2025年河北中考数学临考押题冲冠卷（冲卷）

绝密★启用前 2025年河北中考数学临考押题冲冠卷（冲卷） 题号 一 二 三 总分 得分 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共12小题） 1．下列每组数的平均数为负数的是（　　） A．0和2 B．2和﹣3 C．﹣2和3 D．2和3 2．古城正定承载着丰富的古建筑文化．在如图的六边形窗户ABCDEF中，已知AB∥CF∥DE，∠B＝∠D＝140°，则∠BCD＝（　　） A．120° B．100° C．80° D．60° 3．下面是芳芳同学计算（a•a2）3的过程： 解：（a•a2）3＝a3•（a2）3…① ＝a3•a6…② ＝a9…③ 则步骤①②③依据的运算性质分别是（　　） A．积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法 B．幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法 C．同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方 D．幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方 4．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（　　） A．2 B．3 C．4或5 D．6 5．已知两个多项式A＝x2+x+1，B＝x2﹣x+1，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①若A+B＝10，则x＝2； ②|A﹣B﹣2|+|A﹣B+4|＝6，则x需要满足的条件是﹣2≤x≤1； ③若A×B＝0，则关于x的方程无实数根； ④若x为正整数（x≠3），且为整数，则x＝1，2，4，5． 上面说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．综合实践课上，嘉嘉画出∠AOB，如图1，利用尺规作图作∠AOB的角平分线OP．其作图过程如下： （1）如图2，在射线OA上取一点D（不与点O重合），作∠ADC＝∠AOB，且点C落在∠AOB内部； （2）如图3，以点D为圆心，以DO长为半径作弧，交射线DC于点P，作射线OP，射线OP就是∠AOB的平分线． 在嘉嘉的作法中，判断射线OP是∠AOB的平分线过程中不可能用到的依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．等边对等角 D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 7．如图，嘉淇将一正方形纸片ABCD裁剪成①，②，③，④四块，其中①～③是三块小矩形，④是一块小正方形．若已知矩形②和③的周长和为20，则正方形ABCD与正方形④的周长和为（　　） A．20 B．30 C．35 D．40 8．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在空白区域的概率为（　　） A． B． C． D． 9．如图，将平行四边形ABCD（AD＞AB）折叠，使点B落在边AD上的点E处，折痕为PQ，折点P在边AB上．若AB＝4，∠B＝60°，当EQ取得最小值时，AP的长为（　　） A． B． C．2 D． 10．如图，将边长为4的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B． C． D． 11．如图，正六边形ABCDEF的边长为，点M是△ABC的内心，点N是△ACD的外心，则MN的长度为（　　） A．2 B． C． D． 12．如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示，当AP恰好平分∠BAC时t的值为（　　） A．22 B．22 C．22 D．22 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共4小题） 13．若分式有意义，请你写出一个x的整数值　 　 ． 14．嘉嘉把班里40名同学一周参加体育锻炼的时间进行了统计，并制作了如图所示的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数m和中位数n的大小关系是 　 　 ． 15．一无盖纸杯如图1所示，经测量：杯口直径AB＝6cm，杯底直径CD＝4cm，杯壁AC＝BD＝6cm．纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分（如图2所示，忽略拼接部分），则它所对的圆心角的度数n＝　 　 ． 