专题06 解三角形在几何与实际中的应用9种常考题型总结（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题06 解三角形在几何与实际中的应用9种常考题型总结 题型概览 题型01 角度与三角函数值的最值范围 题型02 边长与周长的最值范围 题型03 面积的最值范围 题型04 三角形的中线问题 题型05 三角形的角平分线问题 题型06 多三角形问题 题型07 测量距离问题 题型08 测量高度问题 题型09 测量角度问题 ( 题型01 ) 角度与三角函数值的最值范围 1．（2024春•仁寿县期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解析】由，整理得， 所以， 又， 则， 故， 可得， 因为为锐角三角形， 所以，即， 所以， 即， 所以的取值范围为． 故选：． （多选）2．（2024春•内江期末）已知的三个内角，，的对边分别是，，，且，则下列说法正确的是　　 A．若点在边上，为角平分线且长度为1，则 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，且只有一解，则的取值范围为， 【解析】因为， 所以，可得， 所以， 又，可得，整理可得， 所以，即， 又，， 所以，， 选项：为角平分线，则， 所以，即， 可得，选项正确； 选项：由为边的中点，则， 即， 所以，即， 由，可得，即，当且仅当时等号成立，选项正确； 选项：由三角形可知 ， 又在中，，，即， 所以，即，选项正确； 选项：，且只有一解， 则或，即或，选项错误． 故选：． 3．（2024春•自贡期末）在中，内角，，所对的边分别为，，． （1）若，求证：； （2）在（1）条件下，若，，均为锐角，求的取值范围． （3）若，为锐角且，求周长的最小值． 【解答】（1）证明：因为，由正弦定理可得， 又因为， 代入可得，即， 因为，，则，故， 可得或，即或（舍去）， 所以． （2）解：因为为锐角三角形，，所以， 由题意可得，解得； 因为， 因为，则，可得， 令，则在上单调递增， 且，可知， 所以的取值范围为． （3）解：因为， 可得， 因为，为锐角，则有： 若，即，则， 且在内单调递增， 可得，，且，， 即，， 可得，不合题意； 若，即，则， 且在内单调递增， 可得，，且，， 即，， 可得，不合题意； 若，即，则，， 即，， 可得，符合题意； 综上所述：，即，可得， 又因为，即， 可得， 当且仅当时，等号成立， 则，所以周长的最小值为． 4．（2023秋•翠屏区校级期末）设中角，，的对边分别为，，，． （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）由余弦定理得， 解得， （2）因为为锐角三角形， 所以， 解得， 同理， 所以， ， ． （多选）5．（2023春•泸县校级期末）在锐角中，，，为三个内角，，分别为，，所对的三边，则下列结论成立的是　　 A．若，则 B．若，则的取值范围是 C． D． 【解析】因锐角， 若，即， 正弦函数在上单调递增， ，故选项正确； 若，，而，均为锐角，故，故选项错误； 由， ， ， 同理， ．故项正确； ， ，即， ， ，故选项正确． 故选：． 6．（2023春•仁寿县校级期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 记的内角，，的对边分别为，，，已知 _____． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 【解析】（1）选择条件①： 由余弦定理得， 整理得， 则由余弦定理得． 又，则； 选择条件②：由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得， 又，则； 选择条件③：由正弦定理得， 整理得， 则， ，， 显然，则， 又，则； （2），， 由正弦定理得，即， ，， ， ，， ， 故的取值范围是． 7．（2023春•叙州区校级期末）在锐角中，角，，的对边分别是，，，若，则角的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 【解析】，又由余弦定理可得， ，可得， 由正弦定理可得， 又， ， ，，，， ，即， 在锐角中，，可得，即，． 故选：． 8．（2023春•内江期末）中，，的对应边分别为，，，满足，则角的范围是　　 A． B． C． D． 【解析】由，得：， 化简得：， 同除以，利用余弦定理得，， 所以， 故选：． ( 题型02 ) 边长与周长的最值范围 （多选）9．（2024春•东坡区期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有　　 A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，的最小值为1 D．若为锐角三角形，则的取值范围为 【解析】因为，由正弦定理可得， 在中，， 可得， 所以， 即，所以选项正确； 中，，可得，由选项可得， 则，在中，， 可得，则，，所以，即为直角三角形，所以选项正确； 中，因为为锐角三角形，由选项可得， 所以，可得，所以，， 所以， 设，， 设在，单调递减，所以（1）， 所以选项不正确； 中，为锐角三角形中， ， 设， 因为为锐角三角形，所以，可得， 所以，， 即，， 令，，，则函数单调递增， ，而， 即， 所以，， 所以，，所以正确． 故选：． （多选）10．（2024春•青羊区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知且，则下列结论正确的是　　 A． B．