专题01 等差数列与等比数列（11考点清单，知识导图+11个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（北师大版2019）

清单01 第一章 等差数列与等比数列 （11个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 清单02 等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . 清单03 等差数列判断（证明）方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 清单04 等差数列性质 ① ②若，则（特别的，当，有） 清单05 等差数列前N项和 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 清单06 等差数列前n项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 清单07 等比数列概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 清单08 等比数列判断与证明 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 清单09 等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 清单10 等比数列前n项和 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 清单11 等比数列前n项和性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列（） 【例1】（多选）（24-25高二下·安徽·期中）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（   ） A．若均不为0且，则成等比数列 B．若为等差数列，则为等差数列 C．若为等比数列，则为等差数列 D．若，则为等比数列. 【答案】AD 【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列 【分析】根据等比数列的定义即可判断选项A；通过举反例，结合等差数列的定义及对数运算即可判断选项B，C；通过将条件变形为，根据等比数列的定义即可判断. 【详解】对于选项A，∵均不为0且，∴，则根据等比数列的定义可知：成等比数列，故选项A正确； 对于选项B，若为等差数列，取，则，不是常数，故根据等差数列的定义可知选项B错误； 对于选项C，若为等比数列，取，则当为奇数时为等比数列则无意义，故选项C错误； 对于选项D，∵，∴， 因，则， 根据等比数列的定义可知：数列是首项为，公比为等比数列，故选项D正确. 故选：AD. 【变式1-1】.（2025高三·全国·专题练习）“存在，使得”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断等差数列、等差数列通项公式的基本量计算、判断命题的必要不充分条件 【分析】分别根据充分性、必要性的概念及等差数列的性质定义判断即可. 【详解】必要性：若为等差数列，设其公差为，则， 故存在，使得，故满足必要性； 充分性：若存在，使得， 则，两式相减可得， 所以可知数列中的奇数项，偶数项分别成等差数列，但数列不一定是等差数列， 如时，数列，故不满足充分性. 所以“存在，使得”是“为等差数列”的必要不充分条件， 故选：B 【变式1-2】.（多选）（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）下列说法中错误的是（   ） A．若数列满足，其中是关于n的一次函数，则数列一定是等差数列 B．若数列的前n项和，则数列一定是等比数列 C．若数列是等差数列，为数列的前项和，则数列，，一定是等差数列 D．若数列是等比数列，为数列的前n项和，则数列，，一定是等比数列 【答案】ACD 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等比数列片段和性质及应用、判断等差数列 【分析】由等差等比数列的概念及性质逐个判断即可. 【详解】对于A，当时，，此时不是等差数列，所以A错误； 对于B，，符合等比数列的形式，所以B正确； 对于C，应把改为，C错误； 对于D，当公比为时，，D错误， 故选ACD． 【变式1-3】.（多选）（24-25高二下·河南·期中）已知数列满足，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，则是等差数列 B．若，，则是等差数列 C．若，，则是等比数列 D．若，，则是等比数列 【答案】AD 【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列 【分析】对于AD直接求出，然后根据定义判定等差数列、等比数列即可，对于BC，算出前三项即可判断BC错误. 【详解】对于A，当时，若，则， 事实上，，注意到，即是常数数列， 所以，数列是等差数列，故A正确； 对于B，当时，若， 所以数列不是等差数列，故B错误； 对于C，当时，若， 所以不是等比数列，故C错误； 对于D，当时，有， 因为，所以，即， 因为， 所以是等比数列，故D正确； 故选：AD． 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列（） 【例2】（2025·四川攀枝花·三模）已知数列的首项，． (1)求证：是等比数列； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】确定数列中的最大（小）项、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明； 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 【变式2-1】.（24-25高三下·河南信阳·阶段练习）已知数列的前n项和为，，. (1)求证：数列是等差数列. 【答案】(1)证明见解析 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由，根据，得到，两边同除以，得到，结合等差数列的定义，即可得证； 【详解】（1）证明：因为，可得，所以， 两边同除以，可得，即， 又因为，可得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列. 【变式2-2】.（24-25高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且 (1)求，并证明数列是等差数列； 【答案】(1)，证明见解析 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）将代入即可得出.