16．将直角三角板ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，三角板的直角边AC落在x轴上，且30°角的顶点A与（2，0）点重合，点B落在反比例函数的图象上，将△ABC沿AB翻折，点C的对应点D也落在该反比例函数的图象上，则k的值为　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题） 17．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为﹣5，2，点P，Q从点A同时出发，沿数轴匀速向点B运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． （1）计算点A，B表示的数之和； （2）设运动时间为t s，当点P是QB的中点时，求t的值． 18．甲乙两人做一个数字游戏，规则如下： 步骤一：甲写出一个正整数n 步骤二：乙计算：P（n）＝n2+2n+1； 步骤三：甲再根据P（n），写出Q（n）＝P（n）+2n+1； … 两个人继续交替写出新的整式，新的整式都在前一个等式的基础上加2n+1． （1）根据观察到的规律请你将表格补充完整： n 1 2 3 … P（n） 4 … Q（n） 14 … （2）甲根据观察发现：P（n+1）与Q（n）的差为2 ①当n＝5时，验证甲的结论； ②请你通过计算判断甲的结论是否正确． 19．为了弘扬民族文化，学校组织甲、乙两组同学参加诗词大会，每组有6位选手，每场比赛两组各派1人进行比赛，满分为30分，共进行了6场比赛．学校整理和汇总了这6场比赛的成绩（均为整数），并制成如图所示的尚不完整的统计表和折线统计图． 场次 一 二 三 四 五 六 甲组成绩 （单位：分） 24 24 27 29 25 21 乙组成绩 （单位：分） 23 27 25 25 24 n 根据以上信息回答下面的问题： （1）若甲、乙两组成绩的平均数相同． ①求n的值； ②将折线统计图补充完整，并根据折线统计图判断哪组成绩比较稳定． （2）若甲、乙两组成绩的中位数相等，求n的最大值． （3）若乙组成绩存在唯一的众数，且n＞20，请直接写出n的值（写出一个即可）． 20．（平面几何画法）是朱铣和徐刚合编的一本平面几何教材，该书包含了大量的绘图示例和练习．如图﹣1，该书“例题46”介绍了“画和定三角形等面积的矩形法”． 具体作法为： ①过B点和C点各作一条垂直于BC的直线； ②作出AB的中点D，过点D作平行于BC的直线，与①中所得两条垂线交于E，F两点，四边形BCFE即为所求的矩形． （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图﹣2中，作出与△ABC面积相等的矩形EBCF；（保留作图痕迹，不写作法） （2）请你证明（1）中的S△ABC＝S矩形EBCF． 21．2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角∠NAB＝45°，胳膊AB＝40cm，OB＝30cm，旋转的手绢近似圆形，半径OC＝25cm，OC与手臂OB保持垂直．肘关节B与手绢旋转点O之间的水平宽度为12cm（即BD的长度）． （1）求∠ABO的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为30～40cm．在图2中，机器人与舞者之间距离为100cm．问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，） 22．盾构机中某种零件是由两个厚度均为1cm的圆弧形金属块紧密嵌套而成，装置内部存有一定液体，将该装置放置在水平桌面MN上，其截面示意图如图1所示，液面记为EF，内侧金属壁记为，外侧金属壁记为，当外侧金属壁在MN上无滑动转动一定的角度时，内侧金属壁则向反方向转动相同的角度．已知EF∥MN，其中，内外壁所在圆的圆心均为O，两弧所对的圆心角均为240°，内侧壁的半径为4cm．与桌面的接触点为P． （1）当内侧金属壁转动到如图2所示的位置时，连接AC，BD．求证：AC＝BD． （2）如图3，当内侧金属壁转动至点B，O，P共线时，液面的一端E恰与点A重合，求液面EF的长． 23．根据以下素材，探索完成任务． 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为280cm，宽为150cm，球网高度为14cm．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方25cm的点P处． 素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离x（cm）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处．