的取值范围为， C．的最大值为4 D．若为的中点，则的取值范围为 【解析】由，结合正弦定理可得， 即为， 由余弦定理可得， 由，可得，故正确； 由，可得， 又，可得，当且仅当时，取得等号， 即的最大值为4，故正确； 由，即有解，可得△，解得，故错误； 由，两边平方可得， 即为， 则，故错误． 故选：． 11．（2024春•青羊区校级期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，，则边上的中线的取值范围是 　　． 【解析】， 即为， 由，可得，即， 由余弦定理可得， 即有． 由，可得 ， 又，可得， 可得． 故答案为：，． 12．（2024春•德阳期末）已知的内角、、所对的边分别为、、，且． （1）求内角； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）在中，由正弦定理及已知条件得：， 即， 由余弦定理得：， 又，所以． （2）由于为锐角三角形， 所以， 即， 所以， 即的取值范围是． 13．（2024春•绵阳期末）在中，角，，的对边分别是，，，满足． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）求的取值范围． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得：， 整理可得：， 由余弦定理可得， 而， 可得； （2）因为，，， 由余弦定理可得：， 即， 解得或（舍， 可得； （3）由（1）知， 所以 ， 令，因为，所以， ， 所以， 所以当时，取得最小值，且最小值为， 又因为， 所以当时，取得最大值，且最大值为． 所以的取值范围是． 14．（2024春•雅安期末）从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记的内角，，的对边分别为，，，已知_____． （1）求角的大小； （2）若点在上，平分，，，求的长； （3）若该三角形为锐角三角形，且面积为，求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 【解析】（1）若选条件①， 依题意，得，根据正弦定理得， 因为，所以， 则，即， 所以． 又， 则，可得； 若选条件②， 由正弦定理得， 所以， 可得，整理得，即， 因为， 所以， 所以； 若选条件③， 在中，因为，， 所以， 可得， 化简得， 又， 则， 故， 因为， 所以； （2）在中，根据余弦定理，有，即，解得或（舍去）， 依题意，，可得， 整理可得， 所以； （3）依题意，的面积，所以， 又为锐角三角形，且， 则， 所以， 又，则， 所以， 由正弦定理，得， 所以， 所以，即， 所以的取值范围为． 15．（2024春•峨眉山市校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分） ① ② ③ （1）求的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）选①：因为，由正弦定理得， ， 所以，， 可得， 解得或（舍去）， 因为，可得，所以； 选②：因为， 所以， 由正弦定理可得， 又， 所以， 因为，所以， 又，所以； 选③：结合正弦定理， 得，即， 又由余弦定理得， 所以，即， 又，所以； （2）由（1）可得，所以， 所以， 因为为锐角三角形， 所以， 所以，所以，即的取值范围为， 所以． 16．（2024春•眉山期末）在△中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求的大小； （2）设的中点为，且，求的取值范围． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 所以， 即， 则． 因为，所以，即， 所以， 又，所以， 所以，解得． （2）设，则，则， 根据正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 故的取值范围为，． 17．（2024春•东坡区期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答． 在中，角、、的对边分别为、、，已知_____． （1）求角； （2）若，的面积，求的周长的取值范围； （3）若，，求． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）若选①：， 由正弦定理得，又， 所以，又，所以，即， 又，所以； 若选②：因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，又，所以； 若选③：因为， 即，所以由正弦定理得， 所以，又，所以； （2）因为的面积，所以， 由余弦定理得，即， 所以，因为，所以，又， 所以的周长的取值范围为； （3）因为，所以，所以， 又，所以，， ， 又，所以， 记，在中，由正弦定理得：， 所以， 在中，由正弦定理得：，所以， 所以，所以，整理化简得， 所以，即． ( 题型03 ) 面积的最值范围 18．（2023秋•温江区校级期末）已知某平面内三角形为等腰三角形，，点为中点，且，则△面积的最大值为 　　． 【解析】设， 由于，所以， 故， ， 故当时，此时取最大值36，故面积的最大值为6． 故答案为：6． （多选）19．（2024春•南充期末）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有　　 A．