专题05 一次函数的综合应用（12大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题05 一次函数的综合应用 ( 题型概览 01 一次函数的性质和图像 02 几何动点问题的函数图像 03 面积的存在性问题 04 全等三角形的存在性问题 05 等腰三角形的存在性问题 06 等腰直角三角形的存在性问题 07 45°角的存在性问题 08 平行四边形的存在性问题 09 菱形的存在性问题 10 矩形的存在性问题 11 周长最值问题 12 一次函数综合 ) ( 一次函数的性质和图像 ) 1．（2024春•永城市期末）学习函数时，王老师带领同学们探索了函数y＝|x+1|的图象和性质，部分过程如下：自变量x的取值范围是全体实数，y与x的几组对应值如下表所示： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 3 2 1 0 1 2 3 4 5 … 根据表格中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分． （1）请补全该函数的图象； （2）观察该函数图象，写出该函数的一条性质：　函数图象的对称轴是直线x＝﹣1（答案不唯一）　 ； （3）已知函数y＝|x+n|（其中n为常量），当自变量的取值范围是﹣2≤x≤2时，该函数的最大值为n+3，请求出满足条件的n的值． 【分析】（1）根据表格数据，画出函数图象即可； （2）根据函数图象，写出一条性质即可； （3）在自变量﹣2≤x≤2范围内，分情况讨论最值情况得到结果即可． 【解答】解：（1）补全函数图象如下： （2）函数图象的对称轴是直线x＝﹣1（答案不唯一）； 故答案为：函数图象的对称轴是直线x＝﹣1（答案不唯一）； （3）若﹣n≤0，即n≥0，当x＝2时，函数取最大值， ∴|2+n|＝n+3， 即2+n＝n+3（舍去）． 若﹣n＞0，即n＜0，当x＝﹣2时，函数取最大值， ∴|﹣2+n|＝n+3， 即2﹣n＝n+3， 解得n，符合题意． 综上，满足条件的n的值为． 2．（2024春•安阳期末）探究函数y＝|x+1|的图象与性质．请将探究过程补充完整： （1）函数y＝|x+1|的自变量x的取值范围是 　x为全体实数　 ； （2）下表是x与y的几组对应值： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 3 2 m 0 1 2 n 4 … m＝　1　 ，n＝　3　 ； （3）在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （4）函数y＝|x﹣2|+1的图象可以看作是由函数y＝|x+1|的图象向 　右　 （填“左”或“右”）平移 　3　 个单位长度，再向 　上　 （填“上”或“下”）平移个 　1　 单位长度而得到； （5）以下关于函数y＝|x+1|的结论，正确的是 　①③　 .（只填序号） ①函数有最小值为0； ②当x＞﹣1时，y随x的增大而减小； ③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称． 【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围； （2）根据函数解析式可以得到m，n的值； （3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象； （4）根据平移的性质解答即可； （5）根据函数图象可以判断该函数的性质． 【解答】解：（1）在函数y＝|x+1|中，自变量x的取值范围是：x为全体实数， 故答案为：x为全体实数； （2）当x＝﹣2时，m＝|﹣2+1|＝1， 当x＝2时，n＝|2+1|＝3， 故答案为：1；3； （3）画出函数的图象如图： ； （4）函数y＝|x﹣2|+1的图象可以看作是由函数y＝|x+1|的图象向右平移3个单位长度，再向上平移个1单位长度而得到； 故答案为：右，3；上，1； （5）由函数图象可知， ①函数有最小值为0，正确； ②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故②错误； ③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称，正确； 故答案为：①③． 3．（2024春•辉县市期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣2|的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝　3　 ； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表格中各对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是 　（2，0）　 ； ②当x＜2时，y随x的增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而 　增大　 ； （3）结合图象，关于x的方程|x﹣2|＝4的解是 　x＝﹣2或x＝6　 ． 【分析】（1）根据函数y＝|x﹣2|，计算出当x＝﹣1对应的函数值，从而可以求得m的值； （2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象，①②根据函数图象即可求得； （3）观察函数图象，可以得到方程|x﹣2|＝4的解． 【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝|x﹣2|＝3， ∴m＝3， 故答案为：3； （2）画出该函数图象的另一部分如图； ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是（2，0）； ②当x＜2时，y随x的增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而增大． 故答案为：（2，0），增大； （3）观察图象可知，关于x的方程|x﹣2|＝4的解是x＝﹣2或x＝6． 故答案为：x＝﹣2或x＝6． 4．（2024春•开封期末）在函数的学习过程中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．以下是我们探究函数的性质及其应用的部分过程．列表： x … ﹣2 ﹣1 1 2 … y … 3 ﹣1 3 5 … 描点：在平面直角坐标系中，描出相应的点，如图所示． （1）观察所描出的点的分布，用平滑的曲线连结，作出函数图象． （2）根据函数图象解答下列问题： ①该函数自变量x的取值范围是 　x≠0　 ． ②方程有 　1　 个实数根． （3）应用：现要建造一个体积为1立方米的长方体无盖蓄水池，其底面为一个正方形，已知侧面造价为每平方米0.5万元，底面造价为每平方米1万元，配套设施1万元．设底面正方形边长为x m，总造价为w元，请写出w关于x的函数关系式，并求出总造价不超过5万元时x的取值范围．（保留2位小数） 【分析】（1）根据描点连线的方法画出函数图象； （2）①根据解析式可得x≠0； ②根据函数图象，即可求解． （3）根据题意可得，当w＝5时，即，观察函数图象，即可求解． 【解答】解：（1）用平滑的曲线连结，作出函数图象如图所示， （2）①根据解析式，可得x≠0； 故答案为：x≠0． ②方程的解，即与y＝﹣2的交点的横坐标 根据函数图象可得与y＝﹣2只有1个交点， ∴方程有1个实数根； 故答案为：1． （3）依题意，w＝1×x2+0.5×4x+1＝x21， 当w＝5时，方程，即， 根据函数图象可得，方程的正的近似解为x1≈0.55，x2≈1.65， ∴当w≤5时，x的取值范围为0.55≤x≤1.65（答案合理即可）． 5．（2024春•巩义市期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，∠ADC＝150°，动点E从B点出发，沿B→C→D→A运动至A点停止，设点E运动的路程为x，△ABE的面积为y． （1）直接写出y与x之间的函数解析式，注明自变量x的取值范围，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数图象； （2）请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； （3）请根据函数的图象，直接写出当y≥3时x的取值范围． 【分析】（1）分情况讨论，由三角形的面积公式可求解； （2）依据图象解答即可； （3）依据图象得出y≥3时x的取值范围即可． 【解答】解：（1）如图1，作DM⊥AB于点M，作EN⊥AB，交AB的延长线于点N， 平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，∠ADC＝150°， ∴∠DAM＝∠EBN＝30°， ∴ENBM，DMAD， 当点E在AB上时，yAB•EN4x＝x（0＜x≤5）； 当点E在CD上时，yAB×DM45（5＜x≤9）； 当点E在AD上时，yAB•E′N′4（5+5+4﹣x）＝﹣x+14（9＜x＜14）， 综上，y； 函数图象如图所示： （2）①该函数图象是轴对称图形，其对称轴是直线x＝7； ②当0＜x＜5时，y随x的增大而增大；当5＜x＜9时，y值不变； 当9＜x＜14时，y随x的增大而减小； ③该函数有最大值，当5≤x≤9时，y有最大值为5；（任选一个即可）； （3）如图3， 由图象可知，当y≥3时x的取值范围为3≤x≤11． ( 几何 动点问题的函数图象 ) 6．（2024秋•长垣市期末）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　） A．72 B．78 C．84 D．90 【分析】根据图像可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC、AB、AC的长度以及边AC边上的高，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【解答】解：根据图像可知点P在BC上运动时，此时BC不断增大， 由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为15，即BC＝15， 由于M是曲线部分的最低点，此时BP最小， 如图，即BP′⊥AC，BP′＝12， ∴由勾股定理可知：， 由于P最终到达点A，则AB＝13， ∴， ∴AC＝AP′+P′C＝14， ∴△ABC的面积为：． 故选：C． 7．（2024春•鹤山区期末）如图1，在△ABC中，∠ABC＝60°．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y随x变化的关系图象，其中M为曲线DE的最低点，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】作AD⊥BC，当动点P运动到点D时，线段AP的长度最短，此时，当动点P运动到点C时，运动结束，此时，根据直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【解答】解：作AD⊥BC，垂足为D， 当动点P运动到点D时，线段AP的长度最短，此时点P运动的路程为，即， 当动点P运动到点C时，运动结束，线段AP的长度就是AC的长度，此时， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴AB＝2BD， ∴， ∴，， ∴， 在Rt△ABD中，， ∴， ∴， ∴△ABC的面积为， 故选：C． 8．（2024春•民权县期末）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（　　） A． B． C．17 D．5 【分析】根据图象可知t＝0时，点P与点A重合，得到AB＝15，进而求出点P从点A运动到点所需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC即可． 【解答】解：由图象可知：t＝0时，点P与点A重合， ∴AB＝15， ∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2＝7.5（s）； ∴点P从点B运动到点C的时间为11.5﹣7.5＝4（s）， ∴BC＝2×4＝8； 在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17； 故选C． 9．（2024春•西平县期末）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发，沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，△ABC的高，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则点F的坐标为（　　） A． B． C． D．（12，4） 【分析】先求出AB和BC，作AQ⊥BC，利用等面积法求出AQ，再用勾股定理求出BQ，即可求出点F坐标． 【解答】解：当点P运动到点B处时，x＝8，即AB＝8， 当点P运动到点C处时，x＝15，即BC＝7， 作AQ⊥BC，如图， 当点P运动到点Q处时，AP最短， 由等面积得AB•CG＝BC•AQ， ∴AQ＝4， ∴点F纵坐标为4， 在Rt△ABQ中，AB2＝AQ2+BQ2， ∴BQ＝4， ∴AB+BQ＝12， ∴点F的横坐标为12， ∴点F坐标（12，4）． 故选：D． 10．（2024春•社旗县期末）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为 　（，）　 ． 【分析】连接CP，利用勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，利用矩形的判定定理得到四边形MPNC为矩形，利用矩形的对角线相等得到MN＝CP，再利用垂线段最短的性质得到当CP⊥AB时，MN取得最小值，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【解答】解：连接CP，如图， ∵AB＝10，BC＝6，AC＝8， ∴BC2+AC2＝36+64＝100，AB2＝100， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°． ∵PM⊥AC，PN⊥BC， ∴四边形MPNC为矩形， ∴MN＝CP． ∵点P为线段AB上的动点，由于垂线段最短， ∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，即y＝MN取得最小值． 