精品解析：广东省汕头市澄海中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

澄海中学2024—2025学年度第二学期期中考试 高一级数学科试题 本试卷共19小题，满分150分.考试用时120分钟. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上. 2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上. 4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 2. 已知复数（为虚数单位，为实数），则“为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数求出的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，即 所以若为纯虚数不一定得到，故充分性不成立； 由一定能得到为纯虚数，故必要性成立； 故“为纯虚数”是“”的必要非充分条件. 故选：B 3. 已知函数，则函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间. 【详解】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 4. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A选项由诱导公式化简，由在一象限，得出判断；B选项由诱导公式化简，由余弦函数在的单调性得出判断；C选项由正切函数在的单调性得出判断；D选项由正余弦函数在的单调性分别判断，与，的大小，然后得出判断. 【详解】A选项：∵，且，∴，∴，A选项错误； B选项：，又∵，∴，B选项正确； C选项：∵，∴，C选项错误； D选项：∵，∴，，且， ∴，D选项错误. 故选：B. 5. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数运算可得，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由，可得，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 6. 若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数判断函数在给定区间上的单调性，再根据题设条件，结合零点存在定理得到不等式组，求解即得. 【详解】由在区间上恒为正可得，函数在区间上为增函数， 依题意，函数在区间上存在零点，则由零点存在定理可得， 且，解得. 故选：C. 7. 如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果. 【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 因为“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行， 所以六边形为边长为的正六边形，， 所以， 所以， 设，则， 所以， 因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界）， 所以，所以， 所以. 故选：A. 8. 已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是周期为2的函数 B. C. 函数为奇函数 D. 函数有5个零点 【答案】D 【解析】 【分析】由题设有，再作进一步变形判断A；利用周期性及已知区间解析式求函数值判断B；由奇偶性定义判断C；问题化为和的图象的交点个数，数形结合判断D. 【详解】A，为上的奇函数，为偶函数， 所以的图象关于直线对称，， 即，则是以4为周期的函数，错误； B，是上的奇函数，则是以4为周期的函数，则， 当时，，则，则， 所以，错误； C，为偶函数，所以，即，故是偶函数，错误； D，函数的零点个数等价于和的图象的交点个数， 而，结合和的图象，共有5个交点，正确． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，以下结论正确的是（ ） A. 的虚部是 B. C. D. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限 【答案】BD 【解析】 【分析】复数的乘除法运算，复数的概念、共轭复数、模的运算及复数的几何意义逐项判断各选项即可. 【详解】， 对于A，，虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确： 对于C，，故C错误： 对于D，在复平面内对应的点为，位于第三象限，故D正确. 故选：BD. 10. 如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，，则（ ） A. 该圆台的高为 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 【答案】AD 【解析】 【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可判断A；利用梯形面积公式计算可判断B；代入圆台体积公式可判断C；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可判断D. 【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A正确； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B错误； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C错误； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：AD 11. 已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期是 C. 的最大值为 D. 是区间上的增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用诱导公式证明，结合对称性的定义可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用复合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A， ， 所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B， ， 所以的一个周期是，故B正确； 对于C，，所以的最大值为， 当时，，取得最大值， 所以的最大值为，故C错误； 对于D，在上单调递增，且， 则在上单调递增， 在上单调递减，且， 根据复合函数的单调性易知，在上单调递增， 所以是区间上的增函数，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握函数对称性及周期性的判定及三角函数的图象与性质. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正棱锥的性质，结合棱锥的侧面积公式计算即可. 【详解】由正四棱锥底面边长为，斜高为， 侧面积为． 故答案为：. 13. _________． 【答案】2 【解析】 【分析】把已知通分，再用二倍角公式就得到可以用辅助角公式的式子，化简即得. 【详解】由题意知 故答案为：2. 14. 在中，，，，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理和向量数量积的定义得，再根据的范围和正切函数的值域即可求出其范围． 【详解】根据正弦定理得，即， ， ， ，，所以， ， 即的取值范围． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可. 【小问1详解】 因为向量，且， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得. 【小问3详解】 因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 16. 设，已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别解不等式求出集合A，B，然后由并集运算可得； （2）根据集合包含关系，对m分类讨论即可. 【小问1详解】 ，解得， 当时，得， 所以. 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，所以AB， 解方程得或， 当时，，不满足题意； 当，即时，， 因为AB，所以，解得； 当，即时，，显然不满足题意. 综上，的取值范围为. 17. 已知在中，. （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，点D在AB边上，且.若，求的面积. 【答案】（1）直角三角形，因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 所以， 因为，所以，所以，所以， 所以为直角三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知根据正弦定理化简求解即可； （2）由（1）可得，设，在中，由余弦定理可得，再由面积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为以为直角的直角三角形，所以， 设，则，，所以， 所以在中，由余弦定理可得， 即，解得， 所以. 18. 已知函数. （1）求的图象的对称中心、对称轴及的单调递增区间； （2）当时，求的最值； （3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1），， （2）取得最小值；取得最大值2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （2）由于，确定，结合正弦函数的最值，即可求得答案； （3）化简，参数分类，可得，令，则求在上的最小值，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意，得， 令，解得， 所以函数图象的对称中心为； 令，解得， 所以函数图象的对称轴方程为； 由，得， 所以的单调通增区间为. 【小问2详解】 当时，，所以， . 当，即时，函数取得最小值； 当，即时，函数取得最大值2； 【小问3详解】 由题意得时，有解， 而此时，即有解，只需要即可， ， 令，则在上单调递减， 所以当时，，即，所以的取值范围是. 19. 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，. （1）若，求的面积； （2）证明：； （3）若，求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理得，，根据为等边三角形，利用三角形面积公式即可求解； （2）在中，利用正弦定理，结合三角恒等变换即可求解， （3）利用余弦定理得，正弦定理得，结合（2）的结论以及三角形面积公式可得,利用三角函数的性质即可求解． 【小问1详解】 在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记， 在中，由余弦定理，， 所以，则，所以， 又因为为等边三角形， 所以，且， 所以， 则的面积为； 【小问2详解】 在中，由正弦定理可得， 即且， 由于， 故， 由于三角形中，，因此，得证， 【小问3详解】 在平面四边形中，已知，，为等边三角形，，设， 在中，由余弦定理，， ， 在中，由正弦定理，，即，所以， 结合 ， 又因为，所以， 所以， 即的面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 澄海中学2024—2025学年度第二学期期中考试 高一级数学科试题 本试卷共19小题，满分150分.考试用时120分钟. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上. 2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上. 4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 2. 已知复数（为虚数单位，为实数），则“为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 已知函数，则函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 和 4. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A. B. C. D. 7. 如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是周期为2的函数 B. C. 函数为奇函数 D. 函数有5个零点 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，以下结论正确的是（ ） A. 的虚部是 B. C. D. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限 10. 如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，，则（ ） A. 该圆台的高为 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 11. 已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期是 C. 的最大值为 D. 是区间上的增函数 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为______. 13. _________． 14. 在中，，，，则的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 16. 设，已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 17. 已知在中，. （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，点D在AB边上，且.若，求的面积. 18. 已知函数. （1）求的图象的对称中心、对称轴及的单调递增区间； （2）当时，求的最值； （3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 19. 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，. （1）若，求的面积； （2）证明：； （3）若，求的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $