精品解析：2025年江苏省徐州市鼓楼区树德中学中考数学二模试卷

2025年江苏省徐州市鼓楼区树德中学中考数学二模试卷 一．选择题（共8小题） 1. 下列各式中结果为负数的是( ) A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 数据用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 4. 一个圆柱和一个正方体按如图所示放置，则其俯视图为（　　） A. B. C. D. 5. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上的一点，DE⊥AB于点E,若AC＝8， BC＝6，DE＝3，则AD的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. 2 C. D. 6 8. 在中，，小丽进行如图步骤尺规作图，根据操作，对下列结论判断正确的是（ ） 1．分别以点B，C为圆心，大于长为半径作圆弧，相交于E，F，连接交于点D，G． 2．连接． ①平分；②是的中线；③；④． A. ①②③④ B. ③④ C. ②③ D. ②③④ 二．填空题（共10小题） 9. 16的平方根是________． 10. 把多项式分解因式的结果是______． 11. 如果二次根式有意义，则的取值范围是______． 12. 一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是______． 13. 如果，那么________． 14. 如图，在中，若，，，则的长为______. 15. 已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为_______. 16. 如图，⊙O中，所对的圆心角∠AOB＝120°，点C在上，则∠ACB的度数为_____°. 17. 如图，平行四边形中，，和的平分线交于、两点，、交于点，则到与到的距离比是_______． 18. 如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为_________． 三．解答题（共10小题） 19. （1）计算：； （2）化简： 20. 解方程： （1）； （2） 21. 暑假期间，某地区要举行八年级数学竞赛活动，本次竞赛活动设单项奖和团体奖，单项奖从所有参赛选手中由高分到低分设5名金奖、10名银奖、15名铜奖，团体奖取参赛单位参赛选手的平均分由高分到低分设3名金奖、5名银奖、10名铜奖．为了更好的参与本次竞赛活动，某校决定以班级为单位从八年级甲班和乙班中选取一个班级部分学生代表学校参加此次竞赛活动．为此，经过一段时间的培训，学校分别对两个班级学生进行了考试选拔，分别从两个班级参加本次考试的学生中，由高分到低分选取了相同数量的学生成绩进行分析比较，决定选派一个班级的这部分学生代表学校参加此次竞赛活动． 信息一：甲班本次考试成绩统计图 信息二：乙班本次考试情况统计 平均分 中位数 众数 最高分 87 89.5 94 98 信息三： 2.65 61.9 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次测试一个班级抽取了 名学生的成绩进行统计，甲班选取学生成绩的中位数是 ，补全条形统计图； （2）本次统计中甲班学生本次测试的平均成绩为多少分？ （3）通过本次测试成绩，该校选派哪个班级的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动？说明选派的理由． 22. 【材料阅读】算盘是中国传统的计算工具，是由早在春秋时期便已普通使用的筹算逐渐演变而来的，它不但是中国古代的一项重要发明，而且是在阿拉伯数字出现之前曾被人们广为使用的一种计算工具． 【数学应用】把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数210． （1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是______； （2）现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数的概率． 23. 如图，中，，，是直径，且平分，交于点，是的切线． （1）求的长； （2）求直径和的值． 24. 如图，反比例函数（）的图象与一次函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）若是轴正半轴上一点，且，求点的坐标． 25. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹． （1）在图中作出边上的高； （2）在图中作出边上的点，使得； （3）在图中作出边上的点，使得． 26. 为了测量池塘两端的A、两点的距离，佳佳沿着与直线平行的道路行走，当行走到点处，测得，再向前行走80米到点处，测得．若直线与之间的距离为30米，求、两点的距离． 27. 若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C． （1）求二次函数的表达式； （2）若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标． 28. 【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和.如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． 【迁移应用】如图3，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． 【创新应用】如图6：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年江苏省徐州市鼓楼区树德中学中考数学二模试卷 一．选择题（共8小题） 1. 下列各式中结果为负数的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，主要利用了相反数的定义，绝对值的性质，熟记概念与性质并准确化简是解题的关键．根据相反数定义，绝对值的性质对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A.，是正数，不符合题意； B.，是正数，不符合题意； C.，是正数，不符合题意； D. ，是负数，符合题意； 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法以及积的乘方，同底数幂的除法法则解答． 【详解】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法以及积的乘方，同底数幂的除法法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键． 3. 数据用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 4. 一个圆柱和一个正方体按如图所示放置，则其俯视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：一个圆柱和一个正方体按如图所示放置，则其俯视图为左边是一个圆，右边是一个正方形． 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 5. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程． 【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输吨， 则． 故选B 【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键． 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上的一点，DE⊥AB于点E,若AC＝8， BC＝6，DE＝3，则AD的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据AC=8，BC=6，∠C=90°则AB=10，根据DE⊥AB，∠A为公共角，则△ADE∽△ABC，则，即，解得：AD=5． 考点：三角形相似的应用 7. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. 2 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到大正方形的边长和小正方形的边长，再求阴影部分的面积. 