过点C作CP⊥AB于点P， ∵∠ACB＝90°，CP⊥AB， ∴△ACP∽△ABC， ∴， ∴， ∴CP，AP． ∴当t时，y取得最小值为． ∴函数图象最低点E的坐标为（，）． 故答案为：（，）． 11．（2024春•巩义市期末）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度m与直线在x轴上平移的距离t的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD的面积为 　5　 ． 【分析】根据图象可以得到当移动的距离是1时，直线经过点A；当移动距离是4时，直线经过B，当移动距离是6时经过D，则AD＝6﹣1＝5，当直线经过D点，设直线交BC于N，则DN＝2，作DM⊥BC于点M，利用勾股定理可求得DM，即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【解答】解：根据图象可以得到当移动的距离是1时，直线经过点A，当移动距离是4时，直线经过B，当移动距离是6时经过D，则AD＝6﹣1＝5， 设直线经过点D时，交BC于N，则DN＝2，作DM⊥BC于点M，如图所示： ∵移动直线为y＝x， ∴∠NDM＝45°， ∵∠DMN＝90°， ∴∠DNM＝90°﹣45°＝45°， ∴∠NDM＝∠DNM， ∴DM＝NM， ∴2DM2＝DN2＝4， ∴或（舍去）， ∴平行四边形ABCD的面积为：， 故答案为：． 12．（2024春•襄城县期末）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A．BD＝10 B．AD＝12 C．平行四边形ABCD的周长为44 D．当x＝15时，△APD的面积为20 【分析】分别分析当点P位于点B处和点D处的x和y的值的实际含义，即可求出AB、BD、AD，判断出A、B、C的正确性，作BH⊥AD，求出BH，再求出三角形ABD的面积，即可求出当x＝15时的y值． 【解答】解：当点P运动到点B处时，x＝10，即AB＝10，故A正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，y＝12，即AD＝12，故B正确，不符合题意； ∴平行四边形ABCD的周长为2（10+12）＝44，故C正确，不符合题意； 当x＝15时，点P在BD中点处，如图， 此时y＝S△ADP＝S△ABD， 作BH⊥AD， ∵AB＝BD＝10， ∴AH＝DH＝6， ∴BH8， ∴S△ABD12×8＝48， ∴y48＝24，故D错误，符合题意． 故选：D． 13．（2024春•红旗区校级期末）如图1，动点P、Q在平行四边形ABCD的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线O﹣A﹣D﹣O，动点Q的运动轨迹为折线O﹣C﹣B﹣O，两动点同时开始运动，且运动速度均为1cm/s．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为y cm，x与y的函数关系式如图2所示．当点P在平行四边形ABCD的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为秒，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点O作EF⊥AD于E，交BC于F，当点P运动到点E处时，点Q运动到点F处，此时EF最短，即m＝EF，分别分析出当点P运动到点A处时，点Q运动到点C处和当点P运动到点E处时，点Q运动到点F处时的相关线段的长，即可根据勾股定理求出OE，解答此题． 【解答】解：过点O作EF⊥AD于E，交BC于F， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠OAD＝∠OCB， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， ∴当点P运动到点E处时，点Q运动到点F处，此时EF最短，即m＝EF， 当点P运动到点A处时，点Q运动到点C处，此时y＝2， ∴OA＝OC， 当点P运动到点E处时，点Q运动到点F处，x， ∴AE＝CF， ∴OE， ∴EF＝2OE，即m． 故选：B． 14．（2024春•镇平县期末）如图（1），在▱ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，动点F从点A出发，沿直线运动至点E，再从点E沿直线运动至点B．设点F运动的路程为x，△FBC的面积为y，图（2）是点F运动时y随x变化的函数关系图象，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C． D．5 【分析】由由题图（2）知，当0≤x≤2时，y恒定不变，则点F在直线AD上运动，由函数图象上x＝2，x＝4时的两个节点，可知点F运动的两段路程相等，即AE＝EB＝2，然后由三角形的面积公式求出BC． 【解答】解：由题图（2）知，当0≤x≤2时，y恒定不变，则点F在直线AD上运动， 由函数图象上x＝2，x＝4时的两个节点，可知点F运动的两段路程相等，即AE＝EB＝2， ∴当0≤x≤2时，点F是沿射线AD运动的， 又∵∠A＝60°， ∴AEB是等边三角形， ∴点A到BC的距离为2， 当点F在AD上运动时，y＝S△FBCBC， ∴BC＝3． 故选：A． 15．（2024春•新乡期末）如图1，▱ABCD中，AD＝6，动点E从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿C﹣D﹣A﹣B匀速运动至B点停止，设运动的时间为t（单位：秒），△BCE的面积为S，且S与t之间的关系如图2所示，则下列说法正确的是（　　） A．CD边长为2 B．平行四边形ABCD的周长为16 C．▱ABCD的面积为18 D．m的值为8 【分析】当点E运动到点D处时，t＝2，能求出CD＝4，判断出A错误，当点E运动到点A处时，t＝5，CD+AD＝10，▱ABCD周长为20，判断出B错误，当点E运动到点D处时，S＝9，即△BCD面积为9，▱ABCD的面积为18，判断出C正确，点E运动到点B处的时间m＝5+2＝7，判断出D错误，即可解答此题． 【解答】解：当点E运动到点D处时，t＝2， ∵点E的运动馆速度为每秒2个单位长度， ∴CD＝4，故A错误； 当点E运动到点A处时，t＝5， ∴CD+AD＝10， ∴▱ABCD周长为20，故B错误； 当点E运动到点D处时，S＝9，即△BCD面积为9， ∴▱ABCD的面积为18，故C正确； ∵AB＝CD， ∴点E在AB上的速度为2， ∴点E运动到点B处的时间m＝5+2＝7，故D错误． 故选：C． 16．（2024春•鹤壁期末）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图甲所示的边框按B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣A的路径方向移动，△ABP的面积S与时间t之间的关系图象如图乙所示，若a＝24，则b的值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【分析】利用点P运动到点C、点D、点E处时的时间，求出BC、DE等线段，求出点P的总路程，再除以速度即可． 【解答】解：当点P运动到点C处时，t＝4s， ∴BC＝2×4＝8（cm）， ∵a＝24AB•BC， ∴AB＝6cm， 当点P运动到点D处时，t＝6s， ∴CD＝2×（6﹣4）＝4（cm）， 当点P运动到点E处时，t＝9s， ∴DE＝2×（9﹣6）＝6（cm）， ∴AF＝BC+DE＝14（cm）， ∵CD+EF＝AB＝6（cm）， ∴点P的运动总路程为2×14+6＝34（cm）， ∴b＝34÷2＝17（s）， 故选：C． 17．（2024春•辉县市期末）如图①，在矩形MMPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（　　） A．当x＝6时，y＝10 B．当y＝5时，x＝2 C．y的最大值是10 D．矩形MNPQ的周长是18 【分析】根据图②可知：PN＝4，PQ＝5，然后根据三角形的周长和面积公式求解即可． 【解答】解：由图象可知，四边形MNPQ的边长，PQ＝MN＝5，QM＝NP＝4， A、当x＝6时，点R在线段PQ上，，此选项正确，不符合题意； B、当y＝5时，点R在线段PN或QM 上，x＝2或x＝11，此选项答案不全，符合题意； C、y的最大值是10，此选项正确，不符合题意； D、矩形MNPQ的周长是5+4+5+4＝18，此选项正确，不符合题意； 故选：B． 18．（2024春•邓州市期末）如图1．在矩形ABCD中，点P从点A出发，匀速沿AB→BD向点D运动，连接DP，设点P的运动距离为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为AB中点时，DP的长为（　　） A．5 B．8 C． D． 【分析】根据图2中点（0，6）的实际意义可得：当AP＝0时，AD＝6，再根据图2中点（a，a+2）的实际意义可得：AB＝a，BD＝a+2，然后在Rt△ADB中，利用勾股定理可求出AB＝8，最后在Rt△DAP中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：由图2可得： 当x＝0时，y＝6， ∴当点P的运动距离为0时，DP的长为6， ∴当AP＝0时，AD＝DP＝6， 由图2可得： 当x＝a时，y最大＝a+2， ∴当点P的运动距离为a时，DP的值最大，最大为6， ∵当点P运动到和点B重合时，DP的值最大， ∴AB＝a，BD＝a+2， 在Rt△ADB中，AD2+AB2＝DB2， ∴36+a2＝（a+2）2， ∴a＝8， ∴AB＝8， ∵点P为AB的中点， ∴APAB＝4， ∴DP2， 故选：D． 19．（2024春•浉河区期末）如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的纵坐标可能是（　　） A． B．2 C．3 D． 【分析】如图，连接PD．由B、D关于AC对称，推出PB＝PD，推出PB+PE＝PD+PE，推出当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB＝9，推出AE＝EB＝3，AD＝AB＝6，分别求出PB+PE的最小值，PC的长即可解决问题． 【解答】解：如图，连接PD， ∵B、D关于AC对称， ∴PB＝PD， ∴PB+PE＝PD+PE， ∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小， 观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB＝9， ∴AE＝EB＝3，AD＝AB＝6， 在Rt△AED中，DE3， ∴PB+PE的最小值为3， ∴点Q的纵坐标为3， ∵AE∥CD， ∴， ∵AC＝6， ∴CP＝64， ∴点Q的横坐标为4， ∴点Q的坐标为（4，3）． 故选：D． 20．（2024春•老城区期末）如图1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，平行于BD的直线l沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，平移过程中，直线l被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移时间为l（秒），m与t的函数图象如图2，依据条件信息，求出图2中a的值为（　　） A． B． C．6 D． 【分析】结合图2可得，当直线l经过点A时，平移的时间为2秒，经过点C时，平移的时间为14秒，那么经过BD时，平移的时间为8秒，所截得的线段BD的长度为a．进而得到从点A到点D运动的时间为6秒，即可得到AD的长度，根据四边形ABCD是正方形进行一定的计算可得BD的长度，也就是a的值． 【解答】解：由题意得：直线l经过点A时，平移的时间为2秒；经过点C时，平移的时间为14秒， ∵四边形ABCD是正方形，关于BD所在的直线对称， ∴直线l经过BD时，平移的时间为8秒，所截得的线段BD的长度为a． ∴直线l从点A到点D运动的时间为8﹣2＝6秒． ∵直线l的速度是1个单位长度/秒， ∴AD＝6． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝6，∠DAB＝90°． ∴BD＝6． ∴a＝6． 故选：A． 21．（2024春•商水县期末）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止．已知点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于x的函数图象如图2所示，则矩形对角线AC的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【分析】根据△ABP的面积只与点P的位置有关，结合图2求出长方形的长和宽，再由勾股定理计算即可． 【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止， 当点P在点B，C之间运动时，△ABP的面积随时间x的增大而增大， 由图2知，当x＝3时，点P到达点C处， ∴BC＝3×2＝6（cm）； 当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变， 由图2可知，点P从点C运动到点D所用时间为7﹣3＝4（s）， ∴CD＝2×4＝8（cm）， ∴AC（cm）， 故选：D． 22．（2024春•长垣市期末）如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据图象找出对应信息，再根据三角形的美好公式求解． 【解答】解：由图象得：AD＝a，BD＝10，△ABD的面积为3a， 在矩形ABCD中，∠A＝90°，BC＝AD＝a， 则AB， ∴AD•AB＝3a， ∴•a＝3a， 解得：a＝8或a＝﹣8（舍去）， 故选：C． 23．