当时，由化简得出，根据定义法即可证明； 【详解】（1）当时，有，解得. 当时，有， ， 作差可得， 所以有， 所以有. 又， 所以数列为以为首项，为公差的等差数列， 所以. 【变式2-3】.（2025·内蒙古包头·二模）已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， (1)证明：数列是等差数列； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、等比数列的定义 【分析】（1）化简题干信息即可求得，结合等差数列的定义即可判断； 【详解】（1）由，得， 又数列的各项均为正数，则，所以， 又，所以数列是以3为首项，以3为公差的等差数列． 【变式2-4】.（2025·甘肃金昌·模拟预测）记数列的前n项和为，已知，且，数列满足． (1)证明：数列为等比数列； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、由不等式的性质证明不等式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用等比数列定义推理得证. 【详解】（1）由，，得，而， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列. 【考点题型三】等差（等比）数列的单调性（） 【例3】（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知是公比为的等比数列，且其前n项和满足对任意恒成立，则给出的下列结论中正确的是（    ） A．是递增数列 B．时，是递增数列 C．是递减数列 D．时，是递减数列 【答案】ABD 【知识点】等比数列的单调性 【分析】由题意可得出对恒成立，对公比进行分类讨论，结合各选项一一判断即可得出答案. 【详解】依题意可知，移项整理得对恒成立． 当时，不满足题意，舍去；当时，得恒成立， 所以或，所以为递增数列，A对C错； 当时，由上面结论可知，所以，故是递增数列，B对； 当时，由上述结论可知，所以，故是递减数列，D对； 故选：ABD． 【变式3-1】.（多选）（24-25高三下·重庆·阶段练习）公差为的等差数列与公比为的等比数列首项相同且为正数，则（   ） A．若，则为递减数列 B．若，则为递减数列 C．若，则为递增数列 D．若，则为递增数列 【答案】ABD 【知识点】等差数列的单调性、等比数列的单调性、判断数列的增减性 【分析】根据递增数列和递减数列的定义分别判断即可． 【详解】对于A，若，则，为递减数列，故A正确； 对于B，若，则，为递减数列，故B正确； 对于C，取，此时，不满足递增数列，故C错误； 对于D，因为，当时，等比数列为正项且， 当时，等差数列各项为正且递增，即， 所以，即为递增数列，故D正确； 故选：ABD． 【变式3-2】.（多选）（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（    ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 【答案】AD 【知识点】判断数列的增减性、判断等差数列、等差数列的单调性 【分析】写出的通项公式，结合各项写出的通项公式，利用所得通项公式对应函数性质判断单调性、等差数列的通项公式判断等差数列. 【详解】由且， A：由，即数列是递减数列，对； B：由，若时，如，不单调，错； C：由，则数列是公差为的等差数列，错； D：由，则数列是公差为的等差数列，对. 故选：AD 【变式3-3】.（多选）（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知数列是公比大于的等比数列，下面叙述正确的是（    ） A．当时，数列是递增数列 B．当时，数列是递减数列 C．当时，数列是递增数列 D．当时，数列是递减数列 【答案】AD 【知识点】等比数列的单调性 【分析】设等比数列的公比为，则，利用数列单调性的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】设等比数列的公比为，则，则， 当时，，即，此时，数列为单调递增数列， 当时，，即，此时，数列为单调递减数列， AD选项正确，BC选项错误. 故选：AD. 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项（） 【例4】（24-25高二上·广西玉林·期末）已知数列为等差数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)-100是数列中的项吗?如果是，是第几项?如果不是，请说明理由； (3)求数列前项和的最大值. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)49 【知识点】求等差数列中的最大（小）项、等差数列通项公式的基本量计算、判断或写出数列中的项 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，求解即可； （2）令，求解可得结论； （3）法1，利用数列的前项和公式可求最大值.法2，因为，所以数列单调递减，令，求解可求得最大值. 【详解】（1）因为数列为等差数列，且，，则， 解得，， . （2）令，得， 又， 故，不是数列的项. （3）法1：， 所以当时，取最大值，最大值为49. 法2：因为，所以数列单调递减， 令，得， 又由，故前7项均为正数，， 所以前7项和最大，. 【变式4-1】.（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知首项为4的数列满足． (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列的通项公式，并求数列的最小项． 【答案】(1)证明见解析 (2)；最小项为. 【知识点】求等差数列中的最大（小）项、由递推关系证明数列是等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据题意化简得到，即，结合等差数列的定义，即可求解； （2）由（1）求得，根据，得到数列为递增数列，即可求解. 【详解】（1）解：因为数列满足，即， 可得， 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列. （2）解：数列表示首项为，公差为的等差数列， 可得，所以， 由 ， 当时，可得，即，所以数列为递增数列， 所以当时，数列的最小项为，即数列的最小项为. 【变式4-2】.（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，. (1)当数列为等差数列时，求的通项公式及； (2)当在单调递增时，设，求的值； (3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值. 