精品解析：2025年广西壮族自治区百色市中考二模数学试题

2025年5月中考适应性训练 数学 （全卷满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 在有理数3，，，0中，最小的数是（ ） A. 3 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数比较大小，根据负数小于，小于正数，比较题中四个有理数大小得到即可确定答案，熟练掌握有理数比较大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：有理数3，，，0中，， 在有理数3，，，0中，最小的数是， 故选：C． 2. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A.   B.   C.   D.   【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的概念是做题的关键；“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，由此逐项判断即可． 【详解】解：、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、 是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 下列式子是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，不是最简二次根式； 故选C． 4. 如图是“垃圾入桶”标志及垃圾桶的平面示意图，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 《哪吒之魔童闹海》是一部集剧情、角色塑造、特效以及文化内核于一体的动画电影佳作，它不仅让观众在视听上享受到了极致的体验，更在心灵上获得了深刻的触动和启示．截至2025年3月15日，《哪吒之魔童闹海》全球累计票房（含预售）超150亿元，位列全球影史票房榜第五．将数据15000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 6. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 9.35 9.35 9.34 9.34 方差 6.6 6.9 6.9 6.7 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：根据表格得甲、乙的平均数大于丙、丁的平均数，且甲的方差小于乙的方差， 选择甲参加比赛， 故选：A． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，幂的运算，根据相关运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 8. 关于正比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 点在函数的图象上 B. y随x的增大而减小 C. 图象经过原点 D. 图象经过第二、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质，根据，可得y随x的增大而减小，图象经过第二、四象限，据此可判断A、D，求出当时和当时的函数值即可判断B、C． 【详解】解：A、在中，当时，，则点不在函数的图象上，原说法错误，符合题意； B、在中，，则y随x的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、在中，当时，，则原函数的图象经过原点，原说法正确，不符合题意； D、在中，，则图象经过第二、四象限，原说法正确，不符合题意；   故选：A ． 9. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）>0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）<0方程没有实数根． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 故选：B． 10. 已知抛物线与抛物线形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解题关键在于用待定系数法列方程来求解．根据两抛物线的形状、开口方向相同可知，a相同，求出a，再根据顶点坐标即可求出m． 【详解】解：抛物线与抛物线的形状、开口方向相同， ， ， 该抛物线最高点的函数值为1， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 故选：． 11. 如图，四边形内接于，若，，则半径是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用相关定理．先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理得出，根据可得出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ∴的半径为：， 故选：A． 12. 在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．借问贤能如何算，多少儿童多少杏？问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童？设有x个牧童，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设该问题中的牧童有x个，根据“若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏”，结合这堆杏的个数不变，即可列出关于x的一元一次方程． 【详解】解：设该问题中的牧童有x个， 根据题意得：． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：___________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简，掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案： ． 14. 请你写出一个必然事件____． 【答案】明天的太阳从东方升起（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据必然事件的定义写出一个必然事件． 【详解】解：明天的太阳从东方升起就是一个必然事件． 故答案是：明天的太阳从东方升起（答案不唯一）． 【点睛】本题考查必然事件的定义，解题的关键是掌握必然事件的定义． 15. 在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄可绕着转轴B旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，此时连接杆的长度是__________．（参考数据：，，）（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，如图，过点D作于点F．解求出，，再求出，最后利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，过点D作于点F． 在中，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 16. 如图，三条相互平行的直线和分别经过矩形的三个顶点交边于点E．若与之间的距离为4，与之间的距离为6，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点D作于N，过点B作于M，，，证明，就，结合，可得，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于N，过点B作于M， ∵，与之间的距离为4，与之间的距离为6， ∴与之间的距离为2， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，平行线的性质，三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】； ． 