以O为原点，桌面中线所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）． 问题解决 任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务二 击球点的确定 （2）当h＝20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由． 任务三 击球点的距离 （3）若h＝40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离x的取值范围． 24．如图1，平面上，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝4，AD＝5，BC＝8．点P从点C出发，沿折线CB—BA向点A运动，连接PD．点C关于直线PD的对称点为C′，连接C′D，设点P在折线上运动的路径长为x（x＞0）． （1）PD的最小值为　 　 ，CD的长为　 　 ； （2）当点C′落在CD的延长线上时， ①点P在线段　 　 上（填“AB”或“BC”）； ②求此时x的值； （3）作点B关于直线PD的对称点B′，连接PB′． ①若点P在AB上，当PB′∥CD时，如图2，求x的值； ②连接B′C′，当直线B′C′经过点A时，直接写出x的值． 试卷第2页，总2页 试卷第1页，总1页 学科网（北京）股份有限公司 2025年河北中考数学临考押题冲冠卷（冲卷） 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A C C D D C A C A 题号 12 答案 C 一．选择题（共12小题） 1．下列每组数的平均数为负数的是（　　） A．0和2 B．2和﹣3 C．﹣2和3 D．2和3 【答案】B 【解答】解：A、0和2的平均数为，是正数，不符合题意； B、2和﹣3的平均数为，是负数，符合题意； C、﹣2和3的平均数为，是正数，不符合题意； D、2和3的平均数为，是正数，不符合题意． 故选：B． 2．古城正定承载着丰富的古建筑文化．在如图的六边形窗户ABCDEF中，已知AB∥CF∥DE，∠B＝∠D＝140°，则∠BCD＝（　　） A．120° B．100° C．80° D．60° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CF∥DE，∠B＝∠D＝140°， ∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+∠DCF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠B＝∠D＝140°， ∴∠BCF＝40°，∠DCF＝40°， ∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝40°+40°＝80°， 即∠BCD的度数为80°． 故选：C． 3．下面是芳芳同学计算（a•a2）3的过程： 解：（a•a2）3＝a3•（a2）3…① ＝a3•a6…② ＝a9…③ 则步骤①②③依据的运算性质分别是（　　） A．积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法 B．幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法 C．同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方 D．幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方 【答案】A 【解答】解：（a•a2）3＝a3•（a2）3…① ＝a3•a6…② ＝a9…③ 则步骤①②③依据的运算性质分别是积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法． 故选：A． 4．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（　　） A．2 B．3 C．4或5 D．6 【答案】C 【解答】解：设第三根小棒的长度是x，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知10﹣7＜x＜10+7， 即3＜x＜17， 再由图中挡板高度为5，则3＜x≤5， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5， 故选：C． 5．