压轴专题17 圆锥曲线压轴小题归类（13大题型）-2025年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）

压轴题17 圆锥曲线压轴小题归类 综述 1、 曲线与方程 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法． （1）到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线． （2）到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线． （3）平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径． 求解过程： （1）建系：建立适当的坐标系 （2）设点：设轨迹上的任一点 （3）列式：列出有限制关系的几何等式 （4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示， （5）检验：对某些特殊值应另外补充检验． 二、离心率 求离心率是椭圆，双曲线中的重要题型， 解题时要把所给的几何特征转化为的关系式．求离心率的常用方法有： （1）根据条件求得，利用或求解； （2）根据条件得到关于的方程或不等式，利用将其化为关于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围． 三、圆锥曲线性质与结论 1.椭圆结论： (1)如图1：①焦点△F1AF2周长C△F1AF2＝2a＋2c、面积S△F1AF2＝b2·tan ； ②△ABF2的周长为：C△ABF2＝4a； ③通径：|AC|＝ (椭圆、双曲线通用)； 图1 (2)如图2：点P是椭圆上一动点，则有：①动点角范围：0≤∠A1PA2≤∠A1BA2； ②焦半径范围：a－c≤|PF1|≤a＋c (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)； ③|PO|范围：b≤|PO|≤a(长、短轴顶点到原点最远、最近； ④斜率：kPA1·kPA2＝－. (3) 点P(x0，y0)和椭圆的关系： 图2 ①点P在椭圆内⇔＋<1. ②点P在椭圆上⇔＋＝1. ③点P在椭圆外⇔＋>1. (4)椭圆扁平程度：因为e＝＝＝＝，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆． 2．双曲线结论： (1)如图3：①动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a； ②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝b； (2)渐近线求法结论：可直接令方程－＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得； 图3 3．抛物线结论： 如图4：抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l. (1) 焦半径问题： ①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (随焦点位置变动而改变)； ②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α为直线AB的倾斜角) ③＋＝； 焦半径公式得：，， (2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2 (随焦点动而变)； 图4 (3)其他结论：①S△OAB＝(其中，α为直线AB的倾斜角)； ②以AB为直径的圆必与准线相切于点H． 压轴题型一：轨迹： √满分技法 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，可直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法. 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径． (1) 若直线含参，参数在x系数出，则不包含竖直，如y=k（x-1）+1，不含想x=1 (2) 若直线含参，参数在y的系数出，则不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1 (3) 若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0与y=-x平行。 1．已知点A，B为椭圆上的两个动点，点O为坐标原点，直线与的斜率之积为，x轴上存在关于原点对称的两点M，N，使得对于线段上的任意点P，都有的最小值为定值，则此定值为 ． 【答案】/ 【分析】考虑的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积为得到为的切线，考虑的斜率不存在时，也满足要求，利用椭圆定义和几何性质得到最小值，即定值. 【详解】当的斜率存在时，设为， 与联立得， 设，则， 则由题意得，化简得，① 因为x轴上存在关于原点对称的两点M，N，使得对于线段上的任意点P，都有的最小值为定值，所以直线为某一个椭圆的一条切线，联立与，得，由得，②， 比较①②得，解得，故直线为椭圆的切线， 当直线的斜率不存在时，设，则，由可得，， 联立可得，此时直线的方程为，为椭圆的切线， 由椭圆定义和几何性质可知，当且仅当为切点，为的焦点时，等号成立，故此定值为. 故答案为： 2．曲线 是平面内到定点 的距离与到定直线 的距离之和为 的动点 的轨迹．则曲线 与 轴交点的坐标是 ；又已知点 （ 为常数），那么 的最小值 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出曲线的轨迹方程，进而求出与y轴交点坐标．通过分类讨论，在不同范围内，由曲线方程的意义求得最小值． 【详解】（1）设点P坐标为（x，y），因为动点 到定点 的距离与到定直线 的距离之和为 .所以 当 时，代入求得 所以与y轴交点为 （2）当时，曲线C可以化为当时，曲线C可以化为 令，则 或解得或 当或 时，所以 当 时，当直线 与 相交时，交点P满足取得最小值 因为抛物线准线方程为，所以直线与准线交点坐标为（2,1） 此时； 当时，当直线与相交时，交点P满足取得最小值 此时抛物线准线方程为所以直线与准线交点坐标为（-4,1） 此时 综上所述， 3．“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为9.若上第一象限内的点满足的面积为，则 . 【答案】6 【分析】确定点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点， 【详解】已知原点在上，则， 设为上任意一点， 则有，整理得． 因为，又， 所以，可得， 所以点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点， 联立方程，解得，，即， 所以，故答案为：6 4．在平面直角坐标系中，，，记，其中表示两个数中的最大数．已知，向量，则点的轨迹所围成的图形面积为 ；的取值范围为 ． 【答案】 4 【分析】根据可得，分类讨论即可得点的轨迹，进而求得面积；根据可得，结合，分类讨论即可解得取值范围. 【详解】由题意，，因为，所以. 所以当，即或时，，即； 当，即或时，，即； 所以点的轨迹所围成的图形是以边长为2，顶点分别为的正方形，故图形面积为. 因为，，所以， 因为，，所以， 所以，至少有一个成立. ① 当时，因， 则当，即或时，由，解得或； 当时，由，得. ② 当时，因， 则当，即或时，由，解得或； 此时，解得； 当时，由，得，此时或. 综上，可得，即的取值范围为. 故答案为：4，. 5．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设点，由距离公式得到，则，求出的取值范围，即可得解. 【详解】设点，依题意可得， 即，则， 所以， 因为，当且仅当时取等号， 由，解得，所以，则， 所以.故答案为： 压轴题型二：离心率：定义型 √满分技法 解题时要把所给的几何特征转化为的关系式．求离心率的常用方法有： （1）根据条件求得，利用或求解； （2）根据条件得到关于的方程或不等式，利用将其化为关于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围． 1．已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，设，根据椭圆的对称性和定义可得，，在直角与中，分别利用勾股定理建立方程，解之即可求解. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接，设，由对称性可知， 由定义得，则， 又，，所以，在直角中，由， 即，解得.在直角中，，即，把代入整理得，由解得.故选：C 2．已知双曲线右焦点为，过点作互相垂直的直线、，与的右支交于、两点，，若与的左支交于点，且、、三点共线（是坐标原点），则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，设点为双曲线的左焦点，不妨设，则，由双曲线的定义可得，，由勾股定理得，可得出，再由勾股定理可求出该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示：设点为双曲线的左焦点，不妨设，则， 由双曲线的定义可得，，易知为的中点，由双曲线的对称性可知为的中点，故四边形为平行四边形，因为，故四边形为矩形，则， 由勾股定理可得，即， 解得，故，，又因为，由勾股定理可得，即， 整理可得，故该双曲线的离心率为.故选：D. 3．已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由椭圆的定义求出，再由勾股定理求出，又由，即可求出答案. 【详解】设，由椭圆的定义可得：， 所以，因为，所以，所以，所以，化简可得：，解得：，所以， 又因为，所以，所以.故选：D. 4．