专题04 一次函数的图像与性质（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题04 一次函数的图像与性质 ( 题型概览 01 一次函数的定义 02 一次函数的图像 03 一次函数的图像与性质 04 一次函数与一元一次不等式 05 一次函数与二元一次方程（组） 06 一次函数的应用 ) ( 一次函数的定义 ) 1．（2024春•鹿邑县期末）若函数是正比例函数，且图象在一、三象限，则m＝　2　 ． 【分析】由正比例函数的定义，以及图象的位置进行取舍，可求得m的值． 【解答】解：∵y＝（m+1）为正比例函数， ∴m2﹣3＝1，且m+1≠0， 解得m＝±2， ∵图象在一、三象限， ∴m+1＞0， ∴m＞﹣1， ∴m＝2， 故答案为：2． 2．（2024春•项城市期末）若y＝（a+4）x+a2﹣16是正比例函数，则a＝　4　 ． 【分析】利用正比例函数定义可得a2﹣16＝0，且a+4≠0，再解方程和不等式可得答案． 【解答】解：由题意得：a2﹣16＝0，且a+4≠0， 解得：a＝4， 故答案为：4． ( 一次函数的图像 ) 3．（2023秋•焦作期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx和y＝x+k（k为常数，k＜0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据k＜0判断正比例函数的图象和一次函数图象即可． 【解答】解：∵y＝kx和y＝x+k（k为常数，k＜0）， ∴函数y＝kx经过二、四象限，一次函数y＝x+k的图象经过一，三、四，故A、B、C不合题意， D选项符合题意； 故选：D． 4．（2024春•安阳期末）下列图象中，可以表示一次函数y＝kx﹣b与正比例函数y＝kbx（k，b为常数，且kb≠0）的图象不可能的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数的性质和一次函数的性质，可以得到kb的正负和k、b的正负，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：选项A中，由一次函数的图象可知k＜0，b＜0，由正比例函数的图象可知kb＜0，故选项A不可能，符合题意； 选项B中，由一次函数的图象可知k＞0，b＜0，由正比例函数的图象可知kb＜0，故选项B可能，不符合题意； 选项C中，由一次函数的图象可知k＜0，b＜0，由正比例函数的图象可知kb＞0，故选项C可能，不符合题意； 选项D中，由一次函数的图象可知k＞0，b＞0，由正比例函数的图象可知kb＞0，故选项D可能，不符合题意； 故选：A． ( 一次函数的图像与性质 ) 5．（2024春•滑县期末）定义新运算：m☆n＝2m﹣n，例如：2☆3＝2×2﹣3＝1，则下列关于函数y＝（x+3）☆（﹣1）的说法正确的是（　　） A．点（﹣3，1）在函数图象上 B．图象经过第一、三、四象限 C．函数图象与x轴的交点为（3，0） D．若点（﹣2，y1）、（1，y2）在函数图象上，则y1＞y2 【分析】根据新运算“☆”的运算方法，得出y与x的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可． 【解答】解：∵m☆n＝2m﹣n， ∴y＝（x+3）☆（﹣1）＝2（x+3）+1＝2x+7． A．当x＝﹣3时，y＝﹣6+7＝1，即（﹣3，1）在函数图象上，故A说法正确，故本选项符合题意； B．图象经过一、二、三象限，故B说法不正确，故本选项不符合题意； C．函数图象与x轴的交点为（﹣3.5，0），故C说法不正确，故本选项不符合题意； D．若点（﹣2，y1）、（1，y2）在函数图象上，则y1＜y2，故D说法不正确，故本选项不符合题意； 故选：A． 6．（2024春•信阳期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣6x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1　＞　 y2．（填“＞”“＜”“＝”） 【分析】由k＝﹣6＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合x1＜x2，即可得出y1＞y2． 【解答】解：∵k＝﹣6＜0， ∴y随x的增大而减小． 又∵一次函数y＝﹣6x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，且x1＜x2， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 7．（2024春•上蔡县期末）在一次函数y＝（a﹣1）x﹣3的图象中，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 　a＜1　 ． 【分析】直接根据一次函数的增减性得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【解答】解：∵一次函数y＝（a﹣1）x﹣3的图象中，y随x的增大而减小， ∴a﹣1＜0， 解得a＜1． 故答案为：a＜1． 8．（2024春•禹州市期末）已知点P（2，a），Q（﹣5，b）是一次函数y＝﹣3x+1的图象上的两点，则a 　＜　 b（填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合2＞﹣5，即可得出a＜b． 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点P（2，a），Q（﹣5，b）是一次函数y＝﹣3x+1的图象上的两点，且2＞﹣5， ∴a＜b． 故答案为：＜． 9．（2024春•项城市期末）已知一次函数，当﹣3≤x≤4时，y的最大值是 　　 ，最小值是 　1　 ． 【分析】根据一次函数的性质和x的取值范围，可以求得y的最值． 【解答】解：∵一次函数yx+3， ∴y随x的增大而减小， ∵﹣3≤x≤4， ∴x＝﹣3时，y取得最大值，此时y（﹣3）+3， x＝4时，y取得最小值，此时y4+3＝1， 故答案为：，1． ( 一次函数与一元一次不等式 ) 10．（2024春•驻马店期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象相交于点P，则不等式mx+n≤kx+b的解集是 　x≤2　 ． 【分析】根据函数图象即可确定不等式的解集． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象相交于（2，4）， 根据图象可知，不等式mx+n≤kx+b的解集为：x≤2， 故答案为：x≤2． 11．（2024春•金水区期末）数形结合是非常重要的数学思想，利用数形结合可以帮助我们换个角度思考问题．例如我们可以从“图形”的角度来研究一元一次不等式：在解不等式x+1＞2（2x﹣1）时，我们可以令y1＝x+1，y2＝2（2x﹣1）＝4x﹣2，在平面直角坐标系中分别画出函数y1＝x+1和函数y2＝4x﹣2的图象，如图所示，观察图象可知当x＜1时，y1＞y2，即x+1＞2（2x﹣1），所以原不等式的解集为x＜1． 请你用以上方法解决下面的问题：已知关于x的不等式kx+b＞3x的解集是x＜1，则下列选项中可能是一次函数y＝kx+b图象的是（　　） A． B． C． D． 【分析】求出直线y＝3x过（1，3），可知当x＜1时，一次函数y＝kx+b图象在直线y＝3的上方，观察图象可得答案． 【解答】解：当x＝1时，y＝3x＝3， ∴直线y＝3x过（1，3）， ∵不等式kx+b＞3x的解集是x＜1， ∴当x＜1时，一次函数y＝kx+b图象在直线y＝3的上方， 观察各选项图象可知，符合条件的为C， 故选：C． 12．（2024春•信阳期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴的交点坐标分别为A（0，2），B（﹣3，0），下列说法：①y随x的增大而减小；②b＝﹣3；③关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2；④关于x的不等式kx+b＜0的解集x＜﹣3．其中说法正确的有 　④　 ． 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各个说法分析判断即可得解． 