（2024春•临颍县期末）如图1，在菱形ABCD中，∠BCD＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，最低点E的坐标为（4，3），则图象右端点F的坐标为 　（6，3）　 ． 【分析】由函数图象可得点E表示图1中点N与点N′重合时，即可求CM的长，由锐角三角函数可求解AB，BC的长，点F的横纵坐标分别为点N与点B重合时DN的长和线段MN与AN长度的和． 【解答】解：如图，连接CN，MC， ∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°， ∴AB＝BC，AC垂直平分BD，∠ABC＝60°，∠ABD＝∠DBC＝30°， ∴AN＝CN，△ABC是等边三角形， ∴AN+MN＝CN+MN， ∴当点N在线段CM上时，AN+MN有最小值为CM的长， ∵点E的坐标为（4，3）， ∴CM＝3， ∵点M是AB的中点， ∴CM⊥AB， ∴AB＝BC2， ∴BD＝2CM＝6， 当点N到达点B时，x＝DN＝DB＝6， y＝MN+AN＝MB+AB23， ∴点F的坐标为（6，3）． 故答案为：（6，3）． 24．（2024春•镇平县期末）小强在学习菱形时遇到了这样一个问题：如图①，菱形ABCD中，AC＝8cm，BD＝6cm，点P是AC上的动点，点E是AB的中点，连接PE、PB，当△PBE是等腰三角形时，求线段AP的长度．小强分析尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探究过程补充完整：根据点P在AC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AP，PE，PB的长度，得到下表对应值． AP/cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 PE/cm 2.5 1.8 1.5 1.8 2.5 3.4 4.3 5.2 6.2 PB/cm 5.0 4.2 3.6 3.2 m 3.2 3.6 4.2 5.0 （1）m的值是 　3　 ． （2）将线段AP的长度作为自变量x，PE，PB的长度都是关于x的函数，分别记为y1，y2，并在坐标系中画出了y1的函数图象，如图②所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出y2的函数图象． （3）观察图象，可知函数y1有最小值，请你利用学习过的几何知识，直接写出y1的最小值．（写出准确值） （4）在点P从A移动到C的过程中，当EP＝EB时，直接写出AP的长度． 【分析】（1）m的值是AP＝4cm时对应的PB的值，此时点P在点O处，根据菱形的性质可得OB即PB的值为3cm，所以m＝3； （2）分别描出AP和PB对应的点，连线可得y2的函数图象； （3）点E是固定的点，那么作EP⊥CA交AC于点P，此时PE的值最小，易得PE为△AOB的中位线，那么可得PE即y1的最小值； （4）根据勾股定理可得AB的长度为5cm，那么BE的长度为2.5cm，所以EP＝2.5cm，判断出此时点P在点O处或由所给表格或者所给的函数图象都可以判断出此时AP＝4cm． 【解答】解：（1） ∵四边形ABCD是菱形，AB＝8cm，BD＝6cm， ∴AO＝4cm，BO＝3cm． 当AP＝4cm时，点P在点O处， ∴BP＝BO＝3cm． ∴m＝3cm． 故答案为：3； （2）描点，连线，得到y2的函数图象即可； （3）作EP⊥AC于点F，此时EP最小． ∴∠APE＝90°． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD． ∴∠AOB＝90°． ∴∠AOB＝∠APE． ∴PE∥OB． ∵点E是AB的中点， ∴点P是OA的中点． ∴PE是△AOB的中位线． ∴PEOB＝1.5cm． ∴y1的最小值为1.5； （4）∵AO＝4cm，BO＝3cm，∠AOB＝90°， ∴AB＝5cm． ∵点E是AB的中点， ∴BE＝2.5cm． ∵EP＝EB， ∴EP＝2.5cm． 此时点P在点O处． ∴AP＝4cm． 或由题中所给表格（函数图象）可得：AP＝4cm． 答：AP的长度为4cm． ( 面积的存在性问题 ) 25．（2024春•滑县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA，OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长； （2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4，在Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D的坐标； （3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）∵直线与x轴、y轴分别交于点A、点B， 令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）， ∴OB＝4， 令y＝0，则， 解得x＝3， ∴A（3，0）， ∴OA＝3， 在Rt△OAB中，； （2）∵OC＝OA+AC＝OA+AB＝3+5＝8， ∴C（8，0）， 设OD＝x，则CD＝DB＝x+4， 在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2， 即（x+4）2＝x2+82， 解得x＝6， ∴D（0，﹣6）； （3）∵， ∴， ∵点P在y轴上，S△PAB＝12， ∴BP•OA＝12， 即， 解得BP＝8， ∵P点B点上方或B点下方， ∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）． 26．（2024春•洛阳期末）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点． （1）请直接写出直线l的表达式； （2）求出△ABC的面积； （3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值． 【分析】（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，即可求解； （2）证明△ABC为等腰直角三角形，则S△ABCAB2； （3）分点P在第一象限、点P在第四象限两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）设直线AB所在的表达式为：y＝kx+b，则，解得：， 故直线l的表达式为：； （2）在Rt△ABC中， 由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13 ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴S△ABCAB2； （3）连接BP，PO，PA，则： ①若点P在第一象限时，如图1： ∵S△ABO＝3，S△APOa，S△BOP＝1， ∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO， 即，解得； ②若点P在第四象限时，如图2： ∵S△ABO＝3，S△APOa，S△BOP＝1， ∴S△ABP＝S△AOB+S△APO﹣S△BOP， 即，解得a＝﹣3； 故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为或﹣3． 备注：②还看参考一下方法： 过点P作PD∥y轴交AB于点D，则点D（1，）， 则△PAB的面积DP×（xA﹣xB）3×|a|，解得a或﹣3． ( 全等三角形的存在性问题 ) 27．（2024春•信阳期末）如图，直线l：y＝kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，，OM⊥AB，垂足为点M，点P为直线l上的一个动点（不与A、B重合）． （1）求直线y＝kx+3的解析式； （2）当点P运动到什么位置时△BOP的面积是6； （3）在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）通过求出点A坐标，用待定系数法即求出解析式 （2）先画图，确定△BOP面积可以BO为底，P到y轴距离为高求得，作出辅助线帮助思考．求出P到y轴距离后，要注意分类讨论． （3）题目问法说明两三角形三边对应关系不确定，故需要分类讨论．观察△OMP，得到∠OMP＝90°即OP为斜边．所以△OPQ也是直角三角形且OP为对应斜边，因此只能∠OQP＝90°，两直角边对应关系不确定，分两类△OMP≌△PQO与△OMP≌△OQP．具体每类再分析时，发现长度求出后对应坐标值可正可负，结合图象分析再分类讨论． 【解答】解：（1）∵直线l：y＝kx+3与y轴交于点B ∴B（0，3），OB＝3 ∵， ∴OA＝4，即A（4，0） ∵点A在直线l上， ∴4k+3＝0 解得：k ∴直线l的解析式为yx+3 （2）过P作PC⊥y轴于C，如图1， ∴S△BOPOB•PC＝6 ∴PC＝4 ∴点P的横坐标为4或﹣4 ∵点P为直线l上的一个动点且不与A、B重合 ∴横坐标不为4，纵坐标为：（﹣4）+3＝6 ∴点P坐标为（﹣4，6）时，△BOP的面积是6； （3）存在满足条件的P、Q ∵OM⊥AB，AB ∴∠OMP＝90° OM ∴以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等时，斜边OP为对应边，∠OQP＝90°， ①△OMP≌△PQO ∴PQ＝OM，即P点横坐标为或，如图2和图3， （）+3，3 ∴点P（，）或（， ②△OMP≌△OQP ∴OQ＝OM，即点P、点Q纵坐标为或，如图4和图5， x+3 解得：x x+3 解得：x ∴点P（，）或（，） 综上所述，符合条件的点P的坐标为（，），（，），（，），（，） ( 等腰三角形的存在性问题 ) 28．（2024春•红旗区校级期末）如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4）一次函数图象经过点B（﹣4，﹣2），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D． （1）求一次函数解析式； （2）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）如果在y轴上存在一点Q，使△OAQ是以OA为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由S△ODPOD×|n|2|n|＝3，即可求解； （3）由QO＝QA得：y2＝22+（y﹣4）2，即可求解． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4）， ∴可有4＝2m，解得m＝2， ∴A点的坐标（2，4）； ∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（2，4）和点B（﹣4，﹣2）， 则有，解得：， ∴一次函数解析式为y＝x+2； （2）存在，理由： 设点P（m，n）， 对于一次函数y＝x+2，令y＝0， 则有0＝x+2，解得x＝﹣2， ∴点D（﹣2，0），故OD＝0﹣（﹣2）＝2， 根据题意可知：S△ODPOD×|n|2|n|＝3， 解得n＝±3， 当n＝3时，m＝1， 当n＝﹣3时，m＝﹣5， ∴P点的坐标（1，3）或（﹣5，﹣3）； （3）设点Q（0，y）， 则QO＝QA， 即y2＝22+（y﹣4）2， 解得：y＝2.5， 即点Q的坐标为：（0，2.5）． ( 等腰直角三角形的存在性问题 ) 29．（2024春•鹿邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y1＝kx+b经过A（a，0），B（0，b）两点，且a、b满足（a﹣4）20，过点B作BP∥x轴，交直线l2：y2＝x于点P，连接PA． （1）求直线AB的函数表达式； （2）在直线l2上是否存在一点Q，使得S△BPQ＝S△BPA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点C（n，0）是x轴上的一个动点，点D是y轴上的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线l1、l2于点M、N，若△MND是等腰直角三角形，请直接写出符合条件的n的值． 【分析】（1）（a﹣4）20，则a＝4，b＝2，点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），即可求解； （2）S△APM＝2，S△BPQ＝S△BPA，则点Q的纵坐标为：0或4，即可求解； （3）分∠MDN＝90°、∠DNM＝90°（或∠DMN＝90°）两种情况，当∠MDN＝90°时，则xMMN，即：|n+2|＝n；当∠DNM＝90°（或∠DMN＝90°）时，则xM＝MN，即|n+2|＝n，分别求解即可． 【解答】解：（1）（a﹣4）20，则a＝4，b＝2， 点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2）， 把点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得： yx+2； （2）存在，理由： 点B（0，2），点P（2，2），则BP＝2， S△APB＝2， S△BPQ＝S△BPA， 则点Q的纵坐标为：0或4， 故点Q（0，0）或（4，4）； （3）MN＝|n+2﹣n|＝|n+2|，xM＝xN＝n， ①当∠MDN＝90°时， 则xMMN，即：|n+2|＝n， 解得：n或﹣4； ②当∠DNM＝90°（或∠DMN＝90°）时， 则xM＝MN，即|n+2|＝n， 解得：n或4； 符合条件的n的值为：4或或或﹣4． 30．（2024春•西华县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：分别与x轴、y轴交于点B，C，与直线l2：交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若D是线段OA上的点，且D点的横坐标为4，求出直线CD的函数解析式． （3）在第（2）小题的条件下，射线CD上是否存在点P，使以O，C，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）联立两直线解析式求出A的坐标即可； （2）利用待定系数法求出CD解析式即可； （3）当PO为斜边时，则PO2＝2OC2且PC＝OC，即可求解；当PC或CO为斜边时，同理可解． 