智慧广场——重叠问题（教学设计）-2024-2025学年四年级上册数学青岛版（五四学制）

《智慧广场——重叠问题》 教材版本： 《义务教育教科书 数学》青岛版五四制 教学内容： 青岛版五四制四年级上册第七单元“智慧广场”第80--81页。 教材解读： 所谓重叠问题也就是集合问题，集合就是把指定具有某种性质的事物看作一个整体，每一个事物称为集合的元素。集合作为现代数学的基本语言，能简洁、准确地表达数学内容，是最基本的思想方法，它在小学数学的四个领域里均有涉及与运用。本节课教授内容为青岛版五四制四年级上册第七单元智慧广场内容，主要是介绍一些重要的数学思想方法以及韦恩图这种实用的工具，让学生学习运用这些数学思想方法解决一些简单的实际问题或数学问题。本节课主要结合生活实例，让学生初步体会集合这种数学思想方法。主要要求学生能根据提供的信息，借助集合，会进行判断、推理，得出结论，使学生初步接触和运用集合分析问题、解决问题，渗透集合的有关思想和方法。 学情分析： 集合思想是数学中最基本的思想，集合理论可以说是数学的基础。从学生一开始学习数学，其实就已经在运用集合的思想了。例如，学生在学习数数时，就常常把1个人、2朵花、3枝铅笔等用一条封闭的曲线圈起来表示，在学习认识三角形等图形时，也常常把各种不同的三角形用一个圈圈起来表示。又如，学生学习过的分类思想和方法实际上就是集合理论的基础。但是，这些都只是单独的一个个集合图，而本节课所要用到的含有重复部分的集合图，学生并没有接触过。对于两个集合的交集和并集，尤其是交集的体会并不多，而且在学习用画图的方法解决问题时，更多的是用列举法画出集合所有的元素，没有将一个集合的元素圈起来的经验积累。因此，学生很难自己想到画维恩图来表示每一组事物或数据，并用维恩图来解决具体问题中所要求的计算。教师在教学中要根据学生的实际情况把握好教学的起点和要求，恰当选择自主探索或有意义的接受学习的学习方式。 教学目标： 1.引导学生经历集合图的产生过程，能借助于直观图，利用集合思想方法解决简单的重叠问题，突出解决问题策略的多样性。 2.通过观察、猜测、操作、交流等活动使学生能够经历探究的过程，初步体会韦恩图的优点，让学生在自主探索和合作交流中学习、发展，体验重叠问题的建模过程，初步感知数学的严密逻辑。 3.引导学生在观察、操作、交流、猜测等活动中，感受数学与生活的密切联系，体验数学在生活中的价值和学习的乐趣。 教学重点： 经历用集合图（韦恩图）表示重叠问题的探究过程，利用集合的思想方法思考和解决简单的重叠问题。 教学难点： 理解韦恩图的意义，建构重叠问题的数学模型。 课前准备： 多媒体课件、学生姓名贴。 课前熟悉学生： 师：同学们你们好，猜猜这节是什么课呀？对那我就是 数学老师，但是我学校里还有一个身份，猜猜看，班主任，科学老师。。。。。 恭喜你们猜对啦，我还是一名科学老师， 那你可以怎么跟同学们介绍我呢？你既是数学老师，又是科学老师。谢谢你的介绍让大家都认识了我，很高兴再次跟大家见面。同学们准备好了吗？上课！同学们好，请坐。 教学过程： 一、巧设情境，引入新课。 师：同学们，我听说咱们学校非常注重学生的全面发展，学校即将召开运动会为此下了这样一则通知，谁来读一下。 通　知 为迎接运动会的召开，学校进行班级才艺比拼，定于10月13日、14日下午分别举行羽毛球和跳绳比赛。要求：每班选5名同学参加羽毛球比赛，6名同学参加跳绳比赛。 泰安市实验学校 2023年10月9日 师：声音真宏亮，咱们今天就来解决一下这个问题。根据学校的通知要求，你认为一共要选多少人参加这两项比赛？ 生：（齐）11人！ 师：你是怎么想的？你能列出一道算式吗？ 生：5+6＝11(人)。板书算式 真的是这样吗，可是班主任老师提交了这样一份名单，仔细观察，你有什么发现？ 羽毛球：高文婧，丁嘉睿，宋一睿，曹文晔，王心冉 跳绳：闫炫坤，樊向然，周昕昊，高文婧，宋一睿，贾诗睿 预设1：回答有同学重复，问谁重复了？ 预设2：能说出名字，就找两位同学，谁也发现了？你也发现了吗？名字出现了两次，那这是怎么回事啊？ 师：你一下子发现了问题的关键，问同学们听明白了吗？他的意思是名字出现了两次，重复了是吗？ 为了帮助咱们理解，我把他们都请到前面来，拿着跳绳和羽毛球的牌子，请参加比赛的同学站在相应的位置上来吧！ 