若，，则周长的最大值为18 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，，为的中点，且，则 【解析】对于，由余弦定理可得， 即，即， 即，则，解得， 当且仅当时，等号成立，则周长的最大值为18，所以正确； 对于，由余弦定理可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即面积的最大值为，故错误； 对于，设，，则，， 在和中，分别运用正弦定理，得和． 因为，所以，即，所以， 由余弦定理可得， 所以， ，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为3，所以正确； 对于，设， 在中利用余弦定理得，① 在中利用余弦定理得 ，② 则①②有，解得，则，则正确． 故选：． 20．（2024春•凉山州期末）已知中，角，，的对边分别为，，，． （1）是边上的中线，，且，求的长度． （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【解析】（1）因为，由正弦定理得：， 在中，， 可得，即， 由， 所以， 解得； 因为为的中点，，且， 则， 两边平方可得， 即， 可得， 由余弦定理可得； （2）为锐角三角形，且， ， 由正弦定理可得， 可得， 因为，可得， 可得， 所以， 所以，． 所以面积的取值范围为，． 21．（2023春•攀枝花期末）在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．的内角，，所对的边分别为，，，已知_____（只需填序号）． （1）求角； （2）若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【解析】（1）若选①：因为，由正弦定理可得， 且，可得，整理得， 注意到，则，可得，所以； 若选②：因为，由正弦定理可得， 注意到，，则，， 可得，即，所以； 若选③：因为，由余弦定理可得， 整理得，则， 注意到，所以． （2）因为是锐角三角形，， 则，解得， 由正弦定理可得，则， 可得，则，所以， 故面积， 所以面积的取值范围为． ( 题型04 ) 三角形的中线问题 22．（2023春•青羊区校级期末）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】因为，，，由余弦定理可得， 因为，所以， 由余弦定理可得， 由图知， ，可得， 由重心的性质可得，， 在中，由余弦定理可得． 故选：． 23．（2023春•攀枝花期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，，则　　；的中线的最大值为 　　． 【解析】由正弦定理及知，， 因为，所以， 由余弦定理知，， 因为，所以； 因为，且， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 因为点为的中点， 所以， 所以， 所以，即的中线的最大值为． 故答案为：；． 24．（2023春•泸州期末）在中，角，，的对边分别为，，，若． （1）求的值； （2）若，在下列三个条件中任选一个作为条件，求，的值． ①；②的面积为；③边上的中线长为． 【解析】（1）若，由正弦定理得，， ，，， ，． （2）若选①，由，得，则， 又余弦定理得，即， 联立解得． 若选②，由的面积为，得，即， 又余弦定理得，即， 联立解得． 若选③，设边上的中点为， 则， ， ，即， 又余弦定理得，即， 联立解得． 25．（2023春•达州期末）已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求的值； （2）若，，为边的高，为边的中线，求的值． 【解析】（1）因为，所以由正弦定理可得， 所以， 又因为， 所以，又因为，，所以， 所以，则； （2）因为为边的高，所以在 中，， 因为，所以，所以， 因为为边的中线，所以， ， 因为，，，所以， 所以， 所以的值为． ( 题型0 5 ) 三角形的角平分线问题 26．（2024春•宜宾期末）在中，，，的角平分线交于点，，则的面积为　　 A． B． C． D． 【解析】设，， 因为， 可得， 所以，可得， 所以． 故选：． 27．（2024春•凉山州期末）在中，角，，的对边分别为，，，其中，，，若点在边上，且为的角平分线，则　　． 【解析】因为，，，且为的角平分线， 可得， 由等面积可得， 即，解得． 故答案为：． 28．（2024春•郫都区校级期末）在中，内角，，的对边分别是，，，且，内角的角平分线长为，则的面积为 　　． 【解析】设的内角的角平分线为，则， 因为，所以，即①， 由，得， 即，整理得，平方得②， ①②两式相减，整理得，所以的面积． 故答案为：． 29．（2023秋•兴文县校级期末）在中，角的平分线交边于，，，，则的面积是　　 A． B． C．1 D．3 【解析】如图：； 因为中，角的平分线交边于，，，， 所以：； ； ； ； ． ． 故选：． ( 题型0 6 ) 多三角形问题 30．（2024春•成都期末）在中，，分别为，的中点，交于点．若，，，则　　． 【解析】因为，，，所以． 因为，分别为，的中点，所以，． ． ． 因为， 所以，，即． 31．（2023秋•泸县校级期末）如图，在中，，，为内点，且，则　　． 【解析】在中，，，则， ，则于是，， 则， 在中，， 在中，由正弦定理得，即， 在中，， 由余弦定理得，， 即，整理得， 显然为锐角，所以． 故答案为：． 32．（2024春•泸县校级期末）如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，在中，，，． （1）若，求的面积； （2）①求的值； ②求的最大值． 