【解答】解：①如图所示：y随x的增大而增大，故说法错误； ②由于一次函数y＝kx+b的图象与y轴交点是（0，2），所以b＝2，故说法错误； ③由于一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（﹣3，0），所以关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣3，故说法错误； ④如图所示：关于x的不等式kx+b＜0的解集x＜﹣3，故说法正确． 综上所述，说法正确的结论是：④． 故答案为：④． 13．（2024春•西平县期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程： （1）列表： x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 6 8 … y … 5 2 ﹣1 ﹣4 ﹣1 n 5 … 直接写出m，n的值，m＝　4　 ，n＝　2　 ． （2）在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象，写出该函数的一条性质：　当x＞2时，y随x的增大而增大　 ； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为 　x≤﹣2或x≥4　 ． 【分析】（1）把x＝0，y＝﹣1时代入已知函数解析式中可得m的值，将（6，n）代入解析式中可得n的值； （2）描点补全图象即可，观察图象可得性质； （3）数形结合，可得答案． 【解答】解：（1）把x＝0，y＝﹣1代入y＝|x﹣3|﹣m中得：﹣1＝3﹣m， ∴m＝4， 当x＝6时，n＝|6﹣3|﹣4＝2， 故答案为：4，2； （2）如图所示： 该函数的一条性质：当x＞2时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； （3）由图象可得，不等式的解集为x≤﹣2或x≥4． ( 一次函数与二元一次方程（组） ) 14．（2024春•川汇区期末）直线y＝x+1与直线y＝ax+c相交于点P（3，b），则关于x，y的方程组的解是 　　 ． 【分析】将点P（3，b）代入y＝x+1，得到点P坐标为（3，4），根据“两函数图象的交点坐标即为两函数组成的方程组的解”即可求解． 【解答】解：∵点P（3，b）在直线y＝x+1上， ∴b＝3+1＝4， ∴点P坐标为（3，4）， ∵x﹣y＝﹣1可变形为y＝x+1，﹣ax+y＝c可变形为y＝ax+c， ∴关于x、y的方程组的解是． 故答案为：． 15．（2024春•殷都区期末）用图象法解二元一次方程组，小英所画图象如图所示，则方程组的解为　　 ． 【分析】先利用直线x﹣y+2＝0确定A点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【解答】解：把A（1，m）代入x﹣y+2＝0得1﹣m+2＝0，解得m＝3， 所以A点坐标为（1，3）， 所以二元一次方程组的解为． 故答案为． 16．（2024春•鼓楼区校级期末）如图所示，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列判断错误的是（　　） A．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1 B．关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x＞1 C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大 D．关于x，y的方程组 的解是 【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2）， ∴关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x≥1，选项B判断错误，符合题意； 当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大，选项C判断正确，符合题意； 关于x，y的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 17．（2024春•开封期末）小明在学了二元一次方程后，写出几组满足二元一次方程2x+y＝1的解． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y .. 5 3 1 ﹣1 ﹣3 … 小明把一个解用一个点表示出来，例如，用点（﹣2，5）表示，然后在平面直角坐标系中过这些点中的任意两点作直线，他发现这些点在一条直线上．若以方程2x+y＝1的解为坐标的点的全体叫做方程2x+y＝1的图象，如图，方程2x+y＝1的图象是一条直线． 问题： （1）若点A的坐标为，那么点A 　在　 （填“在”或“不在”）方程2x+y＝1的图象上． （2）表格是方程x﹣y＝﹣1的两组解，请先补全表格，然后模仿小明的方法，并在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程x﹣y＝﹣1的图象． x … ﹣1 … y … 1 … （3）请直接写出二元一次方程组． 【分析】（1）由于x，y＝0满足方程2x+y＝1，从而可判断点（，0）在方程2x+y＝1的图象上； （2）分别计算x＝﹣1对应的y的值和y＝1所对应的x的值，然后利用描点法画图象； （3）找出方程2x+y＝1的图象与方程x﹣y＝﹣1的图象的交点坐标即可． 【解答】解：（1）∵当x，y＝0时，2x+y＝20＝1， ∴点A在方程2x+y＝1的图象上；、 故答案为：在； （2）当x＝﹣1时，﹣1﹣y＝﹣1， 解得y＝0； 当y＝1时，x﹣1＝﹣1， 解得x＝0， 如图， （3）二元一次方程组的解为． 18．（2024春•息县期末）二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如 ，，， 如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示． 探究发现：以方程x﹣y＝1 的解为坐标的点落在同一条直线上，如图①所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图②中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为 　　 ； （2）请在图③中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，观察这两条直线的位置关系是 　平行　 ，该方程组的解的情况为 　无解　 ； 【拓展应用】 （3）图④中包含关于x，y的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解 　　 ． 【分析】（1）先利用描点法画出直线2x+y＝4与直线x﹣y＝﹣1，然后确定它们的交点坐标即可； （2）先利用描点法画出直线x+2y＝4与直线x+2y＝﹣2，然后利用它们平行可确定方程组的解； （3）先确定直线2x+y＝4不经过点（7，2），则直线2x+y＝4与直线mx﹣2m+y＝﹣3的交点横坐标为3，然后确定对应的纵坐标即可． 【解答】解：（1）如图②．直线2x+y＝4与直线x﹣y＝﹣1相交于点（1，2）， 所以二元一次方程组的解为； 故答案为：； （2）如图③，直线x+2y＝4与直线x+2y＝﹣2平行， 所以方程组无解； 故答案为：平行；无解； （3）如图④， ∵x＝7，y＝2时，2x+y＝14+2＝16≠4， ∴直线2x+y＝4不经过点（7，2）， 当x＝3时，6+y＝4， 解得y＝﹣2， ∴直线2x+y＝4与直线mx﹣2m+y＝﹣3的交点坐标为（3，﹣2）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． ( 一次函数的应用 ) 19．（2024春•平桥区期末）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词引发热议“人工智能+”．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距450cm的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x（s），聪聪和慧慧行走的路程分别为y1（cm）、y2（cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） ①慧慧比聪聪晚出发15秒 ②慧慧提速后的速度为30厘米/秒 ③n＝45 ④从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为140cm A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【分析】A．