【解答】解：（1）联立直线l1、l2的表达式得：x+6x， 解得：x＝6， ∴A（6，3）； （2）∵直线l1：yx+6分别与x轴、y轴交于点B、C， 则点B、C的坐标分别为（12，0）、（0，6）， 当x＝4时，yx＝2， ∴D（4，2）， 由点C、D的坐标得，直线CD解析式为y＝﹣x+6； （3）存在点P，使以O，C，P为顶点的三角形是等腰直角三角形， 设点P（m，﹣m+6）（m＞0）， 由点P、C、O的坐标得：PO2＝m2+（m﹣6）2，PC2＝2m2，OC2＝36， 当PO为斜边时， 则PO2＝2OC2且PC＝OC，即m2+（m﹣6）2＝72且2m2＝36， 此方程无解； 当PC或CO为斜边时， 同理可得：2m2＝72且m2+（m﹣6）2＝2m2或m2+（m﹣6）2，PC2＝2m2且2×2m2＝36， 解得：m＝3（不合题意的值已舍去）， 即点P（3，3）； 综上，点P（3，3）． ( 45°角的存在性问题 ) 31．（2024春•商水县期末）综合与实践 如图，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段AO上，将△ABC沿BC所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知OA＝4，OB＝3． （1）求直线AB的解析式． （2）求S△ABC：S△OCD的值． （3）直线CD上是否存在点P使得∠PBC＝45°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据待定系数法求出直线AB的解析式； （2）设OC＝a，根据勾股定理OC2+OD2＝CD2可以求出OC长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【解答】解：（1）由题意得A（﹣4，0），B（0，﹣3）， 将A，B两点点坐标代入y＝kx+b得， ， 解得， ∴直线AB的解析式为：． （2）设OC＝a，则AC＝4﹣a， 由折叠性质知：CD＝CA＝4﹣a． 在Rt△OCD中：OC2+OD2＝CD2， ∴a2+22＝（4﹣a）2， ∴． ∴， ∴S△ABC，． ∴． （3）P1（﹣3，﹣2），P2（3，6），理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作CM⊥PB于M，过M作ME⊥x轴，MF⊥y轴于E，F， 则CM＝MB，∠MEC＝∠MFB＝90°， 又∵∠EMF＝∠CMB＝90°， ∴∠EMC＝∠FMB， △MCE≌△MBF， ∴ME＝MF，CE＝BF， ∵ME⊥x轴，MF⊥y轴， ∴EMFO为正方形， ∴， ∴）， ∴直线BM解析式为：， ∵C、D两点坐标为：， ∴直线CD解析式为：， 联立解得：， ∴P（﹣3，﹣2）． 如图，当点P在第一象限内时，过C作CM⊥PB于M，过M作ME⊥x轴，MF⊥y轴于E，F， 则CM＝MB，∠MEC＝∠MFB＝90°， 又∵∠EMF＝∠CMB＝90°， ∴∠EMC＝∠FMB△MCE≌△MBF， ∴ME＝MF，CE＝BF， ∵ME⊥x轴，MF⊥y轴， ∴EMFO为正方形， ∴， ∴， ∴直线BM解析式为：y＝3x﹣3， ∵C、D两点坐标为：， ∴直线CD解析式为：， 联立解得：， ∴P（3，6）， 综上所述，P（﹣3，﹣2）或P（3，6）． ( 平行四边形的存在性问题 ) 32．（2024春•虞城县期末）如图1，直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点B（4，0），直线l1与l2交于点C． （1）求直线l2的解析式． （2）如图2，若D为线段BC上一点，且满足S△ABD＝5S△ACD，求点D的坐标． （3）在（2）的条件下，Q为直线l1上一点，在y轴上是否存在点P，使以B，D，P，Q为顶点构成的四边形是以BP为边的平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由y＝2x+4经过点，得到，解方程得到点，将点B与点C的坐标代入y＝kx+b，解方程组得到直线l2的解析式为y＝﹣3x+12； （2）解方程得到点A的坐标为（﹣2，0），根据三角形的面积公式列方程得到yD＝6，于是得到点D的坐标为（2，6）； （3）可设点Q的坐标为（m，2m+4），点P的坐标为（0，n）．根据平行四边形的性质和中点坐标公式列方程组即可得到结论． 【解答】解：（1）∵直线l1：y＝2x+4经过点， ∴， ∴点， 将点B与点C的坐标代入y＝kx+b，可得， 解得， ∴直线l2的解析式为y＝﹣3x+12； （2）∵直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A， 当y＝0时，x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）， ∵S△ABD＝5S△ACD，， ∴， ∴， 解得yD＝6， ∵D为线段BC上一点， ∴﹣3x+12＝6，解得x＝2， ∴点D的坐标为（2，6）； （3）存在，点P的坐标为（0，﹣10）或（0，﹣6）， 理由：∵Q为直线l1上一点，P为y轴上一点， ∴可设点Q的坐标为（m，2m+4），点P的坐标为（0，n）． ∵B，D，P，Q为顶点构成的四边形是以BP为边的平行四边形， ∴当BD是对角线时，由平行四边形的性质可知：BD的中点与PQ的中点重合， ∴ 解得 ∴点P的坐标为（0，﹣10）； 当BQ是对角线时，由平行四边形的性质可知：BQ的中点与PD的中点重合， ∴， 解得， ∴点P的坐标为（0，﹣6）． 综上所述，点P的坐标为（0，﹣10）或（0，﹣6）． 33．（2024春•禹王台区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E． （1）求证：△BOC≌△CED； （2）求点D的坐标； （3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用旋转的性质，和AAS证明△BOC≌△CED即可； （2）先求出B点坐标，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标即可； （3）分别以CP为对角线，DP为对角线，CD为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠BCO+∠DCE＝90°， ∵DE⊥x轴， ∴∠DEC＝90°， ∴∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠BCO＝∠CDE， 又∠DEC＝90°＝∠BOC， ∴△BOC≌△CED（AAS）； （2）∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）， ∴OB＝4， 设C（m，0），则OC＝m， ∵△BOC≌△CED， ∴CE＝OB＝4，DE＝OC＝m， ∴OE＝OC+CE＝m+4， ∴D（m+4，m）， ∵点D在直线上， ∴， ∴m＝2， ∴D（6，2）； （3）存在； 由（2）知：m＝2， ∴C（2，0）， 设P（0，p），， 以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形有一下三种情况： ①当CD为对角线时：2+6＝0+t， ∴t＝8， ∴； ②当CP为对角线时：0+2＝6+t， ∴t＝﹣4， ∴； ③当DP为对角线时：6+0＝2+t， ∴t＝4， ∴； 综上：或或． 34．（2024春•长葛市期末）如图1，平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y＝﹣x+m经过点A，交y轴于点C． （1）求m的值； （2）如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线AC，AB于点D，E．设点P运动的时间为t．点D的坐标为 　（t，﹣t+6）　 .点E的坐标为 　（t，）　 （均用含t的式子表示）； （3）在（2）的条件下，点P在线段OA上运动时，连接OE，当四边形OCDE是平行四边形时求点P的坐标． 【分析】（1）根据直线 过点A，可求出A点坐标，而直线y＝﹣x+m也经过点A，代入即可求解m． （2）因为点D、E分别在两条直线解析上，且也P在同一直线上，而P的横坐标为t，即D、E的横坐标也为t，将t代入两点所在方程即可求解． （3）通过观察图象可知，D与E点只有在y轴右侧才能构成平行四边形OCDE，根据平行四边形对边相等的性质以及二问求出的D与E的纵坐标，可求出此时点P的坐标． 【解答】解：（1）∵直线 过A点， ∴令y＝0可得x＝6， ∴A（6，0）， 将A（6，0）代入y＝﹣x+m中可得：0＝﹣6+m ∴m＝6． （2）由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+6， ∵P（t，0），PD⊥x轴， ∴D的横坐标也为t，代入y＝﹣x+6得﹣t+6， ∴D（t，﹣t+6）， 又∵E在直线AB上且E的横坐标也为t，直线AB解析式为， 将E的横坐标代入可得：， ∴E（t，）， 故答案为：（t，﹣t+6）；（t，）． （3）如图，通过观察可知，D点和E点只有在y轴右侧时，才能四边形OCDE才为平行四边形， ∵四边形OCDE才为平行四边形，OC＝6， ∴DE＝OC＝6， ∴6， ， t＝2， ∴点P的坐标为（2，0）． 故当四边形OCDE是平行四边形时点P的坐标为（2，0）． 35．（2024春•荥阳市期末）如图，一次函数y＝﹣1.5x+3的图象与坐标轴分别交于A，B两点，点C（﹣1，0），若设过点A和点C的直线表达式为y＝kx+b，点M是平面直角坐标系内任一点． （1）求点A，点B的坐标； （2）请结合图象直接写出不等式kx+b＜﹣1.5x+3的解集； （3）如果A，B，C，M四点围成的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【分析】（1）对于y＝﹣1.5x+3，当x＝0时，y＝3，令y＝﹣1.5x+3＝0，则x＝2，即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）当AB为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当AC或AM为对角线时，同理可解． 【解答】解：（1）对于y＝﹣1.5x+3，当x＝0时，y＝3， 令y＝﹣1.5x+3＝0，则x＝2， 即点A、B的坐标分别为：（0，3）、（2，0）； （2）观察函数图象知，不等式kx+b＜﹣1.5x+3的解集为x＜0； （3）设点M（x，y）， 当AB为对角线时， 由中点坐标公式得： ，解得， 即点M（3，3）； 当AC或AM为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点M（﹣3，3）或（1，﹣3）； 综上，M（3，3）或（﹣3，3）或（1，﹣3）． 36．（2024春•林州市期末）如图，一次函数y1＝﹣3x+b的图象分别交y轴，x轴于点A，B，一次函数y2＝mx﹣6的图象分别交y轴，x轴于点C，D，两个一次函数的图象相交于点E（2，﹣3）． （1）求y1，y2的解析式； （2）若直线y2＝mx﹣6上存在一点P，使S△ACP＝4S△BDE，求符合条件的点P的坐标； （3）若点M为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点M，使以A，D，E，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣6），点D的坐标为（4，0），得到BD＝3，AC＝9，然后根据S△ACP＝4S△BDE列方程求解即可； （3）首先得到A（0，3），D（4，0），E（2，﹣3），然后分3种情况讨论：①当AD为对角线时；②当AE为对角线时；③当ED为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【解答】解：（1）将E（2，﹣3）代入y1＝﹣3x+b，得﹣3＝﹣3×2+b， 解得b＝3． 将E（2，﹣3）代入y2＝mx﹣6，得﹣3＝2m﹣6， 解得． ∴y1，y2的解析式分别为y1＝﹣3x+3，； （2）对于y1＝﹣3x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1， ∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（1，0）， 对于，当x＝0时，y＝﹣6；当y＝0时，x＝4， ∴点C的坐标为（0，﹣6），点D的坐标为（4，0）， ∴BD＝3，AC＝9， ∴， 设点P的坐标为， 则， ∵S△ACP＝4S△BDE， ∴， 解得n＝4或n＝﹣4， ∴符合条件的点P的坐标为（4，0）或（﹣4，﹣12）； （3）存在，点M的坐标为（2，6）或（﹣2，0）或（6，﹣6）． 如图，由（1）（2）可知A（0，3），D（4，0），E（2，﹣3）， 设点M的坐标为（m，n）． ①当AD为对角线时，，， 解得m＝2，n＝6． ∴点M的坐标为（2，6）； ②当AE为对角线时，，， 解得m＝﹣2，n＝0． ∴点M的坐标为（﹣2，0）； ③当ED为对角线时，，， 解得m＝6，n＝﹣6． ∴点M的坐标为（6，﹣6）． 综上所述，当点M的坐标为（2，6）或（﹣2，0）或（6，﹣6）时，以A，D，E，M为顶点的四边形是平行四边形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/29 13:00:34；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 ( 菱形的存在性问题 ) 37．（2024春•梁园区期末）如图，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l与x轴交于点D（1，0），与y轴交于点C（0，3），两直线交于点E． （1）求直线l的解析式； （2）求△ACE的面积； （3）是否存在点P在x轴负半轴上，点Q在平面直角坐标系内，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将D（1，0）．