2025年河北省中考数学对标卷（易卷）

绝密★启用前 2025年河北省中考数学对标卷（易卷） 题号 一 二 三 总分 得分 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共12小题） 1．与﹣a+b的结果相等的是（　　） A．a﹣b B．b﹣a C．﹣（b﹣a） D．﹣（a+b） 2．由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 4．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝76°，则∠BOD的度数为（　　） A．144° B．142° C．128° D．104° 5．已知a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．一副三角板如图所示摆放，BC＝10，以A为旋转中心，逆时针旋转三角板ADE，当点E再次落到边BC上时，点D走过的长度为（　　） A． B．π C． D．2π 7．在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（其中C′是点C的对应点），其中线段AD一定是△ABC的中线的是（　　） A． B． C． D． 8．中共中央、国务院印发了《教育强国建设规划纲要（2024﹣2035年）》，其中明确提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表： 时间/h 12 13 14 15 16 人数 12 20 10 5 3 则这些学生综合体育活动时间的众数和中位数分别是（　　） A．13，13 B．12，14 C．13，15 D．13，14 9．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 10．如图，将一个透明的玻璃沙漏与两把尺子放在桌面上，沙漏底部边缘C，D在水平放置的尺子上的读数分别为3cm和7cm，并且C，D所在的直线与竖直放置的尺子的0刻度线重合，沙漏的中心点O刚好和刻度5cm水平对齐，上面部分的沙面（A，B所在直线）与刻度8cm水平对齐，则此时沙面的宽AB＝（　　） A．3cm B．2.5cm C．2.4cm D．2cm 11．如图，▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的点（且满足BP＞1）．将△ABP沿AP折叠，使点B落在平面上B′处，射线PB′与射线AD交于点E． 甲：当AB′⊥AB时，AB′＝EB′； 乙：当点B′落在射线AD上时，四边形ABPB′是菱形； 丙：随点P位置的变化，线段AE的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（　　） A．只有乙对 B．甲和丙都对 C．乙对，丙错 D．三人的说法都对 12．如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点D′，折痕为EF，连接CF．若∠B＝45°，∠FCE＝60°，，则线段D′F的长为（　　） A．6 B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共4小题） 13．已知，则a+b的值是 　 　 ． 14．如图，嘉淇利用“∠B＝30°，AB＝6cm，AC＝4cm“这些条件作△ABC时，她先作出了边AB和∠B，在用圆规作AC时，发现以点A为圆心，AC为半径的圆弧与∠B的另一条边交于C和C′两个点，则CC′的长为 　 　 cm． 15．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（0，﹣1），点B的坐标是（2，0），点C在y轴上．若反比例函数的图象经过点D，则k＝ 　 　 ． 16． 如图，直线PQ经过正五边形ABCDE的中心O，与AB、CD边分别交于点P、Q，点C1是点C关于直线PQ的对称点，连接CC1，AC1，则∠CC1A的度数为　 　 ° 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题） 17．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用白纸“”遮盖了其中部分算式． 计算：． 解：原式 ＝… （1）直接写出白纸“”遮盖的算式，并求出这部分算式的结果； （2）请参考黑板上的解法，并用这种方法计算：． 18．有一矩形纸板长和宽分别为a和b，如果以a边所在直线为轴旋转一周所形成的几何体V1，和以b边所在直线为轴旋转一周所形成的几何体V2，哪个体积更大进行研究． （1）当a＝b＝4时，直接判断V1和V2的大小； （2）当a＝4，b＝3时，判断V1和V2的大小； （3）当a，b不确定时，判断V1和V2的大小． 19．如图，P（a，a+3）是平面直角坐标系中的一个动点，直线l：y＝kx+6 与x轴、y轴分别交于点A（﹣4.5，0），B． （1）求直线l的解析式； （2）判断点P是否有可能落在直线l上？并说明理由； （3）点B先向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点C． ①直接写出点C的坐标； ②当点P在△ABC的内部（不包括边界）时，求a的取值范围． 20．