专题02 第二章 导数及其应用（考点串讲，14大考点&29大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（北师大版2019）

北师大版（2019）高二数学下学期·期末大串讲 专题02 第二章 导数及其应用 （ 14考点& 29题型） 北师大版2019 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 函数的平均变化率  考点透视 清单03 导数的几何意义  考点透视 清单04 曲线的切线问题  考点透视 考点透视 清单06 含参问题单调性讨论  考点透视 清单07 函数的极值  考点透视 清单08 函数的最大（小）值  考点透视 清单09 函数的最值与极值的关系  考点透视 清单10 分离参数法 考点透视 清单11 等价转化法  考点透视 清单12 最值定位法  考点透视 考点透视 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 清单13 函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 清单14 函数零点判断 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 . 故选：A 【考点题型一】求平均变化率 【例1】（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）如果质点M的运动方程是，那么在时间段内的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得平均速度是 故选：D 【考点题型二】求瞬时变化率 【例2】（24-25高二下·北京·期中）一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则时，其速度（单位：m/s）为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【详解】由题设，则，即时，其速度（单位：m/s）为2. 而，故. 故选：C. 【考点题型三】导数概念中极限的简单计算 【例3】（24-25高二下·吉林松原·期中）设函数，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由求导，可得：. 故切点坐标为， ， 切点处的导数值为切线的斜率，所以 用点斜式写出切线方程：， 整理得：. 【考点题型四】求在某一点出切线 故答案为： 【例4】（24-25高二下·天津南开·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】因为函数，所以， 则所求的切线方程为：， 即 【考点题型五】求过某一点处切线 【例5】（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程. 【详解】（1）由， 则，， 切线方程为： 又在切线上，则，得. 所以的方程为：， 即 (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. （2）由，设切点为， 则， 函数在处的切线的导数即为切线的斜率为， 且切线与直线平行， 则有 ，可得 . 【考点题型六】已知切线求参数 【例6】（24-25高二下·河南·期中）函数在处的切线与直线平行，则实数（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】函数的导函数为 ， 由，得， 所以. 故答案为：2 【考点题型七】已知某点处的导数值求参数 【例7】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设函数，若，则 ． 【答案】2 【详解】函数，求导得， 对B，因为是常数．所以，选项B错误： 对C，根据基本初等函数及导数的求导法则知，，选项C正确： 选项，选项D错误． 【考点题型八】导数的加减乘除，复合运算 【例8】（多选）（24-25高二下·河南·期中）下列求导数的运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对A，根据基本初等函数及导数的求导法则知，，选项A正确： 则，所以切线方程为， 将代入化简得， 因为过点的切线有两条，所以得到方程有两个不同的实数解， 所以，且，解得或， 即实数的取值范围为. 【考点题型九】已知切线的条数求参数 则实数的值可以为和，故C，D正确. 【例9】（多选）（23-24高二下·河北唐山·期中）已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】设切点为，直线的斜率为，又， 易知公切线的斜率存在，对求导得， 可得公切线的斜率， 所以公切线方程为，即①. 对求导得， 所以公切线方程为， 【考点题型十】公切线问题 即②. 由①②得所以， 令，，所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以， 所以公切线方程为，即. 故答案为： 【例10】（2025·辽宁·模拟预测）曲线与曲线的公切线方程为 . 【答案】 【详解】设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 因为，所以切线方程为，即. （2）由已知可得. 令，解得或， 所以的单调增区间为和. 【考点题型十一】求已知函数（不含参）的单调区间 【例11】（24-25高二下·北京·期中）已知函数，求： (1)函数的图象在点处的切线方程； (2)求的单调递增区间． 【详解】（1）因为，所以， 所以函数的图象在点处的切线斜率， 因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立， 即，分离参数可得， 因为函数在上单调递减，所以，则. 【考点题型十二】已知函数在区间上单调，求参数 【例12】（24-25高二下·北京·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【详解】由题意，函数求导可得， ∴， 若在区间内存在单调递增区间，则有解， 故， 令，则在单调递增， ， 【考点题型十三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数 故. 