已知两个多项式A＝x2+x+1，B＝x2﹣x+1，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①若A+B＝10，则x＝2； ②|A﹣B﹣2|+|A﹣B+4|＝6，则x需要满足的条件是﹣2≤x≤1； ③若A×B＝0，则关于x的方程无实数根； ④若x为正整数（x≠3），且为整数，则x＝1，2，4，5． 上面说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①∵A+B＝10， ∴x2+x+1+x2﹣x+1＝10， 2x2＝8， 解得：x＝±2，故①错误； ②∵|A﹣B﹣2|+|A﹣B+4|＝6， ∴|x2+x+1﹣（x2﹣x+1）﹣2|+|x2+x+1﹣（x2﹣x+1）+4|＝6， 整理得：|2x﹣2|+|2x+4|＝6， 当x＜﹣2时，2﹣2x﹣2x﹣4＝6，解得x＝﹣2（舍）， 当﹣2≤x≤1时，2﹣2x+2x+4＝6恒成立， 当x＞1时，2x﹣2+2x+4＝6，解得x＝1（舍）， 故②正确； ③∵A×B＝0， ∴（x2+x+1）（x2﹣x+1）＝0， 则x2+x+1＝0或x2﹣x+1＝0，两个方程无解， ∴关于x的方程无实数根， ∴③正确； ④∵ ＝1， 又∵为整数，x为正整数， ∴x＝1，2，4，5， 故④正确． 综上所述，正确的有②③④，共3个． 故选：C． 6．综合实践课上，嘉嘉画出∠AOB，如图1，利用尺规作图作∠AOB的角平分线OP．其作图过程如下： （1）如图2，在射线OA上取一点D（不与点O重合），作∠ADC＝∠AOB，且点C落在∠AOB内部； （2）如图3，以点D为圆心，以DO长为半径作弧，交射线DC于点P，作射线OP，射线OP就是∠AOB的平分线． 在嘉嘉的作法中，判断射线OP是∠AOB的平分线过程中不可能用到的依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．等边对等角 D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 【答案】D 【解答】解：观察作图步骤可知，证明射线OP是∠AOB的平分线的过程如下： ∵∠ADC＝∠AOB， ∴DC∥OB， ∴∠DPO＝∠POB， ∵DO＝DC， ∴∠DPO＝∠DOP， ∴∠POB＝∠DOP， ∴射线OP就是∠AOB的平分线， 在证明过程中，没有用到“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上“， 故选：D． 7．如图，嘉淇将一正方形纸片ABCD裁剪成①，②，③，④四块，其中①～③是三块小矩形，④是一块小正方形．若已知矩形②和③的周长和为20，则正方形ABCD与正方形④的周长和为（　　） A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】D 【解答】解：依题意，设长方形②的宽为b，长为a，则长方形③的长为a，设长方形③的宽为c， 由条件可知2a+2b+2a+2c＝20， ∴2（2a+b+c）＝20， ∴2a+b+c＝10， 由条件可知正方形④的周长为4a，正方形ABCD的周长为4（a+b+c）， ∴两个正方形的周长和为： 4a+4（a+b+c）＝4（2a+b+c）＝4×10＝40， 故选：D． 8．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在空白区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图：设AB＝2a，则圆的直径为2a， 则小正方形的边长为a， 则飞镖落在空白区域的概率为11， 故选：C． 9．如图，将平行四边形ABCD（AD＞AB）折叠，使点B落在边AD上的点E处，折痕为PQ，折点P在边AB上．若AB＝4，∠B＝60°，当EQ取得最小值时，AP的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解答】解：当EQ⊥BC时，EQ取得最小值， 由题意可得：AD∥BC， ∴EQ⊥AD ∴∠BQE＝∠AEQ＝90°， ∵由折叠的性质可得： △PBQ≌△PEQ，∠PEQ＝∠B＝60°， ∴，∠AEP＝∠AEQ﹣∠PEQ＝30°， 设AP＝x，则BP＝PE＝AB﹣AP＝4﹣x， 故点A作AF⊥PE于点F， ∵AD∥BC， ∴∠BAE＝180°﹣∠B＝120°， ∴∠APE＝180°﹣∠AEP﹣∠BAE＝30°＝∠PEA， ∴，AP＝AE， ∴， ∴， 解得， 故选：A． 10．如图，将边长为4的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中， ∵， ∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL）， ∴∠DAE＝∠B′AE， ∵旋转角为30°， ∴∠DAB′＝60°， ∴∠DAE60°＝30°， ∴DE＝4， ∴阴影部分的面积＝4×4﹣2×（4）＝16． 