专题01 第一章 数列（考点串讲，17大考点&26大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（北师大版2019）

北师大版（2019）高二数学下学期·期末大串讲 专题01 第一章 数列 （ 17考点& 26题型） 北师大版2019 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 清单01 等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 清单02 等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . 清单03 等差数列判断（证明）方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 清单04 等差数列性质 ① ②若，则（特别的，当，有） 清单05 等差数列前N项和 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 清单06 等差数列前n项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 清单07 等比数列概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 清单08 等比数列判断与证明 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 清单09 等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 清单10 等比数列前n项和 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 清单11 等比数列前n项和性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 清单12 累加法 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 清单13 累乘法 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 清单14数列求通项（法） 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 清单15 构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 清单16 倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 清单17 裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 对于选项B，若为等差数列，取，则，不是常数，故根据等差数列的定义可知选项B错误； 对于选项C，若为等比数列，取，则当为奇数时为等比数列则无意义，故选项C错误； 对于选项D，∵，∴， 因，则， 根据等比数列的定义可知：数列是首项为，公比为等比数列，故选项D正确. 【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列 【例1】（多选）（24-25高二下·安徽·期中）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（   ） A．若均不为0且，则成等比数列 B．若为等差数列，则为等差数列 C．若为等比数列，则为等差数列 D．若，则为等比数列. 【答案】AD 【详解】对于选项A，∵均不为0且，∴，则根据等比数列的定义可知：成等比数列，故选项A正确； 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列 【例2】（2025·四川攀枝花·三模）已知数列的首项，． (1)求证：是等比数列； 【详解】（1）因为， 所以， 当时，不满足题意，舍去；当时，得恒成立， 所以或，所以为递增数列，A对C错； 当时，由上面结论可知，所以，故是递增数列，B对； 当时，由上述结论可知，所以，故是递减数列，D对； 【考点题型三】等差（等比）数列的单调性 【例3】（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知是公比为的等比数列，且其前n项和满足对任意恒成立，则给出的下列结论中正确的是（    ） A．是递增数列 B．时，是递增数列 C．是递减数列 D．时，是递减数列 【答案】ABD 【详解】依题意可知，移项整理得对恒成立． 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项 【例4】（24-25高二上·广西玉林·期末）已知数列为等差数列，，. (1)求数列的通项公式； 【详解】（1）因为数列为等差数列，且，，则， 解得，，. (2)-100是数列中的项吗?如果是，是第几项?如果不是，请说明理由； （2）令，得， 又，故，不是数列的项. (3)求数列前项和的最大值. （3）法1：， 所以当时，取最大值，最大值为49. 由等差数列的性质得，所以 所以，故. 故选：C 【考点题型五】等差数列角标和性质 【例5】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知为等差数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为等差数列，且， 又，所以，所以可以是或或， 所以的可能值为或， 故选：AD 【考点题型六】等比数列角标和性质 【例6】（多选）（24-25高二下·陕西·期中）记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（    ） A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】AD 【详解】由，结合等比数列下标和的性质可得：，所以， 因为，所以，解得， 所以. 所以. 因为，所以当或时取得最小值， 且最小值为. 【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算 【例7】（24-25高二下·北京·期中）在等差数列中，，． (1)求通项公式及其前项和的最小值； 【详解】（1）设等差数列的公差为. (2)若数列为等比数列，且，，求的前项和． （2）由（1）可得：，， 所以等比数列的公比为， 所以，所以等比数列的前项和. 所以，，，成等差数列， 所以，解得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质） 【例8】（23-24高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，，则 ． 【答案】 【详解】因为等差数列的前项和为， 所以， 又，故， 故选：B 【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值） 【例9】（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 因为是等比数列，所以也成等比数列，且公比为， 所以，即， 所以. 【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质） 【例10】（24-25高二上·山西运城·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 【考点题型十一】等比数列前项和性质（奇偶项和性质） 【例11】（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【详解】由题设，可得， 所以 ，. 故答案为：64 【考点题型十二】累加法求通项 【例12】（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足，，则 . 【答案】64 【详解】因为，所以， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 【考点题型十三】累乘法求通项 所以， 故答案为：. 