【解析】（1）在中，由余弦定理得，， 且是等腰直角三角形，则 （2）①设，，因为，，由余弦定理可得，， ，即； ②在中，， 由正弦定理可得，则， ，，又， 在中，由余弦定理得 （其中为锐角，且， 由可得， 所以当时，即时，取得最大值． 33．（2023秋•合江县校级期末）四边形中，，，，，则的最大值为 　　． 【解析】设，，则在中，由余弦定理得． 由正弦定理得，即 ，， ， 在中，由余弦定理得： 即 当时，对角线最大， ， 故答案为： ( 题型0 7 ) 测量距离问题 34．（2024春•达州期末）已知甲船在小岛正东方向4海里的处，乙船在小岛正南方向3海里的处．甲船沿北偏西方向直线航行．若乙船要与甲船会合，则乙船航行的最短里程为　　 A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【解析】如图所示，过点作于点，由题意可知，即为乙船航行的最短距离， 因为在中，，， 所以， 所以， 所以， 所以在中，， 即乙船航行的最短里程为海里． 故选：． 35．（2024春•眉山期末）海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在东偏南，则灯塔与处之间的距离为 　　海里． 【解析】在中，，则， 由正弦定理得，， 得，得， 在中，，， 则由余弦定理得， 所以． 故答案为：． 36．（2024春•成都期末）某海警船在处看灯塔在它的北偏东，距离为，在处看灯塔在海警船的北偏西，距离为，海警船由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离为 　　． 【解析】在中，，， 所以，， 由正弦定理可得：， 即， 解得， 在中，，， 由余弦定理可得． 故答案为：． 37．（2024春•东坡区期末）为加快推进“光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个基站，，，．已知，两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为 　　 【解析】在中，，， ，可得， 根据等角对等边，得． 又在中，． 由正弦定理，得， 在中，由余弦定理，得 ， ，即两个基站、之间的距离为． 故答案为：． ( 题型0 8 ) 测量高度问题 38．（2024春•凉山州期末）一电线杆位于某人的正东方向上，某人在点测得电线杆顶端的仰角为，此人往电线杆方向走了10米到达点，测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为　　米，忽略人的身高） A．22.66 B．23.66 C．24.66 D．25.66 【解析】根据题意，设，则在中，，可得， 在中，，所以， 因为，所以，解得米，即电线杆的高度约为23.66米． 故选：． 39．（2024春•绵阳期末）某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案，如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为　　 A． B． C． D． 【解析】设，因为，， 则，又，， 所以，， 在中，， 即①， 在中，， 即②， 因为， 所以由①②两式相加可得：， 解得：，则． 故选：． 40．（2024春•攀枝花期末）2022年12月26日，位于攀枝花市三线文化广场的三线建设英雄纪念碑正式落成，与攀枝花中国三线建设博物馆交相呼应，充分展示三线建设的丰功伟绩，传承弘扬“三线精神”，凝聚赓续奋斗的力量源泉、某校研究性学习小组想要测量该纪念碑的高度，现选取与碑底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高约为　　（结果保留整数，参考数据：， A．27米 B．33米 C．39米 D．40米 【解析】如图所示， 在中，，，则， 由正弦定理可得，， 在中，，，． 故选：． 41．（2024春•内江期末）内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔．它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工．三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神．内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点与与塔底在同一水平面，并测得米，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高　　 A．米 B．米 C．米 D．60米 【解析】因为，， 所以， 又因为米， 所以在三角形中，由正弦定理得， 解得米， 在直角三角形中，米． 故选：． 42．（2024春•仁寿县期末）如图，为了测量花溪河对岸一座塔楼的高度，测量者小王在岸边点处测得塔顶的仰角为，塔底与的连线与河岸成角，小王沿河岸向西走了40米到达处，测得塔底与的连线与河岸成角，则塔楼的高度为　　 A．20米 B．25米 C．米 D．米 【解析】由题设，在中， 由正弦定理有：， 又， 则米． 故选：． ( 题型 09 ) 测量角度问题 43．（2021春•武侯区校级期末）在海岸处，发现北偏东方向，距处海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距处2海里的处的缉私船奉命以海里小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里小时的速度从处向北偏东的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间． 