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在上，满足，直线与轴交于点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由向量关系得，由双曲线定义得，然后根据三角形相似比例相等求出，在中，由勾股定理列方程得，从而，解方程即可求解. 【详解】设双曲线的半焦距为，如图：设，则由得，由双曲线的定义，得，又，， 所以∽，所以，即，解得， 则，，在中，由勾股定理得， 即，化简得，则，而，解得. 故选：B 5．已知椭圆的左焦点为是上的动点，点，若的最大值为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义表示出的最大值，即可求出，从而得解. 【详解】设椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得， 所以，所以， 当且仅当三点共线时等号成立（在之间）， 则由题意知此时，即，解得， 所以离心率．  故选：B 压轴题型三：离心率：点斜关系 √满分技法 椭圆：设直线和椭圆的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 抛物线：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 可得 1．已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得，因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得，所以，， 因此，双曲线的离心率为.故选：D. 2．焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意利用点差法可得，设双曲线的方程为，结合渐近线可得，即可得离心率. 【详解】设，则，且， 因为，两式相减可得，整理可得，即，可得，即双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为，则，所以双曲线的离心率为.故选：D. 3．如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，以线段为直径的圆在第一象限交于点交的左支于点，若为线段的中点，则的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】由双曲线定义得，结合勾股定理得关系以及关系，结合离心率公式即可求解. 【详解】连接，设，则， 由双曲线的定义知，所以， 在中，由勾股定理，得，即， 所以或（舍）．在中，由勾股定理，得，即， 所以，所以．故选：D． 4．过点作直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则该椭圆的离心率是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由直线的斜率公式、中点坐标公式及点差法可得，再由椭圆离心率公式即可得解. 【详解】设，，由直线的斜率为可得， 由线段的中点为可得，，由点在椭圆上可得，作差得，所以，即， 所以，所以该椭圆的离心率.故选：B. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合应用、点差法的应用及椭圆离心率的求解，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题. 5．双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，交另一条渐近线于，且为的中点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据等面积法求得点的坐标，进而求得点的坐标，根据点满足渐近线的方程，故而可得离心率. 【详解】设点所在渐近线方程为，故可得， 在中，由等面积法可知，又因为点在上，代入可得，故点坐标为 又因为点为的中点，故可得 又因为点满足，代入可得故离心率.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，问题的关键是要根据点在渐近线上，点的坐标满足渐近线方程，从而求得齐次式. 压轴题型四：离心率：定比分点型 √满分技法 性质：过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为 1．已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，连接并延长交椭圆于点.若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义及勾股定理列式求出离心率. 【详解】设，由，得，，由椭圆定义得， 由，得，则， 解得，，令椭圆的半焦距为c，由，得，解得，所以椭圆的离心率为.故选：C 2．已知是椭圆上两点，分别为的左、右焦点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，可得，点共线，设，可得，由的周长为，可得，在中，利用勾股定理有，化简整理，即可求出离心率. 【详解】由可知，，由得，点共线. 又，设，连接，则， 由椭圆的定义可知的周长为，则，解得，所以，再根据椭圆的定义可知，，则在中，，即，解得.故选：D. 【点睛】关键点点睛：由，设，得到，由的周长为，可得，再在中，利用勾股定理即可. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若上的点，满足，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义及余弦定理列式求解. 【详解】由及，得， 由，得， 在中，， 令椭圆的焦距为，在中，， 则，，所以的离心率.故选：D 4．椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线交椭圆于、两点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义及题设，求出、、，利用，由余弦定理建立方程化简即可得解. 【详解】因为，由椭圆定义知，又，所以， 再由椭圆定义，因为，所以，所以由余弦定理可得， 即， 化简可得，即，解得或（舍去）.故选：D. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可求得，，，，因此分别为右顶点和左顶点，从而可求离心率. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 又，所以，， ，所以，所以椭圆的离心率为.故选：D. 压轴题型五：离心率：双余弦定理 √满分技法 圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点三角巨头对称性，可以补成焦点四边形，对于焦点四边形，又如下思维性质： 1.焦点四边形具有中心对称性质。 2.焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。 3.焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解 1．已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设左焦点为，连接，，，易得四边形为矩形，设，得到，再由，得到，然后在中，由求得即可. 【详解】解：如图，设左焦点为，连接，，， 由题，，关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形.设，则， 又因为，则，，， 在中，，即， 解得或（舍去），故点P为椭圆的上顶点. 由，所以，即， 所以离心率. 故选：A 2．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为，所以，设，则，设，则，．由角平分线的性质可得，由双曲线的定义可得，，再结合余弦定理可得，从而可求解. 【详解】因为，则，所以， 设，则，设，则，， 因为平分，由角平分线定理可知所以， 所以，由双曲线定义知，则，则，所以，又由，可得， 所以，，， 在中，由余弦定理知， 在中，由余弦定理知， 化简得，解得．故选：B． 3．设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设与的交点为，，进而根据下向量关系得，再结合双曲线的性质即可得，，进而结合余弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得，进而可得答案. 【详解】解：如图，设与的交点为，，因为，所以， 所以，由双曲线的定义可知：，， 因为，所以，所以，， 所以，，所以，在中，， 所以 ，由余弦定理有：， 代入，，，整理得， 解得，（舍），所以，,，， 所以，在中，由余弦定理有：， 代入数据整理得：，所以，双曲线的离心率为：.故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用向量的关系得到，进而在中结合余弦定理求得. 4．已知双曲线的左､右焦点分别为.过的直线交双曲线右支于两点，且，则的离心率为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】设，根据双曲线定义和线段之间的倍数关系求出，，由余弦定理求出，进而得到，得到答案. 【详解】由已知可设，则，故， 由双曲线的定义有，故，， 故，在中，由余弦定理得. 在中，由余弦定理得， 即，解得，即，故的离心率为2.故选：A 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设，结合椭圆定义，且分别在、中利用余弦定理并结合以及离心率公式即可求解. 【详解】由题意不妨设，则，又由椭圆定义可知，所以， 在中由余弦定理有，， 在中由余弦定理有，， 由图可知， 所以， 即，解得，所以椭圆的离心率是.故选：A. 压轴题型六：离心率：内切圆 √满分技法 双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为. 