13.3.1三角形的内角第2课时直角三角形的性质和判定（解析版+原卷版）-2025-2026学年八年级数学上册【基础过关+易错警示+中档提升+拓展延伸】同步练习课后作业（人教版）

13.3.1三角形的内角 第2课时 直角三角形的两锐角互余 知识点1 直角三角形的两锐角互余 1．（2023春•大田县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A＝（　　） A．60° B．30° C．45° D．90° 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余解答即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠A＝2∠B， ∴3∠B＝90°， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝60°． 故选：A． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 2．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠1的度数为（　　） A．15° B．65° C．75° D．60° 【分析】根据三角尺求出∠2，根据三角形的内角和定理计算即可． 【解答】解：∠2＝60°﹣45°＝15°， 由三角形的内角和定理可知，∠1＝90°﹣∠2＝75°， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 3．（2022•碑林区校级模拟）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】利用平行线的性质与判定可得∠E＝∠BME＝∠AMF，根据同角的余角相等可得∠E＝∠C，即可求解． 【解答】解：∵∠BAC＝∠EDF＝90°， ∴∠BAC+∠EDF＝180°， ∴AB∥DE，∠E+∠F＝90°， ∴∠E＝∠BME＝∠AMF， ∵EF⊥BC， ∴∠C+∠F＝90°， ∴∠E＝∠C， 故与∠E相等的角有3个， 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的性质，余角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（2022秋•双流区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，若∠BDE＝56°，则∠DAE的度数 　33°　 ． 【分析】先利用邻补角求出∠CDE，再根据角平分线的判定判断出∠ADE，最后利用三角形内角和求出∠DAE． 【解答】解：∵∠BDE＝46°， ∴∠CDE＝180°﹣∠BDE＝180°﹣56°＝124°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°， 又∵AC＝AE，∠DEA＝90°，∠C＝90°， ∴DA是∠CDE的角平分线， ∴∠ADE∠CDE124°＝57°， ∴在Rt△ADE中， ∴∠DAE＝180°﹣∠DEA﹣∠ADE＝180°﹣90°﹣57°＝33°， 故答案为：33°． 【点评】本题考查角平分线的判定，能判断出AD平分∠CDE是解题的关键． 5．（2024春•鄄城县期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（　　） A．135° B．150° C．120° D．110° 【分析】利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC， ∴， ∴， ∴∠AFB＝180°﹣45°＝135°． 故选：A． 【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6．（2023春•海口期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC． （1）若∠C＝40°，求∠ADB的度数； （2）在图中画出△ABC边BC上的高AE，与BD交于点F． 试说明：①∠BAE＝∠C； ②∠AFD＝∠ADF． 【分析】（1）理由直角三角形的性质可求解∠ABC＝50°，理由角平分线的定义可得∠ABD＝25°，再利用直角三角形的性质可求解； （2）①结合直角三角形的性质，利用同角的余角相等可证明； ②由直角三角形的性质可得∠DBC+∠BFE＝90°，利用对顶角的性质可得∠AFD+∠ABD＝90°，结合直角三角形的性质可证明结论． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD∠ABC＝25°， ∴∠ADB＝90°﹣∠ABD＝65°； （2）①∵AE是BC边上的高线， ∴∠AEC＝90°， ∴∠C+∠CAE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠CAE＝90°， ∴∠BAE＝∠C； ②∵AE是BC边上的高线， ∴∠AEB＝90°， ∴∠DBC+∠BFE＝90°， ∵∠BFE＝∠AFD，∠ABD＝∠DBC， ∴∠AFD+∠ABD＝90°， ∵∠ABD+∠ADF＝90°， ∴∠AFD＝∠ADF． 【点评】本题主要考查直角三角形的性质，角平分线的定义．灵活运用直角三角形的性质是解题的关键． 知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形 7．（2024秋•渭源县校级期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠B+∠C＝∠A B． C．∠A：∠B：∠C＝2：2：4 D．∠A＝2∠B＝3∠C 【分析】根据三角形内角和为180°，直接进行解答． 【解答】解：A．∠B+∠C＝∠A，即2∠A＝180°，∠A＝90°，所以△ABC为直角三角形，故该选项正确，不符合题意； B．，则，则∠C＝90°，所以△ABC为直角三角形，故该选项正确，不符合题意； C．∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则，所以△ABC为直角三角形，故该选项正确，不符合题意； D．∠A＝2∠B＝3∠C，即，，三个角没有90°角，故不是直角三角形，故该选项错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 8．（2025春•沈阳期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠B＝∠C180°＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意； ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意； ③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x， ∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°， ∴2x＝72°，故本小题不符合题意； ④设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°， 解得x＝30°，故3x＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意； ⑤∵∠A＝∠B∠C， ∴∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝2∠C＝180°， ∴∠C＝90°，故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个． 故选：B． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 9．（2024秋•荔城区校级月考）如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A＝∠C．求证：△ABD是直角三角形． 