高一数学期末模拟卷02（新高考通用，平面向量+解三角形+复数+立体几何初步+概率统计）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何+概率与统计。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知在复平面内，，复数，对应的点为，，则（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】法一：因为，，所以，， 所以，则，即. 法二：如图，在坐标系内做出复数，对应的点为，， 由勾股定理易得. 故选：B. 2．某学校有教师人，男学生人，女学生人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为的样本，已知从女学生中抽取的人数为，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题得，，解得， 故选：B． 3．已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】A选项，若，则或，A错误； B选项，若，不能推出，B错误； C选项，若，则不能推出，C错误； D选项，因为，所以，D正确. 故选：D 4．已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中 ，那么的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据斜二测画法的规则作出原图如图：    由直观图中， 可得中，，， 因为，则， 又底边，所以的周长为. 故选：D. 5．若向量和向量满足向量 ，，则向量在向量方向上的投影数量为（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】D 【详解】设向量的夹角为， 因为， 所以． 则，解得． 向量在向量方向上的投影数量为：. 故选:D. 6．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，， 又，则，设，则， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，又，解得，则， 所以， 故选：B. 7．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O．若，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为在上，所以与共线，设， 又D是BC的中点，所以，所以，， 因为，所以，所以， 又因为三点共线，所以存在，使得，， 所以，解得， 所以， 所以， 即，所以. 故选：A. 8．已知三棱锥中，，面面，该三棱锥外接球半径为，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】如图，平面与平面外接圆圆心分别为、， 外接圆半径分别为、， 三棱锥外接球球心为，半径，中点为， 由球的性质知平面，平面，，， ∵为中点，∴，， ∵面面，∴， 即四边形为矩形，∴，， ∴，， 解得，，， 由正弦定理，， ， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙两人进行投篮游戏，用抽签的方式决定谁先投篮，抽到谁是等可能的.每次投篮若命中，则继续投篮；若未命中，则换对方投篮.规定两人累计共投3次球，投中次数多的一方获胜，若两人投中次数相同，再抽签决定谁投篮一次，投中为胜，未投中则对方获胜.若甲、乙每次投篮命中的概率分别为，且每次投篮相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．第2个球是甲投的概率为 B．甲只投了1次球获胜的概率为 C．甲投了3次球获胜的概率为 D．在第一次是乙投篮的条件下，甲获胜的概率为 【答案】ABD 【详解】记“抽签抽到甲”，“甲投篮命中”，“抽签抽到乙”，“乙投篮命中”. 对于A，第2个球是甲投的概率为，所以A正确； 对于B，甲只投了1次球获胜的概率为 ，所以B正确； 对于C，甲投了3次球获胜的概率为 ，故C错误； 对于D，在第一次是乙投篮的条件下， 甲获胜的概率为 ，故D正确. 故选：ABD. 10．在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．若的周长为，内切圆半径为，则 C．若，，则有两解 D．若，则外接圆的面积为 【答案】ABC 【详解】在中，由及正弦定理得， 则， 整理得， 即，而，则， 则，而，， 解得，因此，A正确； 对于B，若的周长为6，内切圆半径为，由，得，B正确； 对于C，当时，满足，有两解， 此时，即，有两解，C正确； 对于D，由，得外接圆半径，此圆面积为，D错误. 故选：ABC 11．如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶壁的厚度忽略不计），其中一个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球），E为该球与母线BC的切点.AB，CD分别为铁桶上，下底面的直径，且，，F为的中点，则（  ） A．铁桶的母线长为3 B．铁桶的侧面积为 C．过D，E，F三点的平面与桶盖的交线与直线CD所成角的正切值为 D．桶中另一个球的半径的最大值为 【答案】ACD 【详解】 由题，铁桶的轴截面是上底为4,下底为2的等腰梯形且有内切圆，如上图， 设内切圆半径为，则梯形两腰长为， 梯形面积公式可以用两种方式表示为 ， 故铁桶的母线长为3，A正确； 对于选项B，侧面积公式为，故B不正确； 对于选项C.连接DE交AB于G，连接FG交圆O于M，则FM即为过D，E，F三点的平面与桶盖的交线.，则即为所求角.,所以E为BC的三等分点且靠近C， 由，求得.在中，. 对于选项D.当球与球、桶盖、桶壁均相切时，球的半径最大，设为， 如下图，在轴截面ABCD中，由， 则， 可求得另一个球半径的最大值为. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一组数据，则这组数据的第百分位数是 . 【答案】 【详解】数据小到大排列为：12，25，30，42，50，68共6个数字，， 所以这组数据的第百分位数是第五个数50. 故答案为：50. 13．在中，内角所对的边分别为，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】由利用正弦定理得 ， 因为，所以，所以， 的面积，所以 ， 当且仅当时等号成立，． 故答案为：． 14．在棱长为的正方体，中，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为 ． 【答案】 【详解】取正方体轴线与交点为， 连接并延长，交延长线与， 连接，交于， 连接， 作出图形如图， 由图可知，过点，，的平面截该正方体所得截面为五边形， 则，所以，同理，， 正方体的棱长为，， ， ， 四边形的周长为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知平面向量. (1)若，求向量的坐标； (2)若，求的值； (3)若向量，若与共线，求的值. 【详解】（1）因为，所以，解得，故， 则. （2）因为，所以，则， 则. （3），， 若与共线，则， 解得，即， 故. 16．（15分）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，为做好全省的迎检工作.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试.并从中随机抽取了500名学生的数据.根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.    (1)估计这500名学生健康指数的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现从体质健康指数在区间和内的学生中，用分层抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷，求这3人中恰有2人体质健康指数在区间内的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图平均数计算公式得. （2）区间和内两组学生分别有人，人， 故按照分层抽样抽得区间内的学生人数为4，分别设为，，，， 区间内的学生人数为1，设为， 这5人中选出3人，所有情况有，，，，，，，，，，共有10种情况， 其中选出的恰有2人体质健康指数在区间内有，，，，，共6种情况， 故这3人中恰有2人体质健康指数在区间内的概率为. 17．（15分）在中，角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)已知面积为，为7，求边上中线长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理边化角得 利用三角形内角和定理可得 即 因为所以，即 因为，所以. （2）由得① 由得② 由①②得 由， 得. 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线PC与平面所成角的正弦值； (3)在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为底面是边长为2的正方形，所以， 且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2） 作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 因为，，，所以， 因为平面，平面，所以， 所以在直角三角形中，由勾股定理可得， 所以； （3） 作，交于，连接， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，解得，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，所以. 19．（17分）设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，. (1)设，，计算和； (2)设，，求证：； (3)设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值. 【详解】（1）如下图所示： 由平面向量数量积的坐标运算可得， 则为锐角，且， 结合图形可知，， . （2）不妨设射线、分别为角、的终边，则， 设，，则，， 则 ， 故. （3）以点为坐标原点，直线、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设，由题意知， . 由垂径定理知， ， ， 当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当时等号成立， 综上所述三角形的面积的最大为. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D D D B A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ABC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 50 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）因为，所以，解得，故， 则. （2）因为，所以，则， 则. （3），， 若与共线，则， 解得，即， 故. 16．（15分） 【详解】（1）由频率分布直方图平均数计算公式得. （2）区间和内两组学生分别有人，人， 故按照分层抽样抽得区间内的学生人数为4，分别设为，，，， 区间内的学生人数为1，设为， 这5人中选出3人，所有情况有，，，，，，，，，，共有10种情况， 其中选出的恰有2人体质健康指数在区间内有，，，，，共6种情况， 故这3人中恰有2人体质健康指数在区间内的概率为. 17．（15分） 【详解】（1）因为， 由正弦定理边化角得 利用三角形内角和定理可得 即 因为所以，即 因为，所以. （2）由得① 由得② 由①②得 由， 得. 18．（17分） 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为底面是边长为2的正方形，所以， 且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2） 作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 因为，，，所以， 因为平面，平面，所以， 所以在直角三角形中，由勾股定理可得， 所以； （3） 作，交于，连接， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，解得，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，所以. 19．（17分） 【详解】（1）如下图所示： 由平面向量数量积的坐标运算可得， 则为锐角，且， 结合图形可知，， . （2）不妨设射线、分别为角、的终边，则， 设，，则，， 则 ， 故. （3）以点为坐标原点，直线、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设，由题意知， . 由垂径定理知， ， ， 当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当时等号成立， 综上所述三角形的面积的最大为. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何+概率与统计。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知在复平面内，，复数，对应的点为，，则（   ） A．5 B． C．2 D． 2．某学校有教师人，男学生人，女学生人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为的样本，已知从女学生中抽取的人数为，则的值为（      ） A． B． C． D． 3．已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 4．已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中 ，那么的周长为（    ）    A． B． C． D． 5．若向量和向量满足向量 ，，则向量在向量方向上的投影数量为（    ） A． B． C．1 D．-1 6．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O．若，则的值是（   ） A． B． C． D．2 8．已知三棱锥中，，面面，该三棱锥外接球半径为，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙两人进行投篮游戏，用抽签的方式决定谁先投篮，抽到谁是等可能的.每次投篮若命中，则继续投篮；若未命中，则换对方投篮.规定两人累计共投3次球，投中次数多的一方获胜，若两人投中次数相同，再抽签决定谁投篮一次，投中为胜，未投中则对方获胜.若甲、乙每次投篮命中的概率分别为，且每次投篮相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．第2个球是甲投的概率为 B．甲只投了1次球获胜的概率为 C．甲投了3次球获胜的概率为 D．在第一次是乙投篮的条件下，甲获胜的概率为 10．在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．若的周长为，内切圆半径为，则 C．若，，则有两解 D．若，则外接圆的面积为 11．如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶壁的厚度忽略不计），其中一个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球），E为该球与母线BC的切点.AB，CD分别为铁桶上，下底面的直径，且，，F为的中点，则（  ） A．铁桶的母线长为3 B．铁桶的侧面积为 C．过D，E，F三点的平面与桶盖的交线与直线CD所成角的正切值为 D．桶中另一个球的半径的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一组数据，则这组数据的第百分位数是 . 13．在中，内角所对的边分别为，且，则面积的最大值为 ． 14．在棱长为的正方体，中，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知平面向量. (1)若，求向量的坐标； (2)若，求的值； (3)若向量，若与共线，求的值. 16．（15分） 为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，为做好全省的迎检工作.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试.并从中随机抽取了500名学生的数据.根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.    (1)估计这500名学生健康指数的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现从体质健康指数在区间和内的学生中，用分层抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷，求这3人中恰有2人体质健康指数在区间内的概率. 17．（15分） 在中，角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)已知面积为，为7，求边上中线长. 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线PC与平面所成角的正弦值； (3)在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由. 19．（17分） 设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，. (1)设，，计算和； (2)设，，求证：； (3)设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何+概率与统计。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知在复平面内，，复数，对应的点为，，则（   ） A．5 B． C．2 D． 2．某学校有教师人，男学生人，女学生人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为的样本，已知从女学生中抽取的人数为，则的值为（      ） A． B． C． D． 3．已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 4．已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中 ，那么的周长为（    ）    A． B． C． D． 5．若向量和向量满足向量 ，，则向量在向量方向上的投影数量为（    ） A． B． C．1 D．-1 6．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O．若，则的值是（   ） A． B． C． D．2 8．已知三棱锥中，，面面，该三棱锥外接球半径为，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙两人进行投篮游戏，用抽签的方式决定谁先投篮，抽到谁是等可能的.每次投篮若命中，则继续投篮；若未命中，则换对方投篮.规定两人累计共投3次球，投中次数多的一方获胜，若两人投中次数相同，再抽签决定谁投篮一次，投中为胜，未投中则对方获胜.若甲、乙每次投篮命中的概率分别为，且每次投篮相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．第2个球是甲投的概率为 B．甲只投了1次球获胜的概率为 C．甲投了3次球获胜的概率为 D．在第一次是乙投篮的条件下，甲获胜的概率为 10．在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．若的周长为，内切圆半径为，则 C．若，，则有两解 D．若，则外接圆的面积为 11．如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶壁的厚度忽略不计），其中一个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球），E为该球与母线BC的切点.AB，CD分别为铁桶上，下底面的直径，且，，F为的中点，则（  ） A．铁桶的母线长为3 B．铁桶的侧面积为 C．过D，E，F三点的平面与桶盖的交线与直线CD所成角的正切值为 D．桶中另一个球的半径的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一组数据，则这组数据的第百分位数是 . 13．在中，内角所对的边分别为，且，则面积的最大值为 ． 14．在棱长为的正方体，中，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知平面向量. (1)若，求向量的坐标； (2)若，求的值； (3)若向量，若与共线，求的值. 16．（15分）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，为做好全省的迎检工作.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试.并从中随机抽取了500名学生的数据.根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.    (1)估计这500名学生健康指数的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现从体质健康指数在区间和内的学生中，用分层抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷，求这3人中恰有2人体质健康指数在区间内的概率. 17．（15分）在中，角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)已知面积为，为7，求边上中线长. 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线PC与平面所成角的正弦值； (3)在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由. 19．（17分）设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，. (1)设，，计算和； (2)设，，求证：； (3)设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$