【答案】(1)，. (2) (3)最大值为1，最小值为. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列中的最大（小）项、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列定义列方程组解得首项和公差即可求得结果； （2）经分析可知只有当时，在单调递增，满足题意，再利用裂项求和可得结果； （3）由（2）可知当时为等比数列且为摆动数列时，对表达式化简分析可求的结果. 【详解】（1）假设等差数列的公差为，由题意得，所以， 所以， . （2）当数列为等差数列时，由（1）知，显然在不单调； 当数列为等比数列时，假设公比为，，解得或， 当时，，易知在单调递增； 当时，，易知在不单调， 所以， 所以， . （3）当数列为等比数列时，由（2）知或， 又为摆动数列，所以，， 所以， 当为奇数时，单调递减，，当时取得最大值1， 当为偶数时，单调递增，，当时取得最小值， 所以的最大值为1，最小值为. 【变式4-3】.（2024·广东佛山·模拟预测）设正项等比数列的前n项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)设正项数列满足，其前n项和为，当取最小值时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、求等比数列中的最大（小）项、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由已知结合等比数列的求和公式先求出，，然后结合等比数列的通项公式即可求解； （2）结合等比数列的求和公式及基本不等式即可求解． 【详解】（1）正项等比数列中，，， 所以，解得，（舍负）， 故； （2）正项数列满足，所以， 设，则，， ，当时，， 两式相除得，， 故，，，构成以为首项，以2为公比的等比数列， ，，，构成以为首项，以2为公比的等比数列， 所以， 因为，当且仅当，即时取等号， 即取最小值时，． 【变式4-4】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)答案见解析 【知识点】根据数列的单调性求参数、求等比数列中的最大（小）项、等比数列的单调性、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，建立关于q得方程，求出即可求解； （2）根据等比数列的单调性，由（1）得，进而不等式转化为恒成立，结合数列的单调性即可求解； （3）根据等比数列的单调性可知或，分类讨论为偶数和奇数时的情况，求出对应的即可求解. 【详解】（1）设的公比为，则， 若，则．若，则． 所以的公比为，，4， 所以的通项公式为：，，． （2）若是递增数列，则，则有，， 等价于，恒成立，令，即． 而． 时，，时，，时，， ，，， 实数的取值范围为． （3）若不是单调数列，则，或． （i）当时，， ①当为偶数时，；②当为奇数时，． 所以此时的最小值为． （ii）当时，． ①当为偶数时，，且为递增数列，； ②当为奇数时，，不可能为最小值． 所以此时的最小值为． 【考点题型五】等差数列角标和性质（） 【例5】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知为等差数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列下表和的性质及特殊角三角函数值即可求解. 【详解】因为为等差数列，且， 由等差数列的性质得，所以， 所以， 故. 故选：C 【变式5-1】.（24-25高二下·辽宁大连·期中）在等差数列中，，，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列的通项公式列方程求解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得，所以数列的公差为2. 故选：B. 【变式5-2】.（24-25高二下·河南·期中）若等差数列的前n项和为，且，则的值为（   ） A．33 B．44 C．66 D．132 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据结合即可求解. 【详解】等差数列的前项和为，且， 由等差数列的前n项和公式，得. 故选：C. 【变式5-3】.（24-25高二下·广西·期中）已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则（    ） A．0 B．54 C．49 D．42 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等比数列下标和性质及应用 【分析】先根据等比数列下标和的性质求出，然后结合等差数列下标和的性质，利用等差数列求和公式求解即可. 【详解】由等比数列的性质可知，因为，所以，则， 所以. 故选：C. 【变式5-4】.（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列求和公式即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 【考点题型六】等比数列角标和性质（） 【例6】（多选）（24-25高二下·陕西·期中）记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（    ） A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】AD 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列下标和性质即可求解. 【详解】由，结合等比数列下标和的性质可得：，所以， 又，所以，所以可以是或或， 所以的可能值为或， 故选：AD 【变式6-1】.（24-25高二下·新疆喀什·期中）在等比数列中，若，则（   ） A．3 B．±3 C．9 D． 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】利用等比数列的性质可求答案. 【详解】因为是等比数列，且，所以. 故选：C 【变式6-2】.（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列下标和的性质即可求解. 【详解】由等比数列性质可知：， 又， 所以， 故选：C 【变式6-3】.（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）若数列是等比数列，且则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】利用等比数列的性质可得，再利用对数法则进行运算化简即可. 【详解】数列是等比数列，则， 则. 故选：B 【变式6-4】.（24-25高二下·四川凉山·期中）若数列是等比数列，且，则 ． 【答案】4 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列下标和性质即可求解． 【详解】，则， 故答案为：4． 【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算（） 【例7】（24-25高二下·北京·期中）在等差数列中，，． (1)求通项公式及其前项和的最小值； (2)若数列为等比数列，且，，求的前项和． 【答案】(1)，最小值为 (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，再由等差数列的前项和公式，即可得到结果； （2）根据题意，由等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果； 【详解】（1）设等差数列的公差为. 因为，所以，解得， 所以. 所以. 因为，所以当或时取得最小值， 且最小值为. （2）由（1）可得：，， 所以等比数列的公比为， 所以，所以等比数列的前项和. 【变式7-1】.（2025高三·全国·专题练习）若正项数列的前项和为，且，则（    ） A．20 B．100 C．200 D．210 【答案】D 【知识点】求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】解法一：由数列的前项和公式与的关系推出，利用等差数列的定义求得数列通项，再由求和公式即得；解法二：通过赋值法求出数列的各项，猜想通项并由条件验证后，再代入求值. 【详解】解法一：将代入，得，解得. 由，得，两式相减得， 即，所以或. 若，则由，得，与为正项数列矛盾. 故有，则， 则是以1为首项、1为公差的等差数列，故. 则.（另解：将代入中得） 解法二：将代入，得，解得， 当时，，得（由为正项数列取舍）， 当时，，得， 故猜想，当时，，满足， 故，，故. 故选：D. 【变式7-2】.（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则 ． 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】由已知得出，进而得出，再根据等差数列求和公式即可求解． 【详解】因为，，所以， 所以，则， 故答案为：217． 【变式7-3】.（24-25高二下·上海宝山·期中）设为等比数列的前项和，已知，则公比 【答案】2 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】将给定的两个等式相减求出公比，再验证得解. 【详解】由，得，则， 等比数列的公比， 所以. 故答案为：2 【变式7-4】.（24-25高二下·广东肇庆·期中）（1）已知等差数列的通项公式为，求公差和首项； （2）求等差数列8，5，2…的第20项及前项和. 【答案】（1）， （2）， 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】（1）由通项公式代入可得，再利用可得； （2）已知该数列为等差数列，故易得，，利用，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为为等差数列，由等差数列的概念可知， ，. （2）解：已知该数列为等差数列，则有 ，， 故通项公式为，， 前项和. 【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质）（） 【例8】（23-24高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，，则 ． 【答案】 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列的前项和为，所以成等差数列，代入数据即可求解. 【详解】因为等差数列的前项和为， 所以，，，成等差数列， 所以，解得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 【变式8-1】.（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．20 B．16 C．7 D．2 【答案】C 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案. 【详解】由题意得成等差数列， 故，即， 解得. 故选：C 【变式8-2】.（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解. 【详解】在等差数列中，成等差数列， 则， 设，则， 故，解得， 所以. 故选：A. 【变式8-3】.（24-25高二上·山西·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列的前和项性质来求解即可. 【详解】由等差数列的性质可得：仍成等差数列， 所以， 代入，得：，得， 故选：B. 【变式8-4】.（23-24高二下·辽宁·期中）在前项和为的等差数列中，，，则 ． 【答案】 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列前项和的公式，结合已知条件求即可. 【详解】由于，故，，两式相减得到. 而，故. 故答案为： 【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值）（） 【例9】（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案. 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：B 【变式9-1】.（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由，可设，，利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，则，， 所以. 故选：D. 【变式9-2】.（24-25高二下·四川成都·期中）两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差中项的应用、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差中项及等差数列的前项公式变形求值即可. 【详解】由等差数列的性质可得， ， 故选：C． 【变式9-3】.（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质以及求和公式运算求解即可. 【详解】因为数列和均为等差数列， 所以. 故选：D. 