根据图象直接判断即可； B．根据“速度＝路程÷时间”求出慧慧提速前的速度，从而求出提速后的速度； C．根据“速度×时间＝路程”求出m的值，根据“速度＝路程÷时间”求出聪聪的速度，再根据“时间＝路程÷速度”求出n的值即可； D．当15＜x≤31时，聪聪和慧慧之间距离先减小后增大，当x＝31时两者距离达到最大，根据“路程＝速度×时间”求出此时的最大值；当15＜x≤31时，聪聪和慧慧之间距离先减小后增大，当x＝31时两者距离达到最大，求出此时的最大值；当31＜x≤41时，聪聪和慧慧之间距离逐渐减小到0，比较这两个最大值并选择较大的一个即可． 【解答】解：由图象可知，慧慧比聪聪晚出发15秒， ∴①正确； 慧慧提速前的速度为30÷（17﹣15）＝15（cm/s），则提速后的速度为2×15＝30（cm/s）， ∴②正确； 根据“速度×时间＝路程”，得30（m﹣17）＝450﹣30，解得m＝31， 根据“速度＝路程÷时间”，得聪聪的速度为310÷31＝10（cm/s）， 根据“时间＝路程÷速度”，得聪聪到达客人的时间为450÷10＝45（s）， ∴n＝45， ∴③正确； 由图象可知，当0≤x≤15时，聪聪和慧慧之间距离逐渐增大，当x＝15时两者距离达到最大，最大值为10×15＝150（cm）， 当15＜x≤31时，聪聪和慧慧之间距离先减小后增大，当x＝31时两者距离达到最大，最大值为450﹣310＝140（cm）， 当31＜x≤41时，聪聪和慧慧之间距离逐渐减小到0， ∵150＞140， ∴聪聪和慧慧之间距离的最大值为150cm， ∴④不正确． 故正确的是①②③， 故选：B． 20．（2024春•郑州期末）为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本30个，共用190元，且买10个甲种笔记本比买20个乙种笔记本少花10元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）张老师准备购买甲乙两种笔记本共100个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 【分析】（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，可得：，即可解得甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元； （2）设购买m个甲种笔记本，根据甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，可得m≥75，设所需费用为w元，w＝5×0.9m+3×0.9（100﹣m）＝1.8m+270，由一次函数性质得购买75个甲种笔记本，购买25个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元． 【解答】解：（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元， 根据题意得：， 解得， ∴甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元； （2）设购买m个甲种笔记本，则购买（100﹣m）个乙种笔记本， ∵甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍， ∴m≥3（100﹣m）， 解得m≥75， 设所需费用为w元， ∴w＝5×0.9m+3×0.9（100﹣m）＝1.8m+270， ∵1.8＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴m＝75时，w最小，最小值为1.8×75+270＝405（元）， 此时100﹣m＝25， 答：购买75个甲种笔记本，购买25个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元． 21．（2024春•南阳期末）自2022年新课程标准颁布以来，我校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台． （1）求A，B型设备单价分别是多少元； （2）我校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并设计出费用最低时的购买方案． 【分析】（1）设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为1.2x元，根据“用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台”建立方程，解方程即可． （2）根据总费用＝购买A型设备的费用+购买B型设备的费用，可得出w与a的函数关系式，并根据两种设备的数量关系得出a的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论． 【解答】解：（1）设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为1.2x元， 根据题意得，4， 解得：x＝2500． 经检验，x＝2500是原方程的解． ∴1.2x＝3000， ∴每台B型设备的价格为2500元，则每台A型号设备的价格为3000元． （2）设购买a台A型设备，则购买（50﹣a）台B型设备， ∴w＝3000a+2500（50﹣a）＝500a+125000， 由实际意义可知，， ∴12.5≤a≤50且a为整数， ∵500＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴当a＝13时，w的最小值为500×13+125000＝131500（元）． ∴w＝500a+125000，且最少购买费用为131500元． 22．（2024春•虞城县校级期末）“每天一杯纯牛奶”已经成为人们生活的健康时尚，市场上对牛奶的需求越发增大．某乳品公司每月均需通过“飞快”快递公司向A地输送一批牛奶．“飞快”公司给出三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费0.45元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取600元管理费用，再每千克运费0.15元； 方案三：每月收取1350元包干，不限运输重量． 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为y1元，选择方案二时，运费为y2元，选择方案三时，运费为y3元． （1）请直接写出y1，y2，y3与x之间的关系式； （2）在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出点C，D，E的坐标，并直接写出如何选择方案更合算． 【分析】（1）根据题意可得y1，y2，y3与x之间的关系式； （2）根据（1）的结论列方程可得点C，D，E的坐标，再根据点C，D，E的坐标可得结论． 【解答】解：（1）由题意得y1＝0.45x；y2＝0.15x+600；y3＝1350； （2）解方程0.45x＝0.15x+600，得x＝2000， 0.45×2000＝900， 故点C的坐标为（2000，900）； 解方程0.45x＝1350，得x＝3000， 故点D的坐标为（3000，1350）； 解方程0.15x+600＝1350，得x＝5000， 故点E的坐标为（5000，1350）； 由图象可知，当0＜x＜2000时，采用方案一更合算；当x＝2000时，费用方案一，二费用一样；当2000＜x≤5000时，采用方案二更合算；当x＝5000时，方案二，三费用一样，当x＞5000时，采用方案三更合算． 23．（2024春•邓州市期末）每年4月23日是世界读书日，旨在推动更多的人去阅读和写作，某书店以读书日为契机，决定购进甲，乙两种图书，供消费者选择．经调查，乙种图书每本进价20元，甲种图书的总进价y与购进甲种图书的数量x之间的函数关系如图所示： （1）请求出当0≤x≤120和x＞120时，y与x的函数关系式； （2）若该书店准备购进甲，乙两种图书共300本，且每种图书数量都不少于120本，书店计划甲种图书以每本30元出售，乙种图书以每本25元出售，如何购进两种图书，才能使书店所获利润最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）分别利用待定系数法求出关系式即可； （2）设总费用为w元，求出w关于x的关系式，再利用一次函数的性质求出最少的费用即可． 