分层随机抽样问题的解题思路&例说概率中的数学思想-《中学生数理化》高一数学2025年5月刊

■杜海洋 分层随机抽样是每年高考的常考点,高 考常把分层抽样与频率分布、分层抽样与概 率结合起来进行考查,反映了高考的命题方 向。这类问题虽然难度不大,但是考查的知 识面较广,值得同学们重视。 题型1:分层随机抽样的某层应抽个体数 例1 某高中共有学生1800人,其中高 一、高二、高三的学生人数之比为16∶15∶ 14,现用分层抽样的方法从该校所有学生中 抽取一个容量为90的样本,则高一年级应该 抽取的人数为 。 解:由题意得高一年级学生人数占该校 总人数的比例为 16 16+15+14= 16 45 。从该校所 有学生中抽取一个容量为90的样本,则高一 年级应该抽取的人数为90× 16 45=32 。 题型2:分层随机抽样的样本容量 例2 已知A,B,C 三个社区的居民人 数分别为600,1200,1500,现从中采用分层 抽样方法抽取一个容量为n 的样本,若从C 社区抽取了15人,则n= 。 解:A,B,C 三个社区的居民人数分别为 600,1200,1500,从中抽取一个容量为n 的 样本,从C 社区抽取了15人,结合抽样比得 n 600+1200+1500= 15 1500 ,解得n=33。 题型3:分层随机抽样的抽样比 例3 某校有700名高一学生,400名高 二学生,400名高三学生,高一数学兴趣小组 欲采用按比例分配的分层抽样的方法在全校 抽取15名学生进行某项调查,则下列说法正 确的是( )。 A.高三每一个学生被抽到的概率最大 B.高三每一个学生被抽到的概率最小 C.高一每一个学生被抽到的概率最大 D.每位学生被抽到的概率相等 解:由题意知抽样比为 15 700+400+400= 1 100 ,所以15人中,高一要抽7人,高二要抽 4人,高三要抽4人。故高一每位学生被抽 到的概率为 7 700= 1 10 ,高二每位学生被抽到的 概率为 4 400= 1 10 ,高三每位学生被抽到的概率 为 4 400= 1 10 ,在比例分配的分层抽样中,每个 个体被抽到的概率相等。应选D。 题型4:分层随机抽样的样本平均值 例4 某学校高一年级有女生504人,男 生596人。该校想通过抽样的方法估计高一 年级全体学生的平均体重,现从高一女生和 男生中随机抽取50人和60人,经计算这50 个女生的平均体重为49kg,60个男生的平 均体重为57kg。依据以上条件,估计该校高 一年级全体学生的平均体重最合理的计算方 法是( )。 A. 49+57 2 B. 50 1100×49+ 60 1100×57 C. 50 110×49+ 60 110×57 D. 504 1100×49+ 596 1100×57 解:高一年级有女生504人,男生596 人,则总人数为504+596=1100。从高一女 生和男生中随机抽取50人和60人,没有按 照比例分配的方式进行抽样,不能直接用样 本平均数估计总体平均数,需要按照女生和 男生在总人数中的比例,计算总体的平均体 重,即504 1100×49+ 596 1100×57 ,所以D选项最 合理。应选D。 作者单位:成都经济技术开发区实验中学校 (责任编辑 王琼霞) 3 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月 ■谢志璞 求解概率问题常用到方程思想、函数思 想及分类讨论思想。下面举例分析,供同学 们学习与参考。 一、方程思想 例1 某社区举办“环保我参与”有奖问 答比赛活动,某场比赛中,甲、乙、丙三个家庭 同时回答一道有关环保知识的问题。已知甲 家庭回答正确这道题的概率是 3 4 ,甲、丙两个 家庭都回答错误的概率是 1 12 ,乙、丙两个家庭 都回答正确的概率是 1 4 。若各家庭回答是否 正确互不影响,则乙、丙两个家庭各自回答正 确这道题的概率分别为 。 解:记“甲家庭回答正确这道题”,“乙家 庭回答正确这道题”,“丙家庭回答正确这道 题”分别为事件 A,B,C,则 P(A)= 3 4 , P(A)·P(C)= 1 12 ,P(B)P(C)= 1 4 ,即 P(A)= 3 4 ,[1-P(A)][1-P(C)]= 1 12 , P(B)P(C)= 1 4 。据 此 解 得 P(B)= 3 8 , P(C)= 2 3 ,所以乙、丙两个家庭各自回答正 确这道题的概率分别为 3 8 ,2 3 。 评注:方程思想是从问题的数量关系入 手,通过解方程或不等式使得问题获解。 二、函数思想 例2 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷 两次,若第一次朝上一面的点数为a,第二次 朝上一面的点数为b,则函数y=ax2-2bx+1 在 -∞, 1 2 上为减函数的概率是 。 解:已 知 函 数 y=ax2 -2bx+1 在 -∞, 1 2 上为减函数,需满足条件 a>0, b a≥ 1 2 。 已知第一次朝上一面的点数为a,第二 次朝上一面的点数为b,当a 取1、2时,b可 取1,2,3,4,5,6;当a 取3、4时,b可取2,3, 4,5,6;当a取5、6时,b可取3,4,5,6。共30 种可能结果。因为将一枚质地均匀的骰子先 后抛掷两次,共有6×6=36(种)等可能结 果,所以所求概率为30 36= 5 6 。 评注:函数思想是指用函数的概念与性 质去分析问题、转化问题和解决问题。 三、分类讨论思想 例3 已知在某一局羽毛球比赛中,选 手L 每回合的取胜概率为 3 4 ,双方战成了27 平,按照如下规则:①每回合中,取胜的一方 加1分;②领先对方2分的一方赢得该局比 赛;③当双方均为29分时,先取得30分的一 方赢得该局比赛。则选手L 取得本局胜利 的概率是 。 解:分三种情况讨论选手 L 获胜的情 况。①当选手L 以29∶27获胜时,还要战2 个回合,并且选手L 都取胜,此时P1= 3 4× 3 4= 9 16 。②当选手L 以30∶28获胜时,还 要战4个回合,并且选手L 要在前2个回合 中输1次,其余回合均取胜,此时 P2=2× 1 4× 3 4× 3 4× 3 4= 27 128 。③当选手L 以30∶ 29获胜时,还要战5个回合,这5个回合的输 赢有四种情况,即(赢输赢输赢),(输赢输赢 赢),(输 赢 赢 输 赢),(赢 输 输 赢 赢),所 以 P3=4× 1 4 2 × 34 2 × 3 4= 27 256 。 综上可得,选手L 取得本局胜利的概率 为P1+P2+P3= 9 16+ 27 128+ 27 256= 225 256 。 评注:当一个问题因为某种量或图形的 情况不同而有可能引起问题的结果不同时, 需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨 论。进行分类讨论时,标准要统一,且不能 遗漏。 作者单位:广西贵港市覃塘区石卡高级中学 (责任编辑 王琼霞) 4 知识结构与拓展 高一数学 2025年5月