浅析导数应用中的放缩技巧-《中学生数理化》高考数学2025年5月

■云南省玉溪第一中学 张国林 基于函数与导数的综合应用,涉及函数 或方程中的不等式恒成立以及相应的综合应 用问题,特别是与之相关的指数切线不等式 ex≥x+1、对数切线不等式ln x≤x-1及三 角不等式sin x<x<tan x 等,是函数的基本 性质与综合应用的升华,有助于对问题的实 质和内涵的理解与应用,成为解题中非常有用 的放缩技巧,对于问题的快捷切入、解题的思 路优化、过程的简化精减等都非常有效果,成 为解决与之相关的函数、方程及不等式等相关 问题中常用的一些基本结论性质与放缩方向。 一、指数放缩 指数放缩的常见类型为:①放缩成一次 函数,如ex≥x+1,ex>x,ex≥ex;②放缩成 类反比例函数,如ex≤ 1 1-x (x≤1),ex< - 1 x (x<0)。比较常用的“二级结论”是指数 切线不等式:ex≥x+1(当且仅当x=0时等 号成立)。 例 1 (2024年江西省上饶市高考数 学二模试卷)已知函数f(x)=ex-x-1。 (1)求证:f(x)≥0; (2)当m≤1时,求证:不等式ex-mx+ cos x-2≥0在x∈[0,+∞)上恒成立。 证明:(1)依题意得, f'(x)=ex-1。 当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减。 所以f(x)min=f(0)=0,即ex-x-1≥ 0,当且仅当x=0时取等号,所以f(x)≥0。 (2)令函数g(x)=ex-mx+cos x-2, 则g'(x)=ex-m-sin x。 由(1)可得ex-x-1≥0,即ex≥x+1。 又因为m≤1,所以g'(x)≥x+1-1- sin x=x-sin x。 令函数h(x)=x-sin x,则h'(x)=1- cos x。 当x≥0时,h'(x)≥0,所以h(x)在[0, +∞)上单调递增,所以当x∈[0,+∞)时, h(x)≥h(0)=0。 所以 g'(x)≥0,则 g(x)在 x∈[0, +∞)上单调递增,所以当x∈[0,+∞)时, g(x)≥g(0)=0,即ex-mx+cos x-2≥0。 所以当m≤1时,不等式ex-mx+cos x -2≥0在x∈[0,+∞)上恒成立。 点评:指数切线不等式ex≥x+1(当且 仅当x=0时等号成立)及其对应的变形不等 式,是函数与导数的综合应用中指数放缩的 一大重要方向。此类问题往往基于指数式ex 的应用场景,结合不等式的构建,合理放缩成 一次函数或类反比例函数等形式,给问题的 深入与应用创造条件。 二、对数放缩 对数放缩的常见类型为:①放缩成一次 函数,如ln x≤x-1,ln(1+x)≤x;②放缩 成类反比例函数,如ln x≥1- 1 x ,ln(1+x) ≥ x 1+x 。比较常用的“二级结论”是对数切 线不等式:ln x≤x-1(当且仅当x=1时等 号成立)。 例 2 已知函数f(x)=ln x,g(x)= a(x-1) 2 。 (1)若f(x)<g(x)在(1,+∞)上恒成 立,求实数a的取值范围; (2)求证:1+ 1 (n+1)2 · 1+ 2(n+1)2 · …· 1+ n (n+1)2 <e。 71 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年5月 解析:(1)依题意得,f(x)<g(x)等价于 ln x- a(x-1) 2 <0 。 记函 数 h(x)=ln x- a(x-1) 2 ,则 h'(x)= 1 x- a 2= 2-ax 2x 。 若a≤0,则h'(x)>0,h(x)在(1,+∞) 上单调递增。又h(1)=0,则h(x)>h(1)= 0,即f(x)<g(x)不恒成立。 若0<a<2,则 2 a>1 ,当x∈ 1, 2 a 时, h'(x)>0,所以h(x)在 1, 2 a 上单调递增,则 h(x)>h(1)=0,所以f(x)<g(x)不恒成立。 若a≥2,因为x∈(1,+∞),所以h'(x) <0,则h(x)在(1,+∞)上单调递减,所以 h(x)<h(1)=0,即 f(x)<g(x)在(1, +∞)上恒成立。 综上,实数a的取值范围是[2,+∞)。 (2)由(1)可知,当a=2时,f(x)< g(x)在(1,+∞)上成立,即ln x<x-1。 令x=1+ k (n+1)2 >1,k=1,2,…,n,则 ln1+ k (n+1)2 < k(n+1)2。 所 以 ∑ n k=1 ln 1+ k (n+1)2 = ln 1+ 1 (n+1)2 · 1+ 2(n+1)2 ·…· 1+ n (n+1)2 < 1(n+1)2 + 2(n+1)2 + …+ n (n+1)2 = n(n+1) 2(n+1)2 = n 2(n+1)< 1 2 。 所以 1+ 1 (n+1)2 · 1+ 2(n+1)2 ·…· 1+ n (n+1)2 <e。 点评:对数切线不等式ln x≤x-1(当且 仅当x=1时等号成立)及其对应的变形不等 式是函数与导数的综合应用中对数放缩的一 大重要方向。此类问题往往基于对数式ln x 的应用场景,结合不等式的构建,同样也是合 理放缩成一次函数或类反比例函数等形式, 实现问题的切入与深入应用。 三、三角放缩 三角放缩的常见类型为:sin x<x(x> 0),x<tan x0<x< π 2 ,sin x≥x- 1 2x 2, 1- 1 2x 2≤cos x≤1- 1 2sin 2x。比较常用的 “二级 结 论”是 三 角 不 等 式:sin x<x< tan x0<x< π 2 。 例 3 已知函数f(x)=cos x,x∈ 0, π 2 。 (1)求证:tan x·f(x)≤x; (2)求证:2ex·f(x)≥(1+x)(2-x2)。 证明:(1)依题意,tan x·f(x)=sin x。 记函 数 g(x)=sin x-x,则 当 x∈ 0, π 2 时,g'(x)=cos x-1≤0,所以g(x) 在 0, π 2 上是减函数,所以g(x)≤g(0)= 0,即tan x·f(x)≤x。 (2)要证2ex·f(x)≥(1+x)(2-x2),即证 ex·cos x≥ (1+x)(2-x2) 2 ,x∈ 0, π 2 。 因为ex≥x+1,又由(1)可知,当x∈ 0, π 2 时,sin x ≤x,所 以 ex cos x = ex 1-2sin2 x 2 ≥ (x+1)1-2x2 2 = (1+x)1- x2 2 。 故2ex·f(x)≥(1+x)(2-x2)。 例 4 已知函数f(x)=tan x,x∈ 0, π 2 。 (1)求证:f(x)≥x; (2)求证:sin x·f(x)≥x2。 证明:(1)令函数g(x)=f(x)-x= sin x cos x-x ,x ∈ 0, π 2 ,所 以 g'(x)= cos2x+sin2x cos2x -1= 1 cos2x -1≥0,所以g(x) 在 0, π 2 上单调递增,所以g(x)≥g(0)= 0,从而tan x≥x。 81 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年5月