综合实践课上，老师设计了一个抽卡片作图游戏：黑板上画出了△ABC，如图1，其中AB＝AC，∠ACB＝30°．现有甲、乙、丙、丁四张卡片，正面分别写有不同的作图内容，如图2，除正面的内容不同外，其余均相同．要求将四张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取两张，然后结合△ABC作图． （1）若珍珍抽取的两张卡片分别是甲和丙，设所作的两条射线交于点I，则∠AIB＝　 　 °； （2）请用画树状图或列表的方法求出能得到△ABC外心的概率． 21．如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上的三点A，B，C． （1）用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在△ABC中，连接AO交BC于点E，连接OB，当AB＝AC＝10cm，BC＝16cm时，求图片的半径R； （3）若直线l到圆心的距离等于，则直线l与圆 　 　 ．（填“相交”“相切”或“相离”） 22．小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得BD＝7cm，OD＝15cm． （1）小明认为∠COE与∠B一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由； （2）连接AC，若∠COE＝50°，求∠CAO的度数； （3）求DE的长． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线yx﹣3与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线ybx+c经过点A和点B． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，点P是抛物线上第一象限内的一个动点，连接AP、BP，当S△ABP时，求点P的坐标； （3）在抛物线上是否存在点M，使∠OBM＝∠BAO？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 24．（一）模型呈现 （1）如图1，点A在直线l上，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥l于点C，过点D作DE⊥l于点E，由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D，又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝　 　 ，BC＝　 　 ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图2，在△ABC中，点D为AB上一点，DE＝DF＝3，∠A＝∠EDF＝∠B，四边形CEDF的周长为10，△ABC的周长为18．小诚同学发现根据模型可以推理得到△ADE≌△BFD，进而得到AE＝BD，AD＝BF，那么AB＝AE+BF，再根据题目中周长信息就可得AB＝　 　 ； （三）模型拓展 （3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．请猜想线段DE，AD，BE之间的数量关系，并写出证明过程； （四）模型应用 （4）如图4，已知在矩形ABCD中，AB＝14，BC＝7，点E在CD边上，且DE＝4．P是对角线AC上一动点，Q是边AD上一动点，且满足，当P在AC上运动时，请求线段AQ的最大值，并求出此时线段AP的长度． 2025年河北省中考数学对标卷（易卷） 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D B D A A A B C C C 一．选择题（共12小题） 1．与﹣a+b的结果相等的是（　　） A．a﹣b B．b﹣a C．﹣（b﹣a） D．﹣（a+b） 【答案】B 【解答】解：根据加法交换律和添括号法则可得： ﹣a+b＝﹣（a﹣b）＝b﹣a； 故选：B． 2．由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解答】解：根据主视图和左视图可得： 这个几何体有2层，3列，最底层最少有3小个正方体，第二层有1个正方体， 所以搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是3+1＝4． 故选：A． 3．下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 【答案】D 【解答】解：A、若a＞b，则a﹣2＞b﹣2，计算不正确，不符合题意； B、当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，a2＜b2，计算不正确，不符合题意； C、若a＞b，当c≠0时，ac2＞bc2，计算不正确，不符合题意； D．、若ac2＞bc2，则a＞b，计算正确，符合题意． 故选：D． 4．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝76°，则∠BOD的度数为（　　） A．144° B．142° C．128° D．