【详解】由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：，故选B． 【点睛】本题考查矩形面积的求法，解题的关键是得到大正方形的边长和小正方形的边长. 8. 在中，，小丽进行如图步骤尺规作图，根据操作，对下列结论判断正确的是（ ） 1．分别以点B，C为圆心，大于长为半径作圆弧，相交于E，F，连接交于点D，G． 2．连接． ①平分；②是的中线；③；④． A. ①②③④ B. ③④ C. ②③ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由作图方法可知，是线段的垂直平分线，即可判定①③；由于，即可判断②；证明，得到点G为的中点，即可判断④ ． 【详解】解：由作图方法可知，是线段的垂直平分线， ∴是的中线，故②正确； ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴不是的平分线，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G为的中点， ∴，故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 二．填空题（共10小题） 9. 16的平方根是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴的平方根是. 10. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 11. 如果二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，据此即可求出答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得， 故答案为：． 12. 一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：∵袋子中共有7个小球，其中红球有2个， ∴摸出一个球是红球的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=． 13. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的性质，对进行化简，得，把代入，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，若，，，则的长为______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 ∴BC=8（cm） 故答案是：8 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键． 15. 已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为_______. 【答案】120°##120度 【解析】 【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的扇形的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角． 【详解】解：底面周长为4π， 解得n=120． ∴圆心角为120°． 故答案为：120° 【点睛】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 16. 如图，⊙O中，所对的圆心角∠AOB＝120°，点C在上，则∠ACB的度数为_____°. 【答案】 【解析】 【分析】在优弧AB上任取一点D，连接AD,BD，先利用圆周角定理求出的度数，再利用圆内接四边形的性质即可得出答案. 【详解】在优弧AB上任取一点D，连接AD,BD ∵∠AOB＝120° ∴ ∵四边形ADBC是圆内接四边形 ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键. 17. 如图，平行四边形中，，和的平分线交于、两点，、交于点，则到与到的距离比是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设，则，根据平行四边形的性质可得，，，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：， 设，则， 在平行四边形中，，，， ， 的角平分线交于， ， ， ， 同理可得：， ， ， △△， ， 到与到的距离比是 故答案为：． 18. 如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的距离，勾股定理，根据，得到当时，最长，当时，最短，利用的长为定值，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当，最长，此时最长， 当，最短，此时最短，如图： 设半径为， 当，即：， 由勾股定理，得：， 当，即：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：； 故答案为：7． 三．解答题（共10小题） 19. （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查零指数幂，负整数指数幂，立方根，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂，负整数指数幂，立方根进行计算即可； （2）根据分式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 20. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）原分式方程无解 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程和一元二次方程的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）找出，，的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【小问1详解】 解：原式去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是方程的增根， ∴原分式方程无解； 【小问2详解】 解：，， ∴， ∴， ∴， ； 21. 暑假期间，某地区要举行八年级数学竞赛活动，本次竞赛活动设单项奖和团体奖，单项奖从所有参赛选手中由高分到低分设5名金奖、10名银奖、15名铜奖，团体奖取参赛单位参赛选手的平均分由高分到低分设3名金奖、5名银奖、10名铜奖．为了更好的参与本次竞赛活动，某校决定以班级为单位从八年级甲班和乙班中选取一个班级部分学生代表学校参加此次竞赛活动．为此，经过一段时间的培训，学校分别对两个班级学生进行了考试选拔，分别从两个班级参加本次考试的学生中，由高分到低分选取了相同数量的学生成绩进行分析比较，决定选派一个班级的这部分学生代表学校参加此次竞赛活动． 信息一：甲班本次考试成绩统计图 信息二：乙班本次考试情况统计 平均分 中位数 众数 最高分 87 89.5 94 98 信息三： 2.65 61.9 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次测试一个班级抽取了 名学生的成绩进行统计，甲班选取学生成绩的中位数是 ，补全条形统计图； （2）本次统计中甲班学生本次测试的平均成绩为多少分？ （3）通过本次测试成绩，该校选派哪个班级的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动？说明选派的理由． 【答案】（1）10，88分， 补全条形统计图如下： （2）88.5分 （3） 选派甲班，因为甲班平均分高，方差小成绩均衡，可以争取团体奖； 选派乙班，因为乙班中位数大，有高分学生，可以争取单项奖（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、众数和方差，解答本题的关键是明确统计图的特点、方差和中位数的含义，利用数形结合的思想解答． （1）根据扇形统计图和条形统计图，可知90分以下（不含90分）的人数及百分比，进而可得一个班级抽取人数，进而可得甲班90分的人数，即可补全统计图，根据中位数定义即可求得，甲班选取学生成绩的中位数； （2）根据平均数的定义即可求解； （3）根据平均数，中位数，方差等进行判断即可． 