故选：C． 11．如图，正六边形ABCDEF的边长为，点M是△ABC的内心，点N是△ACD的外心，则MN的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接BE交AD于点N，连接NC，设AC与BE交于点P， ∴点N为正六边形ABCDEF的中心， ∴NC＝NA＝ND＝NB， 由题意可得： ， ∴∠ABN＝∠CBN＝60°，BE⊥AC， ∴， ∴，∠ACD＝90°， ∴点N为△ACD的外心，点M在BP上， ∴， 由题意可得：， ∴∠PCN＝30°，， ∴， 设△ABC的内切圆的半径为R， ∴S△ABC＝S△AMC+S△BMC+S△ABM ∴ ∴ 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 12．如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示，当AP恰好平分∠BAC时t的值为（　　） A．22 B．22 C．22 D．22 【答案】C 【解答】解：如图，连接AP， 由图2可得AB＝BC＝4cm， ∵∠B＝36°，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠C＝72°， ∵AP平分∠BAC， ∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°， ∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C， ∴AP＝AC＝BP， ∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C， ∴△APC∽△BAC， ∴， ∴AP2＝AB•PC＝4（4﹣AP）， ∴AP＝22＝BP，（负值舍去）， ∴t＝（4+22）÷1＝22． 故选：C． 二．填空题（共4小题） 13．若分式有意义，请你写出一个x的整数值　2（答案不唯一）　 ． 【答案】2（答案不唯一）． 【解答】解：若分式有意义，则x﹣1≠0， 解得x≠1， ∴x可取的整数值是2（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一）． 14．嘉嘉把班里40名同学一周参加体育锻炼的时间进行了统计，并制作了如图所示的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数m和中位数n的大小关系是 　m＝n　 ． 【答案】m＝n． 【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即9； 中位数是将这组数据从小到大的顺序排列后，处于20，21两个数的平均数， 由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9． 故答案为：m＝n． 15．一无盖纸杯如图1所示，经测量：杯口直径AB＝6cm，杯底直径CD＝4cm，杯壁AC＝BD＝6cm．纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分（如图2所示，忽略拼接部分），则它所对的圆心角的度数n＝　60°　 ． 【答案】60°． 【解答】解：圆心角的度数为n，根据EM＝6cm即可建立方程得：， 解得n＝60°． 故答案为：60°． 16．将直角三角板ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，三角板的直角边AC落在x轴上，且30°角的顶点A与（2，0）点重合，点B落在反比例函数的图象上，将△ABC沿AB翻折，点C的对应点D也落在该反比例函数的图象上，则k的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：设点B坐标为，则C（m，0）， 由条件可知AC＝m﹣2， 由对称可知：AD＝m﹣2，∠DAB＝∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝60°， 如图，作DG⊥x轴，垂足为G，则∠ADG＝30°， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 由①②解得k， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 17．