【分析】先根据直角三角形两锐角互余可得∠C+∠D＝90°；再求出∠A+∠D＝90°，进而得到∠ABD＝90°，再判定即可． 【解答】证明：∵CE⊥AD， ∴∠CED＝90°， ∴∠C+∠D＝90°， ∵∠A＝∠C， ∴∠A+∠D＝90°， ∴∠ABD＝90°， ∴△ABD是直角三角形． 【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，垂直的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键． 【易错警示】 易错点：忽略用分类讨论思想确定三角形最大内角而导致漏解 10．（2024春•界首市期末）在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是 　2或6　 ． 【分析】因为是直角三角形，没有说明哪两个角是直角，这里应分两种情况求解：①∠C是直角；②∠B是直角． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形， ∴分两种情况： ①∠C是直角时，则∠A+∠B＝∠C＝90°， ∵∠A：∠B：∠C＝2：m：4， ∴此时， ∴∠B＝90°﹣∠A＝45°， ∴∠A＝∠B， 此时m＝2； ②∠B是直角时，则∠A+∠C＝∠B， ∵∠A：∠B：∠C＝2：m：4， ∴此时m＝2+4＝6； 故答案为：2或6． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余，并注意分类讨论． 11．（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（　　） A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO 【分析】根据直角三角形的性质可知：∠O与∠ADO互余，∠DEB与∠ADO互余，根据同角的余角相等可得结论． 【解答】解：由示意图可知：△DOA和△DBE都是直角三角形， ∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°， ∴∠DEB＝∠O， 故选：B． 【点评】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 12．（2024秋•五华区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE． 【解答】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°， ∴∠C＝∠BDF＝∠BAD， ∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°， ∴∠C＝∠ADE， ∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3， 故选：A． 【点评】此题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余． 13．（2021春•青羊区校级期中）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（　　） A．30° B．（m﹣15）° C．（m+15）° D．m° 【分析】根据直角三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：∵∠DEB＝m°， ∴∠AEC＝∠DEB＝m°， ∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°， ∴30°+m°＝45°+∠AOC， ∴∠AOC＝（m﹣15）°， 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键． 14．（2021春•荷塘区期末）如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数． 【解答】解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个． 故选：D． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，解题时要注意找出所有符合条件的点． 15．（2023秋•德城区校级月考）已知在非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD与高CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是 　135°或45°　 ． 【分析】①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解； ②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC＝∠A，从而得解． 【解答】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时， ∵BD、CE是△ABC的高线， ∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°， 在△ABD中，∵∠A＝45°， ∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝45°+90°＝135°； ②如图2，△ABC是钝角三角形时， ∵BD、CE是△ABC的高线， ∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°， ∵∠ACE＝∠HCD（对顶角相等）， ∴∠BHC＝∠A＝45°． 综上所述，∠BHC的度数是135°或45°． 故答案为：135°或45°． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观． 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝40°，AH、BD分别是△ABC的高和角平分线，点E为BC边上一点，当△BDE为直角三角形时，则∠CDE＝　50°或25°　 ． 【分析】直接根据三角形内角和定理得∠ABC＝50°，由角平分线的定义得∠DBC＝25°，当△BDE为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC25°， 当△BDE为直角三角形时，有以下两种情况： ①当∠BED＝90°时，如图1， ∵∠C＝40°， ∴∠CDE＝90°﹣40°＝50°； ②当∠BDE＝90°时，如图2， ∴∠BED＝90°﹣25°＝65°， ∵∠BED＝∠C+∠CDE， ∴∠CDE＝65°﹣40°＝25°， 综上，∠CDE的度数为50°或25°． 故答案为：50°或25°． 【点评】本题考查的是直角三角形的两锐角互余和三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键． 17．（2023春•大丰区月考）在△ABC中，AB＝AC，将△ABC折叠，使A，B两点重合，折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为40°，则∠A的度数为 　50°或130°　 ． 【分析】首先根据题意画出图形，如图1：由翻折的性质可知：EF⊥AB，所以∠A+∠AFE＝90°，从而可求得∠A＝40°，如图2；由翻折的性质可知：EF⊥AB，∠D+∠DAE＝90°，故此∠DAE＝40°，即得∠BAC＝140°． 【解答】解：如图1： 由翻折的性质可知：EF⊥AB， ∴∠A+∠AFE＝90°． ∵∠AFE＝40°， ∴∠A＝90°﹣40°＝50°， 如图2，由翻折的性质可知：EF⊥AB， ∴∠D+∠DAE＝90°． ∵折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为40°， ∴∠EDA＝40°， ∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°， ∴∠BAC＝130°， 故答案为：50°或130°． 