104° 【答案】B 【解答】解：∵∠AOB+∠COD＝76°，∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB＝38°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝142°； 故选：B． 5．已知a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：∵a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024， ∴a﹣b＝（2023x+2022）﹣（2023x+2023） ＝2023x+2022﹣2023x﹣2023 ＝﹣1， a﹣c＝（2023x+2022）﹣（2023x+2024） ＝2023x+2022﹣2023x﹣2024 ＝﹣2， b﹣c＝（2023x+2023）﹣（2023x+2024） ＝2023x+2023﹣2023x﹣2024 ＝﹣1， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc ＝3， 故选：D． 6．一副三角板如图所示摆放，BC＝10，以A为旋转中心，逆时针旋转三角板ADE，当点E再次落到边BC上时，点D走过的长度为（　　） A． B．π C． D．2π 【答案】A 【解答】解：由题意，得：∠C＝30°，∠BAC＝90°，AD＝AB＝AE，∠ABC＝60°， ∴， ∴AD＝AE＝5， ∵以A为旋转中心，逆时针旋转三角板ADE，点E再次落到边BC上， ∴AB＝AE′， ∴△ABE′为等边三角形， ∴∠BAE′＝60°，即旋转角为60°， ∴∠DAD′＝60°， ∴点D走过的长度为， 故选：A． 7．在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（其中C′是点C的对应点），其中线段AD一定是△ABC的中线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、由折叠的性质得到BD＝CD，因此AD一定是△ABC的中线，故A符合题意； B、由折叠的性质得到DC′＝CD，因此AD不是△ABC的中线，故B不符合题意； C、由折叠的性质得到∠CAD＝C′AD，因此AD是△ABC的角平分线，不一定是△ABC的中线，故C不符合题意； D、如图，由折叠的性质得到CE＝AE，但BD和CD不一定相等，因此AD不一定是△ABC的中线，故D不符合题意； 故选：A． 8．中共中央、国务院印发了《教育强国建设规划纲要（2024﹣2035年）》，其中明确提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表： 时间/h 12 13 14 15 16 人数 12 20 10 5 3 则这些学生综合体育活动时间的众数和中位数分别是（　　） A．13，13 B．12，14 C．13，15 D．13，14 【答案】A 【解答】解：由表格知，学生在一周内的综合体育活动时间为13h的有20人，人数最多， 所以这些学生阅读时间的众数是13h； 因为共有12+20+10+5+3＝50人， 所以中位数是排序后第25，26名的平均数，即13（h）， 故选：A． 9．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为： ． 故选：B． 10．如图，将一个透明的玻璃沙漏与两把尺子放在桌面上，沙漏底部边缘C，D在水平放置的尺子上的读数分别为3cm和7cm，并且C，D所在的直线与竖直放置的尺子的0刻度线重合，沙漏的中心点O刚好和刻度5cm水平对齐，上面部分的沙面（A，B所在直线）与刻度8cm水平对齐，则此时沙面的宽AB＝（　　） A．3cm B．2.5cm C．2.4cm D．2cm 【答案】C 【解答】解：由题意得，AB∥CD， ∴△AOB∽△DOC， ∴， ∴， ∴AB＝2.4， 答：此时沙面的宽AB＝2.4cm． 故选：C． 11．如图，▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的点（且满足BP＞1）．将△ABP沿AP折叠，使点B落在平面上B′处，射线PB′与射线AD交于点E． 甲：当AB′⊥AB时，AB′＝EB′； 乙：当点B′落在射线AD上时，四边形ABPB′是菱形； 丙：随点P位置的变化，线段AE的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（　　） A．只有乙对 B．甲和丙都对 C．乙对，丙错 D．三人的说法都对 【答案】C 【解答】解：甲：如图所示，当AB′⊥AB时， ∵AB′⊥AB， ∴∠BAB′＝90°， ∵将△ABP沿AP翻折得△AB′P， ∴∠BAP＝∠B′AP＝45°，∠B＝∠AB′P＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠BAD＝120°， ∴∠B′AD＝∠BAD﹣∠BAB′＝120°﹣90°＝30°， ∴∠AEB′＝∠AB′P﹣∠B′AD＝60°﹣30°＝30°， ∴∠B′AD＝∠AEB′， ∴B′A＝B′E，故甲正确； 乙：如图所示，当B′落在AD上时，点E和B′重合， 由题意可得：AD∥BC， ∴∠BAD＝120°， 由翻折的性质可得： ∴∠BAP＝∠B′AP＝60°，AB＝AB′，PB＝P′B， ∴△ABP是等边三角形， ∴AB＝BP＝B′P＝AB′， ∴四边形ABPB′是菱形，故乙正确； 丙：如图所示， 当点P靠近点C时，B′在四边形外部，此时∠AEB′＞90°， ∴AE＜AB′＝2，故丙错误； 故选：C． 