【解答】解：（1）解：当0≤x≤120时， 设y＝kx，把（120，3000）代入得k＝25， ∴y＝25x； 当x＞120时， 设y＝kx+b，把（120，3000）和（150，3600）代入得， ， 解得， 所以y与x的关系式为y； （2）设总费用为w元， 由题意得，120≤x≤180， 当120≤x≤180时， ω＝30x+（25﹣20）（300﹣x）﹣（20x+600）＝5x+900， ∵k＝5＞0，w随x的增大而增大， ∴当x＝180时，w最大＝5×180+900＝1800； ∴当 x＝180时，利润最大是1800元．此时乙种图书是120本， 答：应购买甲种图书180本，乙种图书120本，利润最大，最大为是1800元． 24．（2024春•舞阳县期末）某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本y1（单位：元）、收入y2（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系． （1）分别求出y1、y2与x的函数表达式； （2）若手工坊每天工作16小时，每小时生产10kg食品，则一天可获利润为多少元？ 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）设一天可获利润为W（元），根据题意当x＝160时，计算y2﹣y1的值即可． 【解答】解：（1）设y1＝kx+b， 代入（0，240），（60，480）， 得， 解得， ∴y1＝4x+240； 设y2＝mx，代入（60，720）， 得60m＝720， 解得m＝12， ∴y2＝12x． （2）设一天可获利润为W（元）， ∵x＝16×10＝160， ∴W＝y2﹣y1＝（12×160）﹣（4×160+240）＝1040（元）， ∴一天可获利润1040元． 25．（2024春•桐柏县期末）4月23日是“世界读书日”，随着全民阅读活动的推行，人们读书的热情日益高涨，图书的需求量不断增加，某书店为适应市场的需求决定购进A，B两种新书进行销售，已知每本A种图书的进价比B种图书贵10元，用1600元购进A种图书的数量和用1200元购进B种图书的数量相同． （1）求A，B两种图书每本的进价． （2）已知A种图书的售价为每本60元，B种图书的售价为每本45元，该书店决定购进这两种图书共100本，且用于购买这100本图书的资金不超过3600元，若A，B两种图书全部卖完，那么该书店如何进货才能获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设B种图书价格为 x 元，可得：，解方程并检验可得答案； （2）设购进A种图书m本，该书店获利w元，由用于购买这100本图书的资金不超过3600元，知40m+30（100﹣m）≤3600，m≤60，而w＝（60﹣40）m+（45﹣30）（100﹣m）＝5m+1500，由一次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）设B种图书价格为 x 元，则A种图书价格为 （x+10）元， 由题意得：， 解得：x＝30， 检验：当x＝30时，x（x+30）≠0， ∴x＝30 是原分式方程的解， ∴x+10＝30+10＝40， ∴A种图书的价格是 40 元，B种图书的价格是 30 元； （2）设购进A种图书m本，该书店获利w元，则购进B种图书（100﹣m）本， ∵用于购买这100本图书的资金不超过3600元， ∴40m+30（100﹣m）≤3600， 解得m≤60， 根据题意得：w＝（60﹣40）m+（45﹣30）（100﹣m）＝5m+1500， ∵5＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝60时，w取最大值，最大值为5×60+1500＝1800， 此时100﹣m＝100﹣60＝40， ∴购进A种图书60本，购进B种图书40本，才能获利最大，最大利润是1800元． 26．（2024春•浉河区期末）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． （1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元），根据同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根； （2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，根据总利润＝两种模型利润之和列出函数解析式即可； ②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值即可． 【解答】解：（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元）， 根据题意得：4， 解得x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合实际意义， 0.8x＝16（元）， 答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元； （2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个， 则w＝（35﹣20）a+（25﹣16）（100﹣a）＝6a+900， ∴w与a的函数关系式为w＝6a+900； ②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半， ∴a（100﹣a）， 解得a， ∵w＝6a+900，6＞0，a是正整数， ∴当a＝33时，w最大，最大值为1098， 答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元． 27．（2024春•梁园区期末）某水果生产基地，某天安排30名工人采摘枇杷或草莓（每名工人只能做其中一项工作），并且每人每天摘0.4吨枇杷或0.3吨草莓，当天的枇杷售价每吨2000元，草莓售价每吨3000元，设安排其中x名工人采摘枇杷，两种水果当天全部售出，销售总额达y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若要求当天采摘枇杷的质量不少于草莓的质量，求销售总额的最大值． 【分析】（1）x名工人采摘枇杷，那么30名工人中剩下的人采摘草莓，根据每人采摘枇杷和草莓的质量及其枇杷和草莓分别的售价即可列出销售总额y与x的函数关系， （2）根据当天采摘枇杷的质量不少于草莓的质量列出关于x的一元一次不等式，解出x的最小值代入y与x之间的函数关系式即可． 【解答】解：（1）x名工人采摘枇杷，那么（30﹣x）名工人采摘草莓， 采摘的枇杷的质量为0.4x吨，采摘的草莓的质量为0.3（30﹣x）吨， 根据题意，得：y＝2000×0.4x+3000×0.3（30﹣x）， 整理后，得：y＝27000﹣100x， y与x之间的函数关系式为y＝27000﹣100x， （2）根据题意得：0.4x≥0.3（30﹣x）， 解得：x， ∵x为正整数， ∴x的最小值为13， ∵x越小，y越大， ∴把x＝13代入y＝27000﹣100x， 解得：y＝25700， 即：销售综合的最大值为25700元， 答：若要求当天采摘枇杷的质量不少于草莓的质量，销售综合的最大值为25700元． 28．（2024春•周口期末）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求y关于x的函数关系式； （2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油．在此次行驶过程中，行驶了450千米时，司机发现离前方最近的加油站有75千米的路程．在开往该加油站的途中，当汽车开始提示加油时，离加油站的路程是多少千米？ 【分析】（1）根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，此题得解． 【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y＝kx+b， 将（150，45）、（0，60）代入y＝kx+b中， ， 解得：， ∴该一次函数解析式为y＝﹣0.1x+60． （2）∵当y＝﹣0.1x+60＝8时，x＝520，即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升． 