【例13】（2025高二·全国·专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， 则在区间上有零点， 所以，得（舍）， 故，使得函数在上递减，在上递增， 所以实数a的取值范围为. 【考点题型十四】已知函数在区间上不单调，求参数 【例14】（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在区间上不单调， 当时，，在上单调递减. 【考点题型十五】导函数有效部分是一次型或可化为一次型 【例15】（2025·江西·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调区间； 【详解】（1），，令，得． 当时，，在上单调递增； 若时，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 当时，若时，，故在上单调递增， 若时，，令得或， 令得， 【考点题型十六】导函数有效部分是二次型或可化为二次型 故在，上单调递增，在上单调递减； 若时，，令得或， 令得， 故在，上单调递增，在上单调递减； 【例16】（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； 【详解】（1）的定义域为， 故， 当时，，，函数在上单调递增； 当时，，方程的二根为， 当时，，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，由，得；由，得， 【考点题型十七】导函数有效部分是不可因式分解的二次型 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数递增区间为； 当时，函数递增区间为，递减区间为； 当时，函数递增区间为，递减区间为. 【例17】（24-25高二下·江西宜春·期中）已知函数 . (1)求函数的单调区间. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得，方程中，， 所以，解得. （2）由（1）知，， 则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 【考点题型十八】求函数极值（点） 当时，，函数单调递增； 故的极大值为，极小值为. 【例18】（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数在处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求的极值. 【详解】（1）由已知可得 由直线的斜率为， 令，则. 当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， ，即时，，得证. 【考点题型十九】已知函数极值（点）求参数 【例19】（2025·江西·模拟预测）已知函数. (1)当时，证明：； 【详解】（1）函数的定义域为，当时，. 要证，只需证：当时，. ①当时，在上无极值点，不符合题意； ②当时，，即在上单调递减，且. 取，其中. 显然，， 则. 由根的存在性定理可知，存在唯一的，使得. 当时，，即；当时，，即. 此时在区间上有且仅有一个极值点，满足题意. 综上，. (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. （2）， 令， 所以，即，所以，则，且， 所以l的方程为，则. 【考点题型二十】函数最值问题 【例20】（24-25高三上·江西·期末）已知函数. (1)若，过原点的直线l与的图象相切，求l的方程； 【详解】（1）当时，，则， 设过原点的直线l与的图象在处相切，则切线斜率， 设，易知在上单调递减， 且， 存在，使得，即，所以， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，则的最大值为4. (2)若，求的最大值. （2）当时，且， 所以， 【考点题型二十一】根据函数最值求参数 【例21】（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值； 【详解】（1）因为，所以． 依题意，解得． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为，，所以当时，，即； 当时，，即． 所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，在上的最小值为，解得，舍去． 当时，在上的最小值为，解得， 此时，，， 即当时，符合题意． (2)当时，的值域为，求的值． （2）由（1）可得，则． 令函数，则． 当时，，单调递增；当时，，单调递减 又，所以曲线在处的切线方程为，即的图象与轴相切． 【考点题型二十二】借助分离变量法解决恒成立问题 【例22】（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知函数． (1)证明：的图象与轴相切； 【详解】（1）的定义域为， 所以，令，解得， 当时，由，解得或；由，解得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得函数在上单调递增； 当时，由，解得；由，解得， 所以函数在上单调递增，在（0，1）上单调递减． (2)设． （i）当时，求函数的单调区间； （2）（i）， ． 当时，由，解得或；由，解得， 所以函数在（0，1）和上单调递增，在上单调递减； 令，则， 所以函数在上单调递减， 又，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 又，得， 则， 所以，即实数的取值范围为． （ii）若在上恒成立，求实数的取值范围． （ii）在上恒成立可转化为， 设，则． 当时，，即单调递增，当时，，即单调递减， 且，，，当时，， 则，， 如图，直线过定点，且，则，， 若存在唯一的整数，使得， 【考点题型二十三】借助分离变量法解决能成立（有解）问题 则，即. 