C（0，3）代入y＝kx+b即可得出k和b的值； （2）解方程求得E（，），A（4，0），B（0，﹣4），根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）①如图，当AC＝PC5时，②如图，当AC＝AP＝5时，根据菱形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）将D（1，0）．C（0，3）代入y＝kx+b得， ， 解得， ∴直线l的函数解析式为y＝﹣3x+3； （2）当﹣3x+3＝x﹣4时， ∴x， ∴E（，）， ∵直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（4，0），B（0，﹣4）， ∴△ACE的面积＝S△ABC﹣S△BCE7×47； （3）存在， 理由：①如图， 当AC＝PC5时， ∵四边形ACPQ是菱形， ∴AO＝PO，OC＝OQ，AP⊥CQ， ∴点Q在y轴上， ∴点P的坐标为（﹣4，0）； ②如图，当AC＝AP＝5时， 四边形ACQP是菱形， ∴OP＝1， ∴P（﹣1，0）； 综上所述，点P的坐标为（﹣4，0）或（﹣1，0）． 38．（2024春•顺河区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1 分别与x轴，y轴交于点A，点B，与直线l2：y＝x交于点C． （Ⅰ）求点A，B，C的坐标； （Ⅱ）若点D是线段OC上一点，且△BOD的面积是△AOB面积的，求直线BD的解析式； （Ⅲ）点P是直线l2上一点，点Q是平面内任意一点，若以点O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标． 【分析】（Ⅰ）根据一次函数上点的坐标特点，分别求出A、B点坐标，再由方程x+6＝x，求出C点坐标； （Ⅱ）△BOD的面积6×t＝3t，△AOB的面积6×12＝36，根据题意得方程3t36，求出t的值即可确定D点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （Ⅲ）设P（m，m），Q（x，y），根据菱形对角线分三种情况讨论，分别建立方程组求Q点坐标即可． 【解答】解：（Ⅰ）当x＝0时，y＝6， ∴B（0，6）， 当y＝0时，x＝12， ∴A（12，0）， 当x+6＝x时，x＝4， ∴C（4，4）； （Ⅱ）设D（t，t）， ∵B（0，6）， ∴OB＝6， ∴△BOD的面积6×t＝3t， ∵OA＝12， ∴△AOB的面积6×12＝36， ∴3t36， 解得t＝3， ∴D（3，3）， 设直线BD的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线BD的解析式为y＝﹣x+6； （Ⅲ）设P（m，m），Q（x，y）， ①当OB为菱形的对角线时，OP＝PB， ∴， 解得， ∴Q（﹣3，3）； ②当OP为菱形的对角线时，OB＝BP， ∴， 解得（舍）或， ∴Q（6，0）； ③当OQ为菱形的对角线时，BO＝OP， ∴， 解得或， ∴Q（3，6+3）或（﹣3，6﹣3）； 综上所述：Q点坐标（﹣3，3）或（6，0）或（3，6+3）或（﹣3，6﹣3）． ( 矩形的存在性问题 ) 39．（2024春•虞城县校级期末）如图，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，点B的坐标为（﹣2，4）． （1）求直线BD的表达式； （2）求△DEH的面积； （3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得点D坐标，再利用待定系数法求直线BD的表达式即可； （2）先利用待定系数法求出直线OE的解析式，再联立，求出点H坐标，再根据△DEH的面积求解即可； （3）先求出点F坐标，以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，分情况讨论：①当FD是矩形的对角线时，②当FD为矩形的边时，分别求出点M的坐标，根据平移的性质即可确定点N坐标． 【解答】解：（1）在矩形ABCO中，∠OCB＝90°， ∵点B坐标为（﹣2，4）， ∴OC＝4，BC＝2， 根据旋转的性质可得，OD＝OC＝4，DE＝BC＝2，∠ODE＝∠OCB＝90°， ∴点D坐标为（4，0），点E坐标为（4，2）， 设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）， 代入点B（﹣2，4），点D（4，0）， 得， 解得， ∴直线BD的解析式为； （2）过点H作HG⊥DE于点G，如图所示： 设直线OE的解析式为y＝mx（m≠0，m为常数）， 代入点E（4，2）， 得4m＝2， 解得m， ∴直线OE的解析式为yx， 联立， 解得， ∴点H坐标为（）， ∴HG＝4， ∵DE＝2， ∴△DEH的面积； （3）存在点N，点N坐标为（4，）或（，），理由如下： 当x＝0时，， ∴点F坐标为（0，）， 以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，分情况讨论： ①当FD是矩形的对角线时，如图所示： 此时M点与点O重合， ∴N点坐标为（4，）； ②当FD为矩形的边时，如图所示： 设OM＝m， 在Rt△OMF中，根据勾股定理，得， ∵，MF＝4+m， 在Rt△MDF中，根据勾股定理，得MF2+DF2＝DM2， ∴， 解得m， ∴点M坐标为（，0）， 根据平移的性质，可得点N坐标为（，）， 综上所述，点N坐标为（4，）或（，）． ( 周长最值问题 ) 40.（2024春•长垣市期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD． （1）求正方形ABCD的面积； （2）求点C和点D的坐标； （3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请直接写出点M的坐标 　（﹣2，0）　 ． 【分析】（1）由题意可以得到A、B的坐标，从而得到线段AB的长度，进一步可以得到正方形ABCD的面积； （2）由题意和（1）可以得到△BCE≌△DAF≌△ABO，从而得到线段CE、OE、DF、OF的值，然后可以得到点C和点D的坐标； （3）找出点B关于x轴的对称点B'，连接B′D，与x轴交于点M，此时△BMD周长最小．由待定系数法求出B′D的解析式，然后令y＝0，即可得到M的坐标． 【解答】解：（1）对于直线 ，令x＝0，得到y＝2；令y＝0，得到x＝﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0，2）， ∴OA＝4，OB＝2， 在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2＝42+22＝20， ∴正方形ABCD面积为20； （2）如图，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F： ∴∠CEB＝∠AFD＝∠AOB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴∠DAF+∠BAO＝90°，∠ABO+∠CBE＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠BAO＝∠ADF＝∠CBE， ∴△BCE≌△DAF≌△ABO（AAS）， ∴BE＝DF＝OA＝4，CE＝AF＝OB＝2， ∴OE＝OB+BE＝2+4＝6，OF＝OA+AF＝4+2＝6， ∴C（﹣2，6），D（﹣6，4）； （3）如图，找出点B关于x轴的对称点B'，连接B′D，与x轴交于点M，则此时△BMD周长最小： ∵B（0，2）， ∴B′（0，﹣2）， 设直线B′D的解析式为：y＝kx+b（k≠0）， 把B′与D坐标代入得：， 解得：， ∴直线B′D的解析式为y＝﹣x﹣2． 对于y＝﹣x﹣2，令y＝0，得到x＝﹣2， ∴M（﹣2，0）． 41．（2024春•安阳期末）如图，直线l1的函数表达式为y＝x+1，且l1分别交x轴、y轴于点A，B；直线l2的函数表达式为y＝kx+b，l2经过点C（0，﹣1），分别交x轴、直线l1于点D，E，且E点坐标为（n，3）． （1）则k＝　2　 ，b＝　﹣1　 ； （2）直接写出不等式kx+b＞x+1的解集； （3）点P是y轴上一动点，是否存在点P，使得△PDE的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把（n，3）代入y＝x+1，求出n的值，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）数形结合求解即可； （3）点D关于y轴对称的点D'（，0），连接D'E与y轴交于P点，当D'、E、P三点共线时△PDE的周长最小，直线D'E与y轴的交点即为所求． 【解答】解：（1）把（n，3）代入y＝x+1， ∴3＝n+1， 解得：n＝2， ∴E（2，3）， 把E（2，3），C（0，﹣1）代入y＝kx+b， 得， 解得：， 故答案为：2，﹣1； （2）∵E（2，3）， ∴由函数图象可得不等式kx+b＞x+1的解集为x＞2； （3）存在，理由如下： 直线l2的解析式为y＝2x﹣1， 当y＝0时，x， ∴D（，0）， 点D关于y轴对称的点D'（，0）， 连接D'E与y轴交于P点， ∴PD+PE+DE＝PD'+PE+DE≥D'E+DE， 当D'、E、P三点共线时△PDE的周长最小， 设直线D'E的解析式为y＝k'x+b'， ∴， 解得， ∴直线D'E的解析式为yx， ∴P（0，）． ( 一次函数综合 ) 42．（2024春•许昌期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+4与正比例函数y＝3x交于点A（1，m）． （1）求m和k的值． （2）若点B（3，n）在直线y＝kx+4上，连接OB，求△AOB的面积． （3）结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【分析】（1）把A（1，m）代入解析式y＝3x，求出m的值，把点A的坐标求出k的值即可； （2）先求出点C与点B的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可； （3）先求出直线与直线y＝﹣x+4的交点坐标为（3，1），然后根据函数图象求出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）将A（1，m）代入y＝3x，得： m＝3×1＝3， ∴A（1，3）， 将A（1，3）代入y＝kx+4，得： 3＝k+4， 解得：k＝﹣1； （2）由（1）得k＝﹣1， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4， 当x＝3时，y＝﹣3+4＝1＝n，则B（3，1）， 当y＝0时，x＝4，则直线AB与x轴交点为C（4，0），如图1， ∴； （3）联立得：， 解得：， ∴直线与直线y＝﹣x+4的交点坐标为（3，1）， 如图2，根据函数图象可知，当1＜x＜3时，直线y＝﹣x+4在直线y＝3x的下方，直线y＝﹣x+4在直线的上方， ∴不等式的解集为：1＜x＜3． 43．（2024春•扶沟县期末）新人教版八年级下册课本第30页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角△ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△ADC≌△CEB． （1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标； （2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式； 【分析】（1）由“AAS”可证△CEB≌△AOC，可得BE＝OC＝2，CE＝AO＝4，即可求解； （2）先求出点A，点B坐标，由全等三角形的性质可得CD＝BO＝2，BD＝AO＝4，由待定系数法可求解． 【解答】解：（1）如图2，过点B作BE⊥y轴于E， ∵点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0）， ∴OC＝2，OA＝4， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥y轴，y轴⊥x轴， ∴∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACO＝∠CBE， 在△CEB和△AOC中， ， ∴△CEB≌△AOC（AAS）， ∴BE＝OC＝2，CE＝AO＝4， ∴OE＝CE﹣OC＝4﹣2＝2， ∴B（﹣2，2）； （2）如图3，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D， ∵∠CAB＝45°， ∴BC＝AB， ∵y＝2x+4与x轴的交点B（﹣2，0），A（0，4）， ∴AO＝4，BO＝2， 由（1）的模型可得△BCD≌△ABO， ∴CD＝BO＝2，BD＝AO＝4， ∴C（﹣6，2）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴yx+4． 44．（2024春•许昌期末）如图，A（a，0），B（0，b），且a，b满足，点C从原点出发以每秒2个单位长度向x轴正方向运动，点D同时从原点出发以每秒1.5个单位长度向y轴正方向运动，设运动的时间为t秒，当点C运动到A点时，两点均停止运动． （1）求S△AOB； （2）在图1中，若点P为线段AB中点，四边形OCPD的面积不小于3，求t的取值范围； （3）平移线段AB至线段EF，其中点A对应点为E，点B对应点为F，且点E的坐标是方程x﹣y＝﹣1的一组解，点F的坐标是方程2x﹣y＝﹣10的一组解，若x轴上方的点Q为直线EF上一点，且到x轴距离为2，求点Q的横坐标． 