当x＝450千米时，解得y＝15升． ∴75﹣（520﹣450）＝5千米，即油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站5千米． ∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是5千米． 29．（2024春•禹王台区校级期末）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示， （1）求a的值． （2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数． （3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？ 【分析】（1）a分钟新增40a人，由图象可得400+40a﹣15×4a＝320，据此可得答案； （2）运用待定系数法求直线BC的解析式，再把x＝7代入计算即可； （3）根据题意列不等式求解． 【解答】解：（1）根据“等候购餐的人数＝开餐时排队人数+前a分钟新增排队人数﹣购餐后离开的人数”，得400+40a﹣15×4a＝320， 解得a＝4， ∴a的值是4． （2）当4≤x≤10时，设排队等候购餐的人数y与开餐时间x的关系为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标B（4，320）和C（10，0）代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴yx（4≤x≤10）． 当x＝7时，y7160， ∴开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候160人； （3）设同时开放x个窗口，则7×15x≥400+4×40+[60×6﹣320]，解得x≥5， 所以至少需同时开放6个售票窗口． 30．（2024春•焦作期末）如图1，小球从光滑斜坡AB滚下，经过粗糙平路BC，再从光滑斜坡CD上坡至速度变为0后，又沿斜坡滚下，经过粗糙平路CB，沿BA上坡至速度变为0，…，往返运动至小球停止．（在同一段路程中，路程） 下面的表格记录了小球第一次从点A向点D运动时，速度v与时间t的关系： 时间t（s） 0 0.5 1 2 3 3.5 4 4.5 5 6 速度v（cm/s） 0 1 2 4 6 5.5 5 4.5 4 0 （1）在0～3s之间，速度v与时间t的关系式为 　v＝2t　 ； （2）根据表格中的数据，将速度v与时间t的关系用如图2的图象表示，则图2中E点表示的实际意义是什么？ （3）求粗糙平路BC的长度． 【分析】（1）设0～3s之间速度v与时间t的关系式为：v＝kt，利用待定系数法即可求解； （2）由图象知，点E表示的实际意义是当小球从光滑斜坡AB滚下，经过粗糙平路BC，再从光滑斜坡CD上坡运动5.5s时，速度为2cm/s； （3）由图象知，当小球位于点B时的速度为6cm/s，运动了2s，点C时的速度为4cm/s，故BC段的平均速度 v球＝3（cm/s），进而求解． 【解答】解：（1）解：由题意得，t＝3s时，v＝6cm/s， 设0～3s之间速度v与时间t的关系式为：v＝kt， ∴6＝3k， 解得k＝2， ∴v＝2t， 故答案为：v＝2t； （2）由图象知，点E表示的实际意义是：当小球从光滑斜坡AB滚下，经过粗糙平路BC，再从光滑斜坡CD上坡运动5.5s时，速度为2cm/s； （3）由图象知，小球位于点B时的速度为6cm/s，运动了2s后小球位于点C时的速度为4cm/s， ∴BC段的平均速度为5（cm/s） ∴粗糙平路BC的长度为5×2＝10（cm）． 31．（2024春•川汇区期末）水在标准气压下的沸点温度是100℃，食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．在老师指导下，小明计划用量程为﹣30℃～150℃的温度计，估算出某种食用油沸点的温度，他进行了如下探究活动： 活动主题：食用油沸点探究． 活动过程：在老师的指导下，在烧杯中倒入100克食用油均匀加热，每隔15s测量一次烧杯中油温，共进行了5次测量（5次测量后撤去温度计，继续加热），得到的数据记录如下表： 时间t/s 0 15 30 45 60 油温y/℃ 20.0 42.5 65.0 87.5 110.0 根据他的探究情况，请你完成下列任务． （1）任务一：在直角坐标系中描出表中数据对应的点．在这种食用油达到沸点前，若烧杯中油的温度y（单位：℃）与加热的时间t（单位：s）符合我们学习过的某种函数关系，根据表中数据和坐标系中描出的点的分布规律猜测这个关系可能是 　一次　 函数关系． （2）任务二：请你根据以上判断，求出这种食用油达到沸点前y关于t的函数关系式． （3）任务三：当加热到第140s时，油沸腾了，请估算这种食用油沸点的温度． 【分析】（1）直接描点即可；根据描出的点的分布规律即可作出猜测； （2）设函数解析式，利用待定系数法即可求解； （3）求出t＝140时的函数值即可得． 【解答】解：（1）任务一：在直角坐标系中描出表中数据对应的点如图所示； 根据表中数据和坐标系中描出的点的分布规律，猜测可能是一次函数； 故答案为：一次； （2）设y＝kt+b，选点（0，20），（15，24.5）（不唯一）． 把点（0，20）代入y＝kt+b，得20＝k×0+b． 解得b＝20． 把点（15，24.5）代入y＝kt+20，得42.5＝k×15+20． 解得k＝1.5． 所以y＝1.5t+20． （3）∵当t＝140时，y＝1.5×140+20＝210+20＝230． ∴估计这种食用油沸点的温度是230℃． 32．（2023秋•宝丰县期末）随着无人机高科技产业的快速发展，无人机航拍逐渐成为摄影创作的重要形式．某日，学校摄影社团组织汾河冬景无人机航拍活动．如图的平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示拍摄某镜头时1号、2号无人机飞行高度y1，y2（米）与飞行时间x（秒）的函数关系，其中y2＝﹣4x+150，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25． （1）图中点B的坐标为 　（0，150）　 ； （2）求线段OA对应的函数表达式（0≤x≤25）； （3）求点P的坐标，并写出点P坐标表示的实际意义． 【分析】（1）当x＝0时，y2＝150，求出点B的坐标； （2）求出点A的坐标为（25，150），代入y1＝kx； （3）联立y2＝﹣4x+150与y1＝6x，求出点P的坐标． 【解答】解：（1）当x＝0时，y2＝150， ∴点B的坐标为（0，150）； （2）由题意知点A的坐标为（25，150）， 设y1＝kx（k≠0）， 将（25，150）代入y1＝kx得150＝25x， ∴x＝6， ∴y1＝6x， ∴线段OA对应的函数表达式为：y1＝6x； （3）联立y2＝﹣4x+150与y1＝6x6x＝﹣4x+150， 解得：x＝15， ∴6x＝90， ∴点P的坐标为（15，90）， 点P坐标表示的实际意义是第15秒时1号和2号无人机在同一高度． 33．（2024春•舞阳县期末）如图是一个斜坡（长度足够）的截面，一些相同的钢球从斜坡顶端由静止沿斜坡滚下，每隔2s释放一个钢球，每个钢球的速度每秒增加2m/s．已知第1个钢球速度v1（单位：m/s），其运动时间t（单位：s）． （1）求v1关于t的函数解析式； （2）第2个钢球速度v2与第1个钢球运动时间t的函数解析式v2＝　2t﹣4　 ；当第1个钢球的速度是第2个钢球的4倍时，则第1个钢球运动时间t＝　　 ； （3）当第1个钢球的速度是第n个钢球的4倍时，求第1个钢球的运动时间t．（用含n的式子表示） 【分析】（1）由题意可得v1关于t的函数解析式； （2）用第1个钢球运动时间t将第2个钢球运动的时间表示出来，再写出v2与t的函数解析式即可．当v1＝4v2时，求出t即可； （3）用第1个钢球运动时间t将第n个钢球运动的时间表示出来，再写出vn与t的函数解析式．当v1＝4vn时，求出t即可． 【解答】解：（1）根据题意得v1＝2t． （2）根据题意得v2＝2（t﹣2），即v2＝2t﹣4． 由题意得v1＝4v2，即2t＝4（2t﹣4），解得t． 故答案为：2t﹣4，． （3）根据题意，第n个钢球的速度与第1个钢球的运动时间t的函数关系为vn＝2[t﹣2（n﹣1）]，即vn＝2t﹣4（n﹣1）． 当v1＝4vn时，即2t＝4[2t﹣4（n﹣1）]，解得t． ∴当第1个钢球的速度是第n个钢球的4倍时，第1个钢球的运动时间t为． 34．（2024春•禹王台区期末）已知直线的图象如图所示．