证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a. 1．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，E上存在点P，使得，且的内切圆与y轴相切，则E的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据向量的运算得到，然后利用双曲线的性质和三角形内切圆的几何关系得到有关的方程求解即可. 【详解】不妨设点在第一象限， 因为，所以， 所以，， 又，联立可得：， 所以，即， 设的内切圆半径为，过圆心往三边作垂线，垂足分别为，如图所示，   因为的内切圆与y轴相切，故， ，， 所以，即，即， 两边平方得，即，则， 两边同时除以，得，解得， 因为，所以.故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查双曲线中三角形内切圆和离心率相关问题的求解，解题关键是能够利用三角形内切圆的知识点结合双曲线的性质，求得之间的等量关系从而求得结果. 2．设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为 .若内切圆圆心I的横坐标为2，则的面积为 . 【答案】 6 【分析】利用题给条件结合双曲线定义求得关系，进而求得双曲线C的离心率；利用题给条件求得的值，进而求得的面积. 【详解】设以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点设为，则，由双曲线的定义可得，所以，，由勾股定理得， 即有，∴.设内切圆与x轴相切于M，M点横坐标为t， 则，则,解之得又由内切圆圆心的横坐标为2，得，故.  故答案为：，6 3．在平面直角坐标系中，双曲线（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与的左、右两支分别交于、两点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义先推出为正三角形，然后根据余弦定理解决. 【详解】，∴，∴，∵经过内切圆圆心，∴为的角平分线，∴．∴，∴， ，， ,∴，于是， ∴为正三角形，．中，由余弦定理，. ∴. 故答案为：.   【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据已知条件求得，由双曲线的定义推出为正三角形，在中，利用余弦定理得到，从而解出离心率. 4．已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰三角形的内切圆圆心，过作，垂足为，则椭圆的离心率为 ．设内切圆与轴相切于点，则的面积为 ． 【答案】 / / 【分析】由等腰三角形及椭圆定义可得的值及，由内切圆的性质可得为的平分线，结合三角形的三线合一性质可得M为的中点，进而可得，再结合即可求得的值，进而可求得离心率.由内切圆性质可得，结合可求得的值，运用三角形等面积法可求得，进而可求得三角形面积. 【详解】在等腰中，，所以由椭圆定义可知，． 分别延长与，交于点G，如图所示，   因为为的平分线，，所以M为的中点且． 又因为为的中点，所以，所以，解得． 所以离心率为．如图所示，  由题意知，，， 由内切圆的性质可得，， 又因为，所以． 又知是内切圆的半径，所以， 所以的面积为．故答案为：；. 5．设O为坐标原点，F为双曲线的焦点，过点F的直线l与双曲线的渐近线分别交于A、B两点，若且的内切圆半径为，则双曲线C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由，得，作出渐近线，由题可知的内切圆圆心在轴，过内心作的垂线，可得四边形为正方形，然后由图的几何关系可得，，从而可求出，从而可求出离心率 【详解】因为，所以，双曲线的渐近线如图所示，与关于轴对称， 设有内切圆圆心为，则在的平分线上，过点分别作于，于，由，得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为，得， 因为，所以，因为，所以， 所以，所以离心率故答案为： 压轴题型七：离心率：重心圆 1．已知斜率为1的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若椭圆上存在点，使得的重心恰好是坐标原点，则椭圆的离心率 . 【答案】 【分析】设点，，坐标分别为，则根据题意有，分别将点，，的坐标代入椭圆方程得，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到和的值，代入得到关于的齐次式，然后解出离心率. 【详解】设，，坐标分别为，因为的重心恰好是坐标原点，则， 则，代入椭圆方程可得，其中，所以……①因为直线的斜率为，且过左焦点，则的方程为：， 联立方程消去可得：，所以，……② 所以……③， 将②③代入①得，从而.故答案为： 【点睛】本题考查椭圆的离心率求解问题，难度较大.解答时,注意，，三点坐标之间的关系，注意韦达定理在解题中的运用. 2．设双曲线E：，设A，B为E上不同的两点，分别作E在A，B处的切线，设与y轴交于点C，与y轴交于点D，若AD与BC交于点P，AC与BD交于点Q，为等边三角形，且Q为的重心，则E的离心率e＝ ． 【答案】 【分析】设，由题可得分别为的中点，进而可得，，然后根据直线与双曲线方程联立，利用韦达定理可得，进而即得. 【详解】设，因为为等边三角形，且Q为的重心， 所以分别为的中点，所以，故，，， 所以，，由，可得，则方程有两个相等实根，， 所以，所以.故答案为：. 3．在双曲线的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点形成的三角形的内切圆的半径为a，若的重心G满足，则双曲线C的离心率为 . 【答案】2 【分析】由平行于轴得，则，的面积为 ，又，求出，代入双曲线方程求解离心率即可. 【详解】  由平行于轴得，则， 所以的面积为，又， 则，，由，得， 因此，代入双曲线方程得，解得，，即 故答案为： 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，考查了学生的数学计算能力，属于中档题. 4．已知、为椭圆的左、右焦点，的椭圆上一点（左、右顶点除外），为为重心.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】设点在轴上方，设点，考查当时，点的轨迹方程为，求出点的坐标为，进而可知点在椭圆上，由题意可知点在曲线上或该曲线外，由此可知椭圆和圆在轴上的图象至多一个公共点，可得出，由此可解得椭圆离心率的取值范围. 【详解】设点在轴上方，设点，则、， 考虑当时，点的轨迹方程，由正弦定理可知，外接圆的半径为，由图可知，外接圆圆心在轴负半轴上， 设圆心坐标为，则外接圆的方程为， 将点的坐标代入得，， 所以，外接圆的方程为， 在该圆的方程中，令，，可得，即该圆交轴正半轴于点， ，如下图所示，当点在轴上方时，点在圆上或该圆外. 设点，由三角形重心的坐标公式得，可得，即点， 由于点在椭圆上，则，即， 所以，点在椭圆上，由于点在圆上或圆外且点在轴上方， 则圆在轴上方的图象在椭圆内或内切于该椭圆， 所以，，即，即，即，解得. 因此，椭圆的离心率的取值范围是.故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆离心率取值范围的求解，解题的关键就是确定点的位置，将问题转化为圆与椭圆的位置关系，考查化归与转化思想以及计算能力，属于难题. 5．已知双曲线E的焦点在x轴上，中心为坐标原点，F为E的右焦点，过点F作直线与E的左右两支分别交于A，B两点，过点F作直线与E的右支交于C，D两点，若点B恰为的重心，且为等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为 . 【答案】 【分析】设双曲线方程为，由重心可知为的一条中线，即可判断点为的中点，则为，分别讨论的两腰，并检验点为重心，即可求解. 【详解】由题，设双曲线方程为，因为点B恰为的重心，则为的一条中线， 所以点为的中点，则为，因为为等腰直角三角形，若，则点为左支的顶点，且，所以设，则，即，所以，因为，解得，即，此时，，，所以重心为，即为，是点，符合题意； 若，则设点为点关于轴的对称点，所以可设， 则，即，所以，解得，即， 此时，，则重心为，即， 又，即重心不在双曲线上，不符合条件，综上，，故答案为：2 【点睛】易错点点睛：（1）双曲线的离心率大于1； （2）对于等腰直角三角形，需讨论哪两条边为腰。 压轴题型八：离心率：共焦点型 √满分技法 椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则． 1．如图，在平面直角坐标系，中心在原点的椭圆与双曲线交于四点，且它们具有相同的焦点，点分别在上，则椭圆与双曲线离心率之积 . 【答案】1 【解析】设出椭圆和双曲线方程，以及点，由点既在椭圆上也在双曲线上，化简得出，结合离心率公式即可得出. 【详解】设椭圆和双曲线方程分别为， 设点，由点既在椭圆上也在双曲线上，则有 ，解得，解得 则，即 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了求椭圆和双曲线的离心率，考查了运算能力， 属于中档题. 2．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】法一：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆的定义、双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆与双曲线焦点三角形面积的二级结论，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案. 【详解】法一：因为，所以． 设，（不妨设），，依题意有，，， 所以，当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为． 法二：因为，所以．