【解析】如图所示，设缉私船追上走私船需小时， 则有，．在中， ，， ． 根据余弦定理可求得，， ． 在中，根据正弦定理可得 ， ，，， ，则有 ，（小时）（分钟）． 所以缉私船沿北偏东方向，需14.7分钟才能追上走私船． 44．（2020春•广元期末）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到？ 【解析】连接， 由余弦定理得 ． 于是， ， ， 乙船应朝北偏东方向沿直线前往处救援． 1．（2023秋•叙州区校级期末）已知函数． （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）三角形的三边，，满足，求（A）的取值范围． 【解析】（Ⅰ），， ． ， ，， 故的单调递增区间为，，． （Ⅱ）由，得，，， （A），， ，， ，，当且仅当时，， （A），， 因此，（A）的取值范围是，． 2．（2024春•成都期末）已知△的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，，求△的面积； （3）若，，求△中边上的中线长． 【解析】（1）在△中，由正弦定理得：， ，，，， 由，解得． 故：，． （2）在△中，由余弦定理得， 得，解得或（舍， 由（1）知，故△的面积； （3）设为的中点，则，故， ， 解得，即△中边上的中线长为． 3．（2024春•凉山州期末）在中，角，，的对边分别为． （1）求； （2）若的面积边上的中线，求的周长． 【解析】（1）因为，整理可得， 由正弦定理可得， 又因为， 即，且，则，可得， 即，且，所以． （2）因为的面积，即， 又因为为边上的中线，则， 可得， 则，即， 可得，即， 由余弦定理可得：，即， 所以的周长为． 4．（2024春•青羊区校级期末）斯特瓦尔特定理是由18世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为、、，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为、、，，，点在上，且的面积与的面积之比为2，则的值是　　 A． B． C． D． 【解析】由，可得，， 由，可得， 因为，可得，即有， 可得内角， 由余弦定理可得， 由的面积与的面积之比为2，可得，即， 所以， 解得． 故选：． 5．（2024春•宜宾期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求，． 条件①：中线长为；条件②：的面积为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）中，已知， 由正弦定理得， 又， 则有， 由，得， 可得， 由，可得， 所以，可得； （2）若选择条件①： 由，余弦定理得， 由，有，得， 由，解得：，或，； 若选择条件②； 由，得， 的面积，得， 由，解得：，或，． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 解三角形在几何与实际中的应用9种常考题型总结 题型概览 题型01 角度与三角函数值的最值范围 题型02 边长与周长的最值范围 题型03 面积的最值范围 题型04 三角形的中线问题 题型05 三角形的角平分线问题 题型06 多三角形问题 题型07 测量距离问题 题型08 测量高度问题 题型09 测量角度问题 ( 题型01 ) 角度与三角函数值的最值范围 1．（2024春•仁寿县期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为　　 A． B． C． D． （多选）2．（2024春•内江期末）已知的三个内角，，的对边分别是，，，且，则下列说法正确的是　　 A．若点在边上，为角平分线且长度为1，则 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，且只有一解，则的取值范围为， 3．（2024春•自贡期末）在中，内角，，所对的边分别为，，． （1）若，求证：； （2）在（1）条件下，若，，均为锐角，求的取值范围． （3）若，为锐角且，求周长的最小值． 4．（2023秋•翠屏区校级期末）设中角，，的对边分别为，，，． （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． （多选）5．（2023春•泸县校级期末）在锐角中，，，为三个内角，，分别为，，所对的三边，则下列结论成立的是　　 A．若，则 B．若，则的取值范围是 C． D． 6．（2023春•仁寿县校级期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 记的内角，，的对边分别为，，，已知 _____． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 7．（2023春•叙州区校级期末）在锐角中，角，，的对边分别是，，，若，则角的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 8．（2023春•内江期末）中，，的对应边分别为，，，满足，则角的范围是　　 A． B． C． D． ( 题型02 ) 边长与周长的最值范围 （多选）9．