若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最大值，则y的最小值是（　　） A．4 B．3 C． D． 【分析】读懂题意，根据图象分段找到y 的值应该属于那条直线上的部分，在从范围内找到最低点，求值即可． 【解答】解：过y1、y2 的交点作y轴的平行线l，过y2、y3的交点作y轴的平行线m， 由题意根据一次函数图象的性质可知，符合条件的y的取值如图所示， ∴y的最小值是y2、y3交点坐标的纵坐标值． 联立两直线解析式：， 解得x，代入y2 或y3解析式求得y． 故选：C． 35．（2024春•鼓楼区期末）如果关于x的一次函数y＝（a+1）x+（a﹣6）的图象不经过第二象限，且关于x的分式方程有整数解，那么所有满足条件的整数a的值之和为 　15　 ． 【分析】根据关于x的一次函数y＝（a+1）x+（a﹣6）的图象不经过第二象限，可以得到a+1＞0且a﹣6≤0，然后求出a的取值范围，再根据关于x的分式方程有整数解，可以求得a的值，然后即可得到所有满足条件的整数a的值，再将这些值相加即可． 【解答】解：∵一次函数y＝（a+1）x+（a﹣6）的图象不经过第二象限， ∴a+1＞0且a﹣6≤0， 解得﹣1＜a≤6， 由可得，x， ∵关于x的分式方程有整数解， ∴4﹣a＝﹣1或4﹣a＝﹣2或4﹣a＝﹣3或4﹣a＝﹣6或4﹣a＝1或4﹣a＝2或4﹣a＝3或4﹣a＝6， 解得a＝5或a＝6或a＝7或a＝10或a＝3或a＝2或a＝1或a＝﹣2， 经检验，a＝5或a＝6或a＝7或a＝10或a＝3或a＝1或a＝﹣2， 由上可得，所有满足条件的整数a的值为1，3，5，6， ∴所有满足条件的整数a的值之和为1+3+5+6＝15， 故答案为：15． 36．（2024春•济源期末）综合与实践 随着移动终端设备的升级换代，手机已经成为我们生活中不可缺少的一部分．学生用手机刷小视频的现象愈加严重．为了了解学生平均每周用于阅读课外书的时间和用手机刷小视频的时间的分配情况，老师借助平面直角坐标系对班里部分学生进行调查分析． （1）请你说出点A的实际意义； （2）经调查，小明一周用手机刷小视频的时间和用于阅读课外书的时间共为8小时，并且用于阅读课外书的时间是用手机刷小视频时间的2倍少1小时．请你计算出小明本周用于阅读课外书和用手机刷小视频的时间，并在平面直角坐标系中描出表示小明本周用于阅读课外书和用手机刷小视频的时间情况的点B； （3）老师发现有几个学生用手机刷小视频的时间与阅读课外书的时间之和都为10小时，并且用手机刷小视频的时间不小于阅读课外书时间的4倍．如果这两个时间均为整数，请你求出这几个学生用于阅读课外书和用手机刷小视频的时间情况的点的坐标； （4）图中射线OC表示∠xOy的角平分线． ①射线OC上的点表示的含义为 　用手机刷小视频的时间与用于阅读课外书的时间相等　 ． ②射线OC左上方的点表示的含义为 　用手机刷小视频的时间少于用于阅读课外书的时间．　 ． 【分析】（1）根据点A的坐标作答即可； （2）设小明本周用手机刷小视频时间是x小时，则用于阅读课外书的时间是（8﹣x）小时，根据“用于阅读课外书的时间＝2×用手机刷小视频时间﹣1”列方程并求解，从而写出点B的坐标并描点即可； （3）设阅读课外书时间为t小时，则用手机刷小视频的时间为（10﹣t）小时，根据“用手机刷小视频的时间≥4×阅读课外书时间”列出关于t的一元一次不等式并求解，求出t和10﹣t的可能值，从而求出这些点的坐标即可； （4）①射线OC上的点横坐标与纵坐标相等，据此作答即可； ②比较射线OC左上方的点的横坐标与纵坐标的大小即可得出结论． 【解答】解：（1）点A的坐标为（2，7）， ∴点A的实际意义是用手机刷小视频的时间是2小时，用于阅读课外书的时间是7小时． （2）设小明本周用手机刷小视频时间是x小时，则用于阅读课外书的时间是（8﹣x）小时． 根据题意，得8﹣x＝2x﹣1， 解得x＝3， 8﹣3＝5（小时）， ∴小明本周用于阅读课外书的时间是5小时，用手机刷小视频时间是3小时， ∴点B的坐标是（3，5），在平面直角坐标系中的位置如图所示： （3）设阅读课外书时间为t小时，则用手机刷小视频的时间为（10﹣t）小时． 根据题意，得10﹣t≥4t， 解得t≤2， 当t＝2时，10﹣t＝8； 当t＝1时，10﹣t＝9； 当t＝0时，10﹣t＝10， ∴这几个学生用于阅读课外书和用手机刷小视频的时间情况的点的坐标分别是（8，2），（9，1），（10，0）． （4）①射线OC上的点表示的含义为用手机刷小视频的时间与用于阅读课外书的时间相等． 故答案为：用手机刷小视频的时间与用于阅读课外书的时间相等． ②射线OC左上方的点表示的含义为用手机刷小视频的时间少于用于阅读课外书的时间． 故答案为：用手机刷小视频的时间少于用于阅读课外书的时间． 37．（2024春•滑县期末）【知识回顾】（1）通过学习我们知道一次函数y＝5﹣x和y＝2x﹣1的图象如图1所示，所以方程组的解为 　　 ． 【知识探究】（2）小友结合学习一次函数的经验，对函数y＝﹣2|x|+5的图象进行了探究．下面是小友的探究过程： ①列表：把下表补充完整． x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ ﹣3 　﹣1　 1 3 5 3 　1　 ﹣1 ﹣3 ⋯ ②描点、连线：在给出的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． 【知识应用】 （3）利用一次函数与二元一次方程（组）的关系，结合函数图象可知，方程组的解为 　或　 ． 【分析】（1）根据两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组成的方程组的解； （2）根据题意弧长图象即可； （3）根据两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组成的方程组的解即可得到结论 【解答】解：（1）由图可知，y＝5﹣x和y＝2x﹣1的图象相交于点（2，3）， 所以方程组的解是． 故答案为：； （2）①列表：把下表补充完整． x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ ﹣3 ﹣1 1 3 5 3 1 ﹣1 ﹣3 ⋯ 故答案为：﹣1，1； ②描点、连线，画出函数图象如图所示； （3）如图2，画出一次函数y＝x+2的图象，由图可知，方程组 的解为：或． 故答案为：或． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数的图像与性质 题型概览 01 一次函数的定义 02 一次函数的图像 03 一次函数的图像与性质 04 一次函数与一元一次不等式 05 一次函数与二元一次方程（组） 06 一次函数的应用 一次函数的定义 1．（2024春•鹿邑县期末）若函数是正比例函数，且图象在一、三象限，则m＝　　 ． 2．（2024春•项城市期末）若y＝（a+4）x+a2﹣16是正比例函数，则a＝　　 ． 一次函数的图像 3．（2023秋•焦作期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx和y＝x+k（k为常数，k＜0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•安阳期末）下列图象中，可以表示一次函数y＝kx﹣b与正比例函数y＝kbx（k，b为常数，且kb≠0）的图象不可能的是（　　） A． B． C． D． 一次函数的图像与性质 5．（2024春•滑县期末）定义新运算：m☆n＝2m﹣n，例如：2☆3＝2×2﹣3＝1，则下列关于函数y＝（x+3）☆（﹣1）的说法正确的是（　　） A．点（﹣3，1）在函数图象上 B．图象经过第一、三、四象限 C．函数图象与x轴的交点为（3，0） D．若点（﹣2，y1）、（1，y2）在函数图象上，则y1＞y2 6．（2024春•信阳期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣6x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1　　 y2．（填“＞”“＜”“＝”） 7．（2024春•上蔡县期末）在一次函数y＝（a﹣1）x﹣3的图象中，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 　　 ． 8．（2024春•禹州市期末）已知点P（2，a），Q（﹣5，b）是一次函数y＝﹣3x+1的图象上的两点，则a 　　 b（填“＞”“＜”或“＝”）． 9．（2024春•项城市期末）已知一次函数，当﹣3≤x≤4时，y的最大值是 　　 ，最小值是 　　 ． 