对于焦点三角形，根据椭圆的性质可得其面积，根据双曲线的性质可得，所以， 所以，整理可得．所以， 当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为． 故答案为：. 3．已知椭圆C1：＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，e1，e2分别是椭圆C1和双曲线C2的离心率，则9e12+e22的最小值是 ． 【答案】8 【分析】先判断出PF1⊥PF2，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆和双曲线的定义，可得m+n＝2a1，m﹣n＝2a2，整理得到，对9e12+e22利用基本不等式求出最小值，即可. 【详解】解：∵点P是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，∴PF1⊥PF2， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆和双曲线的定义，可得m+n＝2a1，m﹣n＝2a2， ∴，在△PF1F2 中，由勾股定理，可得4c2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝，∴，∴，∴9e12+e22＝ ＝＝8，当，即等号成立， ∴9e12+e22的最小值是8．故答案为：8． 4．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，可求得的长，再结合余弦定理，求出的关系式，从而得到，利用基本不等式，即可得到的最小值. 【详解】  如图，不妨设点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得： ，，所以，， 又，所以由余弦定理可知： 即：，化简得：，所以，即，化简得：，由基本不等式可得：，因为， 所以，当时，取“”.故答案为：. 5．已知、分别是椭圆和双曲线的离心率，、是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用椭圆、双曲线的定义以及余弦定理找到、的关系，然后利用三角换元求最值即可. 【详解】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为， 设，，，因为，所以由余弦定理可得，①在椭圆中，，①化简为，即，② 在双曲线中，，①化简为，即，③ 联立②③得，，即，记，，， 则， 当且仅当，即，时取等号．故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 压轴题型九：离心率：a，b，c齐次型综合题 √满分技法 只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式) 两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 1．已知双曲线的左､右焦点分别是.点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，，表达出，，从而得到关于的一元二次方程，转化为关于的一元二次方程在上有解问题，结合根的判别式和特殊点的函数值，得到，求出离心率的取值范围. 【详解】设，，则，由题意得，，， 则，两边平方得，整理得， 又，所以，变形得到， 即上式在上有解，其中， 令，则， ， 要想使得在上有解， 只需要开口向上，即，即，所以，，解得 故离心率的取值范围是.  故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，直线垂直于且交线段于点，若，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，又，，运用向量共线的坐标表示，可得的坐标，再由向量垂直的条件：数量积为0，由的坐标满足椭圆方程，化简整理可得的方程，求得，由，解不等式结合离心率公式即可得到范围． 【详解】解：设，，又，，，， 可得，，，可得，，又，，， 由，可得，化为，由在椭圆上，可得， 即有，可得，化为， 解得，或（舍去），由，可得，即有，又， 可得，该椭圆的离心率的取值范围是，故答案为：，． 【点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用向量的坐标表示和向量垂直的条件：数量积为0，考查椭圆的范围，以及化简整理的运算能力． 3．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，焦距为，点P为C在第一象限上一点，直线与y轴交于点M，，若直线的斜率为，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的对称性，可得，结合二倍角公式，求出直线的斜率，联立直线、可得点坐标，根据在椭圆上，可得关于的齐次方程，结合的关系，解方程可求椭圆的离心率. 【详解】如图：易知，，设，则，因为，所以.因为，所以， 所以直线的斜率为：.所以直线：；直线：. 由得：.因为点在椭圆：上， 所以，所以， 又，所以.所以.故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到与的关系，进一步得到直线与的方程，从而得到点坐标. 4．已知为椭圆上任意一点，点，分别在直线与上，且，，若为定值，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设，求出M，N的坐标，得出关于的式子，根据P在椭圆上得到的关系，进而求出离心率. 【详解】设，则直线PM的方程为，直线PN的方程为，联立方程组，解得，联立方程组，解得，则 又点P在椭圆上，则有，因为为定值，则，，. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，有一定的难度. 5．已知椭圆的左､右焦点分别为为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设，设圆与轴相切于点，结合圆的切线长的性质证明，结合椭圆性质可得，由内切圆性质可得，由条件确定关系，由此可求离心率. 【详解】设，设圆与轴相切于点， 则，又，， 所以，所以， 即，过点作直线的垂线，垂足为，则，所以， 所以，所以，∴， ∴，由三角形面积相等，得，，， ，所以，，即得.故答案为：. . 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)． 压轴题型十：离心率：超难压轴小题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率. 【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，    设点，，则， 因为为的重心，所以， 因为轴，所以点横坐标也为，，因为为的角平分线， 则有， 又因为，所以可得， 又由角平分线的性质可得，，而所以得， 所以，，所以，即，因为 即，解得，所以答案为A. 2．椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】设，通过求导可得椭圆在点处的切线的斜率为，由法线和切线垂直可得，即可判断①；由已知结合椭圆的定义可得，即可判断②. 【详解】设，因为，所以， 当时，， 所以在点处的切线的斜率为， 同理可得当时，在点处的切线的斜率为， 所以椭圆在点处的切线的斜率为， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以，故①是真命题； 因为发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点， 所以两次反射后，第一次回到所经过的路程为， 所以，所以，故②是真命题. 故选：. 3．如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再由点的变化范围得到相应不等式，进而求得取值范围. 【详解】设，因为，又点为半椭圆上一点，所以，所以 ， 因为存在，所以，即在上有解，因为， 且，所以在上有解， 即在上有解，所以又因为， 所以，即，解得， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，再代入计算相关向量数量积，转化为在上有解，从而得到不等式组，解出即可 4．椭圆E：，过E外一点P作E两条切线PA，PB，，记P的轨迹为T，圆C：，记T与C的交点为，当的最大值m最大时，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，设出切线方程并与椭圆方程联立求出轨迹T的方程，再探求取最大值的情况求解作答. 【详解】设，过点的椭圆的切线的斜率都存在时， 设切线方程为，其中分别为的斜率， 由消去y得：， 则，即有，又， 于是，显然，是这个方程的二根， 有，令直线的倾斜角分别为，有， 又， 即，即有， ，整理得， 而当时，或，此时有或， 即，满足， 因此点P的轨迹T的方程为， 由与联立，整理得： ， 于是当时，有最大值，因此， 整理得，解得，则半焦距， 所以E的离心率.故选：B 【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率. 【详解】因为，所以， 如图，在上取一点M，使得，连接，则， 则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，所以， 设，则，由椭圆定义可知：，即，所以， 所以，，故点A与上顶点重合，在中，由余弦定理得： ，在中，， 解得：，所以椭圆离心率为.  故选：A 【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率. 压轴题型十一：压轴难题：双曲线渐近线型 √满分技法 渐近线 （1）焦点到渐近线的距离为b （2）定点到渐近线的距离为 （3）一直线交双曲线的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M，则. （4）过双曲线上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐标原点则有如下结论： ①OM·ON=a2+b2；②；③ 1．已知的顶点，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则 . 【答案】/ 【分析】设，在中利用正弦定理，再结合双曲线的定义可得到的关系式，即可求出. 【详解】由题意可知，与渐近线垂直，则直线的斜率为， 设，则，所以，，，，，在中利用正弦定理得， ， ， 由双曲线定义知，，即，化简得， .故答案为：. 2．已知双曲线的左、右焦点分别为和，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线的离心率为 ;又过点P作双曲线的切线交另一条渐近线于点Q，且的面积，则该双曲线的方程为 ． 【答案】 / 【分析】第一空：设，由题意可求得，结合求得，从而解，利用正弦定理求得，即可求得双曲线得离心率. 第二空，过P点的切线与双曲线切于点，设，表示出，利用双曲线的切线方程联立渐近线方程求得，从而根据三角形面积求得b，即可求得双曲线方程. 【详解】设，则有，又垂直于渐近线即，, ∴，而,∴， 在中,，由正弦定理：，∴,∴，∴， ∴，∴，另解：依题意，可得的方程为，联立，可得 ，∴，又，在中，， 即，化简得，∴. 如图，过P点的切线与双曲线切于点，设， 又P，Q均在双曲线的渐近线上，故设， 又，∴， ∴， 过M点的切线方程为，即， 代入，化简得， 又，∴，即，∴， ∴，∴，∴，故双曲线的方程为, 故答案为: , 【点睛】难点点睛:该题考查双曲线离心率的求解以及双曲线标准方程,由题意可以求得 的关系，而难点在于利用求得a或b的值，此时解答时设出，关键要利用过双曲线上一点的切线方程联立渐近线方程求得，进而利用三角形面积求得答案. 3．已知为双曲线（，）右支上的任意一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一、四象限，为坐标原点，当时，的面积为，则双曲线的实轴长为 . 【答案】 【分析】设，，，利用向量的坐标运算可得P点坐标，代入双曲线方程及A,B在渐近线上，化简可得，利用，可求出，代入三角形面积公式化简即可求解. 【详解】设，，，由， 得，则，， 所以.易知点在直线上，点在直线上， 则，，所以，化简可得. 由渐近线的对称性可得：所以的面积为 ，得， 所以双曲线的实轴长为. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，渐近线，向量运算，三角形面积公式，考查了推理及运算能力，属于难题. 4．已知双曲线：的一条渐近线为，椭圆：的长轴长为4，其中.过点的动直线交于A，B两点，过点Р的动直线交于M，N两点，若四条直线的斜率之和为定值，则定点Q为 . 【答案】 【分析】 由椭圆及双曲线的性质求得双曲线与椭圆，分别联立直线与双曲线的方程，直线与椭圆的方程，利用韦达定理化简计算得，再利用待定系数计算并检验可得，从而得解. 【详解】已知双曲线渐近线为，即. 因为椭圆的长轴长，即，. 所以双曲线的方程为：，椭圆的方程为：；   当直线、的斜率不存在时，不满足题意. 故直线的方程设为：，直线过点，即. 与双曲线方程联立，得. 故，. 设，，有，.设. . 化简得.代入韦达定理得： . 将代入其中消去化简得：. 由动直线、互不影响可知，要满足为定值，则为定值，为定值. 因此要满足为定值，则有：①若，，计算得，. 经检验满足，此时.②若，即，， 有.无解.综上，当，. 下面只需验证当时，是否为定值. 设直线方程为：，直线过点，即. 椭圆方程联立，得. 故. 设，，有，. . 化简得. 代入韦达定理化简可得：. 将代入其中可得：. 所以当，，，. 所以点坐标为 故答案为：. 5．直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于C、D两点（从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线Γ的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，根据得出，再利用，，成等差数列，可得，利用及韦达定理进行化简可得出，即可求离心率的范围. 【详解】由题意可知，直线的斜率存在，故设直线，设， 联立，可得，则，， 则， 联立，可得，则，， 则， 因为，所以，即， 则，化简得， 因为，所以，所以，即得， 因为，所以中点为的中点，所以， 因为成等差数列，所以， 又因为从左到右依次排列，所以，所以， 则 ，得，与联立得，，因，则，又，则，则，则， 综上， 双曲线Γ的离心率的取值范围是.故答案为： 压轴题型十二：压轴难题：特殊曲线型 √满分技法 利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 1．如图所示的曲线称为双纽线，是到两定点，的距离之积为定常数的点的轨迹，其对称中心为坐标原点，则下列说法正确的有（   ） A． B．若曲线与圆心在坐标原点的圆相交，则交点必在某等轴双曲线上 C．在第一象限，曲线上的点的纵坐标的最大值为 D．过双曲线上一点，作圆的两条切线，切点分别为，，若直线与的交点在曲线上，则 【答案】ABD 【分析】A，根据在两定点，的距离之积得到；B，设曲线上的任意一点，根据得到方程，求出轨迹方程，以坐标原点为圆心的圆的方程为，联立计算出；C，在第一象限时，，令，变形得到，故当，取得最大值，最大值为，从而得到曲线上的点的纵坐标的最大值；D，设，则，直线为，求出直线的方程为，联立求出直线与的交点坐标为，代入曲线中，求出. 【详解】A选项，从图中可以看出在两定点，的距离之积为定常数， 其中，所以，A正确； B选项，设曲线上的任意一点，则， 化简得，即，， 设以坐标原点为圆心的圆的方程为，又，故， ，故， 所以，则交点必在某等轴双曲线上，B正确； C选项，在第一象限时，，， 令，则，故， 故当，即时，取得最大值，最大值为， 所以的最大值为，曲线上的点的纵坐标的最大值为，C错误； D选项，切点为的切线方程为，切点为的切线方程为， 设，则，直线为，在切线和上， 故，故直线的方程为，联立与得，解得，故，故直线与的交点坐标为， 又在曲线上，故， 即，又，故，因为，则，D正确故选：ABD 2．将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得的三条曲线与围成的图形称作花瓣曲线（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（    ）    A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截花瓣曲线第一象限部分的弦长最大值为 D．阴影区域的面积不大于 【答案】BCD 【分析】由题意可得，可求得逆时针旋转的抛物线方程判断A；联立交点抛物线方程解出交点坐标再由两点间距离公式可判断B；分别求出抛物线与抛物线斜率为1的切线方程，再求出它们的距离即可判断C；求出抛物线在点处的切线，再求出与平行且与抛物线相切的直线方程，分别求出两三角形的面积，再结合对称性即可推理得到D正确. 【详解】对于A，若，则抛物线， 若抛物线绕其顶点逆时针旋转，可得抛物线方程为， 即，开口向上，故A错误； 对于B，开口向上的抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、所得仍为抛物线，方程分别为、、， 由，解得或，则，由对称性可得， 所以，故B正确； 对于C，设直线与抛物线相切于点， 由，消去得，由， 得，切点， 设直线与抛物线相切于点， 由，消去得，由， 得，切点， 直线的斜率为，即直线与直线平行或重合， 所以直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值为，故C正确； 对于D，抛物线，求导得， 则抛物线在点处的切线斜率为，抛物线在点处的切线方程为，即，该切线交轴于点，因此， 作且与相切，设切点为， 由切线的斜率为1可得，代入曲线可得， 所以切点为，切线方程为，与横轴的交点为，与交于点， 由面积比为相似比的平方可得小三角形的面积为1， ∴四边形面积为,所以四叶图的面积小于，故D正确.   故选：BCD. 3．蔓叶线是公元前世纪古希腊数学家狄奥克勒（Diocle）为了解决倍立方问题发现的曲线，因形似植物藤蔓而得名．按照如下方式可得到一条蔓叶线：在抛物线：上取一动点，作在该动点处的切线，过坐标原点作这条切线的垂线，垂足的轨迹就是如图所示的蔓叶线．下列结论正确的是（   ） A．点在上B．直线是的渐近线C．点到上的点的距离最小值为 D．若过点的直线与和抛物线分别交于点，（异于点），则 【答案】ABD 【分析】先根据题意计算出蔓叶线E方程为，则A选项可直接判断；结合蔓叶线E方程为以及渐近线的相关知识可判断B；E上的点到点的距离为，构造函数，利用导数求最小值即可判断C；联立直线方程与曲线方程即可求出交点，再计算得为固定值4，则D可判断. 【详解】抛物线在原点处的切线为y轴，过坐标原点作这条切线的垂线,垂足即为； 设上不同于原点的点，则该点处的切线斜率存在，设为k，切线方程为，代入，消去x可得，则， 即，即，即，故切线为① 则过坐标原点的这条切线的垂线方程为， 可得，代入①消去可得垂足满足的关系式为， 化简可得，该式满足过原点，故蔓叶线E方程为. 点满足上式，故点在E上，故A正确； 由，可得且，故， 时，，故是E的渐近线，故B正确； 设E上的点到点的距离为，则， 令，， 令，可得，故时，，单调递减， 时，，单调递增，故, 故,则点到E上的点的距离最小值为，故C错误； 若过点的直线与E和抛物线分别交于点A,B(异于点)，可知直线的斜率存在，设为m，则：， 由，解得,即,由，解得，即, 故, 故，故D正确.故选：ABD. 4．已知曲线，为曲线上任一点，则下列说法中正确的有（    ） A．曲线与直线恰有三个公共点 B．曲线与直线相切 C．是关于的函数 D．是关于的函数 【答案】ABD 【分析】对于A，构造，利用导数讨论其在上的零点个数判断其正误；对于B，根据正弦函数的性质可判断其正误；对于C，结合零点存在定理可判断其正误；对于D，利用导数判断函数的单调性后可得其正误. 