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为﹣5，2，点P，Q从点A同时出发，沿数轴匀速向点B运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． （1）计算点A，B表示的数之和； （2）设运动时间为t s，当点P是QB的中点时，求t的值． 【答案】（1）﹣3； （2）． 【解答】解：（1）根据题意得：﹣5+2＝﹣3， ∴点A，B表示的数之和为﹣3； （2）当运动时间为t s时，点P表示的数为﹣5+3t，点Q表示的数为﹣5+2t， 根据题意得：﹣5+3t﹣（﹣5+2t）＝2﹣（﹣5+3t）， 解得：t． 答：t的值为． 18．甲乙两人做一个数字游戏，规则如下： 步骤一：甲写出一个正整数n 步骤二：乙计算：P（n）＝n2+2n+1； 步骤三：甲再根据P（n），写出Q（n）＝P（n）+2n+1； … 两个人继续交替写出新的整式，新的整式都在前一个等式的基础上加2n+1． （1）根据观察到的规律请你将表格补充完整： n 1 2 3 … P（n） 4 … Q（n） 14 … （2）甲根据观察发现：P（n+1）与Q（n）的差为2 ①当n＝5时，验证甲的结论； ②请你通过计算判断甲的结论是否正确． 【答案】（1）见解析； （2）①见详解； ②见详解． 【解答】解：（1）∵P（n）＝n2+2n+1， Q（n）＝P（n）+2n+1＝n2+2n+1+2n+1＝n2+4n+2， 当n＝1时，Q（n）＝1+4+2＝7， 当n＝2时，P（n）＝22+2×2+1＝9， 当n＝3时，P（n）＝16，Q（n）＝23， 补充表格 n 1 2 3 … P（n） 4 9 16 … Q（n） 7 14 23 … （2）①当n＝5时，P（n+1）＝（n+1）2+2（n+1）+1＝49， Q（n）＝P（n）+2n+1＝47， ∴P（n+1）﹣Q（n）＝49﹣47＝2； ∴甲的结论正确， ②甲的结论正确，理由如下： P（n+1）﹣Q（n） ＝（n+1）2+2（n+1）+1﹣（n2+2n+1+2n+1） ＝n2+2n+1+2n+2+1﹣n2﹣4n﹣2 ＝2． 19．为了弘扬民族文化，学校组织甲、乙两组同学参加诗词大会，每组有6位选手，每场比赛两组各派1人进行比赛，满分为30分，共进行了6场比赛．学校整理和汇总了这6场比赛的成绩（均为整数），并制成如图所示的尚不完整的统计表和折线统计图． 场次 一 二 三 四 五 六 甲组成绩 （单位：分） 24 24 27 29 25 21 乙组成绩 （单位：分） 23 27 25 25 24 n 根据以上信息回答下面的问题： （1）若甲、乙两组成绩的平均数相同． ①求n的值； ②将折线统计图补充完整，并根据折线统计图判断哪组成绩比较稳定． （2）若甲、乙两组成绩的中位数相等，求n的最大值． （3）若乙组成绩存在唯一的众数，且n＞20，请直接写出n的值（写出一个即可）． 【答案】（1）①n＝26；②图见解析；乙组的成绩比较稳定； （2）24； （3）25（不唯一）． 【解答】解：（1）①由条件可知：， 解得，n＝26； ②补全折线统计图如图所示： 从折线统计图中可以看出乙组的成绩波动较小， ∴乙组的成绩比较稳定； （2）将甲组成绩按从小到大排列可得：21，24，24，25，27，29， 根据中位数定义可知：甲组成绩的中位数为：24.5， 将乙组的成绩除去外按照从小到大顺序排列可得：23，24，25，25，27， ∵乙组的成绩的中位数也是24.5， ∴n≤24， ∴n的最大值为24； （3）∵25出现了2次，其它数不可能超过2次，‌若乙组成绩存在唯一的众数，且n＞20，则n＝25，或n不等于已知的其他数，如21，22，26，28，29，30， 故答案为：25（不唯一）． 20．（平面几何画法）是朱铣和徐刚合编的一本平面几何教材，该书包含了大量的绘图示例和练习．如图﹣1，该书“例题46”介绍了“画和定三角形等面积的矩形法”． 具体作法为： ①过B点和C点各作一条垂直于BC的直线； ②作出AB的中点D，过点D作平行于BC的直线，与①中所得两条垂线交于E，F两点，四边形BCFE即为所求的矩形． （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图﹣2中，作出与△ABC面积相等的矩形EBCF；（保留作图痕迹，不写作法） （2）请你证明（1）中的S△ABC＝S矩形EBCF． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】（1）解：如图所示，矩形EBCF即为所求； （2）证明：如图，过点A作AG⊥EF于点G，设AC，EF交于点H， ∵四边形EBCF是矩形， ∴∠E＝∠F＝90°，EB＝FC， ∴∠AGD＝∠E，∠AGH＝∠F， ∵D是AB的中点， ∴AD＝DB， 又∵∠ADG＝∠BDE， ∴△ADG≌△BDE（AAS）， ∴AG＝EB，S△ADG＝S△BDE， ∴AG＝FC， 在△AGH和△CFH中， ， ∴△AGH≌△CFH（AAS）， ∴S△AGH＝S△CFH， ∴S△ABC＝S矩形EBCF． 