一次函数与一元一次不等式 10．（2024春•驻马店期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象相交于点P，则不等式mx+n≤kx+b的解集是 　 　 ． 11．（2024春•金水区期末）数形结合是非常重要的数学思想，利用数形结合可以帮助我们换个角度思考问题．例如我们可以从“图形”的角度来研究一元一次不等式：在解不等式x+1＞2（2x﹣1）时，我们可以令y1＝x+1，y2＝2（2x﹣1）＝4x﹣2，在平面直角坐标系中分别画出函数y1＝x+1和函数y2＝4x﹣2的图象，如图所示，观察图象可知当x＜1时，y1＞y2，即x+1＞2（2x﹣1），所以原不等式的解集为x＜1． 请你用以上方法解决下面的问题：已知关于x的不等式kx+b＞3x的解集是x＜1，则下列选项中可能是一次函数y＝kx+b图象的是（　　） A． B． C． D． 12．（2024春•信阳期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴的交点坐标分别为A（0，2），B（﹣3，0），下列说法：①y随x的增大而减小；②b＝﹣3；③关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2；④关于x的不等式kx+b＜0的解集x＜﹣3．其中说法正确的有 　　 ． 13．（2024春•西平县期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程： （1）列表： x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 6 8 … y … 5 2 ﹣1 ﹣4 ﹣1 n 5 … 直接写出m，n的值，m＝　　 ，n＝　　 ． （2）在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象，写出该函数的一条性质：　 　 ； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为 　 　 ． 一次函数与二元一次方程（组） 14．（2024春•川汇区期末）直线y＝x+1与直线y＝ax+c相交于点P（3，b），则关于x，y的方程组的解是 　　 ． 15．（2024春•殷都区期末）用图象法解二元一次方程组，小英所画图象如图所示，则方程组的解为　　 ． 16．（2024春•鼓楼区校级期末）如图所示，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列判断错误的是（　　） A．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1 B．关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x＞1 C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大 D．关于x，y的方程组 的解是 17．（2024春•开封期末）小明在学了二元一次方程后，写出几组满足二元一次方程2x+y＝1的解． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y .. 5 3 1 ﹣1 ﹣3 … 小明把一个解用一个点表示出来，例如，用点（﹣2，5）表示，然后在平面直角坐标系中过这些点中的任意两点作直线，他发现这些点在一条直线上．若以方程2x+y＝1的解为坐标的点的全体叫做方程2x+y＝1的图象，如图，方程2x+y＝1的图象是一条直线． 问题： （1）若点A的坐标为，那么点A 　　 （填“在”或“不在”）方程2x+y＝1的图象上． （2）表格是方程x﹣y＝﹣1的两组解，请先补全表格，然后模仿小明的方法，并在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程x﹣y＝﹣1的图象． x … ﹣1 … y … 1 … （3）请直接写出二元一次方程组． 18．（2024春•息县期末）二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如 ，，， 如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示． 探究发现：以方程x﹣y＝1 的解为坐标的点落在同一条直线上，如图①所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图②中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为 　　 ； （2）请在图③中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，观察这两条直线的位置关系是 　　 ，该方程组的解的情况为 　　 ； 【拓展应用】 （3）图④中包含关于x，y的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解 　　 ． 一次函数的应用 19．（2024春•平桥区期末）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词引发热议“人工智能+”．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距450cm的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x（s），聪聪和慧慧行走的路程分别为y1（cm）、y2（cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） ①慧慧比聪聪晚出发15秒 ②慧慧提速后的速度为30厘米/秒 ③n＝45 ④从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为140cm A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 20．（2024春•郑州期末）为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本30个，共用190元，且买10个甲种笔记本比买20个乙种笔记本少花10元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）张老师准备购买甲乙两种笔记本共100个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 21．（2024春•南阳期末）自2022年新课程标准颁布以来，我校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台． （1）求A，B型设备单价分别是多少元； （2）我校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并设计出费用最低时的购买方案． 22．（2024春•虞城县校级期末）“每天一杯纯牛奶”已经成为人们生活的健康时尚，市场上对牛奶的需求越发增大．某乳品公司每月均需通过“飞快”快递公司向A地输送一批牛奶．“飞快”公司给出三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费0.45元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取600元管理费用，再每千克运费0.15元； 方案三：每月收取1350元包干，不限运输重量． 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为y1元，选择方案二时，运费为y2元，选择方案三时，运费为y3元． （1）请直接写出y1，y2，y3与x之间的关系式； （2）在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出点C，D，E的坐标，并直接写出如何选择方案更合算． 23．（2024春•邓州市期末）每年4月23日是世界读书日，旨在推动更多的人去阅读和写作，某书店以读书日为契机，决定购进甲，乙两种图书，供消费者选择．经调查，乙种图书每本进价20元，甲种图书的总进价y与购进甲种图书的数量x之间的函数关系如图所示： （1）请求出当0≤x≤120和x＞120时，y与x的函数关系式； （2）若该书店准备购进甲，乙两种图书共300本，且每种图书数量都不少于120本，书店计划甲种图书以每本30元出售，乙种图书以每本25元出售，如何购进两种图书，才能使书店所获利润最大，最大利润是多少？ 