【详解】对于A，由消元法可得，所以， 当或时， 或，故此时无解， 下面考虑上方程的解的个数，设，其中， 设且，则的解为，，而， 故当或时，，当时，，故在，上为减函数，在上为增函数，而，且， ，而，故，故，， 故在有3个不同的实数根，故A正确； 对于，令，得， 因为与相切，所以曲线与直线相切，故正确； 对于C，取，考虑，即方程的解的个数， 设，则， ， ，，故至少有两个零点，故有两个不同的解， 故不是关于的函数，故C错误； 对于D，，则， 故为上的减函数，且当时，，当时，， 故对任意，方程，即有唯一解， 故是关于的函数，故D正确.故选：. 5．平面内到定点、轴、轴的距离之和等于4的点的轨迹是如图所示的曲线，它由4部分组成，每部分都是双曲线上的一段，设是该曲线上一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．当都是整数时，称为格点，则上有2个格点 C．的最大值为 D．在第一象限对应的双曲线的离心率为 【答案】CD 【分析】由题意得，令即可判断A；由即可判断上的格点不止两个，可判断B；要使最大，则在第一象限，此时，设，根据即可判断C；由曲线在第一象限的图象特征及方程即可判断D． 【详解】由题意， 则，整理得， 对于A，当时，有，两边平方，化简得， 当时，；当时，，由图像可知，故A错误； 对于B，有方程可知，都在曲线上，故B错误； 对于C，要使最大，则在第一象限，此时， 所以，设，则， 由，得或， 又，所以，故C正确； 对于D，在第一象限对应的曲线为，即， 所以，因为是由平移得到，又是轴为渐近线的双曲线，所以对应的标准双曲线的渐近线为，所以，故离心率，故D正确；故选：CD． 压轴题型十三：压轴难题：截曲线型 √满分技法 接圆锥曲线： 1．比利时数学家丹德林用一个双球模型证明用平面截圆锥面，可以截出椭圆、双曲线、抛物线.如图，两个对顶圆锥的轴线与母线成角为，在两个圆锥中，各有一个球，两球球心分别为，，两球半径分别为，且与圆锥侧面相切，两个对顶圆锥的轴与平面所成角为且平面与两球相切于，两点，则平面与圆锥侧面的交线为双曲线一部分，则下列说法中正确的是（   ） A．，两点为双曲线的两个焦点 B． C．若，则该双曲线为等轴双曲线 D．双曲线的实轴长为 【答案】ABD 【分析】A.在双曲线上任选一点，过点做球的切线，切点分别为与，过点做球的切线，切点分别为与，利用切线长和双曲线的定义判断；B.过，分别往，作垂线，作垂直于于，易得，判断；D.设圆锥的一条母线与两球相切与点，，由A选项得到，连接，，设圆锥顶点为，则在四边形中，，判断；C.由，判断. 【详解】在双曲线上任选一点，过点做球的切线，切点分别为与，且在球与圆锥的交线上，且过圆锥的顶点，同理，过点做球的切线，切点分别为与，且在球与圆锥的交线上，且过圆锥的顶点所以，，以及圆锥的顶点共线，所以为定值，故A正确； 过，分别往，作垂线，作垂直于于，易得，，所以，故B正确； 对于D， 设圆锥的一条母线与两球相切与点，，由A选项可知，， 连接，，则，，设圆锥顶点为，则在四边形中，，，所以，故D正确 由上述可得，双曲线，，所以双曲线离心率为，与，是否相等无关，故C不正确， 故选：ABD 2．如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则三棱锥体积为定值 B．若，则动点所围成的图形的面积为 C．若，则的最小值为3 D．若动点在正方形内（包含边界），异面直线与所成角为．则的轨迹所在圆锥曲线的离心率为 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意可得的轨迹为线段，即可判断；对于B，由题意可得动点所围成的图形是矩形，即可判断；对于C，由正弦定理可得，利用空间坐标运算可得点的轨迹是以为球心，2为半径且位于正方体内的部分球体，再利用，求解后即可判断；对于D，由题意可得点的轨迹是以为旋转轴，为母线的共顶点的双圆锥，直线是圆锥的一条母线，从而得点的轨迹在平面与双圆锥的截痕（椭圆）上，求出此椭圆的离心率即可判断． 【详解】对A,因为动点在正方体内及其边界上，且，则的轨迹为线段．由于，平面，所以，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；对B,易知平面，动点在正方体内及其边界上，且， 所以动点所围成的图形是矩形，则面积为，故B正确； 对C，设边上的高为,则， 由正弦定理可得，所以，故， 以为点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 则，又因为，整理得：， 所以空间动点的轨迹是以为球心，2为半径且位于正方体内的部分球体， 又因为，所以，故C错误； 对D,在棱上取，则．因为异面直线与所成角为，则直线与所成角为，故空间动点的轨迹是以为旋转轴，为母线的共顶点的双圆锥，直线是圆锥的一条母线， 又动点在底面内，故动点的轨迹在平面与双圆锥的截痕（椭圆）上， 椭圆以为长轴，球是底面与圆锥封闭几何体的内切球， 球与底面的切点为椭圆靠近顶点的焦点． 如图，即， 即，则，所以椭圆的离心率，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是得出每一选项中点P的轨迹． 3．如图，圆锥的底面直径，母线，点是母线的中点．以下结论正确的是（    ） A．沿圆锥的侧面从点到达点的最短距离为 B．圆锥的外接球表面积为 C．过点作平行于母线的平面，截圆锥所得抛物线的焦准距为3 D．过点作动直线，满足与母线成角，直线形成的图形被圆锥底面所在平面截得的图形为椭圆 【答案】ABD 【分析】A选项，将圆锥侧面展开，连接，即为最短距离，根据弧长得到，为等边三角形，，A正确；B选项，设外接球的半径，求出圆锥的高，列出方程，求出半径，得到外接球表面积；C选项，作出辅助线，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设抛物线方程为，代入点的坐标，求出，则焦准距为；D选项，动直线轨迹是一个圆锥，直线的轨迹被圆锥底面截得的椭圆，D正确. 【详解】A选项，将圆锥侧面展开，如下图，连接，则沿圆锥的侧面从点到达点的最短距离即为的长，直径，母线，则，则， 故，所以为等边三角形，，A正确； B选项：设外接球的半径为，，圆锥的高， 所以， 由勾股定理得，即，解得， 故外接球表面积，B正确； C选项，点为母线中点，过点与母线的平面必过底面圆圆心，交底面圆于、， 如下图，，设底面圆心为，则， 以为坐标原点，所在直线为建立平面直角坐标系，设抛物线方程为， 将代入得，，解得，则焦准距为，C错误； D选项，如图所示，动直线轨迹是一个圆锥， 其中此圆锥的轴为，故圆锥的底面与动直线轨迹圆锥底面不平行， 且，而，故，， 故直线的轨迹被圆锥底面截得的椭圆，D正确. 故选：ABD 【点睛】知识点点睛：在空间中，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线是一个圆， 用一个不垂直轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线， 设圆锥的轴截面半顶角为， 当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线；当时，截口曲线为双曲线 4．如图是以矩形为轴截面的圆柱，其中，，，平面经过且与平面垂直，截圆柱侧面所得的曲线为椭圆．点在椭圆上（不包括），点在下底面圆周上，，的中点为，以为始边，为终边的角为，圆中角所对的弧长为，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．点到平面的距离为 D． 【答案】ACD 【分析】对A，根据题意，求出判断；对B，由，，故以为直径的圆上的点都在椭圆外，可判断；对C，可证平面，转化为点到平面的距离等于点到直线的距离，求解判断；对D，过点分别作平面的垂线，垂足分别在上，可得，又，得解. 【详解】对于A，因为，所以，即． 由题意知，，即，所以， 椭圆的离心率，故A正确； 对于B，因为，，所以以为直径的圆上的点都在椭圆外（不包括）， 所以不存在点，使得，故B错误； 对于C，因为，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 因为平面底面ABQ，且交线为， 所以点到平面的距离等于点到直线的距离，为，故C正确； 对于D，如图，过点分别作平面的垂线，垂足分别在上， 连接，在中，所以，又，所以，故D正确．故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是过点分别作平面的垂线，根据，以及可得结果． 5．历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（    ） A．点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为 B．点为该曲线的一个焦点 C．该曲线上任意两点之间的最大距离为 D．该曲线的离心率为 【答案】ACD 【分析】利用圆锥结合解直角三角形，可得椭圆的相关参数，通过椭圆方程来研究焦距和离心率，从而判断各选项. 【详解】根据圆锥曲线的概念可知截口曲线为椭圆，设与截面垂直的母线垂足点为. 平面交椭圆曲线的另一交点为，由对称性知为该椭圆的长轴端点. 在直角三角形中，由， 则有，， ，， 所以点到该曲线上的任意一点的距离最大值就是，故A正确； 该曲线上任意两点之间的最大距离是，故C正确； 再过作平面垂直于旋转轴，则可得该截面圆的半径， 在这个圆面内作垂直于平面，交椭圆于点，则， 如图2，在截面上取中点为坐标原点，方向为轴正向，建立平面直角坐标系， 则，过作垂直于轴，交椭圆于点，则， 设椭圆方程为，将代入得：，最后可得，由于，所以不是椭圆的焦点，故B错误；即椭圆离心率为，故D正确； 故选：ACD. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题17 圆锥曲线压轴小题归类 综述 1、 曲线与方程 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法． （1）到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线． （2）到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线． （3）平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径． 