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）根据点P为线段AB中点，求得P（2，），根据题意得到OC＝2t，ODt，根据题意列不等式，即可得到结论； （3）待定系数法得到直线AB的解析式为y3，由题意AB∥EF，设直线EF解析式为：yx+m解方程组得到E（，），根据平移到性质得到F（，）解方程得到E（2，3），F（﹣2，6）求得直线EF为：yx，根据点Q到x轴距离为2，列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）由， 得：a﹣4＝0，且3﹣b＝0， 解得a＝4，b＝3， ∴A（4，0）、B（0，3）； ∴S△AOB； （2）方法一：∵点P为线段AB中点， ∴P（2，）， ∵OC＝2t，ODt， ∴四边形OCPD的面积2t3， 解得t≥1， ∴t的取值范围为1≤t＜2； 方法二：设P（x，y）， ∵点P为线段AB中点， ∴AP＝BPAB， ∴S△OAP＝S△BOPS△AOB， ∴， 解得x＝2，y， ∴P（2，）， ∵OC＝2t，ODt， ∴四边形OCPD的面积2t3， 解得t≥1， ∴t的取值范围为1≤t＜2； （3）方法一：设E（a，a+1），F（b，2b+10）， 根据题意得， 解得， ∴E（2，3），F（﹣2，6）， 设E（2，3），F（﹣2，6）是方程y＝kx+b的两组解， ∴， ∴方程为yx， 把y＝2代入yx得x， ∴点Q的横坐标为． 方法二：∵A（4，0）、B（0，3）， ∴直线AB的解析式为y3， 由题意AB∥EF， 设直线EF解析式为：yx+m ∵点E也在直线x﹣y＝﹣1上， 联立这两个方程可解得 解得x，y， ∴E（，）， 由平移知识可得：F（，） ∵点F的坐标是方程2x﹣y＝﹣10的一组解， ∴210， 解得：m， ∴E（2，3），F（﹣2，6） 则直线EF为：yx， ∵点Q到x轴距离为2， ∴y＝2，可得x2， 解得：x， ∴点Q的横坐标为， 方法三：分别过点F，Q作y轴和x轴的平行线，两线交于H， 设E（a，a+1），F（b，2b+10）， 根据题意得， 解得， ∴E（2，3），F（﹣2，6）， 设Q（m，2）， ∴FH＝6﹣2＝4，QH＝m+2，E到FH的距离为4， ∵S△PQH＝S△FEH+S△QEH， ∴， 解得m， ∴点Q的横坐标为． 45．（2024春•顺河区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴、y轴分别于点A，B，交直线y＝kx于C． （1）求点A、B的坐标； （2）若△ACO为等腰三角形且AC＝OC，求C点坐标及k的值； （3）在（2）的条件下，点D为线段BC上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，交y＝kx于点E，且DE＝2EF，过点C的直线y＝mx+n将四边形OBDE分为两部分，两部分的面积分别设为S1，S2．若，求m的取值范围． 【分析】（1）分别代入x＝0、y＝0求出y、x的值，由此可得出点B、A的坐标； （2）作CH⊥OA于H，根据等腰三角形的性质可得出点C的坐标，再由点C在直线y＝kx上求出k值； （3）求出点D的坐标，可求出过点C的直线为y＝mx+1﹣2m，设直线y＝mx+1﹣2m 与y轴交于点Q，与直线DE于点R，分别表示出点Q和点R的坐标，表示出DR，BQ，再根据已知得出四边形BDRQ的面积为四边形OBDE的或，表示出四边形BDRQ的面积，列出方程再求解，结合图形即可得出m的范围． 【解答】解：（1）对于一次函数yx+2， 当y＝0时，x＝4， 当x＝0时，y＝2， ∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2）； （2）如图1，作CH⊥OA于H， ∵OC＝AC，CH⊥OA， ∴OH＝HAOA＝2， ∴点P的横坐标为2， ∵点C在直线yx+2上， ∴点C的纵坐标y2+2＝1， ∴点C的坐标为（2，1）， ∵点C在直线y＝kx上， ∴1＝2k，解得：k； （3）设点D的横坐标为t，分别代入yx+2，yx中， 得yt+2，yt， ，， ∴D（t，t+2），E（t，t），F（t，0）， ∵DE＝2EF， ∴|t+2t|＝2|t|，即|2﹣t|＝|t|， 当2﹣t＝t时， 解得t＝1， ∴D（1，）， 当2﹣t＝﹣t时，无解， ∴D（1，）， ∴E（1，），F（1，0），， ∵直线y＝mx+n过点C（2，1）， ∴1＝2m+n，即 n＝1﹣2m， ∴y＝mx+1﹣2m， 如图，设直线y＝mx+1﹣2m 与y轴交于点Q，与直线DE交于点R， 令x＝0，则y＝1﹣2m， ∴Q（0，1﹣2m）， 令x＝1，则y＝1﹣m， ∴R（1，1﹣m）， ∴DR（1﹣m）m，BQ＝2﹣（1﹣2m）＝1+2m， ∵过点C的直线y＝mx+n将四边形OBDE分为两部分，且2， ∴四边形BDRQ的面积为四边形OBDE的或， ∵S四边形BDRQ（DR+BQ）×OF（m+1+2m）×1m，S四边形OBDE（DE+BO）×OF（1+2）×1， ∴m或m， 解得m或m， ∴m的取值范围m． 46．（2024春•川汇区期末）如图，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB＝4，点A的坐标为（1，﹣3），点D的坐标为（﹣2，3），点B在第四象限． （1）点B的坐标为 　（5，﹣3）　 ；点C的坐标为 　（2，3）　 ； （2）点E是AD与y轴的交点，直线l：经过点E，求直线l的解析式； （3）点P是BC边上的一个动点．若点P关于坐标轴的对称点恰好落在直线l上，求点P的坐标． 【分析】（1）AB∥x轴，AB＝4，点A的坐标为（1，﹣3），即可得点B的坐标；同理可得点C的坐标； （2）求出直线AD的解析式，则可求得点E的坐标；把点E的坐标代入直线l：中，求得b的值即可； （3）求出直线BC解析式y＝﹣2x+7，设P（m，﹣2m+7）．分点P关于x轴对称、关于y轴对称两种情况考虑即可． 【解答】解：（1）在▱ABCD中，CD＝AB＝4，AB∥CD； ∵AB∥x轴，AB＝4，点A的坐标为（1，﹣3）， ∴点B的横坐标为1+4＝5，点B与点A的纵坐标相同， ∴B（5，﹣3）； ∵点D的坐标为（﹣2，3），CD∥x轴，CD＝AB＝4， ∴点C的横坐标为﹣2+4＝2，纵坐标与点D相同， ∴C（2，3）； 故答案为：（5，﹣3），（2，3）． （2）设直线AD的解析式为y＝kx+n． ∵点A的坐标为（1，﹣3），点D的坐标为（﹣2，3）， ∴， 解得． ∴直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣1． 令x＝0，则y＝﹣1， ∴点E坐标为（0，﹣1）． ∵直线l：经过点E． ∴直线l的解析式为． （3）∵C（2，3），B（5，﹣3）． 设直线BC解析式为y＝p x+q（p≠0），则： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+7． 设P（m，﹣2m+7）． ①P点关于x轴对称点为（m，2m﹣7），落在直线l：上，可得． 此时． ②P点关于y轴对称点为（﹣m，﹣2m+7），落在直线l：上，可得． 此时． 综上，点P的坐标为或． 47．（2024春•民权县期末）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE＝t． （1）A点坐标为 　（1，0）　 ，B点坐标为 　（0，1）　 ． （2）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由； （3）当C的横坐标为，求点E的坐标； （4）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）． 【分析】（1）根据点A纵坐标为0，点B横坐标为0，分别代入直线y＝﹣x+1求解即可得出A、B两点的坐标． （2）通过SAS证明△AOC≌△BOE得到∠EBO＝∠CAO，然后由∠CAO与∠ABO互余判断出∠ABE的大小． （3）过点E、C分别向x轴作垂线，垂足为点F、G．先由点C横坐标代入直线y＝﹣x+1求出点C的纵坐标，然后证明△EOF≌△COG，则EF＝OG，FO＝GC，再由线段OG、CG的长度求出点E的坐标． （4）先判断点C的位置在线段AB上和线段AB的延长线上，然后证明BE与y轴的夹角为45°，由等腰直角三角形的性质，求出点E的坐标． 【解答】解：（1）根据题意，直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点． 对于y＝﹣x+1，令y＝0，0＝﹣x+1，则x＝1；令x＝0，y＝0+1＝1． ∴点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，1）． 故答案为：（1，0）；（0，1）． （2）由（1）知，△AOB为等腰直角三角形，OA＝OB＝1．∠CAO＝∠CBO＝45°． ∵四边形OCDE是正方形， ∴OE＝OC，OE⊥OC， 又∵∠BOE+∠BOC＝∠BOC+∠AOC＝90° ∴∠BOE＝∠AOC． 在△BOE和△AOC中，OE＝OC，∠BOE＝∠AOC，OA＝OB， ∴△BOE≌△AOC． （SAS） ∴∠EBO＝∠CAO＝45°． ∴∠EBA＝∠EBO+∠CBO＝∠CAO+∠CBO＝90°． ∴BE⊥AB． 故BE与AB的位置关系为BE⊥AB． （3）如图，过点E、C分别向x轴作垂线，垂足为点F、G． 当点C横坐标为，代入y＝﹣x+1得，y， ∴点C的坐标为（，）， 则OG，CG， ∵∠FEO+∠FOE＝90°，∠FOE+∠GOC＝180°﹣∠EOC＝90°， ∴∠FEO＝∠GOC． 在△FEO和△GOC中，∠FEO＝∠GOC，∠EFO＝∠OGC，EO＝CO， ∴△FEO≌△GOC．（AAS） ∴EF＝OG，OF＝CG， 故点E坐标为（，）． （4）当点C在线段AB延长线上时，∠AOC为钝角，不符合题意． 当点C在线段AB上时，如图．由（2）知，∠EBO＝∠CAO＝45°，△EBF为等腰直角三角形． ∴∠EBF＝∠CAO＝45°，BF＝EFt． ∴OF＝OB﹣BF＝1t， ∴点E的坐标为（，1t）． 当点C在线段BA延长线上时，过点E向y轴作垂线，垂足为F，如图： 同理（2）得△BOE≌△AOC，∠EBO＝∠CAO． ∴∠EBF＝∠1＝∠BAO＝45°， ∴△BEF为等腰直角三角形，FE＝FB，OF＝OB+FB＝1， ∴点E的坐标为（，1t）． 故点E的坐标为（，1t）或（，1t）． 48．（2024春•安阳期末）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，已知B点坐标为（a，b），且a，b满足，将矩形OABC沿着AP折叠，点O的对应点E恰好落在BC边上． （1）直接写出点B的坐标和CE的长：B（ 　5　 ，　3　 ），CE＝　1　 ； （2）①求四边形AOPE的面积； ②若点M沿线段EA从E向A以每秒1个单位长度的速度运动至A，设运动时间为t秒，当△EBM为等腰三角形时，t的值是 　4或　 ； ③直线y＝kx+m与PE平行，当它与矩形OABC有公共点时，求m的取值范围． 【分析】（1）先求出B点坐标，从而得到OA＝5，AB＝3，再由折叠可得AE＝OA＝5，在Rt△ABE中，用勾股定理求BE的长即可； （2）①由折叠可知△AOP≌△AEP，则OP＝EP，设OP＝EP＝x，则CP＝3﹣x，在Rt△CPE中，用勾股定理求，则四边形AOPE的面积； ②当EB＝EM时，EM＝4，t＝4；当EM＝BM时，M点在AE的中点处，EMAE，t； ③先求直线PE的解析式为，当yx+m过点C（0，3）时，m＝3，当y x+m过点A（5，0）时，，所以直线y＝kx+m与PE平行，且与矩形OABC有公共点时，． 【解答】解：（1）∵， ∴a＝5，b＝3， ∴点B的坐标为（5，3）， ∴OA＝5，AB＝3， 由折叠可知，AE＝OA＝5， ∴BE＝4， ∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1； 故答案为：5，3，1； （2）①由折叠可知，△AOP≌△AEP， ∴OP＝EP， 设OP＝EP＝x，则CP＝3﹣x， 在Rt△CPE中，PE2＝CE2+CP2， ∴x2＝（3﹣x）2+1， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形AOPE的面积； ②当EB＝EM时，EM＝4， ∴t＝4； 当EM＝BM时，M点在AE的中点处， ∴EMAE， ∴t； 故答案为：4或； ③∵OP，CE＝1， ∴P（0，），E（1，3）， 设直线PE的解析式为y＝kx， ∴k3， 解得k， ∴直线PE的解析式为， 当yx+m过点C（0，3）时，m＝3， 当y x+m过点A（5，0）时，， ∴直线y＝kx+m与PE平行，且与矩形OABC有公共点时，． 49．（2024春•浉河区期末）定义：对于给定的一次函数y＝ax+b（a≠0），把形如y的函数称为一次函数y＝ax+b（a≠0）的衍生函数．已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（1，2），C（﹣3，2），D（﹣3，0）． （1）已知函数y＝2x+1． ①若点P（﹣1，m）在这个一次函数的衍生函数图象上，则m＝　3　 ． ②这个一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点坐标分别为　（，2）或（，2）　 ． （2）当函数y＝kx﹣3（k＞0）的衍生函数的图象与矩形ABCD有2个交点时，k的取值范围是　1＜k＜3　 ． 【分析】（1）①x＝﹣1＜0，则m＝﹣2×（﹣1）+1＝3，即可求解；②一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点位置在BC和AD上，即可求解； （2）当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点，当直线在位置②时，函数和图象有3个交点，在图①②之间的位置，直线与矩形有2个交点，即可求解． 【解答】解：（1）①x＝﹣1＜0，则m＝﹣2×（﹣1）+1＝3， 故答案为3； ②一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点位置在BC上， 当y＝2时，2x+1＝2，解得：x， 当y＝2时，﹣2x+1＝2，解得：x， 故答案为（，2）或（，2）； （2）函数可以表示为：y＝|k|x﹣3， 如图所示当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点， 当x＝3时，y＝|k|x﹣3＝3|k|﹣3＝0，k＝±1， k＞0，取k＝1 当直线在位置②时，函数和图象有3个交点， 同理k＝3， 故在图①②之间的位置，直线与矩形有2个交点， 即：1＜k＜3． 50．（2023秋•中原区期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A是函数y1＝kx与函数y2＝nx+m的交点．