高二数学期末模拟卷（湘教版2019选择性必修第二册）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第二册全部。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设函数满足，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 2．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．用数字4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，在这个数能被5整除的条件下，它能被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在长方体中，设，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 5．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．一口袋中有3个红球和3个白球，从中不放回地取出个，设事件：取出的个球既有红球又有白球，事件：取出的个球最多有一个红球，则（    ） A．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件相互独立 B．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件相互独立 C．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件不相互独立 D．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件不相互独立 7．在长方体中，已知，，点是四边形内（包含边界）的一个动点，若点到平面的距离为1，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C．1 D． 8．设，，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．若y关于x的线性回归方程为，则样本点（1，0.7）的残差为 B．在一组样本数据，，……，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C．数据，，，的平均数为2，方差为12，则 D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的3倍（，其中） 10．如图，在棱长为2的正方体中，且点满足，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面PAC B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线DP与平面所成角为，则 11．已知函数及其导函数定义域均为，且满足，，则下列说法正确的有（    ） A．函数在上单调递增 B．函数存在极小值 C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线在点处的切线的斜率为，则点的坐标为 ． 13．对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量 次．（若，则） 14．在长方体中，．若，点M在长方体内且，则平面ADM截长方体的截面面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在改革开放成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 (1)根据表中数据，建立关于的线性回归方程. (2)根据线性回归方程预测2025年该地区该农产品的年产量. 附：对于一组数据，，…，， 其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，． 16．（15分） 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 17．（15分） 已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，在恒成立，求的取值范围. 18．（17分） 如图所示，四棱锥的底面四边形为直角梯形， ，平面与平面的交线平面. (1)求线段的长度； (2)线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由. 19．（17分） 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在区间上的“拉格朗日中值点”．已知函数（，）是奇函数， (1)当时，求在区间上的“拉格朗日中值点”的个数； (2)已知，若在定义域内有三个不同的极值点，求实数的取值范围； (3)若在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”，求实数的取值范围． 参考数据：． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第二册全部。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设函数满足，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】由导数的定义可得， . 故选：D 2．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知图（1）和图（3）是正相关，故相关系数为正，又因为图（1）的点较图（3）的点分布密集，故相关性图（1）更好，相关系数较大，即； 图（2）和图（4）是负相关，故相关系数为负，又因为图（2）的点较图（4）的点分布密集，故相关性图（2）更好，相关系数的绝对值较大，即，故； 综上可知：， 故选：A. 3．用数字4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，在这个数能被5整除的条件下，它能被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记事件从中任取一个数，这个数能被整除， 记事件从中任取一个数，这个数能被整除， 4、5、6、7、8中能被整除的为，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、， 现考虑无重复数字的三位数能被整除，则所选的三个数应从、选择一个，从、中选择一个，必选， 4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，这个数能被整除，则个位数必然为， 所以， 无重复数字的三位数既能被整除，又能被整除的有：、、、，即， 由条件概率公式可得. 故选：C. 4．如图，在长方体中，设，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】由长方体的性质知，，，，， 所以． 故选：A 5．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递增， 所以对恒成立，所以对恒成立， 即，又，当且仅当，即时取等号， 所以，得到实数a的取值范围是. 故选：C. 6．一口袋中有3个红球和3个白球，从中不放回地取出个，设事件：取出的个球既有红球又有白球，事件：取出的个球最多有一个红球，则（    ） A．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件相互独立 B．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件相互独立 C．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件不相互独立 D．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件不相互独立 【答案】B 【详解】当时，， 则，所以当2时，事件与事件不相互独立； 当时，， 则，所以当时，事件与事件相互独立. 故选：B. 7．在长方体中，已知，，点是四边形内（包含边界）的一个动点，若点到平面的距离为1，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解法一：如图，将，，分别延长至，，， 使得，，，连接， 则平面即平面， 则满足条件的点的轨迹为和平面平行的平面与平面的交线 落在四边形内部（含边界）的部分，不妨设为线段. 由面面平行的性质知，线段与平行.设点到平面的距离为， 连接，则由，得， 解得，连接，则线段在的左侧.不妨设点在线段上，在线段上. 过点分别作，交于点，于点，连接， 作于点，易知，，平面， 从而有平面，作，垂足为，则，， 平面，从而有平面，即点到平面的距离为. 易知，， 因为，所以. 设，则，故，，.由及可得， 解得（舍去）或，故为的中点，所以为的中点， 所以，即点的轨迹的长度为，. 解法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，因为点在平面内， 所以可设， 则，，. 设平面的法向量为，则由，得， 即，取，则， 则点到平面的距离为，所以. 因为点是四边形内（包含边界）的一个动点，所以， 即，由得， 即点的轨迹方程为，. 所以点的轨迹的长度为. 故选：D 8．设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 设，则， 所以在上单调递增， 则，则, 所以，即, 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．若y关于x的线性回归方程为，则样本点（1，0.7）的残差为 B．在一组样本数据，，……，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C．数据，，，的平均数为2，方差为12，则 D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的3倍（，其中） 【答案】BD 【详解】当时，，则残差为，A错误； 若所有样本点（）都在直线上，直线斜率为， 则这组样本数据的线性相关系数为，B正确； 根据题意，， 即， 所以，C错误； 在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍， 则， 所以D正确. 故选：BD 10．如图，在棱长为2的正方体中，且点满足，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面PAC B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线DP与平面所成角为，则 【答案】ACD 【详解】如图以B为原点建立空间直角坐标系，则 . 对于A，，，. 则，得，则， ，因，， 则，又，平面PAC，则平面PAC，故A正确； 对于B，由A分析可得，又， 则，故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面的法向量为，则， 取，可得，又， 则到平面的距离为，故C正确； 对于D，时，，则， 又由C分析可知平面的法向量为， 则， 当，，当，， 因在上单调递减，则， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD 11．已知函数及其导函数定义域均为，且满足，，则下列说法正确的有（    ） A．函数在上单调递增 B．函数存在极小值 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】由已知可得，构造函数， 则， 所以，其中为常数， 所以，可得，故， 所以，解得，故， A选项，函数在上单调递增，A正确； B选项，，令，其中， 则，令，则， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 故，所以函数在上单调递增， 即函数无极值，B错误； C选项，因为，所以， 则， 当且仅当时，等号成立，故C正确； D选项，由，则，，故， 不等式，可化为， 即，即， 由，不等式又可化为， 令，即. 下面证明：任意，. 证明：原不等式， 令，即证， 构造函数，， 则， 故在单调递减，由，则， 故得证. 因此，成立，故D项正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线在点处的切线的斜率为，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】由可得， 由，得，， 所以点M坐标为， 故答案为：. 13．对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量 次．（若，则） 【答案】32 【详解】由误差，得， 由误差在的概率不小于0.9973，得， 因此，解得，于是，解得， 所以至少要测量32次. 故答案为：32 14．在长方体中，．若，点M在长方体内且，则平面ADM截长方体的截面面积为 ． 【答案】 【详解】已知，则， 设 ， 因为， ， ， ， 所以，化简得，得， 即． 又，则 因，则组成一个平面，由可知在线段点在上， 故点在平面内，连接并延长交于点，连接，过点作，交于点，连接， 则矩形即平面截长方体得到的截面. 因，即， ． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在改革开放成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 (1)根据表中数据，建立关于的线性回归方程. (2)根据线性回归方程预测2025年该地区该农产品的年产量. 附：对于一组数据，，…，， 其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，． 【详解】（1）由题意可知：，，………..（2分） ，………..（4分） 所以，………..（6分） 又，………..（7分） 故关于的线性回归方程为. ………..（8分） （2）（2）由（1）可得，当年份为2025年时，年份代码为， 此时. 所以可预测2025年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨. …………..（13分） 16．（15分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 【详解】（1） 的可能取值为 则 ， 所以 的分布列如下： ………..（8分） 0 1 2 3 （2）由（1）可知， . ………..（12分） （3）记“至少取到一个豆沙粽”记为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到” 则. ………..（15分） 17．（15分）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，在恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）由，，， 求导得. ………..（2分） 当，由，解得或；由，解得. 当时，恒成立. 当时，由，解得或；由，解得. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，的在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. ………..（6分） （2）由（1）知，当时，函数在单调递减，在单调递增， 所以. ………..（8分） 令，，得. 令，，得， 所以在单调递减，得， 所以.所以在上单调递减. ………..（13分） 因为且，所以， 则，所以a的取值范围为. ………..（15分） 18．（17分）如图所示，四棱锥的底面四边形为直角梯形， ，平面与平面的交线平面. (1)求线段的长度； (2)线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题设，直线不平行，延长必相交，记交点为，则，， 从而平面平面，即点为平面与平面的一个公共点， 又点也为平面与平面的一个公共点，根据基本事实3，知直线即为直线，且点即为点， 由题设，，所以平面， 所以，且易知，所以. ………..（5分） （2）如图，以为原点，方向､方向､方向分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 如图，由，则. 则各点坐标为：，………..（8分） 假设存在点，设，则点的坐标为. 设和分别为平面和平面的法向量. ，即， 令，得 ， ，即， 令，得：， 平面平面，………..（13分） 所以， 又，设平面PCD的法向量为， 则,即，令，则， 所以直线与平面所成角的正弦值. ………..（17分） 19．（17分）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在区间上的“拉格朗日中值点”．已知函数（，）是奇函数， (1)当时，求在区间上的“拉格朗日中值点”的个数； (2)已知，若在定义域内有三个不同的极值点，求实数的取值范围； (3)若在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”，求实数的取值范围． 参考数据：． 【详解】（1）因为函数是奇函数， 所以，即， 所以，所以． 所以当时，，所以， 由题意知即求方程在上的实根个数，………..（2分） 令，则， 所以当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增． 所以， 又，， 所以由函数零点存在定理知，，，使得，． 所以当时，在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为2．………..（5分） （2）由题知，即，其定义域为， 则，． 令，得或， 设，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减， 又当时，；当时，，且， 所以的大致图象如图所示． 因为在定义域内有三个不同的极值点， 所以与有两个不同的交点，所以． ………..（10分） （3）由（2）得，由， 令，则，，． ①若，则，所以单调递减， 因为在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”， 所以即解得． ②若，当时，，在上单调递增， 则即，解得； 当时，，在上单调递减， 则，即，解得． 当时，令得．当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， ………..（13分） 所以， 令，则， 令，得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，即． 由题意知或，结合，解得或． 综上，若在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”， 则实数的取值范围为． ………..（17分） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A C A C B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 32 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由题意可知：，，………..（2分） ，………..（4分） 所以，………..（6分） 又，………..（7分） 故关于的线性回归方程为. ………..（8分） （2）（2）由（1）可得，当年份为2025年时，年份代码为， 此时. 所以可预测2025年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨. …………..（13分） 16．（15分） 【详解】（1） 的可能取值为 则 ， 所以 的分布列如下： ………..（8分） 0 1 2 3 （2）由（1）可知， . ………..（12分） （3）记“至少取到一个豆沙粽”记为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到” 则. ………..（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由，，， 求导得. ………..（2分） 当，由，解得或；由，解得. 当时，恒成立. 当时，由，解得或；由，解得. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，的在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. ………..（6分） （2）由（1）知，当时，函数在单调递减，在单调递增， 所以. ………..（8分） 令，，得. 令，，得， 所以在单调递减，得， 所以.所以在上单调递减. ………..（13分） 因为且，所以， 则，所以a的取值范围为. ………..（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由题设，直线不平行，延长必相交，记交点为，则，， 从而平面平面，即点为平面与平面的一个公共点， 又点也为平面与平面的一个公共点，根据基本事实3，知直线即为直线，且点即为点， 由题设，，所以平面， 所以，且易知，所以. ………..（5分） （2）如图，以为原点，方向､方向､方向分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 如图，由，则. 则各点坐标为：，………..（8分） 假设存在点，设，则点的坐标为. 设和分别为平面和平面的法向量. ，即， 令，得 ， ，即， 令，得：， 平面平面，………..（13分） 所以， 又，设平面PCD的法向量为， 则,即，令，则， 所以直线与平面所成角的正弦值. ………..（17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为函数是奇函数， 所以，即， 所以，所以． 所以当时，，所以， 由题意知即求方程在上的实根个数，………..（2分） 令，则， 所以当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增． 所以， 又，， 所以由函数零点存在定理知，，，使得，． 所以当时，在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为2．………..（5分） （2）由题知，即，其定义域为， 则，． 令，得或， 设，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减， 又当时，；当时，，且， 所以的大致图象如图所示． 因为在定义域内有三个不同的极值点， 所以与有两个不同的交点，所以． ………..（10分） （3）由（2）得，由， 令，则，，． ①若，则，所以单调递减， 因为在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”， 所以即解得． ②若，当时，，在上单调递增， 则即，解得； 当时，，在上单调递减， 则，即，解得． 当时，令得．当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， ………..（13分） 所以， 令，则， 令，得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，即． 由题意知或，结合，解得或． 综上，若在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”， 则实数的取值范围为． ………..（17分） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第二册全部。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设函数满足，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 2．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．用数字4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，在这个数能被5整除的条件下，它能被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在长方体中，设，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 5．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．一口袋中有3个红球和3个白球，从中不放回地取出个，设事件：取出的个球既有红球又有白球，事件：取出的个球最多有一个红球，则（    ） A．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件相互独立 B．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件相互独立 C．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件不相互独立 D．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件不相互独立 7．在长方体中，已知，，点是四边形内（包含边界）的一个动点，若点到平面的距离为1，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C．1 D． 8．设，，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．若y关于x的线性回归方程为，则样本点（1，0.7）的残差为 B．在一组样本数据，，……，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C．数据，，，的平均数为2，方差为12，则 D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的3倍（，其中） 10．如图，在棱长为2的正方体中，且点满足，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面PAC B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线DP与平面所成角为，则 11．已知函数及其导函数定义域均为，且满足，，则下列说法正确的有（    ） A．函数在上单调递增 B．函数存在极小值 C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线在点处的切线的斜率为，则点的坐标为 ． 13．对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量 次．（若，则） 14．在长方体中，．若，点M在长方体内且，则平面ADM截长方体的截面面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在改革开放成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 (1)根据表中数据，建立关于的线性回归方程. (2)根据线性回归方程预测2025年该地区该农产品的年产量. 附：对于一组数据，，…，， 其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，． 16．（15分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 17．（15分）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，在恒成立，求的取值范围. 18．（17分）如图所示，四棱锥的底面四边形为直角梯形， ，平面与平面的交线平面. (1)求线段的长度； (2)线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由. 19．（17分）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在区间上的“拉格朗日中值点”．已知函数（，）是奇函数， (1)当时，求在区间上的“拉格朗日中值点”的个数； (2)已知，若在定义域内有三个不同的极值点，求实数的取值范围； (3)若在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”，求实数的取值范围． 参考数据：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$