12．如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点D′，折痕为EF，连接CF．若∠B＝45°，∠FCE＝60°，，则线段D′F的长为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点D′，折痕为EF，∠FCE＝60°，如图，过A作AH⊥BE， ∴∠EAF＝∠ECF＝60°，D′F＝DF，∠AFE＝∠CFE，AF＝CF，AE＝CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC， ∴∠AFE＝∠CFE＝∠FEC，∠FAE＝∠AEB＝60°， ∴CE＝AF＝CF， ∴DF＝BE＝D′F， ∵∠B＝45°，，AH⊥BE， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二．填空题（共4小题） 13．已知，则a+b的值是 　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：∵43， ∴a＝4，b＝3， ∴a+b＝4+3＝7， 故答案为：7． 14．如图，嘉淇利用“∠B＝30°，AB＝6cm，AC＝4cm“这些条件作△ABC时，她先作出了边AB和∠B，在用圆规作AC时，发现以点A为圆心，AC为半径的圆弧与∠B的另一条边交于C和C′两个点，则CC′的长为 　2　 cm． 【答案】2． 【解答】解：如图，连接AC、AC'，过点A作AM⊥BC'于点M， 则∠AMB＝90°， ∵∠B＝30°，AB＝6cm， ∴AMAB6＝3（cm）， ∵AC＝AC'＝4cm， ∴CM＝C'M， 在Rt△ACM中，由勾股定理得：CM（cm）， ∴CC'＝2CM＝2cm， 故答案为：2． 15．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（0，﹣1），点B的坐标是（2，0），点C在y轴上．若反比例函数的图象经过点D，则k＝ 　﹣6　 ． 【答案】﹣6． 【解答】 解：过点D作DE垂直于y轴，并交y轴于点E， ∠CAB+∠ABO＝90°， ∠CAB+∠ACB＝90° ∴∠ABO＝∠ACB， 在Rt△OAB和Rt△OCB中， ∠AOB＝∠COB， ∠ABO＝∠ACB， ∴Rt△OAB和∽Rt△OCB， ∴， ∵OA＝1，OB＝2， ∴OC＝4， ∵DC∥AB， ∴∠DCA＝∠CAB， ∵DC＝AB，∠DCA＝∠CAB，∠DEC＝∠BOA， ∴△DEC＝△BOA， ∴DE＝OB，CE＝AO， ∴D点坐标为（﹣2，3）， ∴点D在反比例函数上， ∴y，即3， ∴k＝﹣6． 故答案为：﹣6． 16．如图，直线PQ经过正五边形ABCDE的中心O，与AB、CD边分别交于点P、Q，点C1是点C关于直线PQ的对称点，连接CC1，AC1，则∠CC1A的度数为　72　 °． 【答案】72． 【解答】解：连接OA，OB，OC，OC1． ∵ABCDE是正五边形， ∴OA＝OB＝OC，∠ABC＝108°， ∵C，C1关于PQ对称， ∴OC＝OC1， ∴OA＝OB＝OC＝OC1， ∴A，B，C，C1四点共圆， ∴∠ABC+∠CC1A＝180°， ∴∠CC1A＝72°， 故答案为：72． 三．解答题（共8小题） 17．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用白纸“”遮盖了其中部分算式． 计算：． 解：原式 ＝… （1）直接写出白纸“”遮盖的算式，并求出这部分算式的结果； （2）请参考黑板上的解法，并用这种方法计算：． 【答案】（1）；； （2）﹣38． 【解答】解：（1）由题意可得遮盖的算式为， 则； （2）原式（﹣26）（﹣26）（﹣26） ＝﹣39+5﹣4 ＝﹣38． 18．有一矩形纸板长和宽分别为a和b，如果以a边所在直线为轴旋转一周所形成的几何体V1，和以b边所在直线为轴旋转一周所形成的几何体V2，哪个体积更大进行研究． （1）当a＝b＝4时，直接判断V1和V2的大小； （2）当a＝4，b＝3时，判断V1和V2的大小； （3）当a，b不确定时，判断V1和V2的大小． 【答案】（1）V1＝V2； （2）V1＜V2； （3）当b＝a时，V1＝V2；当b＞a时，V1＞V2；当b＜a时，V1＜V2． 【解答】解：（1）因为a＝b＝4， V1＝π×b2×a ＝π×42×4 ＝64π， V2＝π×a2×b ＝π×42×4 ＝64π， 64π＝64π， 此时V1＝V2； （2）当a＝4，b＝3时， V1＝π×b2×a ＝π×32×4 ＝36π， V2＝π×a2×b ＝π×42×3 ＝48π， 36π＜48π， 此时V1＜V2； （3）V1＝π×b2×a＝πab2， V2＝π×a2×b＝πa2b， V1﹣V2＝πab2﹣πa2b ＝πab（b﹣a）， 当b＝a时，V1﹣V2＝0，V1＝V2； 当b＞a时，V1﹣V2＞0，V1＞V2； 当b＜a时，V1﹣V2＜0，V1＜V2． 19．如图，P（a，a+3）是平面直角坐标系中的一个动点，直线l：y＝kx+6 与x轴、y轴分别交于点A（﹣4.5，0），B． （1）求直线l的解析式； （2）判断点P是否有可能落在直线l上？