【例13】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】因为，， 两式相减得，整理得， 又数列的各项均为正整数，则，即，， 又，解得， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以的通项公式为. 【考点题型十四】已知与的关系；或与的关系 【例14】（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的各项均为正整数，其前n项和为，且． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）由，当时，， ①－②，可得，所以 又满足，故. 对于数列 由数列，同除得 ， 【考点题型十五】已知等式中左侧含有： 即， 又 故数列是首项为2的常数列，故通项公式为. 【例15】（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列和满足. (1)求数列和的通项公式； 【详解】（1）① 当时，，当时，② 又因为，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即 故答案为： 【考点题型十六】数列求通项之构造法（形如） 【例16】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】解：因为，所以， 则， 又，则，则， ，， ， 故答案为：. 【考点题型十七】数列求通项之构造法（形如） 【例17】（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 【答案】/0.5 【详解】由，得， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 【考点题型十八】数列求通项之倒数法（形如） 【例18】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 【答案】 【详解】由，可得，即， 则， 由，当时，， 于是， 令， 则， 【考点题型十九】数列求和之倒序相加法 因此， 所以. 【例19】（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 ． 【答案】4050 【详解】正数数列是公比不等于1的等比数列，， 数列满足，即，所以是公比为2的等比数列， 又，即，所以，解得，所以； （2）由（1）得，， 所以              . 【考点题型二十】数列求和之分组求和法（形如） 【例20】（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知是等差数列的前项和，.数列满足且. (1)分别求出数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）因为数列是等差数列，又，即，化简得，解得， 所以； 解得：负的舍去， 则，； 【考点题型二十一】数列求和之分组求和法（形如） 【例21】（24-25高二下·河南开封·开学考试）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. (1)求，的通项公式； 【详解】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为， 由，，，，可得，， 化为； (2)求数列的前n项和； （2）数列的前n项和 ， 两式相减可得， (3)若，求数列的前2n项和. （3）， 则数列的前2n项和 . 所以，故. 【考点题型二十二】数列求和之列项相消法（形如） 【例22】（2025·辽宁沈阳·三模）已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； 【详解】（1）因为数列中，，，且数列为等差数列， 设数列的公差为，则，故， (2)记为数列的前n项和，证明：． （2）因为， 所以 ，故原不等式成立. 所以，解得． 所以，解得， 所以． 【考点题型二十三】数列求和之列项相消法（形如） 【例23】（2025高三·全国·专题练习）已知递增等比数列中，，设． (1)求的通项公式； 【详解】（1）设递增等比数列的公比为，则． 因为， (2)求的前项和． （2）因为， 所以 ． 又， 所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列. 【考点题型二十四】数列求和之错位相减法 【例24】（2025·湖南长沙·二模）已知数列的首项，的前项和为且满足. (1)证明：数列是等差数列； 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以， 当时也成立，所以，所以， 因，① ，② ②-①得，③ 则，④ ③-④得 所以. (2)若，求数列的前项和. （2）由（1）可得，所以， 当时， 化简得，解得或（舍去）， 故， 【考点题型二十五】数列求和之通项含绝对值求和 【例25】（23-24高三上·河南·期中）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； 【详解】（1）设的公差为d，依题意得， 所以，即， 当时，， 故． 故 (2)若，求数列的前n项和． （2）依题意，． 当时，，故； 数列中，， 当时，， 两式相减得，整理得， 则，而，因此数列是首项、公比都为的等比数列， ，，， 【考点题型二十六】数列中新定义题 而数列是递减数列， 所以数列是“m接近数列”，的一个可能值为3. 【例26】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）对于数列，若存在实数m，使得数列为递减数列，则称数列为“m接近数列”．例如，设一个只有4项的数列的项分别是，那么就是一个“0接近数列”，但这个数列却不是“接近数列”． (1)若数列满足，其中为的前n项和．求，并判断数列是否为“m接近数列”，若是请写出m的一个可能取值； 【详解】（1）数列是“m接近数列”，理由如下： 于是，， 当为正奇数时，，数列递增，且随着正奇数的无限增大，趋近于正无穷大， 故存在正整数，对任意，当时，是递增的， 所以不是“m接近数列”. (2)若数列满足，试回答下列问题： （ⅰ）求证：时，不是“m接近数列”； （2）（ⅰ）当时，数列中，， 则，而，即数列是首项为，公比为的等比数列， 又，因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，即，而， 数列是递减数列， 所以是“m接近数列”， 的一个可能值为. （ⅱ）当时，判断是否为“m接近数列”．若是，写出m的一个可能取值（用k表示）；若不是，说明理由． （ⅱ）是否为“m接近数列”，理由如下： 当时，，则 当时，，，，是等比数列， ∴，∴； 当时，， 与矛盾，舍去. 1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）记为等比数列的前n项和，若，，则（   ） A． B．85 C． D．或 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为q，因为，，所以，否则， 所以，，，成等比数列， 即，解得：或， 所以公差. 故选：A. 1．（2025·四川凉山·三模）设等差数列的公差为d，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为数列为等差数列，则，即 又因为，即， 故选：D. 2．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在数列中，已知，，则， 故数列为常数列，则，因此，. 当时，， ∴. ∴. 故答案为：. 3．（2025·宁夏银川·二模）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和 . 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 4．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知等差数列的公差为d，前n项和为，且． (1)求和d； 【详解】（1），由，解得， 所以． (2)求数列的通项公式； （2）． (3)设，求数列的前n项和． （3）， 则①，②， ②①得，． $$