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、解二元一次方程组． 根据有理数的除法法则把除法转化为乘法，可得：原式，根据有理数的乘法法则和加法法则计算即可； 用加减消元法消去未知数，解得：，把代入方程得：，解方程求出的值即可． 【详解】解： ； 解：， 得：， 系数化为得：， 把代入方程得：， 解得：， 方程组的解是． 18. 如图，在中，，点在线段的延长线上． （1）尺规作图：求作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）,理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，涉及到外角的性质，等边对等角，平行线的判定，正确作角平分线是解题的关键． （1）根据题意作出的平分线即可； （2）根据得到，再由角平分线的定义和外角性质得到，从而证明． 【小问1详解】 解：（1）如图，即为所求， 【小问2详解】 解：，理由如下， ， ， ， 平分． ， ． 19. 某校为了解学生参加家务劳动的情况，对全校学生每周“参加家务劳动的时间”进行了随机抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图； （2）已知该校有900名学生，请估计该校学生中每周参加家务劳动的时间不足60分钟的学生有多少人？ （3）若D组中有2名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名同学恰好是一名女生和一名男生的概率． 【答案】（1）50人；见解析 （2）180人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键． 根据条形统计图中组有人，扇形统计图中组人数占总人数的，计算出抽查的学生的总人数为人，用总人数减去组、组、组的人数，求出组的人数，根据组的人数补全条形统计图； 用900乘以样本中每周参加家务劳动的时间不足60分钟的学生占比即可得到答案； 利用列表法把所有可能出现的情况表示出来，共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种，所以可知抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为． 【小问1详解】 解：本次抽样的学生人数为（人）， 组的人数为（人）， 补全条形统计图如下图所示； 【小问2详解】 解：（人）， 估计该校学生中每周参加家务劳动的时间不足60分钟的学生约人； 【小问3详解】 解：由题意得，有名女生，名男生， 列表如下： 男 男 女 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种， 抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为． 20. 为创建文明社区，营造干净整洁的街道社区环境，某社区准备购买甲、乙两种分类垃圾桶，已知购买甲种垃圾桶的单价比购买乙种少50元，用2500元购进乙种垃圾桶的数量是用4000元购进甲种垃圾桶的数量的一半． （1）求甲、乙两种垃圾桶的单价； （2）该社区拟计划订购这两种垃圾桶共30个，且总费用不超过7000元，则社区最多可以购买多少个乙种垃圾桶？ 【答案】（1）甲种垃圾桶的单价为200元，则乙种垃圾桶的单价为250元 （2）社区最多可以购买20个乙种垃圾桶 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设甲种垃圾桶的单价为元，则乙种垃圾桶的单价为元，根据题意列出分式方程，求出的值即可解答； （2）设购买个乙种垃圾桶，则购买个甲种垃圾桶，根据题意列出不等式，求出的最大值即可解答． 【小问1详解】 解：设甲种垃圾桶的单价为元，则乙种垃圾桶的单价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种垃圾桶的单价为200元，则乙种垃圾桶的单价为250元． 【小问2详解】 解：设购买个乙种垃圾桶，则购买个甲种垃圾桶， 由题意得，， 解得：， 所以的最大值为20， 答：社区最多可以购买20个乙种垃圾桶． 21. 如图，从外一点A作切线，切点分别为点B，C，作的直径，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质及切线长定理可得，，即可得，再由等腰三角形的性质可得，根据三角形外角的性质即可证得，由此即可证得结论； （2）连接，易证，根据相似三角形的性质，结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵、分别切于、， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【小问2详解】 解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定、圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，会综合运用平行线的判定、切线的性质、相似三角形的判定与性质是解答的关键． 22. 问题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a为实数），当a变化时，点P的位置也随之改变．点P的位置有何变化规律呢？ 【方法探究】 （1）甲同学将a取了部分特殊值来确定点P的坐标以便观察其变化规律．列表： 点的坐标 ①请直接写出点的坐标； ②描点：如图1，建立平面直角坐标系，现已描出了点，请描出点； ③请观察点的位置，猜想点P的位置随a的变化有何规律？ 【问题解决】 （2）同学们认为通过观察，实验，归纳得到的结论不一定正确，还需要进一步验证． 甲同学根据（1）中的猜想，用待定系数法，选择其中的点，求出y与x的解析式，再将点的坐标代入验证． 乙同学则设点P的坐标为，令得①，得②，消掉字母a，求出y与x的解析式． 问题解决：请分别用甲、乙同学的方法求出y与x的解析式，并简要比较这两种方法； 【拓展应用】 （3）如图2，点，分别为轴，轴正半轴上的一点，，求周长的最小值． 【答案】（1）①；②描点见解析；③点随的变化始终在直线上运动；（2）见解析；（3）的周长最小值为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的交点问题，轴对称的性质，理解题意是解题的关键． （1）把代入可求出点纵坐标，再把各点描出来，可得点的位置变化规律； （2）分别根据题待定系数法和消元法，求得解析式，即可求解； （3）作出点关于直线的对称点，进而根据轴对称的性质得出的周长最小值为，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ②描点如下： 猜想：点的横坐标为，纵坐标为，点在一条直线上运动， （2）设出y与x的解析式为，代入， ∴ 解得： 将，代入验证符合解析式， 在直线上； 乙同学设点P的坐标为， ， 得，即． 在直线上； （3）如图， 设直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，则，当时，，则 ∴，是等腰直角三角形， ∴ ∵，则 过点作，且 ∴关于的对称轴点为，则， 的周长最小值为． ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ 23. 【综合与探究】如图1，将绕点A按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的n倍，得到，我们将这种变换记为． （1）如图1，对作变换得到，请直接写出变换前后与的周长之比的值和射线与直线所夹的锐角的度数； （2）如图2，在中，，，对作变换得到，当点在同一直线上，且四边形为矩形时，求和n的值； （3）如图3，在中，，对作变换得到，使得点或点在所在直线上，且与的一腰作为对边构成平行四边形，求和n的值． 