范围是 ． 16．如图，在中，，，点D为边上一点且不与A、B重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点，若，当为等腰三角形时， ．（用的代数式表示） 三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分. 17．（1）因式分解：     （2）解不等式组：． 18．先化简，再求值：．其中a从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值． 19．如图，同格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，的每个顶点都在格点上． (1)将向左平移6个单位长度，得到，画出． (2)在平面直角坐标系中，与关于原点O成中心对称，请画出． (3)请在x轴上找一点P，使的长度最短． 20．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．． 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：___________； (2)写出你猜想的第个等式：___________（用含的等式表示），并证明． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 21．下面是探究性学习小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （提公因式） （提公因式） 乙： （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)已知，求式子的值； (2)已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的周长． 22．把两个等腰直角和按如图①所示的位置摆放，，将绕点A按逆时针方向旋转，如图②，连接，设旋转角为． (1)求证：； (2)如图③，若点D在线段上，且，，求的长． 23．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24．综合与实践          【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形中，，相交于点O，，，求证：． 【变式探究】（2）如图2，在中，，，在的右侧作等边，取的中点F，连接． ①求证：是的垂直平分线； ②若，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，，D为上的任意一点，将绕点A逆时针旋转得到线段，旋转角为．取的中点P，连接，猜想与的数量关系，并给予证明． 25．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版八年级下册数学期末检测提升A卷 （范围：全册，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，边形的内角和为(且为整数)．根据多边形的内角和计算公式列方程求解作答． 【详解】解：不能被整除，一个多边形的内角和不可能是． 故选：D． 2．下列剪纸中，可以看作是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此即可求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】题考查了因式分解的定义，要与整式的乘法区分开，二者是互逆运算，容易出错． 根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意     B. ，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意； C. ，是因式分解，故此选项符合题意；     D. ，右边的因式不是整式，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的基本性质逐项分析得出答案即可． 【详解】解：A、若，则，本选项不符合题意； B、若，当时，则，本选项不符合题意； C、若，当时，则，本选项不符合题意； D、若，，则，本选项符合题意； 故选：D． 5．如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由旋转可得：，由垂直可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转可得：， 于点， ， ， 故选：C． 6．下列说法中，错误的是（   ） A．不论为何值，分式总有意义 B．当时，分式的值为1 C．若分式的值为零，则 D．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化、分式的求值、分式有意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质等知识，根据分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、∵， ∴不论为何值，分式总有意义，说法正确，故选项不符合题意； B、当时，分式，说法正确，故选项不符合题意； C、分式的值为零， ∴且， ∴，说法正确，故选项不符合题意； D、分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到， ∴把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的2倍，故选项符合题意； 故选：D． 7．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了利用两直线交点求不等式解集，在数轴上表示解集，利用数形结合的思想是解题关键．根据两直线的交点，结合图象，得到不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， 不等式的解集为， 在数轴上表示如下： 故选：C． 8．若关于x的方程的解为正数，则m的值可以为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键． 先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：由， 去分母得：， 解得：且， ∵关于的方程的解是正数， ∴且，解得：且， ∴m的值可以为3， 故选：C． 9．如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（    ） A． B．垂直平分线段 C． D． 【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定A选项；再说明可得垂直平分线段可判定B选项；根据直角三角形的性质可得可判定C选项；，根据三角形的面积公式即可判定D选项；． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故B选项不符合题意， ∵， ∴，故C选项符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项不符合题意， 故选：C． 10．如图，在正六边形中，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的条件的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正六边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．①连接交于点，证出由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得出结论；②证明由全等三角形的性质得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论；③不能证明与全等，则可得出结论；④证明，得出，根据得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论． 【详解】解：连接交于点， ①正六边形， ， 和是等边三角形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形，故①符合题意； ②，， ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，故②符合题意； ③，，， 与不一定全等，不能得出四边形是平行四边形，故③不符合题意； ④，，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故④符合题意， 则符合题意得有3个， 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分母不等于列式解答即可求解． 【详解】解：要使分式有意义，则， ， 故答案为：． 12．若多项式因式分解的结果为，则 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了根据因式分解的结果求参数，根据题意可得，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开即可求出m、n的值，进而可求出答案． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图所示，准备在楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价为100元，楼梯宽5米，其侧面如图所示，则购买这种地毯至少需要 元． 【答案】 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握图形平移的性质是解题的关键．本题根据平移的性质，计算出地毯的面积即可解决问题． 【详解】解：由题意可得， 地毯的面积为：， 所以地毯的价钱为：（元）． 故答案为：． 14．如图，在中，的平分线交于点，在的延长线上取一点，使得，连接，则的值是 ． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 证明，推出，再利用三角形中位线定理求解． 【详解】如图，取的中点，连接， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．关于的不等式组有且只有四个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查求含参数的不等式解集，熟练掌握解一元一次不等式组，不等式组的整数解：是解题关键． 求出原不等式组的解集，由解集恰好只有4个整数解，得出关于a的不等式组，解不等式组确定出a的范围即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组只有4个整数解， 为2，1，0，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，在中，，，点D为边上一点且不与A、B重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点，若，当为等腰三角形时， ．（用的代数式表示） 【答案】或或 【知识点】三角形折叠中的角度问题、等边对等角、折叠问题 【分析】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．分①点在上；②点在延长线上两种情况讨论，画出示意图，根据翻折和等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：①当点在上，如图1， 由翻折的性质得，，， ， ，即， ， 当时，则， ， ， ； 当时，， ， ， ； ②当点在延长线上，如图2， 由翻折的性质得，，， ， ， ， 又为等腰三角形， ， ， ， ； 综上所述，或或． 故答案为：或或． 三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分. 17．（1）因式分解：     （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、求不等式组的解集 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可．    （2）根据解不等式组的基本步骤解答即可． 本题考查了因式分解，解不等式组，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： 由①得：； 由②得： 不等式组的解集为． 18．先化简，再求值：．其中a从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值． 【答案】；，原式；，原式 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴时，原式；当时，原式． 19．如图，同格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，的每个顶点都在格点上． (1)将向左平移6个单位长度，得到，画出． (2)在平面直角坐标系中，与关于原点O成中心对称，请画出． (3)请在x轴上找一点P，使的长度最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】最短路径问题、平移(作图)、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中图形的平移变换，中心对称变换，轴对称的性质，准确作图是解题的关键． （1）根据点的平移即可得到图形； （2）画出A、B、C关于原点的对称点连接即可； （3）作C点关于x轴的对称点，连接交轴于点P即可． 【详解】（1）解：由图可知，，， 根据向左平移6个单位可得，，， 连接起来即可，如图所示； （2）解：A，B，C关于原点的对称点为，，，把三点连接起来即可，如图所示； （3）解：作C关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，即为所求，如图所示： 则， ∴， ∵三点共线， ∴此时，最短． 20．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．． 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：___________； (2)写出你猜想的第个等式：___________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算、数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】此题考查的是归纳总结能力，分式混合运算，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键． （1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案； （2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边第一项的分母为，分子是，第二项是，等式右边为．根据分式加减运算法则和分式混合运算法则进行验证即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则第5个等式为：； （2）解：， 证明：左边， 右边， 左边右边，即等式成立． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 21．下面是探究性学习小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （提公因式） （提公因式） 乙： （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)已知，求式子的值； (2)已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的周长． 【答案】(1) (2)等腰的周长为32或34． 【知识点】因式分解的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． （1）分组，利用提公因式法分解得到，再求得，整体代入求解即可； （2）整理后，利用完全平方公式分解，再利用非负数的性质求得，，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵，， ∴， ∴原式； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 当，，，符合三角形的定义， ∴的周长为； 当，，，符合三角形的定义， ∴的周长为； ∴等腰的周长为32或34． 22．把两个等腰直角和按如图①所示的位置摆放，，将绕点A按逆时针方向旋转，如图②，连接，设旋转角为． (1)求证：； (2)如图③，若点D在线段上，且，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)7． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）根据等腰三角形的定义，结合，即可得证； （2）同（1）得到，证明为直角三角形，勾股定理求出的长，线段的和差，求出的长即可． 【详解】（1）证明：，都是等腰直角三角形， ，，， 则 ， ； （2）解：是等腰直角三角形， ， ， 同（1）可得． ，， ∴， 在中，，， ， ． 23．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 (2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 人模型单价为300元． 【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， (元)． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元； （2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元，则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， (台)． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24．综合与实践          【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形中，，相交于点O，，，求证：． 【变式探究】（2）如图2，在中，，，在的右侧作等边，取的中点F，连接． ①求证：是的垂直平分线； ②若，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，，D为上的任意一点，将绕点A逆时针旋转得到线段，旋转角为．取的中点P，连接，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1；（3）．理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的判定与性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，证出，得出，则可得出结论； （2）①延长至，使，连接，，证出，则，由等边三角形的性质可得出结论； ②证出，则可得出答案； （3）延长至，使，连接，，同（2）可知是的中位线，得出，证出，得出， 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ； （2）①证明：延长至，使，连接，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， 垂直平分， ， 为的中点，， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线； ②解：由①知是的中位线， ， ， ； （3）解：． 理由：延长至，使，连接，， 同（2）可知是的中位线， ， 同（2）可知，， ， ， 将绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、折叠问题 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$