专题03 第七章 统计案例（考点串讲，4大考点&8大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（北师大版2019）

北师大版（2019）高二数学下学期·期末大串讲 专题03 第七章 统计案例 （ 4考点&8 题型） 北师大版2019 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 清单01 相关系数 （1）样本相关系数 现实生活中的数据，由于度量对象和单位的不同等，数值会有大有小，为了去除这些因素的影响，统计学里一般用来衡量与的线性相关性强弱，我们称为变量和变量的样本相关系数. （2）相关系数的性质 ①当时，称成对样本数据正相关;当时，成对样本数据负相关；当时，成对样本数据间没有线性相关关系. ②样本相关系数的取值范围为 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强; 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 清单02 一元线性回归模型 回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征； 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估计,其中称为回归系数，它实际上也就是经验回归直线的斜率，为截距. 其中 清单03 决定系数 （1）残差平方和 残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差. （2）决定系数 决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力. ，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差. （3）决定系数与相关系数的联系与区别 ①相关系数反映两个变量的相关关系的强弱及正相关或负相关，决定系数反映回归模型的拟合效果. ②在含有一个解释变量的线性模型中，决定系数的数值是相关系数的平方，其变化范围为，而相关系数的变化范围为. ③当相关系数接近于1时，说明两变量的相关性较强，当接近于0时，说明两变量的相关性较弱；而当接近于1时，说明经验回归方程的拟合效果较好. 清单04 独立性检验 (1)独立性检验定义: 利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称独立性检验． (2)独立性检验公式： 其中（注意使用公式时分子的平方不要忽略了） 根据散点图可知：第（1）（2）呈正相关，第（3）（4）组数据呈现负相关，但显然第（4）组相关系数更小， 故选：D 【考点题型一】相关系数的意义 【例1】（23-24高二下·浙江宁波·期末）给出四组成对数据：（1）；（2）；（3）；（4），其中样本相关系数最小的是（    ）（提示：样本相关系数） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】D 【详解】分别作出四组数据的散点图， 【详解】（1）由题可知，； 【考点题型二】样本相关系数的计算 【例2】（24-25高二下·广东深圳·期中）深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值. ， 故； 因为与的相关系数的绝对值近似为，大于且非常接近， 说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系. (2)计算与的相关系数；判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：，. 参考公式：相关系数.若，则与的线性相关性很强. （2）因为， (1)求m的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值； 【详解】（1）∵，， ∴. 则，解得 8月份对应的残差值. 【考点题型三】样本相关指数计算 【例3】（23-24高二·全国·课后作业）现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本(单位：万元)和企业利润的数据(单位：万元)如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 物流成本x 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 利润y 114 116 106 122 132 114 m 132 残差 0.2 0.6 1.8 －3 －1 －4.6 －1 根据最小二乘法公式求得经验回归方程为. ∴线性回归模型拟合程度更好. (2)请先求出线性回归模型的决定系数(精确到0.0001)，若根据非线性模型求得解释变量(物流成本)对于响应变量(利润)的决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好. （2）， 则， 去除偏离点后，剩余数据的中心点为， 则，， 将点的坐标代入回归直线方程，可得，解得 ，所以，新的回归直线方程为，当时，， 所以，去除偏离点后，相应于样本点的残差值为. 【考点题型四】残差有关计算 故答案为：. 【例4】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为 . 【答案】 【详解】由于回归直线过样本中心点，当时，， 相关系数 参考数据：． 【详解】（1）易知， 因为，， ， 【考点题型五】一元线性回归模型 因为 所以该经验回归方程的拟合效果非常好． 【例5】（2025·甘肃白银·三模）某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据． 10 20 30 40 50 650 640 600 590 580 (1)一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由． 因为， 所以，故所求的经验回归方程为． 当时，， 所以冷却速率为时，该金属的凝固点温度为． (2)请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度． 参考公式：； （2）由（1）知，由， 呈线性变化，不适宜作为回归模型，故更适宜作为回归模型； 【考点题型六】非线性回归模型 【例6】（山东省潍坊市2024-2025学年高二下学期诊断性调研监测数学试题）某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数． (1)利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） 【详解】（1）更适宜作为回归模型，理由如下： 从散点图可以看出，剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）不呈线性变化，减小速度越来越慢， （2）（i）两边取对数得， 由于， 故， ， 即，故， (2)在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； 45 12.02 1.55 20.20 285 45.07 3.42 参考公式：． ， 故会报警提示. （ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由． 参考数据：记 （ⅱ）会报警提示，理由如下： 中，令得 A．认为“爱好该项运用与性别有关”，犯错误的概率不超过0.01 B．认为“爱好该项运用与性别无关”，犯错误的概率不超过0.01 C．认为“爱好该项运动与性别有关”，犯错误的概率不超过0.001 D．认为“爱好该项运动与性别无关”，犯错误的概率不超过0.001 【答案】A 【详解】由公式， 由可知，认为“爱好该项运动与性别有关”， 犯错误的概率不超过0.01． 【考点题型七】独立性检验的基本思想 故选：A 【例7】（24-25高二下·全国·课后作业）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 运动 性别 总计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 下列结论正确的是（   ） 【详解】（1）由表中的数据知，， ， ， ，，， 不满意人数y与月份x之间的经验回归方程为， 【考点题型八】独立性检验解决实际问题 当x＝8时，， 所以预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数为55. 【例8】（24-25高二下·江苏南京·期中）某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计了2024年1月至5月对该家服装店不满意的客户人数如下： 月份x 1 2 3 4 5 不满意的人数y 120 105 100 95 80 (1)通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数y与月份x之间存在线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数； 所以有99%的把握认为满意度与性别有关. (2)工作人员从这5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查100人，调查满意度与性别的关系，得到下表，能否有99%的把握认为满意度与性别有关? （2）零假设：服务满意度与性别无关， 由表中的数据得， 此方程在样本点处的残差为． 故答案为： 1．（2026高三·全国·专题练习）某学校女高中生的体重y（kg）关于身高x（cm）的经验回归方程是，则此方程在样本点处的残差是 ． 【答案】 【详解】由题意得， 当时，， 【详解】由题意，列出列联表： 接受 不接受 合计 男 40 60 100 女 20 80 100 合计 60 140 200 零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关， 所以， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 1．（2025·甘肃金昌·二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（    ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 【答案】B 因此，关于的经验线性回归方程是. 故答案为：. 2．（24-25高二下·福建莆田·期中）为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了组观察值．计算知，，，，则关于的经验线性回归方程是 ．附：， 【答案】 【详解】由题干中的数据可得，， 所以，，则. ． ,， 即所求的经验回归方程为． 3．（24-25高二·全国·课堂例题）下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表： 平均气温/℃ －1 4 10 13 18 26 数量／万个 0.2 0.24 0.34 0.38 0.5 0.64 若已知游客数量与平均气温是线性相关的，求经验回归方程. 【答案】 【详解】， ， ， $$