【答案】（1），60 （2），2 （3）或， 【解析】 【分析】（1）根据变换可得，，， ，再根据相似三角形的性质，即可求解； （2）先证明四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再由，可得，从而得到，再根据直角三角形的性质，即可求解； （3）先进行分类讨论，当在直线上时，结合四边形是平行四边形，因为，可得，从而得到，可证得，从而得到，进而得到，当在直线上时，同理进行求得，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，设直线与直线的交点为H，交于O． 根据题意得：，，， ， ∴， ∵，， ∴， 直线与直线所夹的锐角为； 【小问2详解】 解：∵，则， 同理：， ∴，，， ∵共线， ∴， 而，， ∴， ∴ ∵四边形是矩形， ∴． ∴． 在中，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：依题意，当在直线上时，如图所示： 则与的一腰作为对边构成平行四边形， ∵， ∴， 同理可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴ ， ∴（负根舍）， ∴， ∴． 当在直线上时，如图所示： 则与的一腰作为对边构成平行四边形， 即四边形是平行四边形， ∴， 则， ∵， ∴， 则， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， 则， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（负根舍）， ∴， ∴． 综上：或， 【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形与矩形的判定与性质，相似三角形的性质、一元二次方程、变换的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年5月中考适应性训练 数学 （全卷满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 在有理数3，，，0中，最小的数是（ ） A. 3 B. C. D. 0 2. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A.   B.   C.   D.   3. 下列式子是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图是“垃圾入桶”标志及垃圾桶平面示意图，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 《哪吒之魔童闹海》是一部集剧情、角色塑造、特效以及文化内核于一体的动画电影佳作，它不仅让观众在视听上享受到了极致的体验，更在心灵上获得了深刻的触动和启示．截至2025年3月15日，《哪吒之魔童闹海》全球累计票房（含预售）超150亿元，位列全球影史票房榜第五．将数据15000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 9.35 9.35 9.34 9.34 方差 6.6 6.9 69 67 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于正比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 点在函数的图象上 B. y随x的增大而减小 C. 图象经过原点 D. 图象经过第二、四象限 9. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，四边形内接于，若，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 4 12. 在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．借问贤能如何算，多少儿童多少杏？问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童？设有x个牧童，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：___________． 14. 请你写出一个必然事件____． 15. 在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄可绕着转轴B旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，此时连接杆的长度是__________．（参考数据：，，）（结果保留根号） 16. 如图，三条相互平行的直线和分别经过矩形的三个顶点交边于点E．若与之间的距离为4，与之间的距离为6，则的长为___________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程组：． 18. 如图，在中，，点在线段的延长线上． （1）尺规作图：求作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）请判断与的位置关系，并说明理由． 19. 某校为了解学生参加家务劳动的情况，对全校学生每周“参加家务劳动的时间”进行了随机抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出本次抽样学生人数并补全条形统计图； （2）已知该校有900名学生，请估计该校学生中每周参加家务劳动的时间不足60分钟的学生有多少人？ （3）若D组中有2名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名同学恰好是一名女生和一名男生的概率． 20. 为创建文明社区，营造干净整洁的街道社区环境，某社区准备购买甲、乙两种分类垃圾桶，已知购买甲种垃圾桶的单价比购买乙种少50元，用2500元购进乙种垃圾桶的数量是用4000元购进甲种垃圾桶的数量的一半． （1）求甲、乙两种垃圾桶的单价； （2）该社区拟计划订购这两种垃圾桶共30个，且总费用不超过7000元，则社区最多可以购买多少个乙种垃圾桶？ 21. 如图，从外一点A作的切线，切点分别为点B，C，作的直径，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 问题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a为实数），当a变化时，点P的位置也随之改变．点P的位置有何变化规律呢？ 【方法探究】 （1）甲同学将a取了部分特殊值来确定点P的坐标以便观察其变化规律．列表： 点的坐标 ①请直接写出点的坐标； ②描点：如图1，建立平面直角坐标系，现已描出了点，请描出点； ③请观察点的位置，猜想点P的位置随a的变化有何规律？ 【问题解决】 （2）同学们认为通过观察，实验，归纳得到的结论不一定正确，还需要进一步验证． 甲同学根据（1）中的猜想，用待定系数法，选择其中的点，求出y与x的解析式，再将点的坐标代入验证． 乙同学则设点P坐标为，令得①，得②，消掉字母a，求出y与x的解析式． 问题解决：请分别用甲、乙同学的方法求出y与x的解析式，并简要比较这两种方法； 【拓展应用】 （3）如图2，点，分别为轴，轴正半轴上的一点，，求周长的最小值． 23. 【综合与探究】如图1，将绕点A按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的n倍，得到，我们将这种变换记为． （1）如图1，对作变换得到，请直接写出变换前后与的周长之比的值和射线与直线所夹的锐角的度数； （2）如图2，在中，，，对作变换得到，当点在同一直线上，且四边形为矩形时，求和n的值； （3）如图3，在中，，对作变换得到，使得点或点在所在直线上，且与的一腰作为对边构成平行四边形，求和n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$