（2024春•东坡区期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有　　 A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，的最小值为1 D．若为锐角三角形，则的取值范围为 （多选）10．（2024春•青羊区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知且，则下列结论正确的是　　 A． B．的取值范围为， C．的最大值为4 D．若为的中点，则的取值范围为 11．（2024春•青羊区校级期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，，则边上的中线的取值范围是 　　． 12．（2024春•德阳期末）已知的内角、、所对的边分别为、、，且． （1）求内角； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 13．（2024春•绵阳期末）在中，角，，的对边分别是，，，满足． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）求的取值范围． 14．（2024春•雅安期末）从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记的内角，，的对边分别为，，，已知_____． （1）求角的大小； （2）若点在上，平分，，，求的长； （3）若该三角形为锐角三角形，且面积为，求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 15．（2024春•峨眉山市校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分） ① ② ③ （1）求的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 16．（2024春•眉山期末）在△中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求的大小； （2）设的中点为，且，求的取值范围． 17．（2024春•东坡区期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答． 在中，角、、的对边分别为、、，已知_____． （1）求角； （2）若，的面积，求的周长的取值范围； （3）若，，求． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ( 题型03 ) 面积的最值范围 18．（2023秋•温江区校级期末）已知某平面内三角形为等腰三角形，，点为中点，且，则△面积的最大值为 　　． （多选）19．（2024春•南充期末）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有　　 A．若，，则周长的最大值为18 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，，为的中点，且，则 20．（2024春•凉山州期末）已知中，角，，的对边分别为，，，． （1）是边上的中线，，且，求的长度． （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 21．（2023春•攀枝花期末）在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．的内角，，所对的边分别为，，，已知_____（只需填序号）． （1）求角； （2）若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． ( 题型04 ) 三角形的中线问题 22．（2023春•青羊区校级期末）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为　　 A． B． C． D． 23．（2023春•攀枝花期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，，则　　；的中线的最大值为 　　． 24．（2023春•泸州期末）在中，角，，的对边分别为，，，若． （1）求的值； （2）若，在下列三个条件中任选一个作为条件，求，的值． ①；②的面积为；③边上的中线长为． 25．（2023春•达州期末）已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求的值； （2）若，，为边的高，为边的中线，求的值． ( 题型0 5 ) 三角形的角平分线问题 26．（2024春•宜宾期末）在中，，，的角平分线交于点，，则的面积为　　 A． B． C． D． 27．（2024春•凉山州期末）在中，角，，的对边分别为，，，其中，，，若点在边上，且为的角平分线，则　　． 28．（2024春•郫都区校级期末）在中，内角，，的对边分别是，，，且，内角的角平分线长为，则的面积为 　　． 29．（2023秋•兴文县校级期末）在中，角的平分线交边于，，，，则的面积是　　 A． B． C．1 D．3 ( 题型0 6 ) 多三角形问题 30．（2024春•成都期末）在中，，分别为，的中点，交于点．若，，，则　　． 31．（2023秋•泸县校级期末）如图，在中，，，为内点，且，则　　． 32．（2024春•泸县校级期末）如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，在中，，，． （1）若，求的面积； （2）①求的值； ②求的最大值． 33．