二、创造韦恩图。 （上来的两位重复的同学如果选择了一个组合站着，问其他孩子：）这样站行吗？ 生：不行，他们两个比赛都参加了，不能只站在一个地方。 师：那这两位同学应该站在哪里呢？ 生：站在中间， 师：为什么呢？ 生：因为他既参加了羽毛球，又参加了跳绳。 好了，对着两位同学说：现在知道站在那里了吗？ 师：你的意思是这样吗？是个不错的想法！ 师：能不能借助一个工具让大家一眼就看出来他即参加了羽毛球，又参加了跳绳比赛吗？等待。。。 如果能想起来用圈：正好，老师就带来了这样一个工具。 想不起来：老师的这个工具能用上吗？ 谁想来试一试？孩子自己动手套圈，套完了，问，你是怎么想的？大家同意吗？ 如果套错了，谁还有不同的想法？ 师：请参加跳绳比赛的同学举起左手，一起来验证一下，确实是六位同学，那请参加羽毛球比赛的同学举起右手，一起来数一数？ 为什么你们两个手都举起来了？ 生：因为我两个活动都参加了。 师：把手放下吧。 师：我们借助简单的工具，解决了这么复杂的问题，感谢这位同学想出了这么好的方法，掌声送给他。 能不能把这个圈圈的方法画在黑板上，谁想来试试？尽量把圈画的大一点（准备两支不同颜色的粉笔） 一个人画图， 师：这个圈表示的是？这个圈就是跳绳的5人？ 问台上站着的同学：在这里还能找到自己的位置吗？快把自己的名字贴上去吧？ 这里的两个人，写2，既在这个圈又在这个圈，为什么？ 生：他两项都参加啦 师：大家的意思就是他既参加了羽毛球又参加了跳绳。是这个意思吗？（板书：既......又......）非常准确。 三、揭示课题： 这两个同学重复参加了两项活动，像这一类问题，就是我们今天研究的重叠问题，用画图确实也是解决这类问题的一种好方法，你们在黑板上创造的这种图早在19世纪就由英国数学家韦恩创造出来了，并把这种图的名字命名为韦恩图，用来解决生活中会出现的重复的问题。 四、看图列式： 因为重复了，现在你能用一个算式表示参加比赛的人数吗？（课件补充信息：有2人两项都参加） 生：5+6-2=9那你能解释一下这个算式吗？说的多清晰啊， 再找一个孩子，再来说说减2什么意思，不会说的话就换一位同学，并评价：不要害怕出错，错了没关系，咱们就是在错错对对中学到新知识的。 师:其他同学：你们同意吗？还有不同方法吗？ 如果能说出来就留着，说不出来就继续进行。 学生纷纷点头同意。 小小一张图就帮我们解决了一个实际问题 像这样，用图形解决数的问题，在数学上是一种非常重要的方法，叫数形结合。（板书：数形结合） 五、类推总结： 如果两项比赛都参加的只有一人，那这时参加比赛的有多少人呢？ 5+6-1=10人 指着黑板上的算式，这是重复一个人的，这是重复两个人的？还可能有几人重复呢？ 咱们以小组为单位讨论下可能会出现多少种情况。先听清楚探究要求 探究要求：每班5人参加羽毛球比赛，6人参加跳绳比赛，想想可能会有多少种情况？画一画，并列出算式。学生小组讨论，教师巡视指导，学生汇报。 同学们讨论的可真热烈，哪个小组代表愿意来分享一下你们小组的结果？ 生：同学们听我说：我是这么想的：有可能不重复，这时候图是这样的，一种重复的时候。。。 好了，老师这里也有两个圆，你边操作边说可以吗? 如果能汇报全，评价汇报的真详细， 表扬：说的真完整。研究问题的时候就应该像这位同学一样按照一定的顺序有条理的进行。 汇报不全就问还有需要补充的吗？（如果能想到不重复最好，想不到就引导他） 你们小组想法很独特，别人没想到的，你们却想到了。 如果通过操作能想明白，看看你的探究单，图还需要调整吗？ 就这个问题最多重复几个人？最少呢？ 还会有重复几人的情况？ 还会出现6、7、8种重复吗？等一等学生，让学生自己感知最多几人重复。 你现在知道问题在哪里了吗？能试着改过来吗？我相信你肯定行！ 这位同学的错误帮了咱们大忙，不少同学都出现了这个错误，也提醒同学们注意实际情况实际分析 问：好我们借助大屏幕再来回顾一下刚才探究的过程。 师：当参加比赛的同学没有重复的时候，图会是什么样子的？总数是多少那？ 生：5+6=11人 然后课件出示图，再出算式 师：那重复的时候最少重复几人？ 生：1个人（课件出示：有1人既参加了羽毛球又参加了跳绳） 我们得到了相应的算式，接下来，教师继续询问：“如果是2人呢？” “3人呢？”“4人呢？”课件配合学生的回答） “如果是5人呢？”