【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质）（） 【例10】（24-25高二上·山西运城·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】利用等比数列的性质：等比数列的片断和成等比数列求解． 【详解】设，则， 因为是等比数列，所以也成等比数列，且公比为， 所以，即， 所以. 故选：B. 【变式10-1】.（24-25高三下·海南海口·阶段练习）记等比数列的前项和为，若，则公比（   ） A． B． C．或1 D．或1 【答案】A 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】利用等比数列片段和性质可求公比. 【详解】由，得，解得， 故选: A． 【变式10-2】.（24-25高二上·天津西青·期末）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】数列为等比数列的前项和为满足，，成等比数列，结合的值即可求. 【详解】∵等比数列中，成等比数列 又， ∴，解得. 故选：A. 【变式10-3】.（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设是等比数列的前项和，若，，则（   ） A．48 B．84 C．90 D．112 【答案】C 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】由等比数列的性质可知，，，成等比数列，计算可求得. 【详解】因为是等比数列的前项和，因为，所以公比， 所以，，，成等比数列， 又，，所以，， 所以. 故选：C. 【变式10-4】（24-25高二下·四川达州·期中）设等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】/1.75/ 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据间隔相等的等长片段和序列，仍然成等比数列，即可得到答案. 【详解】因为为等比数列，所以，，，…也为等比数列． 设，则，， 所以，则， 故． 故答案为：. 【考点题型十一】等比数列前项和性质（奇偶项和性质）（） 【例11】（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项. 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 【变式11-1】.（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可. 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 【变式11-2】.（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 【答案】1 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】设出公比，根据，求出公比，故，得到. 【详解】设公比为，则， 其中，又， 故，， 故，即， 解得. 故答案为：1 【变式11-3】.（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【答案】 2 9 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】利用等比数列奇数项和与偶数项和的关系，及前n项和公式列式计算即可得解. 【详解】在等比数列中，由，得，解得， 设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9. 故答案为：2；9 提升训练 一、单选题 1．（2025·山东临沂·二模）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、基本不等式求和的最小值 【分析】由题意求得，，进一步将所求转换为关于的二次式子即可求解. 【详解】，解得， 由于为正项等差数列，则，解得， ，等号成立当且仅当， 所以的最大值为8. 故选：C. 2．（2025·甘肃甘南·三模）已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算 【分析】结合条件根据等差数列前n项和的基本量运算求解即可. 【详解】由题意为等差数列，前项和为， ，得 ，即， 设的公差为，则 ． 故选：B． 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．5 B．10 C．15 D．34 【答案】B 【知识点】等差中项的应用、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列的前n项和结合等差数列的项的性质计算即得. 【详解】已知等差数列的前n项和为，， 所以，所以. 故选：B. 4．（2025·浙江·二模）记数列的前项和为，若，，则等于（   ） A．33 B．46 C．49 D．42 【答案】A 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据递推公式，结合前项和与第项的关系求出通项公式，进而求出目标值. 【详解】数列中，，，当时，， 当时，，则，， 因此当时，数列是以为首项，公比为3的等比数列，， 数列的通项公式为：，，， 所以. 故选：A 5．（2025·四川凉山·三模）设等差数列的公差为d，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用 【分析】根据题意结合等差中项可得，，进而可得公差. 【详解】因为数列为等差数列，则，即， 又因为，即， 所以公差. 故选：A. 6．（24-25高二下·广东广州·期中）已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．或4 【答案】C 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】设等比数列公比为，由题可得，结合是递增数列，可确定，即可判断选项正误. 【详解】设等比数列公比为，由题有：， 则 或. 因是递增数列，则这种情况不满足题意； 则. 故选：C 7．（2025高三·全国·专题练习）将如图1所示的等边三角形的每条边三等分，以中间的线段为底边向内作等边三角形，然后去掉底边，得到图2；将图2中的每条边三等分，以中间的线段为底边向内作等边三角形，然后去掉底边，得到图3……以此类推，我们把这一系列图形称为反雪花曲线.若图1中等边三角形的边长为1，记第个反雪花曲线的长度和面积分别为，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、写出等比数列的通项公式 【分析】根据图形变化规律得到周长成等比数列，根据等比数列的通项公式求解判断AC，结合等边三角形面积公式，根据图形变化规律求得第二次面积和第三次面积，即可判断BD. 