第6章 平行四边形（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（青岛版）

第6章：平行四边形 （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 一、单选题 1．如图，湖边有三条公路，其中公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．测得的长为，则M，C两点间的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．下列说法不正确的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．平行四边形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 3．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝16cm，BD＝10cm，AD＝12cm，则△BOC的周长等于（    ） A．30cm B．26cm C．32cm D．25cm 4．如图，在中，，于点D，E为AB的中点，连接CE，若，，则的度数是（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 5．如图，中，，点D，E分别是边的中点，点F在线段上，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．如图，要使平行四边形成为菱形，需添加的一个条件是（　　） A． B． C． D．与互相平分 7．下列命题中，错误的是（     ） A．一组对边平行的四边形是梯形； B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； C．对角线相等的平行四边形是矩形； D．一组邻边相等的平行四边形是菱形． 8．如图所示，矩形中，平分交于，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，下列结论正确的是（  ） A．当平行四边形是矩形时， B．当平行四边形是正方形时， C．当平行四边形是菱形时， D．当平行四边形是矩形时， 10．如图，正方形中，点分别是的中点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11．如图，△ABC的周长为16, G、H分别为AB．AC的中点，分别以AB．AC为斜边向外作Rt△ADB和Rt△AEC,连接DG.GH,EH,则DG+GH+EH的值为 . 12．如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 ． 13．如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，请添加一个条件 使四边形是平行四边形． 14．如图，点D，E，F分别是三边的中点，则下列结论中正确的有 ． ①四边形AEDF一定是平行四边形；②若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形；④若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形 15．如图，四边形是边长为5的正方形，点是上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接、．则最小值为 ． 三．解答题：本小题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（8分）如图，的周长为相交于点交于点，求的周长． 17．（8分）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 18．（8分）如图，在中，点D，E分别为，的中点，过点A作的平行线，交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，试判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由． 19．（8分）（1）如图1，已知线段相交于点F，连接．若， 求证：； （2）如图2，中， 垂足为点D，垂足为点E，． 求证：； （3）如图3，在（2）的前提下，若，求的值． 20．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点. (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法). ①作∠DAC的平分线AM； ②连接BE并延长交AM于点F； ③连接FC． (2)猜想与证明：猜想四边形ABCF的形状，并说明理由. 21．（10分）如图，同一平面内三条不同的直线，，，直线平行直线，直线与另外两条直线分别交于点，，点，分别为，上两点，且满足平分，平分． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)四边形可以为菱形吗？若可以，求出；若不可以，请说明理由． 22．（12分）如图1，是菱形的对角线，E是上一个动点，连接． (1)求证：； (2)如图2，F是直线上一点，连接，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，如图3，延长交的延长线于点G，探索和之间的数量关系并加以证明． 23．（12分）探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动． 在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． (1)观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为________．证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是_______． (2)数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． (3)结论拓展：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章：平行四边形 （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 一、单选题 1．如图，湖边有三条公路，其中公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．测得的长为，则M，C两点间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解． 【详解】解：由题意可知，中，，M是的中点， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 2．下列说法不正确的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．平行四边形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质，正方形和菱形的判定定理，熟知矩形和平行四边形的性质，正方形的判定定理和菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意； B、平行四边形的对角线互相平分，原说法正确，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确，不符合题意； D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 3．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝16cm，BD＝10cm，AD＝12cm，则△BOC的周长等于（    ） A．30cm B．26cm C．32cm D．25cm 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝16cm，BD＝10cm，AD＝12cm， ∴OC=OA=AC=8cm，OB=OD=BD=5cm，BC=AD=12cm， ∴△BOC的周长为OB+OC+BC=5+8+12=25（cm）， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角线互相平分，对应边相等是解答的关键． 4．如图，在中，，于点D，E为AB的中点，连接CE，若，，则的度数是（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可得CE=AE=BE=，从而得到△ACE是等边三角形，进而得到∠A=∠ACE=60°，再由，即可求解． 【详解】解：在中，，E为AB的中点， ∴CE=AE=BE=， ∵， ∴AC=AE=CE， ∴△ACE是等边三角形， ∴∠A=∠ACE=60°， ∵， ∴∠DCE=30°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 5．如图，中，，点D，E分别是边的中点，点F在线段上，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形中位线定理得到．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：∵点D、E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． ∵，D是的中点，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和直角三角形的性质，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 6．如图，要使平行四边形成为菱形，需添加的一个条件是（　　） A． B． C． D．与互相平分 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的判定，根据菱形的判定方法得出A正确，B、C、D不正确；即可得出结果，熟练掌握菱形的判定：邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是解此题的关键． 【详解】解：A、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故本选项正确； B、四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形，故本选项错误； C、四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 不能推出，平行四边形是菱形，故本选项错误； D、四边形是平行四边形， 必有与互相平分， 四边形不一定是菱形； 故选：A． 7．下列命题中，错误的是（     ） A．一组对边平行的四边形是梯形； B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； C．对角线相等的平行四边形是矩形； D．一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【答案】A 【分析】根据梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定进行判断即可． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误，符合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】主要考查梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定，注意梯形的定义应从两组对边的不同位置关系分别考虑． 8．如图所示，矩形中，平分交于，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】由矩形的性质得OA＝OD＝OC＝OB，再证∠ACD＝60°，得△ODC是等边三角形，故①正确；然后由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2AB，则2AB＞BC，故②错误；然后由OA＝OC得，，故③④正确． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBC，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD， ∴OA＝OD＝OC＝OB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝45°， ∵∠CAE＝15°， ∴∠DAC＝45°−15°＝30°， ∴∠ACD＝90°−∠DAC＝90°−30°＝60°， ∵OD＝OC， ∴△ODC是等边三角形，故①正确； ∵ADBC， ∴∠ACB＝∠DAC＝30°， ∵∠ABC＝90°， ∴AC＝2AB， ∴2AB＞BC，故②错误； ∵OA＝OC， ∴，，故③④正确； 故答案为：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质，证出OA＝OD＝OC是解题的关键． 9．如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，下列结论正确的是（  ） A．当平行四边形是矩形时， B．当平行四边形是正方形时， C．当平行四边形是菱形时， D．当平行四边形是矩形时， 【答案】A 【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的性质，根据矩形，菱形，正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、当平行四边形是矩形时，，结论正确，符合题意； B、当平行四边形是正方形时，，而，原结论错误，不符合题意； C、当平行四边形是正方形时，，原结论错误，不符合题意； D、当平行四边形是矩形时，对角线不垂直，原结论错误，不符合题意； 故选：A ． 10．如图，正方形中，点分别是的中点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】连接，由四边形是正方形，与点分别是的中点，易证得与，根据全等三角形的性质，证得与；根据垂直平分线的性质，即可证得；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，根据等腰三角形的性质，即可得，问题得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 在中，H是边的中点， ∴， 故④正确； 连接， 同理可得：， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 故②正确； ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 综上可知，正确的有①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，是一道综合性的题目，灵活使用所学的正方形、三角形的知识是难点也是重点． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11．如图，△ABC的周长为16, G、H分别为AB．AC的中点，分别以AB．AC为斜边向外作Rt△ADB和Rt△AEC,连接DG.GH,EH,则DG+GH+EH的值为 . 【答案】8 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=0.5AB，EH=0.5AC，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得GH=0.5BC，然后求出DG+GH+EH的值为△ABC的一半． 【详解】解：∵G、H分别为AB、AC的中点，△ADB和△AEC为直角三角形， ∴DG=0.5AB，EH=0.5AC， ∴GH为△ABC的中位线， ∴GH=0.5BC， ∴DG+GH+EH=0.5（AB+AC+BC）=0.5×16=8， 故答案为：8 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质和定理是解题的关键． 12．如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，转化线段是解题的关键．根据平行线的性质可得，由角平分线可得，所以，所以，同理可得，则根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 故答案为：4． 13．如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，请添加一个条件 使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．添加，根据平行四边形的性质可得，，进而得，再根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】解：添加，可以使四边形是平行四边形，理由如下： 连接，与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 14．如图，点D，E，F分别是三边的中点，则下列结论中正确的有 ． ①四边形AEDF一定是平行四边形；②若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形；④若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形 【答案】①②④ 【分析】根据“组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可解答． 【详解】解：①∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC得中位线， ∴ED∥AC，且ED=AC=AF；同理DF∥AB，且DF=AB=AE， ∴四边形AEDF一定是平行四边形，正确． ②若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形，正确； ③若AD平分∠A，如图，延长AD到M，使DM=AD，连接CM，由于BD=CD，DM=AD， ∠ADB=∠CDM，（SAS）∴△ABD≌△MCD∴CM=AB，又∵∠DAB=∠CAD， ∠DAB=∠CMD，∴∠CMD=∠CAD，∴CA=CM=AB，因AD平分∠A ∴AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB=AC，AE=AF， 结合（1）四边形AEDF是菱形，因为∠A不一定是直角 ∴不能判定四边形AEDF是正方形； ④若AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB=AC，AE=AF，结合（1）四边形AEDF是菱形，正确． 故正确答案为：①②④． 【点睛】本题考查三角形中位线定理和平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定定理，解题关键是熟练掌握以上性质． 15．如图，四边形是边长为5的正方形，点是上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接、．则最小值为 ． 【答案】 【分析】过Q作于E，过P作于G，交于F，证明得出，，设，，则，，证明是等腰直角三角形，得出，则，即E为的中点，可判断Q在的垂直平分线上运动，即可求解． 【详解】解：过Q作于E，过P作于G，交于F， ∵四边形是边长为5的正方形， ∴，，平分， ∴四边形是矩形，， ∴，，， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即E为的中点， ∴是的垂直平分线，即Q在的垂直平分线上运动， 则当Q与E重合时，最小，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 三．