猜猜这两个圈会变成什么样呢？ 生1：大圈包含小圈了 生2：小的那个圈全部包在大圈里了。 教师点评：你们说的真形象。并课件演示问道“是这个意思吗？”学生肯定。 师：观察这些算式和图，你发现了什么？ 生1：减掉的数字就是图上重叠的部分。 生2：减掉的数字越大，中间重叠部分的区域就越大。 生3：用两个组的人数之和，减去中间重叠的部分就是总数。 生4：从这些图中看出两组人数最多的时候是没有重叠的时候，总数也就是两组人数之和。最少的时候是其中少的一组人数全部重叠于另一组，那么总数就是较多那组的人数。刚刚的这幅图中，向同学们展示了重叠问题可能会出现的各种情况。 如果参加跳绳的有30人，羽毛球的有50人，重复10人又该怎么列式呢？如果人数更多，200人和100人，重复90人呢？又该怎么列式呢？ 数字一直在变，你能用一个算式表示这类的重叠问题所有的情况吗？请你来说。 生1：用字母表示数，a+b-c,想到了让用字母表示数来帮忙，知识真扎实。 想不出：如果我们把参加羽毛球比赛的人数看做a，跳绳比赛的人数看做b，c表示他们的重复部分，总人数看作N。N应该等于？N=a+b-c一个算式表示了所有的情况，这就表示了我们数学的简洁美，那a+b表示什么？c呢？也就是两组人数和-重叠部分 C有没有取值范围呀 我们根据具体情境具体探究。C可以等于0，这种就是他们没有重复的部分，这时参加比赛的人数是最多的，不能超过5，也就是c最大是两组中较少的那一组的人数。这个时候参加两个比赛的人数是最少的。 六、练习巩固： 其实重叠问题在我国古代已经有了研究，在我国春秋战国时期，出现了榫卯建筑，榫卯建筑是不需要通过钉子来固定两根木条，从而达到甚至比用钉子固定还牢固的作用，这样也体现了中国人民的智慧。（动画） 就像我们手中的这支笔也有重叠问题。一起来看笔帽长5cm，笔身长15cm。当我把它扣在一起，重叠部分长4cm，现在这支笔长多少厘米？有想法啦？赶快写一写？谁想来说说你的答案， 和他做的一样的同学请举手。 看来大家对这个问题都已经有所掌握，图形中也有这样的问题，我们一起来帮帮王老伯。 王伯伯家的菜地是这样的，不规则图形，有难度是吗？但是我给他加上这一块，就变成了两个正方形重叠在一起，现在你能帮王伯伯算一算他们家的菜地有多大吗？重合部分的面积是 8 平方米。那么你能不能说一说他家的菜地到底有多大？请你来说。 好。这位同学列的算式是 5 * 5 = 25，3 * 3 = 9，分别算出了两个正方形的面积， 25 + 9 - 8 =26，备用：（再来看一道题目，这个有变化了！我知道了参加合唱和舞蹈要去的人数，也知道了他们实际的人数，你能求出两项都参加的人数吗？同学们太厉害了，）接下来就需要在座的各位的配合了今天咱们做个现场调查：大家喜欢吃肉还是吃菜？每个人必须选，可以选一样，也可以选两样。请喜欢吃肉的同学举手，放下，再请喜欢吃菜的同学举手，好了同学们，通过刚才的这个调查，我就能知道你们都多少人既喜欢吃菜，也喜欢吃肉了，你知道我是怎么算出来的吗？看来你是真学会了！不过老师希望下次再来的时候站着的同学能更多一点，你们也营养更均衡一点，好吗？其实重叠问题我们早在一年级时就已经有所研究了，还记得吗？（大雁排队）站队的问题。其实同学们咱们的数学是一个前后知识充满联系的学科，知识也是由简单到复杂的一个变化过程。 七、回头看： 那咱们一起来回顾一下今天的学习，咱们从生活中发现了重叠问题，借助韦恩图梳理了重叠问题的数量关系，体现了数形结合的思想，建立了数学模型，又借助模型解决了生活中的问题。数学是一门要不断探索，不断研究，才会不断进化的学科，今天我们学习了简单的重叠问题，会不会有三部分、四部分，甚至更多部分的重合呢，那么像诸如此类更加复杂的重叠问题又该怎么研究呢？ 还有个小疑问留给你:昨天跟你们见过面之后，我经过四年级八班，看到几个同学在值日。我就问：你们喜欢吃肉的有几个啊？他们告诉我，5个。我又问喜欢吃菜的举手，我数了数，有3个。5个爱吃肉，3个爱吃菜，我重叠问题学的不错呀，于是我就跟他们说，你们值日的人数要么是8个，要么是7个，要么是6个，要么是5个。他们班学生却说：你猜错了，我们有10个人。5+3怎么会出来十个人呢？师：这个问题今天肯定是解决不了了，你们回家再想吧！留个问题回家想会更有意思。 学科网（北京）股份有限公司 $$