（2023秋•合江县校级期末）四边形中，，，，，则的最大值为 　　． ( 题型0 7 ) 测量距离问题 34．（2024春•达州期末）已知甲船在小岛正东方向4海里的处，乙船在小岛正南方向3海里的处．甲船沿北偏西方向直线航行．若乙船要与甲船会合，则乙船航行的最短里程为　　 A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 35．（2024春•眉山期末）海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在东偏南，则灯塔与处之间的距离为 　　海里． 36．（2024春•成都期末）某海警船在处看灯塔在它的北偏东，距离为，在处看灯塔在海警船的北偏西，距离为，海警船由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离为 　　． 37．（2024春•东坡区期末）为加快推进“光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个基站，，，．已知，两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为 　　 ( 题型0 8 ) 测量高度问题 38．（2024春•凉山州期末）一电线杆位于某人的正东方向上，某人在点测得电线杆顶端的仰角为，此人往电线杆方向走了10米到达点，测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为　　米，忽略人的身高） A．22.66 B．23.66 C．24.66 D．25.66 39．（2024春•绵阳期末）某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案，如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为　　 A． B． C． D． 40．（2024春•攀枝花期末）2022年12月26日，位于攀枝花市三线文化广场的三线建设英雄纪念碑正式落成，与攀枝花中国三线建设博物馆交相呼应，充分展示三线建设的丰功伟绩，传承弘扬“三线精神”，凝聚赓续奋斗的力量源泉、某校研究性学习小组想要测量该纪念碑的高度，现选取与碑底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高约为　　（结果保留整数，参考数据：， A．27米 B．33米 C．39米 D．40米 41．（2024春•内江期末）内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔．它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工．三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神．内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点与与塔底在同一水平面，并测得米，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高　　 A．米 B．米 C．米 D．60米 42．（2024春•仁寿县期末）如图，为了测量花溪河对岸一座塔楼的高度，测量者小王在岸边点处测得塔顶的仰角为，塔底与的连线与河岸成角，小王沿河岸向西走了40米到达处，测得塔底与的连线与河岸成角，则塔楼的高度为　　 A．20米 B．25米 C．米 D．米 ( 题型 09 ) 测量角度问题 43．（2021春•武侯区校级期末）在海岸处，发现北偏东方向，距处海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距处2海里的处的缉私船奉命以海里小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里小时的速度从处向北偏东的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间． 44．（2020春•广元期末）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到？ 1．（2023秋•叙州区校级期末）已知函数． （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）三角形的三边，，满足，求（A）的取值范围． 2．（2024春•成都期末）已知△的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，，求△的面积； （3）若，，求△中边上的中线长． 3．（2024春•凉山州期末）在中，角，，的对边分别为． （1）求； （2）若的面积边上的中线，求的周长． 4．（2024春•青羊区校级期末）斯特瓦尔特定理是由18世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为、、，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为、、，，，点在上，且的面积与的面积之比为2，则的值是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•宜宾期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求，． 条件①：中线长为；条件②：的面积为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$