【点评】本题主要考查的是翻折变换（折叠问题），和等腰三角形的性质，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 18．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝48°，∠C＝62°，则∠DAE的度数是（　　） A．5° B．6° C．7° D．8° 【分析】首先根据三角形内角和定理解得∠BAC的值，进而结合三角形角平分线的定义可知，根据AD是△ABC的高，可知AD⊥BC，进而解得∠CAD的值，然后根据∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD求解即可． 【解答】解：∵∠B＝48°，∠C＝62°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴根据角平分线的定义，∠CAE∠BAC70°＝35°， ∵AD是△ABC的高，即AD⊥BC， ∴∠CAD＝180°﹣90°﹣∠C＝28°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝35°﹣28°＝7°， 所以∠DAE的度数是7°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握相关知识是解题关键． 19．（2021秋•思明区校级期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ACB沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠CDB′等于　70　 °． 【分析】根据对称性以及三角形的外角的性质求出∠CDB即可． 【解答】解：∵B，B′关于CD对称，∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠CDB＝∠CDB′ ∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝25°+45°＝70°， ∴∠CDB′＝70°， 故答案为70． 【点评】本题考查三角形内角和定理，轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，属于中考常考题型． 20．（2024•宁波模拟）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，交BC于点E． （1）求证：CE＝CF； （2）若AC＝6，AB＝10，求△ACE与△ABE的面积之比． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAE，根据直角三角形的性质得到∠BAE+∠AFD＝90°，根据对顶角相等得到∠CEA＝∠CFE，根据等腰三角形的判定定理证明即可； （2）过点E作EG⊥AB于G，根据角平分线的性质得到EC＝EG，再根据三角形面积公式计算即可． 【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAE， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAE+∠CEA＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BAE+∠AFD＝90°， ∵∠CFE＝∠AFD， ∴∠CEA＝∠CFE， ∴CE＝CF； （2）解：如图，过点E作EG⊥AB于G， ∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，EG⊥AB， ∴EC＝EG， 则． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的判定，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 21．（2024秋•威县期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足：a+2β＝90°．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠B＝60°，则∠A＝　15°　 ． （2）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°． ①若AD是∠BAC的平分线，则△ABD是“准互余三角形”吗？并说明理由． ②若点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，∠B＝24°，求∠EAC的度数． 【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是180°，∠C＞90°，∠B＝60°，只能是∠B+2∠A＝90°； （2）①由题意可得∠ADB＞90°，所以只要证明∠B与∠BAD满足2α+β＝90°，即可解答， ②由题意可得∠AEB＞90°，所以分两种情况，∠B+2∠BAE＝90°，2∠B+∠BAE＝90°． 【解答】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠B＝60°， ∴∠B+2∠A＝90°， ∴∠A＝15°， 故答案为：15°； （2）①△ABD是“准互余三角形”， 理由：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAC＝2∠BAD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°， ∴2∠BAD+∠B＝90°， ∴△ABD是“准互余三角形”， ②∵△ABE是“准互余三角形”， ∴2∠EAB+∠ABC＝90°或∠EAB+2∠ABC＝90°， ∵∠ABC＝24°， ∴∠EAB＝42°或∠EAB＝33°， 当∠EAB＝42°，∠ABC＝24°时，∠AEB＝114°， ∴∠EAC＝90°﹣∠ABC﹣∠BAE＝24°， 当∠EAB＝33°，∠ABC＝24°时，∠AEB＝123°， ∴∠EAC＝90°﹣∠ABC﹣∠BAE＝33°， ∴∠EAC＝33°或24°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 22．（2024春•广汉市期中）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE． （1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME； （2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝66°，求∠ACE的度数； （3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH∠ECH，请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系． 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义分别计算∠A与∠CME，即可得出结论； （2）过点F作FM∥AB，利用平行线的性质和角平分线的定义和（1）的结论解答即可； （3）延长CM交AN的延长线于点F，设∠ACH＝x，则∠ECH＝2x，ECM＝∠DCM＝y，利用垂直的定义得到x+y＝45°；利用三角形的内角和定理分别用x，y的代数式表示出∠MNB与∠A，计算∠MNB+∠A即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵EM⊥CE， ∴∠CEM＝90°． ∵∠AEC+∠CEM+∠BEM＝180°， ∴∠AEC+∠BEM＝90°． ∵AB∥CD， ∴∠AEC＝∠ECD，∠CME＝∠BEM． ∴∠ECD+∠CME＝90°． ∴2∠ECD+2∠CME＝180°． ∵CE平分∠ACD， ∴ACD＝2∠ECD． ∴∠ACD+2∠CME＝180°． ∵AB∥CD， ∴∠ACD+∠A＝180°． ∴∠A＝2∠CME． （2）解：过点F作FM∥AB，如图， ∵AB∥CD， ∴FM∥AB∥CD． ∴∠AFM＝∠BAF，∠CFM＝∠DCF． ∴∠AFM+∠CFM＝∠BAF+∠DCF． 