并说明理由； （3）点B先向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点C． ①直接写出点C的坐标； ②当点P在△ABC的内部（不包括边界）时，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）有可能，当P的坐标是（﹣9，﹣6）时，点P落在直线l上，见解析； （3）①点C的坐标是（6，0）；②． 【解答】解：（1）∵点A（﹣4.5，0）在直线上， ∴0＝﹣4.5k+6， 解得：， ∴直线l的解析式为； （2）有可能，理由如下： 由条件可得：， 解得：a＝﹣9， ∴a+3＝﹣6， ∴当P的坐标是（﹣9，﹣6）时，点P落在直线l上； （3）①当x＝0时，可得：y＝kx+6＝6， ∴点B的坐标为（0，6）， ∴把点B（0，6）向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度可得：点C的坐标是（6，0）； ②∵P（a，a+3）是平面直角坐标系中的一个动点， ∴点P在直线y＝x+3上， 设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0）， 把点B（0，6），C（6，0）代入y＝mx+n（m≠0）， 可得：， 解得：， 可得：直线BC的解析式为y＝﹣x+6， ∵点的坐标满足：， 当x+3＞0时解得：x＞﹣3； 当x+3＜﹣x+6时解得：， ∴在△ABC的内部（不包括边界）的点的坐标满足：， ∵点P在△ABC的内部（不包括边界）， ∴． 20．综合实践课上，老师设计了一个抽卡片作图游戏：黑板上画出了△ABC，如图1，其中AB＝AC，∠ACB＝30°．现有甲、乙、丙、丁四张卡片，正面分别写有不同的作图内容，如图2，除正面的内容不同外，其余均相同．要求将四张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取两张，然后结合△ABC作图． （1）若珍珍抽取的两张卡片分别是甲和丙，设所作的两条射线交于点I，则∠AIB＝　105　 °； （2）请用画树状图或列表的方法求出能得到△ABC外心的概率． 【答案】（1）105． （2）． 【解答】解：（1）如图1， ∵AB＝AC，∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠BAC＝120°． ∵AI为∠BAC的平分线，BI为∠ABC的平分线， ∴15°，60°， ∴∠AIB＝180°﹣∠ABI﹣∠BAI＝105°． 故答案为：105． （2）由题意可知，当抽取的两张卡片为甲和乙或乙和丁时，能得到△ABC外心． 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中能得到△ABC外心的结果有：（甲，乙），（乙，甲），（乙，丁），（丁，乙），共4种， ∴能得到△ABC外心的概率为． 21．如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上的三点A，B，C． （1）用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在△ABC中，连接AO交BC于点E，连接OB，当AB＝AC＝10cm，BC＝16cm时，求图片的半径R； （3）若直线l到圆心的距离等于，则直线l与圆 　相切　 ．（填“相交”“相切”或“相离”） 【答案】（1）见解答； （2）圆的半径为； （3）相切． 【解答】解：（1）如图，点O为所求圆的圆心； （2）∵AB＝AC， ∴AE⊥BC，． 在Rt△ABE中，． 设⊙O的半径为R cm，在Rt△BEO中， OB2＝BE2+OE2，即R2＝82+（R﹣6）2， ∴R2＝64+R2﹣12R+36， ∴， ∴所求圆的半径为． （3）∵直线l到圆心的距离等于，等与圆的半径， ∴直线l与圆相切， 故答案为：相切． 22．小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得BD＝7cm，OD＝15cm． （1）小明认为∠COE与∠B一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由； （2）连接AC，若∠COE＝50°，求∠CAO的度数； （3）求DE的长． 【答案】（1）同意他的看法，即∠COE＝∠B，理由见解析； （2）65°； （3）8cm． 【解答】解：（1）同意他的看法，理由如下： ∵OB⊥OC ∴∠COE+∠BOD＝90° ∵BD⊥OA ∴∠B+∠BOD＝90° ∴∠COE＝∠B； （2）连接AC如图所示， 由题意可得：OC＝OA． ∴△AOC是等腰三角形， ∴∠CAO＝∠ACO． ∵∠COE＝50°，∠CAO+∠ACO+∠COE＝180° ∴； （3）∵CE⊥OA，BD⊥OA ∴∠CEO＝∠ODB＝90°， 又∵∠COE＝∠B，OC＝OB， ∴△OCE≌△BOD（AAS）， ∴OE＝BD＝7cm， ∴DE＝OD﹣OE＝15﹣7＝8cm． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线yx﹣3与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线ybx+c经过点A和点B． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，点P是抛物线上第一象限内的一个动点，连接AP、BP，当S△ABP时，求点P的坐标； （3）在抛物线上是否存在点M，使∠OBM＝∠BAO？