求解过程： （1）建系：建立适当的坐标系 （2）设点：设轨迹上的任一点 （3）列式：列出有限制关系的几何等式 （4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示， （5）检验：对某些特殊值应另外补充检验． 二、离心率 求离心率是椭圆，双曲线中的重要题型， 解题时要把所给的几何特征转化为的关系式．求离心率的常用方法有： （1）根据条件求得，利用或求解； （2）根据条件得到关于的方程或不等式，利用将其化为关于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围． 三、圆锥曲线性质与结论 1.椭圆结论： (1)如图1：①焦点△F1AF2周长C△F1AF2＝2a＋2c、面积S△F1AF2＝b2·tan ； ②△ABF2的周长为：C△ABF2＝4a； ③通径：|AC|＝ (椭圆、双曲线通用)； 图1 (2)如图2：点P是椭圆上一动点，则有：①动点角范围：0≤∠A1PA2≤∠A1BA2； ②焦半径范围：a－c≤|PF1|≤a＋c (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)； ③|PO|范围：b≤|PO|≤a(长、短轴顶点到原点最远、最近； ④斜率：kPA1·kPA2＝－. (3) 点P(x0，y0)和椭圆的关系： 图2 ①点P在椭圆内⇔＋<1. ②点P在椭圆上⇔＋＝1. ③点P在椭圆外⇔＋>1. (4)椭圆扁平程度：因为e＝＝＝＝，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆． 2．双曲线结论： (1)如图3：①动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a； ②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝b； (2)渐近线求法结论：可直接令方程－＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得； 图3 3．抛物线结论： 如图4：抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l. (1) 焦半径问题： ①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (随焦点位置变动而改变)； ②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α为直线AB的倾斜角) ③＋＝； 焦半径公式得：，， (2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2 (随焦点动而变)； 图4 (3)其他结论：①S△OAB＝(其中，α为直线AB的倾斜角)； ②以AB为直径的圆必与准线相切于点H． 压轴题型一：轨迹： √满分技法 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，可直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法. 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径． (1) 若直线含参，参数在x系数出，则不包含竖直，如y=k（x-1）+1，不含想x=1 (2) 若直线含参，参数在y的系数出，则不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1 (3) 若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0与y=-x平行。 1．已知点A，B为椭圆上的两个动点，点O为坐标原点，直线与的斜率之积为，x轴上存在关于原点对称的两点M，N，使得对于线段上的任意点P，都有的最小值为定值，则此定值为 ． 2．曲线 是平面内到定点 的距离与到定直线 的距离之和为 的动点 的轨迹．则曲线 与 轴交点的坐标是 ；又已知点 （ 为常数），那么 的最小值 ． 3．“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为9.若上第一象限内的点满足的面积为，则 . 4．在平面直角坐标系中，，，记，其中表示两个数中的最大数．已知，向量，则点的轨迹所围成的图形面积为 ；的取值范围为 ． 5．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则的取值范围是 . 压轴题型二：离心率：定义型 √满分技法 解题时要把所给的几何特征转化为的关系式．求离心率的常用方法有： （1）根据条件求得，利用或求解； （2）根据条件得到关于的方程或不等式，利用将其化为关于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围． 1．已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线右焦点为，过点作互相垂直的直线、，与的右支交于、两点，，若与的左支交于点，且、、三点共线（是坐标原点），则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在上，满足，直线与轴交于点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左焦点为是上的动点，点，若的最大值为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 压轴题型三：离心率：点斜关系 √满分技法 椭圆：设直线和椭圆的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 抛物线：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 可得 1．已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，以线段为直径的圆在第一象限交于点交的左支于点，若为线段的中点，则的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 4．过点作直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则该椭圆的离心率是 A． B． C． D． 5．双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，交另一条渐近线于，且为的中点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 压轴题型四：离心率：定比分点型 √满分技法 性质：过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为 1．已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，连接并延长交椭圆于点.若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知是椭圆上两点，分别为的左、右焦点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若上的点，满足，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线交椭圆于、两点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 压轴题型五：离心率：双余弦定理 √满分技法 圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点三角巨头对称性，可以补成焦点四边形，对于焦点四边形，又如下思维性质： 1.焦点四边形具有中心对称性质。 2.焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。 3.焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解 1．已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 4．已知双曲线的左､右焦点分别为.过的直线交双曲线右支于两点，且，则的离心率为（    ） A．2 B．3 C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 压轴题型六：离心率：内切圆 √满分技法 双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为. 证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a. 1．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，E上存在点P，使得，且的内切圆与y轴相切，则E的离心率为 . 2．设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为 .若内切圆圆心I的横坐标为2，则的面积为 . 3．在平面直角坐标系中，双曲线（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与的左、右两支分别交于、两点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则的离心率为 ． 4．已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰三角形的内切圆圆心，过作，垂足为，则椭圆的离心率为 ．