即∠AFC＝∠BAF+∠DCF． ∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE， ∴∠CAB＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF． ∴∠CAB+∠DCE＝2（∠BAF+∠DCF）＝2∠AFC． ∵∠AFC＝66°， ∴∠CAB+∠DCE＝132°． ∵AB∥CD， ∴∠CAB+∠ACE+∠DCE＝180°． ∴∠ACE＝180°﹣（∠CAB+∠DCE） ＝180°﹣132° ＝48°． （3）∠MNB与∠A之间的数量关系是：∠MNB＝135°﹣∠A． 延长CM交AN的延长线于点F，如图， ∵MN⊥CM， ∴∠NMF＝90°． ∴∠MNB＝90°﹣∠F． 同理：∠HCF＝90°﹣∠F． ∴∠MNB＝∠HCF． ∵∠ACH∠ECH， ∴设∠ACH＝x，则∠ECH＝2x． ∵CM平分∠DCE， ∴设∠ECM＝∠DCM＝y． ∴∠MNB＝∠HCF＝2x+y． ∵AB∥CD，CH⊥AB， ∴CH⊥CD． ∴∠HCD＝90°． ∴∠ECH+∠ECD＝90°． ∴2x+2y＝90°． ∴x+y＝45°． ∵CH⊥AB， ∴∠A＝90°﹣∠ACH＝90°﹣x． ∴∠A+∠MNB＝90°﹣x+2x+y＝90°+x+y＝135°． ∴∠MNB＝135°﹣∠A． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，平角的意义，过点F作FM∥AB是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3.1三角形的内角 第2课时 直角三角形的两锐角互余 知识点1 直角三角形的两锐角互余 1．（2023春•大田县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A＝（　　） A．60° B．30° C．45° D．90° 2．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠1的度数为（　　） A．15° B．65° C．75° D．60° 3．（2022•碑林区校级模拟）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 4．（2022秋•双流区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，若∠BDE＝56°，则∠DAE的度数 　 　 ． 5．（2024春•鄄城县期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（　　） A．135° B．150° C．120° D．110° 6．（2023春•海口期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC． （1）若∠C＝40°，求∠ADB的度数； （2）在图中画出△ABC边BC上的高AE，与BD交于点F． 试说明：①∠BAE＝∠C； ②∠AFD＝∠ADF． 知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形 7．（2024秋•渭源县校级期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠B+∠C＝∠A B． C．∠A：∠B：∠C＝2：2：4 D．∠A＝2∠B＝3∠C 8．（2025春•沈阳期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．（2024秋•荔城区校级月考）如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A＝∠C．求证：△ABD是直角三角形． 【易错警示】 易错点：忽略用分类讨论思想确定三角形最大内角而导致漏解 10．（2024春•界首市期末）在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是 　 ． 11．（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（　　） A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO 12．（2024秋•五华区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 13．（2021春•青羊区校级期中）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（　　） A．30° B．（m﹣15）° C．（m+15）° D．m° 14．（2021春•荷塘区期末）如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 15．（2023秋•德城区校级月考）已知在非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD与高CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是 　 　 ． 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝40°，AH、BD分别是△ABC的高和角平分线，点E为BC边上一点，当△BDE为直角三角形时，则∠CDE＝　 　 ． 17．（2023春•大丰区月考）在△ABC中，AB＝AC，将△ABC折叠，使A，B两点重合，折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为40°，则∠A的度数为 　 　 ． 18．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝48°，∠C＝62°，则∠DAE的度数是（　　） A．5° B．6° C．7° D．8° 19．（2021秋•思明区校级期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ACB沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠CDB′等于　 　 °． 20．（2024•宁波模拟）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，交BC于点E． （1）求证：CE＝CF； （2）若AC＝6，AB＝10，求△ACE与△ABE的面积之比． 21．（2024秋•威县期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足：a+2β＝90°．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠B＝60°，则∠A＝ 　 ． （2）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°． ①若AD是∠BAC的平分线，则△ABD是“准互余三角形”吗？并说明理由． ②若点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，∠B＝24°，求∠EAC的度数． 22．（2024春•广汉市期中）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE． （1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME； （2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝66°，求∠ACE的度数； （3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH∠ECH，请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$