专题03 第7章  概率初步（考点串讲，6大考点&11大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020）

沪教版（2020）高二数学下学期·期末大串讲 专题03 第7章 概率初步（续） （6考点&11题型） 沪教版2020 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 考点透视 考点透视 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 清单01 条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 清单02 条件概率性质 （1）由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （2）如果和是两个互斥事件，则； 清单03 全概率公式 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 清单04 贝叶斯公式 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 清单05 均值和方差 （1） （2） 清单06 均值与方程性质 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. ③若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 因为，， 所以， 故答案为：. 【考点题型一】条件概率及其性质应用 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）一袋中装有除颜色外完全相同的个黑球和个白球，先后两次从袋中不放回地各取一球．已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的也是黑球的概率为 ． 【答案】/ 【详解】记事件：第一次取到黑球，事件：第二次取到黑球， {第二次取得红球}，{第二次取得白球}， 易知，，，， 所以. 故答案为：. 【考点题型二】全概率公式及其应用 【例2】.（2025·上海奉贤·二模）盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 【答案】 【详解】由题意可设{第一次取得红球}，{第一次取得白球}， 事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”， 则； ， 小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是 ， 【考点题型三】贝叶斯公式及其应用 【例3】（22-23高三下·浙江·开学考试）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是 ． 【答案】 【详解】法1：由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”， . 【例4】（24-25高三下·上海·阶段练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； 【考点题型四】离散型随机变量分布列均值，方差 【详解】（1）甲正确完成试题数的可能取值为，，， ，，， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： 所以乙正确完成面试题数的分布列为： 所以， . (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； （2）乙正确完成面试题数的可能取值为：，，， ，， ，， (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. （3）因为，， 所以，所以甲通过面试的可能性大. 所以， 所以 故答案为：11． 【考点题型五】均值和方差的性质 【例5】（24-25高三·上海·随堂练习）已知某随机变量ξ的分布为，则 ． 【答案】11 【详解】由表中数据得：， . 即 . 得.即， 所以 【考点题型六】独立重复试验与二项分布模型 【例6】（24-25高二下·上海宝山·期中）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产， 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%; 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 97%. (1)设甲工厂试生产的这批零件有 件，乙工厂试生产的这批零件有 件，证明: ； 【详解】（1）设M事件为“抽取出来混放在一起的零件来自甲工厂”， 事件N为“抽取出来混放在一起的零件来自乙工厂”， 事件C为“混放在一起的某一个零件为合格品”， 则， 则，. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 所以的分布列为： 则，所以期望为， 方差为. (2)用频率估计概率，记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 ，求 的分布列、数学期望和方差. （2）由可知，零件来自甲工厂的概率为，来自乙工厂的概率为. 表示这个零件中来自甲工厂的个数，则服从参数为，的二项分布，即. 【详解】（1）由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室，有种情况，从11人中抽4人有种情况， 所以所求的概率为. 【考点题型七】超几何分布模型 【例7】.（2025·河北张家口·三模）为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：       类别科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 (1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； 所以随机变量的分布列为 所以. (2)设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. （2）随机变量的所有可能取值为、、、、， ，， ，，， 则 ， 则，所以. 故答案为： 【考点题型八】正态分布模型 【例8】（24-25高二下·上海·期中）据统计，某种脐橙的果实横径 (单位： ) 服从正态分布 ，现任取 10 个这种脐橙．设其果实横径在的个数为 ，则 ． 附： ． 【答案】 【详解】由题意可得， 一件产品的质量指标值位于区间的概率即为 因为， 所以 ， 所以，所以. 【考点题型九】正态分布模型中的实际问题 【例9】（2024安徽淮南·一模）年月日时分，搭载空间站梦天实验舱成功发射，并进入预定轨道，梦天舱的重要结构件导轨支架采用了打印的薄壁蒙皮点阵结构.打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.随着技术不断成熟，打印在精密仪器制作应用越来越多.某企业向一家科技公司租用一台打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这台打印设备打印出品的零件内径（单位：）服从正态分布. (1)若该台打印了件这种零件，记表示这件零件中内径指标值位于区间的产品件数，求； 【详解】（1）解：由题意知，，，则， 根据原则，机器异常，需要进一步调试. (2)该科技公司到企业安装调试这台打印设备后，试打了个零件.度量其内径分别为（单位：）：、、、、，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？ （2）解：服从正态分布，由于， 则，， 所以内径在之外的概率为，为小概率事件而，且， 由题意可得，整理得， 当时，可得； 当时，数列是以为公比的等比数列， 所以， 一学期后足够大，此时趋近于0，此时趋近于900. 【考点题型十】概率与数列 【例10】（24-25高二下·上海·期中）我校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在文夫楼的一楼或二楼的一个餐厅用餐，经统计，当天在一楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到二楼餐厅用午餐；而当天在二楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到一楼餐厅用楼午餐，则一学期后，在一楼餐厅用午餐的学生数大约为（   ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【答案】C 【详解】记第天在一楼餐厅用午餐的学生人数为，则在二楼餐厅用午餐的学生人数为， 于是发生的概率是 发生的概率是， 发生的概率是， 所以销售人员的月奖金为 （元）. 【考点题型十一】借助导数求概率中的最值问题 【例11】（23-24高二下·江苏·阶段练习）2022年2月4日北京冬季奥运会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉祥物之一，受到各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，广大网友纷纷倡导“一户一墩”，与此同时，也带火了相关产业.某体育销售公司对销售人员的奖励制度如下：（假设为月销售量，单位是件）①当时，当月给奖金1000元；②当时，当月给奖金3000元；③当时，当月给奖金10000元.已知该产品的月销售量. (1)该公司销售人员的月奖金大约为多少元？（精确到整数位） 【详解】（1）月销售量，即， 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值. (2)现从该公司一批产品中，随机抽出9件产品进行检验.已知该产品是合格品的概率为，记这9件产品中恰有3件不合格品的概率为，试问当等于多少时，取得最大值？ （2）依题意， 则. 则， 由全概率公式，可得. 1．（24-25高二下·浙江宁波·期中）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.7，0.2，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看4只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，则顾客买下该箱的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设箱中有只残次品，其中，顾客买下该箱玻璃杯， 则， 1．（24-25高二下·上海普陀·期中）某校面向高二全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%，10%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 ； 【答案】0.162 【详解】依题意，成绩是优秀的概率为. 故答案为：0.162 所以 . 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是 . 【答案】 【详解】设从甲盒取出2个红球；从甲盒取出2个白球； 从甲盒取出1个白球和1个红球；从乙盒取出2个红球. 4．（24-25高三下·上海虹口·期中）已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. 【详解】（1）由表可知，若一名志愿者是“志愿模范队”成员，则其周平均服务时长超过2小时的概率：. 所以有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ （2）根据题意，可将表格补充完整： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 18 72 周平均服务时长不超过2小时 18 30 48 总计 72 48 120 故， 0 1 2 所以期望：， 方差：. (3)现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差 （3）由分层抽样可知，这8人中有6个来自“志愿模范队”，2个不是“志愿模范队”成员，故随机变量可能为 且, 故分布列如下： $$