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）yx﹣3； （2）点P的坐标为（，）； （3）点M的坐标为（，）或（，）． 【解答】解：（1）∵直线yx﹣3与y轴交于点A，与x轴交于点B， 当x＝0时，y＝﹣3， 当y＝0时，x﹣3＝0，解得：x＝4， ∴A（0，﹣3），B（4，0）， 把A（0，﹣3），B（4，0）代入ybx+c， 得， 解得：， ∴抛物线的表达式为yx﹣3； （2）设P（t，t2t﹣3），过点P作PE∥y轴，交直线AB于点E，如图， 则E（t，t﹣3）， ∴PEt2t﹣3﹣（t﹣3）t2﹣3t， ∵A（0，﹣3），B（4，0）， ∴S△AOBOA×OB3×4＝6， S△ABP＝S△APE﹣S△BPE（t2﹣3t）×[t﹣（t﹣4）]t2﹣6t， ∵S△ABP， ∴36S△ABP＝13S△AOB， 即36（t2﹣6t）＝13×6， 解得：t1（舍去），t2， 此时yP（）23， ∴点P的坐标为（，）； （3）设直线BM交y轴于点N， ∵∠AOB＝∠BON＝90°，∠OBM＝∠BAO， ∴△ABO∽△BNO， ∴，即， ∴ON， ∴N1（0，），N2（0，）， ∴直线BM的解析式为yx或yx， 联立得或， 解得：，（舍去），， ∴点M的坐标为（，）或（，）． 24．（一）模型呈现 （1）如图1，点A在直线l上，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥l于点C，过点D作DE⊥l于点E，由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D，又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝　DE　 ，BC＝　AE　 ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图2，在△ABC中，点D为AB上一点，DE＝DF＝3，∠A＝∠EDF＝∠B，四边形CEDF的周长为10，△ABC的周长为18．小诚同学发现根据模型可以推理得到△ADE≌△BFD，进而得到AE＝BD，AD＝BF，那么AB＝AE+BF，再根据题目中周长信息就可得AB＝　7　 ； （三）模型拓展 （3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．请猜想线段DE，AD，BE之间的数量关系，并写出证明过程； （四）模型应用 （4）如图4，已知在矩形ABCD中，AB＝14，BC＝7，点E在CD边上，且DE＝4．P是对角线AC上一动点，Q是边AD上一动点，且满足，当P在AC上运动时，请求线段AQ的最大值，并求出此时线段AP的长度． 【答案】（1）DE；AE； （2）7； （3），理由见解析； （4）当时AQmax＝4． 【解答】解：（1）∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°， ∴∠1＝∠D， 在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（SAS） ∴AC＝DE，BC＝AE， 故答案为：DE；AE； （2）∵∠ADF＝∠B+∠BFD＝∠ADE+∠EDF，且∠A＝∠B＝∠EDF， ∴∠ADE＝∠BFD， 在△ADE和△BFD中， ， ∴△ADE≌△BFD（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝BF， ∵四边形CEDF的周长为10，DE＝DF＝3， ∴CE+CF＝20﹣DE﹣DF＝10﹣3﹣3＝4， 又∵△ABC的周长为18， ∴AE+AD+BD+BF＝18﹣（CE+CF）＝18﹣4＝14， ∵AE＝BD，AD＝BF， ∴2（AD+BD）＝14， ∴AD+BD＝7， 即AB＝7．， 故答案为：7； （3）数量关系为：， 理由：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， 又∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ACC＝∠BEC＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， ∴△ACD∽△CBE， 又∵AC＝2BC， ∴AD＝2CE，CD＝2BE， ∵DE＝DC﹣CE， ∴； （4）在AC上找一点F使∠EFP＝∠DAC，延长FE交AD的延长线于点G，过点G作AC的垂线，垂足为M，过点F作AD的垂线，垂足为N． 在矩形ABCD中，∵AB＝14，BC＝7， ∴， ∴， ∵， ∴∠EFP＝∠DAC＝∠EPQ， ∴△AQP∽△FPE，AG＝GF， ∴△GAF为等腰三角形， ∴AM＝MF， 设AM＝MF＝a，则AF＝2a， ∵， ∴， ∴， 又∵tan∠DGE＝tan∠NGF， ∴， 又∵DE＝4， ∴DG＝3，EG＝5， ∴AG＝GF＝10， ∴， 设AQ＝y，AP＝x， ∵△AQP∽△FPE， ∴， ∴， 即， ∵，对称轴为：直线， ∴当时，ymax＝4， 即当时AQmax＝4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$