高二数学期末模拟卷02（新高考通用，数列+导数+计数原理+随机变量及其分布列+统计）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D D B B C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BC AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．-18 13． /0.375 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 则； （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为 . 16．（15分） 【详解】（1）设正项等比数列的公比为， 因为，所以，所以． 又， 解得． 所以． （2）由题知， 所以， ， 两式相减得． 所以． 17．（15分） 【详解】（1）因为散点集中在一条直线附近，设回归方程为， 由，则， ，故变量关于的回归方程为.又， 故， 综上，关于的回归方程为； （2）由，解得， 而，所以即为“主打套餐”. 则四人中使用“主打套餐”的人数服从超几何分布，又：一共只有6种套餐，一家4口选择不同的套餐，所以X的取值只能是， 且， 分布列为 2 3 4 期望. 18．（17分） 【详解】（1）因为，所以， 所以所求切线的斜率为，又， 所以切线方程为，即； （2），则函数定义域为， 所以，所以当时，有恒成立，在单调递减， 当时，由解得：，在上单调递减； 由解得：，在上单调递增； 综上，时，在单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，， 根据题意，不等式等价于，， 对于，，则 所以在上单调递减，所以， 则有，即， 设，，则， 所以在定义域内为减函数，又， 所以，所以，即的取值范围是. 19．（17分） 【详解】（1）由于，故. （2）由， ①由恒成立，得恒成立． 令，则． 当时，，此时在,上单调递增， 又，所以在,恒成立． 当时，当时，有，此时在上单调递减，在单调递增， 又，在恒成立，与矛盾． 综上所述，． ②由，可得，所以． 即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故， 所以， 由题意可得是由曲线，两直线，与轴所围成的曲边梯形的面积． 而表示图一阴影所示各矩形的面积和， 所以，不等式的左边成立． 表示图二阴影所示各矩形的面积和， 所以，不等式的右边成立． 故得证. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+导数+计数原理+概率与统计。 5．难度系数：0.61。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．在等差数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．在一次数学复习课上，黑板上从左至右分别为直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线5道题．现有6名学生去黑板上作答，甲乙同学先后作答同一道题，丙同学作答的题目不能与甲乙作答的题目相邻，则6名学生的答题方案有（    ） A．60种 B．72种 C．120种 D．144种 4．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 5．2024年国家公务员考试笔试已于2023年11月25日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布.若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为（    ） A． B． C． D． 6．甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（    ） A．403 B．404 C．405 D．406 8．已知函数 对于 恒有 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．一组数据，经过分析、计算，得，，关于的经验回归方程为，则． B．若随机变量满足，则 C．随机变量服从二项分布，若方差，则 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 10．已知函数在处取得极小值，则下列结论正确的是（   ） A．或 B．函数有且仅有一个零点 C．函数恰有两个极值点 D．函数在有最小值，无最大值 11．记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在正整数，对于任意的正整数，均有 C．对于任意的正整数，均有 D．存在正整数，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在 的展开式中，的系数为 （用数字作答）． 13．在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则 . 14．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 16．（15分）记为正项等比数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17．（15分）当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通､交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而5G作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实､虚拟现实､超高清（3D）视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物､物与物的通信问题，从而满足移动医疗､车联网､智能家居､工业控制､环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表： 套餐 A B C D E F 月资费x（元） 38 48 58 68 78 88 购买人数y（万人） 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5 对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表： 75.3 24.6 18.3 101.4 其中，且绘图发现，散点集中在一条直线附近. (1)根据所给数据，求出关于的回归方程； (2)已知流量套餐受关注度通过指标来测定，当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套督”的人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计值分别为. 18．（17分）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 19．（17分）一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间的长度为，在每个小区间上任取一点，作和式．如果当无限接近于0（亦即时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积（如下图）． 如果是区间上的连续函数，并且，那么 (1)求； (2)设函数． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）数列满足，利用定积分的几何意义，证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+导数+计数原理+概率与统计。 5．难度系数：0.61。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．在等差数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．在一次数学复习课上，黑板上从左至右分别为直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线5道题．现有6名学生去黑板上作答，甲乙同学先后作答同一道题，丙同学作答的题目不能与甲乙作答的题目相邻，则6名学生的答题方案有（    ） A．60种 B．72种 C．120种 D．144种 4．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 5．2024年国家公务员考试笔试已于2023年11月25日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布.若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为（    ） A． B． C． D． 6．甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（    ） A．403 B．404 C．405 D．406 8．已知函数 对于 恒有 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．一组数据，经过分析、计算，得，，关于的经验回归方程为，则． B．若随机变量满足，则 C．随机变量服从二项分布，若方差，则 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 10．已知函数在处取得极小值，则下列结论正确的是（   ） A．或 B．函数有且仅有一个零点 C．函数恰有两个极值点 D．函数在有最小值，无最大值 11．记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在正整数，对于任意的正整数，均有 C．对于任意的正整数，均有 D．存在正整数，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在 的展开式中，的系数为 （用数字作答）． 13．在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则 . 14．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 16．（15分） 记为正项等比数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17．（15分） 当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通､交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而5G作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实､虚拟现实､超高清（3D）视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物､物与物的通信问题，从而满足移动医疗､车联网､智能家居､工业控制､环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表： 套餐 A B C D E F 月资费x（元） 38 48 58 68 78 88 购买人数y（万人） 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5 对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表： 75.3 24.6 18.3 101.4 其中，且绘图发现，散点集中在一条直线附近. (1)根据所给数据，求出关于的回归方程； (2)已知流量套餐受关注度通过指标来测定，当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套督”的人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计值分别为. 18．（17分） 已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 19．（17分） 一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间的长度为，在每个小区间上任取一点，作和式．如果当无限接近于0（亦即时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积（如下图）． 如果是区间上的连续函数，并且，那么 (1)求； (2)设函数． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）数列满足，利用定积分的几何意义，证明：． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+导数+计数原理+概率与统计。 5．难度系数：0.61。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，所以， 又函数在处可导， 所以. 故选：D 2．在等差数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】等差数列中，， 设的公差为，. 故选：D. 3．在一次数学复习课上，黑板上从左至右分别为直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线5道题．现有6名学生去黑板上作答，甲乙同学先后作答同一道题，丙同学作答的题目不能与甲乙作答的题目相邻，则6名学生的答题方案有（    ） A．60种 B．72种 C．120种 D．144种 【答案】D 【详解】法一：先将甲乙看作一个整体，要求其与丙不相邻，先排列其余三人共有种，再将甲乙整体和丙插入个空隙中有种， 最后将甲乙排序有种， 则共有答题方案有种. 法二：甲乙同学先后作答同一道题是直线或抛物线，丙同学作答的题目是椭圆，其他人作答其他剩下的题，共有； 甲乙同学先后作答同一道题是圆、椭圆、双曲线，丙同学作答的题目是椭圆，其他人作答其他剩下的题，共有； 所以共有答题方案有种. 故选：D. 4．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为，解不等式，可得， 故函数的单调递减区间为. 故选：B. 5．2024年国家公务员考试笔试已于2023年11月25日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布.若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因考生成绩服从正态分布， 所以， 故任意选取3名考生， 至少有2名考生的成绩高于90的概率为． 故选：B. 6．甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知，； 所以. 故选：C 7．已知数列满足，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（    ） A．403 B．404 C．405 D．406 【答案】C 【详解】由，得， 则， 累加得， 所以， 因为恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 因为，所以， 所以，即的最大值为. 故选：C. 8．已知函数 对于 恒有 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：求导可得， 由的范围可知，即在区间上单调递增，故 ， 则原不等式可化为. 又， 不妨设，由可得，且. 令，，则有且，原不等式可化为 ， 即， 即在上恒成立. 设，可知在上单调递增， 则在上恒成立，故. 令，则， 因为，， 故在上单调递减，在上单调递增， ，即， 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．一组数据，经过分析、计算，得，，关于的经验回归方程为，则． B．若随机变量满足，则 C．随机变量服从二项分布，若方差，则 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】ABD 【详解】对于A选项：经验回归方程经过，代入可得，正确； 对于B选项：由随机变量方差的性质知加减不必变方差，缩放后方差变为平方倍，故，正确； 对于C选项：或，所以或，不正确； 对于D选项：由独立性检验，，正确. 故选：ABD. 10．已知函数在处取得极小值，则下列结论正确的是（   ） A．或 B．函数有且仅有一个零点 C．函数恰有两个极值点 D．函数在有最小值，无最大值 【答案】BC 【详解】对于A项，由已知. 又函数在处取得极小值， 所以有，解得或. 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极小值，满足条件； 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极大值，不满足条件，舍去. 故.A项错误； 对于B项，由A知，， 且在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减. 又，， 根据函数的单调性以及零点存在定理可知，在上没有零点，在上没有零点. 又， 根据函数的单调性以及零点存在定理可知，在上有一个零点，在上没有零点. 综上所述，函数有且仅有一个零点.故B正确； 对于C项，由A可知在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 所以，在处取得极大值，在处取得极小值. 故C正确； 对于D项，由A知，在上单调递增，在上单调递减. 所以，在处取得最大值，无最小值.故D错误. 故选：BC. 11．记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在正整数，对于任意的正整数，均有 C．对于任意的正整数，均有 D．存在正整数，使得 【答案】AC 【详解】对于A，因为为等差数列，取前3项知成等差数列，即. 因为为等比数列，取前3项知成等比数列，即， 代入，得，即，也即，所以或. 若，那么，所以，但不为等比数列，所以假设不成立，则，得，检验得为等差数列，为等比数列，故A正确. 对于B，也就是验证数列是否存在唯一的最大项， 令，即解得， 令，解得， 又，所以，即最大项不唯一､因此不存在符合题意的正整数，故B错误. 对于C，D，因为. 记，注意到，所以， 于是，因此对于任意的正整数，均有，故C正确，D错误. 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在 的展开式中，的系数为 （用数字作答）． 【答案】 【详解】的展开式的通项为， 令，则，所以的系数为. 故答案为：. 13．在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则 . 【答案】/0.375 【详解】 由题意可知，两抛物线与只可能在第一象限相切； 设两个抛物线相切于，在该点处的切线的斜率为， 抛物线在第一象限的图象为函数在第一象限的图象, 函数在该点处的切线的斜率为：， 所以有，解方程得：， 所以切点为代入，解得. 故答案为： 14．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ． 【答案】 【详解】由题意第次按下按钮后出现红球的概率为，则出现绿球的概率为； 因此可得，化简可得， 即，又， 因此可得是以为首项，为公比的等比数列， 可得，可得； 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 【详解】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 则； （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为 . 16．（15分）记为正项等比数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【详解】（1）设正项等比数列的公比为， 因为，所以，所以． 又， 解得． 所以． （2）由题知， 所以， ， 两式相减得． 所以． 17．（15分）当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通､交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而5G作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实､虚拟现实､超高清（3D）视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物､物与物的通信问题，从而满足移动医疗､车联网､智能家居､工业控制､环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表： 套餐 A B C D E F 月资费x（元） 38 48 58 68 78 88 购买人数y（万人） 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5 对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表： 75.3 24.6 18.3 101.4 其中，且绘图发现，散点集中在一条直线附近. (1)根据所给数据，求出关于的回归方程； (2)已知流量套餐受关注度通过指标来测定，当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套督”的人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计值分别为. 【详解】（1）因为散点集中在一条直线附近，设回归方程为， 由，则， ，故变量关于的回归方程为.又， 故， 综上，关于的回归方程为； （2）由，解得， 而，所以即为“主打套餐”. 则四人中使用“主打套餐”的人数服从超几何分布，又：一共只有6种套餐，一家4口选择不同的套餐，所以X的取值只能是， 且， 分布列为 2 3 4 期望. 18．（17分）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 所以所求切线的斜率为，又， 所以切线方程为，即； （2），则函数定义域为， 所以，所以当时，有恒成立，在单调递减， 当时，由解得：，在上单调递减； 由解得：，在上单调递增； 综上，时，在单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，， 根据题意，不等式等价于，， 对于，，则 所以在上单调递减，所以， 则有，即， 设，，则， 所以在定义域内为减函数，又， 所以，所以，即的取值范围是. 19．（17分）一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间的长度为，在每个小区间上任取一点，作和式．如果当无限接近于0（亦即时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积（如下图）． 如果是区间上的连续函数，并且，那么 (1)求； (2)设函数． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）数列满足，利用定积分的几何意义，证明：． 【详解】（1）由于，故. （2）由， ①由恒成立，得恒成立． 令，则． 当时，，此时在,上单调递增， 又，所以在,恒成立． 当时，当时，有，此时在上单调递减，在单调递增， 又，在恒成立，与矛盾． 综上所述，． ②由，可得，所以． 即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故， 所以， 由题意可得是由曲线，两直线，与轴所围成的曲边梯形的面积． 而表示图一阴影所示各矩形的面积和， 所以，不等式的左边成立． 表示图二阴影所示各矩形的面积和， 所以，不等式的右边成立． 故得证. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$