21．2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角∠NAB＝45°，胳膊AB＝40cm，OB＝30cm，旋转的手绢近似圆形，半径OC＝25cm，OC与手臂OB保持垂直．肘关节B与手绢旋转点O之间的水平宽度为12cm（即BD的长度）． （1）求∠ABO的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为30～40cm．在图2中，机器人与舞者之间距离为100cm．问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，） 【答案】（1）68.6°； （2）在规定范围内，理由见解析． 【解答】解：（1）∵∠ANB＝90°，∠NAB＝45°， ∴∠ABN＝45°， ∴， ∴∠OBD＝66.4°， ∴∠ABO＝180°﹣45°﹣66.4°＝68.6°； （2）在规定范围内，理 过点C作CE⊥OD于E，则∠OEC＝90°， ∵∠BOC＝90°，∠OBD＝66.4°， ∴∠BOD＝90°﹣∠OBD＝90°﹣66.4°＝23.6° ∴∠COE＝90°﹣∠BOD＝90°﹣23.6°＝66.4°， ∴CE＝OC•sin∠COE≈25×0.92＝23cm， ∵∠NAB＝45°，AB＝40cm， ∴， ∴此时手绢端点C与舞者距离为100﹣（28.28+12+23）≈36.7cm， ∵安全距离范围为30∼40cm， ∴此时手绢端点C与舞者距离在规定范围内． 22．盾构机中某种零件是由两个厚度均为1cm的圆弧形金属块紧密嵌套而成，装置内部存有一定液体，将该装置放置在水平桌面MN上，其截面示意图如图1所示，液面记为EF，内侧金属壁记为，外侧金属壁记为，当外侧金属壁在MN上无滑动转动一定的角度时，内侧金属壁则向反方向转动相同的角度．已知EF∥MN，其中，内外壁所在圆的圆心均为O，两弧所对的圆心角均为240°，内侧壁的半径为4cm．与桌面的接触点为P． （1）当内侧金属壁转动到如图2所示的位置时，连接AC，BD．求证：AC＝BD． （2）如图3，当内侧金属壁转动至点B，O，P共线时，液面的一端E恰与点A重合，求液面EF的长． 【答案】（1）见解析； （2）4cm． 【解答】（1）证明：如图，连接OA，OB，OC，OD， 由题意知∠AOB＝∠COD， ∴∠AOC+∠BOC＝∠BOD+∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOD， 又∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD； （2）解：如图，连接BP交EF于点G，则BP经过点O， 由题意得：CPD与MN相切于点P， ∴BP⊥MN， 又∵EF∥MN， ∴BP⊥EF， 连接OE，OF，则OE＝OF， ∴GE＝GF， ∵∠AOP＝240°﹣180°＝60°， ∴， ∴． 23．根据以下素材，探索完成任务． 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为280cm，宽为150cm，球网高度为14cm．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方25cm的点P处． 素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离x（cm）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处．以O为原点，桌面中线所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）． 问题解决 任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务二 击球点的确定 （2）当h＝20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由． 任务三 击球点的距离 （3）若h＝40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离x的取值范围． 【答案】任务一：y（x﹣100）2+45； 任务二：小亮不能实现； 任务三：击球点与发球机水平距离x的取值范围275≤x≤325． 