解答题：本小题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（8分）如图，的周长为相交于点交于点，求的周长． 【答案】 【分析】由平行四边形的周长可得，由其对角线互相平分可知，根据线段垂直平分线的性质，等量代换可得的周长． 【详解】解： 的周长为, ， 相交于点， ， 又交于点, ． 的周长, 的周长为 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及线段垂直平分线的性质，灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一性质是解题的关键. 17．（8分）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可证四边形是平行四边形以此求证； （2）利用直角三角形30度角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ． ， 四边形是平行四边形， ， ． （2）解：四边形是矩形， ，， ． ∴ ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形的相关性质．熟记相关内容是解题关键． 18．（8分）如图，在中，点D，E分别为，的中点，过点A作的平行线，交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，试判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，理由见解析 【分析】（1）利用ASA定理证明△AEF≌△CED，根据全等三角形的对应边相等证明结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AD=CD，根据菱形的判定定理证明结论． 【详解】（1）证明：∵AFCD， ∴∠EAF=∠ECD， 在△AEF和△CED中， ， ∴△AEF≌△CED（ASA）， ∴DE=EF； （2）解：四边形ADCF是菱形， 理由如下：由（1）可知，DE=EF， 又∵AE=EC， ∴四边形ADCF为平行四边形， 在Rt△BAC中，点D为BC的中点， ∴AD=BC=CD， ∴平行四边形ADCF为菱形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，菱形的判定定理，掌握菱形的判定定理是解题的关键． 19．（8分）（1）如图1，已知线段相交于点F，连接．若， 求证：； （2）如图2，中， 垂足为点D，垂足为点E，． 求证：； （3）如图3，在（2）的前提下，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2 【分析】（1）首先根据对顶角的定义得到，然后根据三角形内角和求解即可； （2）根据题意证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可； （3）连接，首先根据等腰三角形三线合一性质得到是等腰三角形底边上的中线，然后根据直角三角形的性质得到，最后利用求解即可． 【详解】（1）∵与为对顶角 ∴ ∵， 又∵ ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）如图所示，连接 ∵， ∴是等腰三角形底边上的中线， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 20．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点. (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法). ①作∠DAC的平分线AM； ②连接BE并延长交AM于点F； ③连接FC． (2)猜想与证明：猜想四边形ABCF的形状，并说明理由. 【答案】（1）详见解析；（2）四边形ABCF是平行四边形． 【分析】（1）利用尺规作出∠DAC的平分线AM即可，连接BE延长BE交AM于F，连接FC； （2）只要证明△AEF≌△CEB即可解决问题． 【详解】解：（1）如图所示： （2）四边形ABCF是平行四边形． 理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ACB． 由作图可知∠DAC＝2∠FAC， ∴∠ACB＝∠FAC． ∴AF∥BC． ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE． 在△AEF和△CEB中, ∠FAE=∠ECB，AE＝CE，∠AEF＝∠CEB， ∴△AEF≌△CEB（ASA）， ∴AF＝BC． 又∵AF∥BC， ∴四边形ABCF是平行四边形． 【点睛】本题考查了角平分线的作法、全等三角形的判定、平行四边形的判定，熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 21．（10分）如图，同一平面内三条不同的直线，，，直线平行直线，直线与另外两条直线分别交于点，，点，分别为，上两点，且满足平分，平分． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)四边形可以为菱形吗？若可以，求出；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)可以， 【分析】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）由角平线的性质及平行线的性质证出，由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质证明为等边三角形，进而可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：四边形可以为菱形． ∵， ∴， 由（1）知， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 【点睛】∴． 22．（12分）如图1，是菱形的对角线，E是上一个动点，连接． (1)求证：； (2)如图2，F是直线上一点，连接，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，如图3，延长交的延长线于点G，探索和之间的数量关系并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ），证明见解析 【分析】对于（1），根据菱形的性质可知，再根据“边角边”证明，可得答案； 对于（2）（ⅰ），延长交于点G，可得，由（1）可知，再根据旋转得，即可得，然后根据三角形外角的性质得； 对于（2）（ⅱ），根据题意可知四边形是正方形，可得，由（2）①可知， 再根据，可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得，得出，进而得出，可知是线段的垂直平分线，接下来根据线段垂直平分线的性质得，再根据“斜边，直角边”证明，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：（ⅰ）延长交于点G， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴ ； （ⅱ），证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形， ∴． 由（2）（ⅰ）可知，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．（12分）探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动． 在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． (1)观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为________．证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是_______． (2)数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． (3)结论拓展：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为________． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质以及角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线． （1）取的中点，连接，由正方形的性质可得，，结合为中点，点为的中点，可得，推出，得到，由交正方形外角的平分线于点，可得，由，可得，推出，即可证明； （2）在上取一点，使，连接，根据正方形的性质可得：，，推出， ，得到，推出，可证明，根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 即 可 求 解； （3）延长到，使，证明，得到，，由，，可得，推出，得到，证 明，得 到 ，即可求解． 【详解】（1）解：猜想与的数量关系为，     取的中点，连接， 四 边 形是正方形， ，， 为中点，点为的中点， ， ， ， 交正方形外角的平分线于点， ， ， ， ， ． ， ， 在和中， ， ， 故答案为：，； （2）解：成立，理由如下： 如图，在上取一点，使，连接． 四边形是正方形， ，， ， ，是等腰直角三角形， ， ． 是的外角平分线，， ， ． ， ． ， ， 在和中， ， ， ． （3）如图，延长到，使， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$