函数y2与x轴，y轴分别交于点B，C． （1）若二元一次方程的解为，写出交点A的坐标 　（4，3）　 ； （2）在（1）的条件下，如图2，过点A作直线AD⊥x轴于点D，若△ABD的面积是3，求k和m的值； （3）如图3，若，，m＝6，点P是直线BC上一个动点，点Q为直线OA上一个动点，当PQ∥y轴，且PQ＝3时，请直接写出OQ的长度． 【分析】（1）根据二元一次方程的解即可得交点A的坐标； （2）将A（4，3）代入函数y1＝kx可得k的值；设B（b，0），则BD＝b﹣4，根据△ABD的面积是3，求出b＝6，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出m的值； （3）由题意得函数y1x，函数y2x+6．设P（p，p+6），则Q（p，p），根据PQ＝3求出p的值，即可求解． 【解答】解：（1）∵的解为， ∴函数y1＝kx与函数y2＝nx+m的交点A的坐标为（4，3）， 故答案为：（4，3）； （2）∵点A的坐标为（4，3），AD⊥x于点D， ∴D（4，0）， 将A（4，3）代入函数y1＝kx得4k＝3， ∴k， 设B（b，0）， ∴BD＝b﹣4， ∵S△ABDAD•BD3（b﹣4）＝3， 解得b＝6， ∴B（6，0）， ∵点A、B是函数y2＝nx+m上的点， ∴，解得， ∴m的值为9； （3）∵k，n，m＝6． ∴函数y1x，函数y2x+6． 设P（p，p+6），则Q（p，p）， ∴PQ＝|p+6p|＝3，解得p＝2或6， ∴Q（2，）或Q（6，）， ∴OQ或OQ， ∴OQ的长度为或． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一次函数的综合应用 题型概览 01 一次函数的性质和图像 02 几何动点问题的函数图像 03 面积的存在性问题 04 全等三角形的存在性问题 05 等腰三角形的存在性问题 06 等腰直角三角形的存在性问题 07 45°角的存在性问题 08 平行四边形的存在性问题 09 菱形的存在性问题 10 矩形的存在性问题 11 周长最值问题 12 一次函数综合 一次函数的性质和图像 1．（2024春•永城市期末）学习函数时，王老师带领同学们探索了函数y＝|x+1|的图象和性质，部分过程如下：自变量x的取值范围是全体实数，y与x的几组对应值如下表所示： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 3 2 1 0 1 2 3 4 5 … 根据表格中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分． （1）请补全该函数的图象； （2）观察该函数图象，写出该函数的一条性质：　 　 ； （3）已知函数y＝|x+n|（其中n为常量），当自变量的取值范围是﹣2≤x≤2时，该函数的最大值为n+3，请求出满足条件的n的值． 2．（2024春•安阳期末）探究函数y＝|x+1|的图象与性质．请将探究过程补充完整： （1）函数y＝|x+1|的自变量x的取值范围是 　 ； （2）下表是x与y的几组对应值： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 3 2 m 0 1 2 n 4 … m＝　　 ，n＝　　 ； （3）在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （4）函数y＝|x﹣2|+1的图象可以看作是由函数y＝|x+1|的图象向 　　 （填“左”或“右”）平移 　　 个单位长度，再向 　　 （填“上”或“下”）平移个 　　 单位长度而得到； （5）以下关于函数y＝|x+1|的结论，正确的是 　　 .（只填序号） ①函数有最小值为0； ②当x＞﹣1时，y随x的增大而减小； ③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称． 3．（2024春•辉县市期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣2|的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝　 　 ； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表格中各对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是 　　 ； ②当x＜2时，y随x的增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而 　　 ； （3）结合图象，关于x的方程|x﹣2|＝4的解是 　 ． 4．（2024春•开封期末）在函数的学习过程中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．以下是我们探究函数的性质及其应用的部分过程．列表： x … ﹣2 ﹣1 1 2 … y … 3 ﹣1 3 5 … 描点：在平面直角坐标系中，描出相应的点，如图所示． （1）观察所描出的点的分布，用平滑的曲线连结，作出函数图象． （2）根据函数图象解答下列问题： ①该函数自变量x的取值范围是 　 　 ． ②方程有 　 　 个实数根． （3）应用：现要建造一个体积为1立方米的长方体无盖蓄水池，其底面为一个正方形，已知侧面造价为每平方米0.5万元，底面造价为每平方米1万元，配套设施1万元．设底面正方形边长为x m，总造价为w元，请写出w关于x的函数关系式，并求出总造价不超过5万元时x的取值范围．（保留2位小数） 5．（2024春•巩义市期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，∠ADC＝150°，动点E从B点出发，沿B→C→D→A运动至A点停止，设点E运动的路程为x，△ABE的面积为y． （1）直接写出y与x之间的函数解析式，注明自变量x的取值范围，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数图象； （2）请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； （3）请根据函数的图象，直接写出当y≥3时x的取值范围． 几何动点问题的函数图象 6．（2024秋•长垣市期末）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　） A．72 B．78 C．84 D．90 7．（2024春•鹤山区期末）如图1，在△ABC中，∠ABC＝60°．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y随x变化的关系图象，其中M为曲线DE的最低点，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 8．（2024春•民权县期末）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（　　） A． B． C．17 D．5 9．（2024春•西平县期末）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发，沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，△ABC的高，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则点F的坐标为（　　） A． B． C． D．（12，4） 10．（2024春•社旗县期末）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为 　 ． 11．（2024春•巩义市期末）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度m与直线在x轴上平移的距离t的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD的面积为 　5　 ． 12．（2024春•襄城县期末）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A．BD＝10 B．AD＝12 C．平行四边形ABCD的周长为44 D．当x＝15时，△APD的面积为20 13．（2024春•红旗区校级期末）如图1，动点P、Q在平行四边形ABCD的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线O﹣A﹣D﹣O，动点Q的运动轨迹为折线O﹣C﹣B﹣O，两动点同时开始运动，且运动速度均为1cm/s．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为y cm，x与y的函数关系式如图2所示．当点P在平行四边形ABCD的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为秒，则m的值为（　　） A． B． C． D． 14．（2024春•镇平县期末）如图（1），在▱ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，动点F从点A出发，沿直线运动至点E，再从点E沿直线运动至点B．设点F运动的路程为x，△FBC的面积为y，图（2）是点F运动时y随x变化的函数关系图象，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C． D．5 15．（2024春•新乡期末）如图1，▱ABCD中，AD＝6，动点E从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿C﹣D﹣A﹣B匀速运动至B点停止，设运动的时间为t（单位：秒），△BCE的面积为S，且S与t之间的关系如图2所示，则下列说法正确的是（　　） A．CD边长为2 B．平行四边形ABCD的周长为16 C．▱ABCD的面积为18 D．m的值为8 16．（2024春•鹤壁期末）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图甲所示的边框按B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣A的路径方向移动，△ABP的面积S与时间t之间的关系图象如图乙所示，若a＝24，则b的值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 17．（2024春•辉县市期末）如图①，在矩形MMPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（　　） A．当x＝6时，y＝10 B．当y＝5时，x＝2 C．y的最大值是10 D．矩形MNPQ的周长是18 18．（2024春•邓州市期末）如图1．在矩形ABCD中，点P从点A出发，匀速沿AB→BD向点D运动，连接DP，设点P的运动距离为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为AB中点时，DP的长为（　　） A．5 B．8 C． D． 19．（2024春•浉河区期末）如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的纵坐标可能是（　　） A． B．2 C．3 D． 20．（2024春•老城区期末）如图1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，平行于BD的直线l沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，平移过程中，直线l被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移时间为l（秒），m与t的函数图象如图2，依据条件信息，求出图2中a的值为（　　） A． B． C．6 D． 21．（2024春•商水县期末）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止．已知点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于x的函数图象如图2所示，则矩形对角线AC的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 22．（2024春•长垣市期末）如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 23．（2024春•临颍县期末）如图1，在菱形ABCD中，∠BCD＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，最低点E的坐标为（4，3），则图象右端点F的坐标为 　 　 ． 24．（2024春•镇平县期末）小强在学习菱形时遇到了这样一个问题：如图①，菱形ABCD中，AC＝8cm，BD＝6cm，点P是AC上的动点，点E是AB的中点，连接PE、PB，当△PBE是等腰三角形时，求线段AP的长度．小强分析尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探究过程补充完整：根据点P在AC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AP，PE，PB的长度，得到下表对应值． AP/cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 PE/cm 2.5 1.8 1.5 1.8 2.5 3.4 4.3 5.2 6.2 PB/cm 5.0 4.2 3.6 3.2 m 3.2 3.6 4.2 5.0 （1）m的值是 　　 ． （2）将线段AP的长度作为自变量x，PE，PB的长度都是关于x的函数，分别记为y1，y2，并在坐标系中画出了y1的函数图象，如图②所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出y2的函数图象． （3）观察图象，可知函数y1有最小值，请你利用学习过的几何知识，直接写出y1的最小值．（写出准确值） （4）在点P从A移动到C的过程中，当EP＝EB时，直接写出AP的长度． 面积的存在性问题 25．