设内切圆与轴相切于点，则的面积为 ． 5．设O为坐标原点，F为双曲线的焦点，过点F的直线l与双曲线的渐近线分别交于A、B两点，若且的内切圆半径为，则双曲线C的离心率为 . 压轴题型七：离心率：重心圆 1．已知斜率为1的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若椭圆上存在点，使得的重心恰好是坐标原点，则椭圆的离心率 . 2．设双曲线E：，设A，B为E上不同的两点，分别作E在A，B处的切线，设与y轴交于点C，与y轴交于点D，若AD与BC交于点P，AC与BD交于点Q，为等边三角形，且Q为的重心，则E的离心率e＝ ． 3．在双曲线的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点形成的三角形的内切圆的半径为a，若的重心G满足，则双曲线C的离心率为 . 4．已知、为椭圆的左、右焦点，的椭圆上一点（左、右顶点除外），为为重心.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是 . 5．已知双曲线E的焦点在x轴上，中心为坐标原点，F为E的右焦点，过点F作直线与E的左右两支分别交于A，B两点，过点F作直线与E的右支交于C，D两点，若点B恰为的重心，且为等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为 . 压轴题型八：离心率：共焦点型 √满分技法 椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则． 1．如图，在平面直角坐标系，中心在原点的椭圆与双曲线交于四点，且它们具有相同的焦点，点分别在上，则椭圆与双曲线离心率之积 . 2．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ． 3．已知椭圆C1：＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，e1，e2分别是椭圆C1和双曲线C2的离心率，则9e12+e22的最小值是 ． 4．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最小值为 . 5．已知、分别是椭圆和双曲线的离心率，、是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为 ． 压轴题型九：离心率：a，b，c齐次型综合题 √满分技法 只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式) 两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 1．已知双曲线的左､右焦点分别是.点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为 . 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，直线垂直于且交线段于点，若，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 3．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，焦距为，点P为C在第一象限上一点，直线与y轴交于点M，，若直线的斜率为，则C的离心率为 ． 4．已知为椭圆上任意一点，点，分别在直线与上，且，，若为定值，则椭圆的离心率为 . 5．已知椭圆的左､右焦点分别为为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则的离心率为 . 压轴题型十：离心率：超难压轴小题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为 A． B． C． D． 2．椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 3．如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．椭圆E：，过E外一点P作E两条切线PA，PB，，记P的轨迹为T，圆C：，记T与C的交点为，当的最大值m最大时，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 压轴题型十一：压轴难题：双曲线渐近线型 √满分技法 渐近线 （1）焦点到渐近线的距离为b （2）定点到渐近线的距离为 （3）一直线交双曲线的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M，则. （4）过双曲线上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐标原点则有如下结论： ①OM·ON=a2+b2；②；③ 1．已知的顶点，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则 . 2．已知双曲线的左、右焦点分别为和，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线的离心率为 ;又过点P作双曲线的切线交另一条渐近线于点Q，且的面积，则该双曲线的方程为 ． 3．已知为双曲线（，）右支上的任意一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一、四象限，为坐标原点，当时，的面积为，则双曲线的实轴长为 . 4．已知双曲线：的一条渐近线为，椭圆：的长轴长为4，其中.过点的动直线交于A，B两点，过点Р的动直线交于M，N两点，若四条直线的斜率之和为定值，则定点Q为 . 5．直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于C、D两点（从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线Γ的离心率的取值范围是 ． 压轴题型十二：压轴难题：特殊曲线型 √满分技法 利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 1．如图所示的曲线称为双纽线，是到两定点，的距离之积为定常数的点的轨迹，其对称中心为坐标原点，则下列说法正确的有（   ） A． B．若曲线与圆心在坐标原点的圆相交，则交点必在某等轴双曲线上 C．在第一象限，曲线上的点的纵坐标的最大值为 D．过双曲线上一点，作圆的两条切线，切点分别为，，若直线与的交点在曲线上，则 2．将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得的三条曲线与围成的图形称作花瓣曲线（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（    ）    A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截花瓣曲线第一象限部分的弦长最大值为 D．阴影区域的面积不大于 3．蔓叶线是公元前世纪古希腊数学家狄奥克勒（Diocle）为了解决倍立方问题发现的曲线，因形似植物藤蔓而得名．按照如下方式可得到一条蔓叶线：在抛物线：上取一动点，作在该动点处的切线，过坐标原点作这条切线的垂线，垂足的轨迹就是如图所示的蔓叶线．下列结论正确的是（   ） A．点在上B．直线是的渐近线C．点到上的点的距离最小值为 D．若过点的直线与和抛物线分别交于点，（异于点），则 4．已知曲线，为曲线上任一点，则下列说法中正确的有（    ） A．曲线与直线恰有三个公共点 B．曲线与直线相切 C．是关于的函数 D．是关于的函数 5．平面内到定点、轴、轴的距离之和等于4的点的轨迹是如图所示的曲线，它由4部分组成，每部分都是双曲线上的一段，设是该曲线上一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．当都是整数时，称为格点，则上有2个格点 C．的最大值为 D．在第一象限对应的双曲线的离心率为 压轴题型十三：压轴难题：截曲线型 √满分技法 接圆锥曲线： 1．比利时数学家丹德林用一个双球模型证明用平面截圆锥面，可以截出椭圆、双曲线、抛物线.如图，两个对顶圆锥的轴线与母线成角为，在两个圆锥中，各有一个球，两球球心分别为，，两球半径分别为，且与圆锥侧面相切，两个对顶圆锥的轴与平面所成角为且平面与两球相切于，两点，则平面与圆锥侧面的交线为双曲线一部分，则下列说法中正确的是（   ） A．，两点为双曲线的两个焦点 B． C．若，则该双曲线为等轴双曲线 D．双曲线的实轴长为 2．如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则三棱锥体积为定值 B．若，则动点所围成的图形的面积为 C．若，则的最小值为3 D．若动点在正方形内（包含边界），异面直线与所成角为．则的轨迹所在圆锥曲线的离心率为 3．如图，圆锥的底面直径，母线，点是母线的中点．以下结论正确的是（    ） A．沿圆锥的侧面从点到达点的最短距离为 B．圆锥的外接球表面积为 C．过点作平行于母线的平面，截圆锥所得抛物线的焦准距为3 D．过点作动直线，满足与母线成角，直线形成的图形被圆锥底面所在平面截得的图形为椭圆 4．如图是以矩形为轴截面的圆柱，其中，，，平面经过且与平面垂直，截圆柱侧面所得的曲线为椭圆．点在椭圆上（不包括），点在下底面圆周上，，的中点为，以为始边，为终边的角为，圆中角所对的弧长为，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．点到平面的距离为 D． 5．历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（    ） A．点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为 B．点为该曲线的一个焦点 C．该曲线上任意两点之间的最大距离为 D．该曲线的离心率为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$