【详解】据题意知：每次变换，每条边变为原来的倍，又，所以， 所以，所以AC正确； ，图2在图1的基础上，减去3个边长为的小等边三角形， 所以其面积，故B正确； 图3在图2的基础上，边数为，减去12个边长为的小等边三角形， 所以其面积，D错误. 故选：D 8．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，则的公差等于（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 整理得，解得. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知无穷等差数列的前项和为，且，则（ ） A．在数列中，最大 B．在数列中，最大 C． D．当时， 【答案】AD 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用 【分析】根据数列的前项和的性质即可求解. 【详解】由题知，无穷等差数列的前项和为，且，所以，所以等差数列为递减数列， 所以在数列中，最大；当时，； 故选：AD. 10．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，则是等差数列 B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列 C．若数列为等比数列，且，，则 D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列 【答案】AB 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】根据等差数列的性质判定AB选项，根据等比数列的性质判定CD选项. 【详解】若数列为等差数列，，则，是关于项数的一次函数，是等差数列，故A正确； 而，，，， 作差可得成立，故B正确； 若数列为等比数列，且，，设其公比为q， 则，作商可得或，所以 或，9故C错误； 当等比数列的公比时，，则，，，…，不可能为等比数列，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 11．（24-25高二下·北京延庆·期中）已知项数为10的单调递增数列，其前项和为，该数列的前3项成等差数列，后8项成等比数列，且，，，则 ；数列所有项的和为 . 【答案】 0 254 【知识点】等差中项的应用、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据前3项成等差数列，结合等差中项概念求出，后8项成等比数列，设公比为，结合求出，由求得答案. 【详解】因为该数列的前3项成等差数列，则，解得， 又后8项成等比数列，设公比为，则， 所以，即，解得或， 又因为为单调递增数列，所以， 所以. 故答案为：0；254. 12．（24-25高二下·湖南·期中）已知等差数列的前项和为，，，则 . 【答案】4 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列下标和性质可得，进而可得公差和. 【详解】因为数列为等差数列，则，即， 可得公差， 所以. 故答案为：4. 四、解答题 13．（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知数列的前n项和为，点在直线上，． (1)求数列的前n项和以及数列的通项公式； (2)若数列满足，设数列的前n项和为，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由Sn求通项公式、求等差数列前n项和的最值 【分析】（1）将代入直线得出，由与的关系求解通项公式即可； （2）由得出，则当，2，3时，，当时，，即可求解的最小值． 【详解】（1）由题意知，则， 当时，， 当时，， 因为符合， 所以． （2），令， 所以当，2，3时，，当时，， 故． 14．（24-25高二下·安徽·阶段练习）（1）等比数列中，，，求数列的通项公式； （2）等差数列中，公差，且满足，，求数列的通项公式. 【答案】（1）或； （2）； 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由等比数列的通项公式计算基本量求解即可； （2）由等差数列的通项性质得到，然后求解出，，计算出公差求解通项公式即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，， 所以，所以，所以或， 所以或. （2）在等差数列中，，又，， 所以解得，， 所以，. 15．（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列的通项公式为，数列的前项和为. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、根据数列递推公式写出数列的项、求等差数列前n项和 【分析】（1）直接代入求解即可， （2）分奇数项以及偶数项，利用分组求解，结合等差数列以及等比数列的求和公式即可求解. 【详解】（1） ； （2） . 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 第一章 等差数列与等比数列 （11个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 清单02 等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . 清单03 等差数列判断（证明）方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 清单04 等差数列性质 ① ②若，则（特别的，当，有） 清单05 等差数列前N项和 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 清单06 等差数列前n项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 清单07 等比数列概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 清单08 等比数列判断与证明 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 清单09 等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 清单10 等比数列前n项和 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 清单11 等比数列前n项和性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列（） 【例1】（多选）（24-25高二下·安徽·期中）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（   ） A．若均不为0且，则成等比数列 B．若为等差数列，则为等差数列 C．若为等比数列，则为等差数列 D．若，则为等比数列. 【变式1-1】.（2025高三·全国·专题练习）“存在，使得”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】.（多选）（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）下列说法中错误的是（   ） A．若数列满足，其中是关于n的一次函数，则数列一定是等差数列 B．若数列的前n项和，则数列一定是等比数列 C．若数列是等差数列，为数列的前项和，则数列，，一定是等差数列 D．若数列是等比数列，为数列的前n项和，则数列，，一定是等比数列 【变式1-3】.（多选）（24-25高二下·河南·期中）已知数列满足，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，则是等差数列 B．若，，则是等差数列 C．若，，则是等比数列 D．若，，则是等比数列 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列（） 【例2】（2025·四川攀枝花·三模）已知数列的首项，． (1)求证：是等比数列； 【变式2-1】.（24-25高三下·河南信阳·阶段练习）已知数列的前n项和为，，. (1)求证：数列是等差数列. 【变式2-2】.（24-25高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且 (1)求，并证明数列是等差数列； 【变式2-3】.（2025·内蒙古包头·二模）已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， (1)证明：数列是等差数列； 【变式2-4】.（2025·甘肃金昌·模拟预测）记数列的前n项和为，已知，且，数列满足． (1)证明：数列为等比数列； 【考点题型三】等差（等比）数列的单调性（） 【例3】（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知是公比为的等比数列，且其前n项和满足对任意恒成立，则给出的下列结论中正确的是（    ） A．是递增数列 B．时，是递增数列 C．是递减数列 D．时，是递减数列 【变式3-1】.（多选）（24-25高三下·重庆·阶段练习）公差为的等差数列与公比为的等比数列首项相同且为正数，则（   ） A．若，则为递减数列 B．若，则为递减数列 C．若，则为递增数列 D．若，则为递增数列 【变式3-2】.（多选）（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（    ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 【变式3-3】.（多选）（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知数列是公比大于的等比数列，下面叙述正确的是（    ） A．当时，数列是递增数列 B．当时，数列是递减数列 C．当时，数列是递增数列 D．当时，数列是递减数列 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项（） 【例4】（24-25高二上·广西玉林·期末）已知数列为等差数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)-100是数列中的项吗?如果是，是第几项?如果不是，请说明理由； (3)求数列前项和的最大值. 【变式4-1】.（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知首项为4的数列满足． (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列的通项公式，并求数列的最小项． 【变式4-2】.（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，. (1)当数列为等差数列时，求的通项公式及； (2)当在单调递增时，设，求的值； (3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值. 【变式4-3】.（2024·广东佛山·模拟预测）设正项等比数列的前n项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)设正项数列满足，其前n项和为，当取最小值时，求的值． 【变式4-4】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 【考点题型五】等差数列角标和性质（） 【例5】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知为等差数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】.（24-25高二下·辽宁大连·期中）在等差数列中，，，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式5-2】.（24-25高二下·河南·期中）若等差数列的前n项和为，且，则的值为（   ） A．33 B．44 C．66 D．132 【变式5-3】.（24-25高二下·广西·期中）已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则（    ） A．0 B．54 C．49 D．42 【变式5-4】.（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【考点题型六】等比数列角标和性质（） 【例6】（多选）（24-25高二下·陕西·期中）记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（    ） A．6 B．7 C．9 D．10 【变式6-1】.（24-25高二下·新疆喀什·期中）在等比数列中，若，则（   ） A．3 B．±3 C．9 D． 【变式6-2】.（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】.（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）若数列是等比数列，且则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-4】.（24-25高二下·四川凉山·期中）若数列是等比数列，且，则 ． 【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算（） 【例7】（24-25高二下·北京·期中）在等差数列中，，． (1)求通项公式及其前项和的最小值； (2)若数列为等比数列，且，，求的前项和． 【变式7-1】.（2025高三·全国·专题练习）若正项数列的前项和为，且，则（    ） A．20 B．100 C．200 D．210 【变式7-2】.（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则 ． 【变式7-3】.（24-25高二下·上海宝山·期中）设为等比数列的前项和，已知，则公比 【变式7-4】.（24-25高二下·广东肇庆·期中）（1）已知等差数列的通项公式为，求公差和首项； （2）求等差数列8，5，2…的第20项及前项和. 【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质）（） 【例8】（23-24高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，，则 ． 【变式8-1】.（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．20 B．16 C．7 D．2 【变式8-2】.（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】.（24-25高二上·山西·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式8-4】.（23-24高二下·辽宁·期中）在前项和为的等差数列中，，，则 ． 【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值）（） 【例9】（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】.（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】.（24-25高二下·四川成都·期中）两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】.（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质）（） 【例10】（24-25高二上·山西运城·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】.（24-25高三下·海南海口·阶段练习）记等比数列的前项和为，若，则公比（   ） A． B． C．或1 D．或1 【变式10-2】.（24-25高二上·天津西青·期末）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式10-3】.（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设是等比数列的前项和，若，，则（   ） A．48 B．84 C．90 D．112 【变式10-4】（24-25高二下·四川达州·期中）设等比数列的前项和为，若，则 ． 【考点题型十一】等比数列前项和性质（奇偶项和性质）（） 【例11】（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【变式11-1】.（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【变式11-2】.（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 【变式11-3】.（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 提升训练 一、单选题 1．（2025·山东临沂·二模）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2025·甘肃甘南·三模）已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．5 B．10 C．15 D．34 4．（2025·浙江·二模）记数列的前项和为，若，，则等于（   ） A．33 B．46 C．49 D．42 5．（2025·四川凉山·三模）设等差数列的公差为d，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高二下·广东广州·期中）已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．或4 7．（2025高三·全国·专题练习）将如图1所示的等边三角形的每条边三等分，以中间的线段为底边向内作等边三角形，然后去掉底边，得到图2；将图2中的每条边三等分，以中间的线段为底边向内作等边三角形，然后去掉底边，得到图3……以此类推，我们把这一系列图形称为反雪花曲线.若图1中等边三角形的边长为1，记第个反雪花曲线的长度和面积分别为，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，则的公差等于（   ） A．2 B．1 C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知无穷等差数列的前项和为，且，则（ ） A．在数列中，最大 B．在数列中，最大 C． D．当时， 10．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，则是等差数列 B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列 C．若数列为等比数列，且，，则 D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列 三、填空题 11．（24-25高二下·北京延庆·期中）已知项数为10的单调递增数列，其前项和为，该数列的前3项成等差数列，后8项成等比数列，且，，，则 ；数列所有项的和为 . 12．（24-25高二下·湖南·期中）已知等差数列的前项和为，，，则 . 四、解答题 13．（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知数列的前n项和为，点在直线上，． (1)求数列的前n项和以及数列的通项公式； (2)若数列满足，设数列的前n项和为，求的最小值． 14．（24-25高二下·安徽·阶段练习）（1）等比数列中，，，求数列的通项公式； （2）等差数列中，公差，且满足，，求数列的通项公式. 15．（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列的通项公式为，数列的前项和为. (1)求； (2)求. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$