【例23】（24-25高二下·福建·期中）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，即， 令，则， 【考点题型二十四】借助分类讨论法解决恒成立问题 【例24】（24-25高二下·北京顺义·期中）已知函数切线方程为 (1)求切点坐标； 【详解】（1）设切点为，由，则，所以， 依题意，解得，所以切点为； 当时，， 当时恒成立， 所以在上单调递增，时，，所以，不符合题意； 当时，令，解得， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则，即，解得； 综上可得，则最大值为. (2)若对任意，都有恒成立，求最大值． （2）令，，依题意即对任意的恒成立， 当时恒成立，符合题意； 则在上单调递增，. ，则， 因为，所以在上恒成立， 则在上单调递减，. 由题意对任意的，总存在，使得， 【考点题型二十五】最值定位法解决双参不等式问题 则，则. 故答案为：. 【例25】（24-25高二下·吉林延边·期中）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 . 【详解】由题可知，，， 令，则，，则， 所以的最小值为4，显然， 又，当且仅当时取等号，则，即， 所以，经检验满足题设，故； 【考点题型二十六】等价转化法解决问题 【例26】（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； 【详解】（1）由题设， 所以恒成立，则，又， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，故. (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． （2）由题设，即在R上恒成立， 令，则， 若存在，使得的图象在处的切线过原点， 则切线斜率，得到， 整理得，设，则， 所以在区间上单调递增，， 又，时，，故的取值范围是. 【考点题型二十七】讨论函数零点（方程的根）的个数 【例27】（2025·江西·模拟预测）已知函数. (1)若存在，使得的图象在处的切线过原点，求的取值范围； 【详解】（1）由题意得定义域为， 因为，所以， 所以由零点存在性定理得存在，使得，即， 则，得到， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 得到， 又时，，时，，故有两个零点. (2)若，判断的零点个数. （2）当时，， 则， 设，则在区间上单调递减， 且，，得到， 在递减，在上递增， 所以函数极大值为， 极小值为． 【考点题型二十八】证明函数零点（方程的根）的唯一性 【例28】（2024·江西南昌·一模）已知函数，f(x)=-mx2-m+ln(1-m)，(m<1)． （Ⅰ）当m=时，求f(x)的极值； 【详解】（Ⅰ） ，则在递增， ②当时，在单调递增， 在单调递减，在单调递增， ， 令，， 显然单调递减，有，即， 则只有一个零点，符合题意； ③当时，在单调递增， 在单调递减，在单调递增， ，，由②构造的函数知， ， 则只有一个零点，符合题意． 综上所述，时，函数有且只有一个零点． （Ⅱ）证明：函数f(x)有且只有一个零点． （Ⅱ） ①当时，， 只有一个零点0，符合题意； 由可知，等价于. 设函数，，因为，在内单调递增， 所以在内单调递增. 因为，， 所以在内存在唯一零点， 所以有唯一实数解. 【考点题型二十九】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根） 【例29】（2025·江西宜春·一模）已知函数. (1)已知的导函数为，证明：有唯一实数解. 【详解】（1）证明：的定义域为. . 因为，所以，，. ，即. ， 令，得，令，得，令，得， 所以. 因为，，，所以， 所以，解得，所以m的取值范围为. (2)若函数，，，，求m的取值范围. （2）由（1）知，当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以. 当时，， 令，解得；令，解得或， 所以在区间上单调递减，在区间单调递增， 此时，在处函数取得极大值，符合题意， 综上可得，实数的值为. 1．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在处取得极大值，则实数的取值为（   ） A．或1 B．2或 C． D．1 【答案】C 【详解】由函数，可得， 因为是函数的极值点，可得， 即，解得或， 当时，， 令，解得或；令，解得， 所以在区间上单调递增，在区间单调递减， 此时，在处函数取得极小值，不符合题意，舍去； 又曲线的切线与直线垂直， 可得，所以， 解得． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，求导得， 即，即曲线在处的切线斜率为． 经检验满足题意. 故. 2．（山东省潍坊市2024-2025学年高二下学期诊断性调研监测数学试题）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【详解】函数， 则， 因为在处取极值， 所以，解得：， 即在区间上恒成立， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增，又，， 因此的取值范围是. 3．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 故在上单调递增，故， 即， 令，，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，当时，， 即有，故，即实数a的最大值是. 故答案为：. 4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数，若在上存在零点，则实数a的最大值是 ． 【详解】由，在存在零点， 即在上有解， 令，，则恒成立， 所以当时，函数取得极大值，也是最大值为， 当时，，时，， 函数的图像如图所示， 可得，所以实数m的取值范围为． 5．（22-23高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求实数m的取值范围； 【详解】（1）函数有两个零点，相当于函数的图像与直线有两个交点． 函数，则， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 即当时，不等式仅有一个整数解． 所以实数的取值范围是. (2)若不等式仅有一个整数解，求实数a的取值范围． （2）因为，所以不等式仅有一个整数解， 即只有一个整数解，因为的极大值为，，， 所以当时，只有一个整数解， $$