【小问1详解】 本次测试一个班级抽取人数为：人， 则甲班90分的人数为人， 甲班选取学生成绩中，第5，6名同学的成绩均为88分，则中位数为分， 故答案为：10，88分； 【小问2详解】 甲班学生本次测试的平均成绩为分， 答：本次统计中甲班学生本次测试的平均成绩为88.5分； 【小问3详解】 略 22. 【材料阅读】算盘是中国传统的计算工具，是由早在春秋时期便已普通使用的筹算逐渐演变而来的，它不但是中国古代的一项重要发明，而且是在阿拉伯数字出现之前曾被人们广为使用的一种计算工具． 【数学应用】把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数210． （1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是______； （2）现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率，列表法或画树状图求概率． （1）一共有三种情况，只有一种情况符合题意，根据概率公式即可求解； （2）根据列表法或树状图法可以列出所有情况，再找出符合题意的情况，即可解答． 【小问1详解】 把一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，一共有3种情况，只有把算珠摆放到百位数上才能构成三位数，所以概率为． 故答案为： 【小问2详解】 画树状图如下： 由图可得共有9种等可能的结果，其中构成的数是三位数的结果有5个， ∴构成的数是三位数的概率为． 23. 如图，中，，，是直径，且平分，交于点，是的切线． （1）求的长； （2）求直径和的值． 【答案】（1） （2）的直径为， 【解析】 【分析】（1）连接，由证明，得到，即可求出的长； （2）先证明，求出的长，由勾股定理即可求出的长，由正切函数定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的直径， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质．三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，综合应用是解决本题的关键． 24. 如图，反比例函数（）的图象与一次函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）若是轴正半轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1）（）， （2） 【解析】 【分析】(1)根据反比例函数（）的图象与一次函数的图象交于、两点．确定，，代入解析式计算即可． (2) 设点P，直线与轴交于点．利用，列式计算即可． 本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握交点的意义，是解题的关键． 【小问1详解】 ∵，两点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为（）， ∴． ∵一次函数的图象经过，两点， ∴ 解得 ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 如图，设点的坐标为（），直线与轴交于点． ∵一次函数的解析式为， ∴点的坐标为， ∴． ∵， ， ∴， ∴， 即， 解得或（舍去）， ∴点的坐标为． 25. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹． （1）在图中作出边上的高； （2）在图中作出边上的点，使得； （3）在图中作出边上的点，使得． 【答案】（1） 如图，高即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（）取格点，连接，与交于点，则即为所求； （2）取格点，，连接，交于点，则，可得； （3）取格点，连接，交网格线于点，此时，，，即，再连接，交于点，可得． 【小问1详解】 根据格点作高的方法即可画出，高即为所求； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴如图，点即为所求； 【小问3详解】 根据格点的特征可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴如图，点即为所求． 【点睛】此题考查了作图——应用与设计作图、三角形的高、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 26. 为了测量池塘两端的A、两点的距离，佳佳沿着与直线平行的道路行走，当行走到点处，测得，再向前行走80米到点处，测得．若直线与之间的距离为30米，求、两点的距离． 【答案】米 【解析】 【分析】作于点，作于点，分别求出、的长，由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：作于点，作于点，如图所示， 由题意可得，（米），（米），，， （米），（米）， 米， 答：A、两点的距离是米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用和平行线之间的距离，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造直角三角形． 27. 若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C． （1）求二次函数的表达式； （2）若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解； （2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为 根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点， ． 又抛物线经过点，对称轴为直线， 解得∶ 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解∶①设直线的表达式为． 点A，B的坐标为，， ∴， 解得∶ ， 直线的表达式为． 根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称， ． 设点N的坐标为． 轴， ． ∴ ． ， 解，得． 点M的坐标； ②连接与交与点E． 设点M的坐标为，则点N的坐标为 四边形是正方形， ，，． ∵MN⊥x轴， 轴． E的坐标为． ． ． ∴P的坐标． 点P在抛物线上， ． 解，得，． 点P在第四象限， 舍去． 即． 点M坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键． 28. 【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和.如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． 【迁移应用】如图3，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． 【创新应用】如图6：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 【答案】问题背景：； 迁移应用：①；； ②； 创新应用：． 【解析】 【分析】（1）本题主要考查相似三角形的应用，解答本题的关键在于利用两边成比例夹角相等的两个三角形相似及相似三角形的性质，本题即可求证． （2）①特别主要考查相似三角形的性质，利用相似三角形的性质证明与之间的关系，本题即可求解；②连接，利用相似三角形的性质求出，再利用三角形的中位线的性质，求解即可． （3）过点作，过点作，连接，证明，求出与本题即可求解． 【详解】解：【问题背景】如图，， , 又， ． 故答案为：． 【迁移应用】如图，在中， , ， ， 又， ． 如图，延长与相交于点，与相交于点， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 即，． 故答案为：；． 如图，连接， ， ， 又， ， ， ∴， 又∵M是的中点，N是的中点， ； 【创新应用】如图，过点作，过点作，连接， ， ， ， 又 ， ， ， ， 即，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线的判定与性质等，解答本题的关键在于会添加合适的辅助线，利用平行线的性质求解，是一道综合性较强的压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $