高一数学期末模拟卷（湘教版2019必修第二册）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第二册全部。 5．难度系数：0.61。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，，且与方向相反，则x的值为（   ）． A．2 B． C． D．0 4．如图所示，三个边长为的正方形相连，若，，则（   ） A． B． C． D．1 5．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知在四棱锥中，平面，，，为等边三角形，则平面与三棱锥的外接球球面的交线长为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件 C．事件 与 相互独立 D． 10．已知在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．的周长为12 B．角的最大值为 C．的面积最小值为 D．的面积最大值为 11．已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上的投影向量为 B．当时， C．当时， D．的最大值为0 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则 . 13．已知，均为锐角，且，，则的值是 ． 14．在正三棱锥中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知复数，，且是纯虚数. (1)求的值及； (2)设复数，在复平面上对应的点为，，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数. 16．（15分） 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 17．（15分） 如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 18．（17分） 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求与平面所成的角； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．（17分） 设是直线外一点，点在直线上（点与点、任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记 在中，角、、的对边分别是、、，点在射线上. (1)若是的中点，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若， 由点对施以视角运算， 求的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第二册全部。 5．难度系数：0.61。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由题意在在复平面内对应的点，位于第一象限. 故选：A. 2．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子共有种不同的结果， 向上的点数之和为4的倍数， 共有（1，3），（3，1），（2，2），（3，5），（5，3），（2，6），（6，2），（4，4），（6，6），共9种情况， 所以概率为． 故选：B． 3．已知平面向量，，且与方向相反，则x的值为（   ）． A．2 B． C． D．0 【答案】B 【详解】由向量，共线，得，解得， 当时，，与方向相同，不符合题意； 当时，，与方向相反，符合题意， 所以x的值为. 故选：B 4．如图所示，三个边长为的正方形相连，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由图知，则. 故选：A. 5．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，则，或，故A错误；     对于B，若，，则，或与相交，故B错误； 对于C，若，，则与相交，或，或，故C错误；     对于D，若，，则，故D正确. 故选：D. 6．将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心， 故该四面体的外接球体积， 又，平面AOC，， 所以平面AOC， 二面角的大小为，， , 故所求体积之比为， 故选：D． 7．如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图所示）， 则， 因为， 则点D在线段（不含端点）上， 设，则， 所以， 所以当时，取得最小值， 当时，， 故的取值范围为. 故选：A． 8．已知在四棱锥中，平面，，，为等边三角形，则平面与三棱锥的外接球球面的交线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 则为三棱锥的外接球的直径， 平面，平面，所以， ，由勾股定理得． 取为的中点，过作，为垂足，， 平面，平面，所以， 又，平面，故平面， 因为为等边三角形，且，则 ， 所以到平面的距离 ， 故平面与三棱锥的外接球球面的交线为圆， 且圆的半径满足，解得，故其周长为 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件 C．事件 与 相互独立 D． 【答案】ABD 【详解】依题意，，，. 对于A，因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件与 是互斥事件，即A正确； 对于B，因“至少 1 人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，即B正确； 对于C，依题意，因，则，而，故事件 与 不相互独立，即C错误； 对于D，因，故，故D正确. 故选：ABD. 10．已知在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．的周长为12 B．角的最大值为 C．的面积最小值为 D．的面积最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，由根据正弦定理得 的周长为，选项A正确； 对于B，因为，由余弦定理， 因为，当且仅当等号成立，所以，选项B正确； 对于C，，当角接近0时，的面积也接近0，所以选项C错误； 对于D，，由得在时取得最大值， 故在时取得最大值，选项D正确． 故选：ABD. 11．已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上的投影向量为 B．当时， C．当时， D．的最大值为0 【答案】BCD 【详解】由题设，是边长为2的等边三角形，且， A：当时，，又，即，故在上的投影向量为，错； B：当时，，即在中边的中线上， 又为等边三角形，故，即，对； C：当时，，则， 所以， 所以，即，又，故（负值舍），对； D： , 由，即①， 所以 ，要使该值最大，只需最小， 由①得，则，所以，对. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则 . 【答案】 【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得. 故答案为： 13．已知，均为锐角，且，，则的值是 ． 【答案】/ 【详解】∵β为锐角，且，∴，， 故， ∴，， 又， ∴. 故答案为： . 14．在正三棱锥中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：， 则， 可知， 因为三棱锥为正三棱锥，则点在底面内的投影为底面的中心， 取的中点，则，， 设点在平面、平面和平面内的投影分别为、和， 根据正三棱锥的结构特征，可以以为邻边作长方体， 则平面，平面，则，即， 同理可知：， 由长方体的性质可知：， 可得，即， 又因为平面，平面， 则，可得， 可知点在以点为圆心，半径的圆上， 因为，可知与圆相交， 设圆与交于两点，则， 可知为等边三角形，则， 结合对称性可知点运动路径的长度为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知复数，，且是纯虚数. (1)求的值及； (2)设复数，在复平面上对应的点为，，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数. 【详解】（1）因为，所以，… ….(1分) 所以，… ….(4分) 因为是纯虚数，所以，解得，… ….(5分) 所以，则，所以，… ….(7分) （2）复数，在复平面上对应的点为，，则，… ….(9分) 因为四边形是复平面内的平行四边形， 所以，所以，… ….(12分) 则点对应的复数为. …………….(13分) 16．（15分）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【详解】（1）（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. … ….(2分) （2）(2) 平均数为 … ….(4分) 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. … ….(7分) （3）（3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. … ….(9分) 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种，… ….(14分) 所以至少有一人的年龄在内的概率为. … ….(15分) 17．（15分）如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 【详解】（1）解：因为， 可得， … ….(2分) 可得， 所以，可得， 又因为，可得， … ….(5分) 所以，因为，所以. … ….(6分) （2）解：因为，可得且， … ….(7分) 由正弦定理得，可得，… ….(9分) 则，… ….(11分) 在锐角三角形中，可得 ，可得，可得，… ….(12分) 所以，所以，所以，… ….(14分) 所以的取值范围为. … ….(15分) 18．（17分）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求与平面所成的角； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【详解】（1）如图，在梯形中，连接，因为是的中点， 所以，又因为 ，且， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，平面，… ….(3分) 因为平面， 则有，又平面， 所以平面， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知， 所以是正三角形，所以平分，所以， 所以与平面所成的角为. … ….(8分) （2）猜测当点为的中点时， 平面，… ….(9分) 证明如下： 取的中点，连接， 在中，分别为的中点， 所以且，又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，… ….(14分) 因为平面，平面， 所以平面. 所以当点为的中点时，平面，此时. … ….(17分) 19．（17分）设是直线外一点，点在直线上（点与点、任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记 在中，角、、的对边分别是、、，点在射线上. (1)若是的中点，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若， 由点对施以视角运算， 求的最小值. 【详解】（1） 由定义可知：， … ….(1分) 在三角形中，，即， 在三角形中，，即，… ….(3分) 因为是的中点，且，所以 … ….(5分) （2）因为点在射线上，，且， 所以在线段外，且， 所以，所以， … ….(7分) 在中，由余弦定理可得， 即，解得（负值已舍去），所以， 所以的周长为. … ….(10分) （3）因为，所以，则， 因为，所以， … ….(12分) 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为. … ….(17分) 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第二册全部。 5．难度系数：0.61。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，，且与方向相反，则x的值为（   ）． A．2 B． C． D．0 4．如图所示，三个边长为的正方形相连，若，，则（   ） A． B． C． D．1 5．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知在四棱锥中，平面，，，为等边三角形，则平面与三棱锥的外接球球面的交线长为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件 C．事件 与 相互独立 D． 10．已知在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．的周长为12 B．角的最大值为 C．的面积最小值为 D．的面积最大值为 11．已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上的投影向量为 B．当时， C．当时， D．的最大值为0 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则 . 13．已知，均为锐角，且，，则的值是 ． 14．在正三棱锥中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知复数，，且是纯虚数. (1)求的值及； (2)设复数，在复平面上对应的点为，，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数. 16．（15分） 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 17．（15分） 如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 18．（17分） 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求与平面所成的角； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．（17分） 设是直线外一点，点在直线上（点与点、任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记 在中，角、、的对边分别是、、，点在射线上. (1)若是的中点，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若， 由点对施以视角运算， 求的最小值. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B A D D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． / 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）因为，所以，… ….(1分) 所以，… ….(4分) 因为是纯虚数，所以，解得，… ….(5分) 所以，则，所以，… ….(7分) （2）复数，在复平面上对应的点为，，则，… ….(9分) 因为四边形是复平面内的平行四边形， 所以，所以，… ….(12分) 则点对应的复数为. …………….(13分) 16．（15分） 【详解】（1）（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. … ….(2分) （2）(2) 平均数为 … ….(4分) 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. … ….(7分) （3）（3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. … ….(9分) 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种，… ….(14分) 所以至少有一人的年龄在内的概率为. … ….(15分) 17．（15分） 【详解】（1）解：因为， 可得， … ….(2分) 可得， 所以，可得， 又因为，可得， … ….(5分) 所以，因为，所以. … ….(6分) （2）解：因为，可得且， … ….(7分) 由正弦定理得，可得，… ….(9分) 则，… ….(11分) 在锐角三角形中，可得 ，可得，可得，… ….(12分) 所以，所以，所以，… ….(14分) 所以的取值范围为. … ….(15分) 18．（17分） 【详解】（1）如图，在梯形中，连接，因为是的中点， 所以，又因为 ，且， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，平面，… ….(3分) 因为平面， 则有，又平面， 所以平面， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知， 所以是正三角形，所以平分，所以， 所以与平面所成的角为. … ….(8分) （2）猜测当点为的中点时， 平面，… ….(9分) 证明如下： 取的中点，连接， 在中，分别为的中点， 所以且，又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，… ….(14分) 因为平面，平面， 所以平面. 所以当点为的中点时，平面，此时. … ….(17分) 19．（17分） 【详解】（1） 由定义可知：， … ….(1分) 在三角形中，，即， 在三角形中，，即，… ….(3分) 因为是的中点，且，所以 … ….(5分) （2）因为点在射线上，，且， 所以在线段外，且， 所以，所以， … ….(7分) 在中，由余弦定理可得， 即，解得（负值已舍去），所以， 所以的周长为. … ….(10分) （3）因为，所以，则， 因为，所以， … ….(12分) 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为. … ….(17分) 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$