24．（2024春•舞阳县期末）某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本y1（单位：元）、收入y2（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系． （1）分别求出y1、y2与x的函数表达式； （2）若手工坊每天工作16小时，每小时生产10kg食品，则一天可获利润为多少元？ 25．（2024春•桐柏县期末）4月23日是“世界读书日”，随着全民阅读活动的推行，人们读书的热情日益高涨，图书的需求量不断增加，某书店为适应市场的需求决定购进A，B两种新书进行销售，已知每本A种图书的进价比B种图书贵10元，用1600元购进A种图书的数量和用1200元购进B种图书的数量相同． （1）求A，B两种图书每本的进价． （2）已知A种图书的售价为每本60元，B种图书的售价为每本45元，该书店决定购进这两种图书共100本，且用于购买这100本图书的资金不超过3600元，若A，B两种图书全部卖完，那么该书店如何进货才能获利最大？最大利润是多少元？ 26．（2024春•浉河区期末）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． （1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 27．（2024春•梁园区期末）某水果生产基地，某天安排30名工人采摘枇杷或草莓（每名工人只能做其中一项工作），并且每人每天摘0.4吨枇杷或0.3吨草莓，当天的枇杷售价每吨2000元，草莓售价每吨3000元，设安排其中x名工人采摘枇杷，两种水果当天全部售出，销售总额达y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若要求当天采摘枇杷的质量不少于草莓的质量，求销售总额的最大值． 28．（2024春•周口期末）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求y关于x的函数关系式； （2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油．在此次行驶过程中，行驶了450千米时，司机发现离前方最近的加油站有75千米的路程．在开往该加油站的途中，当汽车开始提示加油时，离加油站的路程是多少千米？ 29．（2024春•禹王台区校级期末）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示， （1）求a的值． （2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数． （3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？ 30．（2024春•焦作期末）如图1，小球从光滑斜坡AB滚下，经过粗糙平路BC，再从光滑斜坡CD上坡至速度变为0后，又沿斜坡滚下，经过粗糙平路CB，沿BA上坡至速度变为0，…，往返运动至小球停止．（在同一段路程中，路程） 下面的表格记录了小球第一次从点A向点D运动时，速度v与时间t的关系： 时间t（s） 0 0.5 1 2 3 3.5 4 4.5 5 6 速度v（cm/s） 0 1 2 4 6 5.5 5 4.5 4 0 （1）在0～3s之间，速度v与时间t的关系式为 　 　 ； （2）根据表格中的数据，将速度v与时间t的关系用如图2的图象表示，则图2中E点表示的实际意义是什么？ （3）求粗糙平路BC的长度． 31．（2024春•川汇区期末）水在标准气压下的沸点温度是100℃，食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．在老师指导下，小明计划用量程为﹣30℃～150℃的温度计，估算出某种食用油沸点的温度，他进行了如下探究活动： 活动主题：食用油沸点探究． 活动过程：在老师的指导下，在烧杯中倒入100克食用油均匀加热，每隔15s测量一次烧杯中油温，共进行了5次测量（5次测量后撤去温度计，继续加热），得到的数据记录如下表： 时间t/s 0 15 30 45 60 油温y/℃ 20.0 42.5 65.0 87.5 110.0 根据他的探究情况，请你完成下列任务． （1）任务一：在直角坐标系中描出表中数据对应的点．在这种食用油达到沸点前，若烧杯中油的温度y（单位：℃）与加热的时间t（单位：s）符合我们学习过的某种函数关系，根据表中数据和坐标系中描出的点的分布规律猜测这个关系可能是 　 　 函数关系． （2）任务二：请你根据以上判断，求出这种食用油达到沸点前y关于t的函数关系式． （3）任务三：当加热到第140s时，油沸腾了，请估算这种食用油沸点的温度． 32．（2023秋•宝丰县期末）随着无人机高科技产业的快速发展，无人机航拍逐渐成为摄影创作的重要形式．某日，学校摄影社团组织汾河冬景无人机航拍活动．如图的平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示拍摄某镜头时1号、2号无人机飞行高度y1，y2（米）与飞行时间x（秒）的函数关系，其中y2＝﹣4x+150，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25． （1）图中点B的坐标为 　 　 ； （2）求线段OA对应的函数表达式（0≤x≤25）； （3）求点P的坐标，并写出点P坐标表示的实际意义． 33．（2024春•舞阳县期末）如图是一个斜坡（长度足够）的截面，一些相同的钢球从斜坡顶端由静止沿斜坡滚下，每隔2s释放一个钢球，每个钢球的速度每秒增加2m/s．已知第1个钢球速度v1（单位：m/s），其运动时间t（单位：s）． （1）求v1关于t的函数解析式； （2）第2个钢球速度v2与第1个钢球运动时间t的函数解析式v2＝　　 ；当第1个钢球的速度是第2个钢球的4倍时，则第1个钢球运动时间t＝　　 ； （3）当第1个钢球的速度是第n个钢球的4倍时，求第1个钢球的运动时间t．（用含n的式子表示） 34．（2024春•禹王台区期末）已知直线的图象如图所示．若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最大值，则y的最小值是（　　） A．4 B．3 C． D． 35．（2024春•鼓楼区期末）如果关于x的一次函数y＝（a+1）x+（a﹣6）的图象不经过第二象限，且关于x的分式方程有整数解，那么所有满足条件的整数a的值之和为 　 　 ． 36．（2024春•济源期末）综合与实践 随着移动终端设备的升级换代，手机已经成为我们生活中不可缺少的一部分．学生用手机刷小视频的现象愈加严重．为了了解学生平均每周用于阅读课外书的时间和用手机刷小视频的时间的分配情况，老师借助平面直角坐标系对班里部分学生进行调查分析． （1）请你说出点A的实际意义； （2）经调查，小明一周用手机刷小视频的时间和用于阅读课外书的时间共为8小时，并且用于阅读课外书的时间是用手机刷小视频时间的2倍少1小时．请你计算出小明本周用于阅读课外书和用手机刷小视频的时间，并在平面直角坐标系中描出表示小明本周用于阅读课外书和用手机刷小视频的时间情况的点B； （3）老师发现有几个学生用手机刷小视频的时间与阅读课外书的时间之和都为10小时，并且用手机刷小视频的时间不小于阅读课外书时间的4倍．如果这两个时间均为整数，请你求出这几个学生用于阅读课外书和用手机刷小视频的时间情况的点的坐标； （4）图中射线OC表示∠xOy的角平分线． ①射线OC上的点表示的含义为 　　 ． ②射线OC左上方的点表示的含义为 　　 ． 37．（2024春•滑县期末）【知识回顾】（1）通过学习我们知道一次函数y＝5﹣x和y＝2x﹣1的图象如图1所示，所以方程组的解为 　 ． 【知识探究】（2）小友结合学习一次函数的经验，对函数y＝﹣2|x|+5的图象进行了探究．下面是小友的探究过程： ①列表：把下表补充完整． x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ ﹣3 　　 1 3 5 3 　　 ﹣1 ﹣3 ⋯ ②描点、连线：在给出的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． 【知识应用】 （3） 利用一次函数与二元一次方程（组）的关系，结合函数图象可知，方程组的解 为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$