【解答】解：任务一：由题意得抛物线的顶点为：（100，45）， 设从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式为：y＝a（x﹣100）2+45， 则：25＝a（0﹣100）2+45，解得：a， ∴y（x﹣100）2+45； 任务二：小亮不能实现； 设OP的解析式为：y＝kx，则300k＝20， 解得：k， ∴yx，当x＝140时，y14， ∴小亮不能实现； 任务三：设弹起后球飞行的路径为：y＝b（x﹣300）2+40， 对于y（x﹣100）2+45， 当y＝0时，0（x﹣100）2+45， 解得：x＝﹣50（不合题意，舍去）或x＝250， ∴M（250，0）， ∴0＝b（250﹣300）2+40， 解得：b， ∴y（x﹣300）2+40， 当y＝30时，30（x﹣300）2+40， 解得：x＝275或x＝325， ∴击球点与发球机水平距离x的取值范围275≤x≤325． 24．如图1，平面上，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝4，AD＝5，BC＝8．点P从点C出发，沿折线CB—BA向点A运动，连接PD．点C关于直线PD的对称点为C′，连接C′D，设点P在折线上运动的路径长为x（x＞0）． （1）PD的最小值为　4　 ，CD的长为　5　 ； （2）当点C′落在CD的延长线上时， ①点P在线段　AB　 上（填“AB”或“BC”）； ②求此时x的值； （3）作点B关于直线PD的对称点B′，连接PB′． ①若点P在AB上，当PB′∥CD时，如图2，求x的值； ②连接B′C′，当直线B′C′经过点A时，直接写出x的值． 【答案】（1）4，5； （2）①AB； ②； （3）①； ②当直线B′C′经过点A时，x的值为5或；理由见解答过程． 【解答】解：（1）作DE⊥BC交BC于点E，则：∠DEB＝∠DEC＝90°， ∵∠A＝90°，AD∥BC， ∴∠ABC＝180°﹣∠A＝90°， ∴四边形ABED为矩形， ∴BE＝AD＝5，AB＝DE＝4， ∴CE＝BC﹣BE＝3， 在直角三角形DEC中，由勾股定理得：； 当点P在BC上时，当P与点E重合时，DP最小，最小值为4， 当点P在AB上时，当P与A点重合时，DP最小，最小值为5， 综上所述，DP的最小值为4； 故答案为：4，5； （2）①∵点C′落在CD的延长线上， ∴C′D＝CD，PD⊥CD， 过点D作PD⊥CD，如图2， 由图可知：点P在线段AB上， 故答案为：AB； ②∵点C关于直线PD的对称点为C′， ∴∠PDC＝∠PDC′＝90°， 由（1）知：∠A＝∠CED＝∠ADE＝90°，CE＝3，DE＝4， ∴∠ADC′+∠CDE＝90°， ∵∠ADC′+∠ADP＝90°， ∴∠CDE＝∠ADP， ∴△CDE∽△PDA， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①当点P在AB上时，延长CD、BA相交于E，延长DP到F，如图3， ∵AD∥BC， ∴△ADE∽△BCE， ∴， ∴， 解得：，， ∵点B与点B′关于DP对称， ∴∠BPF＝∠B′PF， ∵PB′∥CD， ∴∠B′PF＝∠EDP， ∵∠BPF＝∠APD， ∴∠EPD＝∠EDP， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当直线B′C′经过点A时，x的值为5或．理由如下： 分两种情况：当点P在BC上时，如图4， 由翻折可知，点C与点C′关于DP对称， ∴DC′＝DC＝5，PC′＝CP， ∵AD＝5， ∴DC′＝AD， 又∵点B与点B′关于DP对称，B′C′经过点A， ∴此时，点A为C′重合，则AP＝CP， ∴BP＝BC﹣PC＝8﹣PC， 由股定理，得AB2+BP2＝AP2， ∴42+（8﹣PC）2＝PC2， 解得：PC＝5， ∴x＝5； 2）当点P在AB上时，过点D作DE⊥BC于E，DF⊥B′C′于F，如图5， 由翻折可得：∠DCE＝∠DC′F，DC＝DC′， ∴点C与点C′关于DP对称， ∵DE⊥BC，DF⊥B′C′， ∴∠DEC＝∠DFC′＝90°， 在△DEC和△DFC′中， ， ∴△DEC≌△DFC′（AAS）， ∴DF＝DE， 由（1）知：DE＝4， ∴DF＝4， 在直角三角形ADF中，由勾股定理得：， ∵点B与点B′关于DP对称， ∴PB＝PB′， ∵点C与点C′关于DP对称， ∴四边形DPBC与DPB′C′关于DP对称， ∴∠B′＝∠B＝90°， ∴∠B′＝∠DFB＝90°， ∴∠B′AP+∠B′PA＝90°， ∵B′C′经过点A，∠BAD＝90°， ∴∠B′AP+∠DAF＝90°， ∴∠B′PA＝∠DAF， ∴△B′AP∽△FDA， ∴， ∵PA＝AB﹣PB， ∴， ∴， 解得：， ∴ 综上所述，当直线B′C′经过点A时，x的值为5或． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$