（2024春•滑县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（2024春•洛阳期末）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点． （1）请直接写出直线l的表达式； （2）求出△ABC的面积； （3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值． 全等三角形的存在性问题 27．（2024春•信阳期末）如图，直线l：y＝kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，，OM⊥AB，垂足为点M，点P为直线l上的一个动点（不与A、B重合）． （1）求直线y＝kx+3的解析式； （2）当点P运动到什么位置时△BOP的面积是6； （3）在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 等腰三角形的存在性问题 28．（2024春•红旗区校级期末）如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4）一次函数图象经过点B（﹣4，﹣2），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D． （1）求一次函数解析式； （2）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）如果在y轴上存在一点Q，使△OAQ是以OA为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 等腰直角三角形的存在性问题 29．（2024春•鹿邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y1＝kx+b经过A（a，0），B（0，b）两点，且a、b满足（a﹣4）20，过点B作BP∥x轴，交直线l2：y2＝x于点P，连接PA． （1）求直线AB的函数表达式； （2）在直线l2上是否存在一点Q，使得S△BPQ＝S△BPA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点C（n，0）是x轴上的一个动点，点D是y轴上的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线l1、l2于点M、N，若△MND是等腰直角三角形，请直接写出符合条件的n的值． 30．（2024春•西华县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：分别与x轴、y轴交于点B，C，与直线l2：交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若D是线段OA上的点，且D点的横坐标为4，求出直线CD的函数解析式． （3）在第（2）小题的条件下，射线CD上是否存在点P，使以O，C，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 45°角的存在性问题 31．（2024春•商水县期末）综合与实践 如图，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段AO上，将△ABC沿BC所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知OA＝4，OB＝3． （1）求直线AB的解析式． （2）求S△ABC：S△OCD的值． （3）直线CD上是否存在点P使得∠PBC＝45°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 平行四边形的存在性问题 32．（2024春•虞城县期末）如图1，直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点B（4，0），直线l1与l2交于点C． （1）求直线l2的解析式． （2）如图2，若D为线段BC上一点，且满足S△ABD＝5S△ACD，求点D的坐标． （3）在（2）的条件下，Q为直线l1上一点，在y轴上是否存在点P，使以B，D，P，Q为顶点构成的四边形是以BP为边的平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（2024春•禹王台区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E． （1）求证：△BOC≌△CED； （2）求点D的坐标； （3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由． 34．（2024春•长葛市期末）如图1，平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y＝﹣x+m经过点A，交y轴于点C． （1）求m的值； （2）如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线AC，AB于点D，E．设点P运动的时间为t．点D的坐标为 　 　 .点E的坐标为 　　 （均用含t的式子表示）； （3）在（2）的条件下，点P在线段OA上运动时，连接OE，当四边形OCDE是平行四边形时求点P的坐标． 35．（2024春•荥阳市期末）如图，一次函数y＝﹣1.5x+3的图象与坐标轴分别交于A，B两点，点C（﹣1，0），若设过点A和点C的直线表达式为y＝kx+b，点M是平面直角坐标系内任一点． （1）求点A，点B的坐标； （2）请结合图象直接写出不等式kx+b＜﹣1.5x+3的解集； （3）如果A，B，C，M四点围成的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 36．（2024春•林州市期末）如图，一次函数y1＝﹣3x+b的图象分别交y轴，x轴于点A，B，一次函数y2＝mx﹣6的图象分别交y轴，x轴于点C，D，两个一次函数的图象相交于点E（2，﹣3）． （1）求y1，y2的解析式； （2）若直线y2＝mx﹣6上存在一点P，使S△ACP＝4S△BDE，求符合条件的点P的坐标； （3）若点M为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点M，使以A，D，E，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/29 13:00:34；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 菱形的存在性问题 37．（2024春•梁园区期末）如图，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l与x轴交于点D（1，0），与y轴交于点C（0，3），两直线交于点E． （1）求直线l的解析式； （2）求△ACE的面积； （3）是否存在点P在x轴负半轴上，点Q在平面直角坐标系内，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 38．（2024春•顺河区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1 分别与x轴，y轴交于点A，点B，与直线l2：y＝x交于点C． （Ⅰ）求点A，B，C的坐标； （Ⅱ）若点D是线段OC上一点，且△BOD的面积是△AOB面积的，求直线BD的解析式； （Ⅲ）点P是直线l2上一点，点Q是平面内任意一点，若以点O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标． 矩形的存在性问题 39．（2024春•虞城县校级期末）如图，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，点B的坐标为（﹣2，4）． （1）求直线BD的表达式； （2）求△DEH的面积； （3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 周长最值问题 40.（2024春•长垣市期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD． （1）求正方形ABCD的面积； （2）求点C和点D的坐标； （3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请直接写出点M的坐标 　　 ． 41．（2024春•安阳期末）如图，直线l1的函数表达式为y＝x+1，且l1分别交x轴、y轴于点A，B；直线l2的函数表达式为y＝kx+b，l2经过点C（0，﹣1），分别交x轴、直线l1于点D，E，且E点坐标为（n，3）． （1）则k＝　　 ，b＝　　 ； （2）直接写出不等式kx+b＞x+1的解集； （3）点P是y轴上一动点，是否存在点P，使得△PDE的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 一次函数综合 42．（2024春•许昌期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+4与正比例函数y＝3x交于点A（1，m）． （1）求m和k的值． （2）若点B（3，n）在直线y＝kx+4上，连接OB，求△AOB的面积． （3）结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 43．（2024春•扶沟县期末）新人教版八年级下册课本第30页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角△ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△ADC≌△CEB． （1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标； （2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式； 44．（2024春•许昌期末）如图，A（a，0），B（0，b），且a，b满足，点C从原点出发以每秒2个单位长度向x轴正方向运动，点D同时从原点出发以每秒1.5个单位长度向y轴正方向运动，设运动的时间为t秒，当点C运动到A点时，两点均停止运动． （1）求S△AOB； （2）在图1中，若点P为线段AB中点，四边形OCPD的面积不小于3，求t的取值范围； （3）平移线段AB至线段EF，其中点A对应点为E，点B对应点为F，且点E的坐标是方程x﹣y＝﹣1的一组解，点F的坐标是方程2x﹣y＝﹣10的一组解，若x轴上方的点Q为直线EF上一点，且到x轴距离为2，求点Q的横坐标． 45．（2024春•顺河区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴、y轴分别于点A，B，交直线y＝kx于C． （1）求点A、B的坐标； （2）若△ACO为等腰三角形且AC＝OC，求C点坐标及k的值； （3）在（2）的条件下，点D为线段BC上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，交y＝kx于点E，且DE＝2EF，过点C的直线y＝mx+n将四边形OBDE分为两部分，两部分的面积分别设为S1，S2．若，求m的取值范围． 46．（2024春•川汇区期末）如图，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB＝4，点A的坐标为（1，﹣3），点D的坐标为（﹣2，3），点B在第四象限． （1）点B的坐标为 　　 ；点C的坐标为 　　 ； （2）点E是AD与y轴的交点，直线l：经过点E，求直线l的解析式； （3）点P是BC边上的一个动点．若点P关于坐标轴的对称点恰好落在直线l上，求点P的坐标． 47．（2024春•民权县期末）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE＝t． （1）A点坐标为 　　 ，B点坐标为 　　 ． （2）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由； （3）当C的横坐标为，求点E的坐标； （4）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）． 48．（2024春•安阳期末）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，已知B点坐标为（a，b），且a，b满足，将矩形OABC沿着AP折叠，点O的对应点E恰好落在BC边上． （1）直接写出点B的坐标和CE的长：B（ 　　 ，　　 ），CE＝　　 ； （2）①求四边形AOPE的面积； ②若点M沿线段EA从E向A以每秒1个单位长度的速度运动至A，设运动时间为t秒，当△EBM为等腰三角形时，t的值是 　 ； ③直线y＝kx+m与PE平行，当它与矩形OABC有公共点时，求m的取值范围． 49．（2024春•浉河区期末）定义：对于给定的一次函数y＝ax+b（a≠0），把形如y的函数称为一次函数y＝ax+b（a≠0）的衍生函数．已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（1，2），C（﹣3，2），D（﹣3，0）． （1）已知函数y＝2x+1． ①若点P（﹣1，m）在这个一次函数的衍生函数图象上，则m＝　　 ． ②这个一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点坐标分别为　 　 ． （2）当函数y＝kx﹣3（k＞0）的衍生函数的图象与矩形ABCD有2个交点时，k的取值范围是　 ． 50．（2023秋•中原区期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A是函数y1＝kx与函数y2＝nx+m的交点．函数y2与x轴，y轴分别交于点B，C． （1）若二元一次方程的解为，写出交点A的坐标 　 　 ； （2）在（1）的条件下，如图2，过点A作直线AD⊥x轴于点D，若△ABD的面积是3，求k和m的值； （3）如图3，若，，m＝6，点P是直线BC上一个动点，点Q为直线OA上一个动点，当PQ∥y轴，且PQ＝3时，请直接写出OQ的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$