河北省保定市部分重点中学2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题

2024级高一5月联考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知a为实数，若复数为纯虚数，则=（     ） A． B． C． D． 2. 设是三个不同平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ） A. B. C. D. 4．在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 5. 已知为所在平面内的一点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．点在所在平面内，下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若点是的重心，则 + = C．若，则 D．若为边长为2的正三角形，点在线段BC上运动，则 8．如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知向量，，下列说法正确的是（ ） A. (+) B. C. 与向量平行的单位向量是 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 若复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在点，使得平面 B. 过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C. 异面直线BA1与EF所成的角的大小为 D. 若//平面，则点P的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 . 13．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为 m． 14. 三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为_____. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）在平面直角坐标系中，已知，，. （1）若A，B，C三点共线，求实数m的值； （2）若，以的边AC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的表面积. 16．(15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E，F分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 17．(15分）在△中，内角的对边分别为． (1)求； (2)若△的面积为，求边上的中线的长． 18. (17分）已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为．（1）求的解析式和函数单调递增区间；； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围． 19. (17分）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一5月数学试题答案 一、1. A 2. B 3. B 4．D 5. C 6．C 7.B 8．D 9. AD 10. BCD 11. AC 12. 13. 54 14. 15求证： 16．解析：证明：（1）如图，取中点，连接．分别是和的中点，，且，∵四边形为矩形，且E为AD的中点，，，且，∴四边形为平行四边形，又平面，GD平面，∴平面． （2）∵底面为矩形，∴．∵平面平面，平面平面， ∴AB⊥平面．而平面， ，又，，平面， 平面，而平面，∴平面平面． 17.【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，由余弦定理得：，又，所以． （2）由，所以，由（1），所以， 因为为边上的中线，所以，则 ，即.故边上的中线的长为. 18. （1），， ，，因为图象的相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以．令． 则，所以的单调递增区间为；【2】由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，再向左平移个单位得的图象．令，，则，所以，因为在上只有一个解，由的图象（如图）可得，或，所以的取值范围是. 19.【1】在三棱台中，，，在等腰梯形中，，由余弦定理得：， 则，即，而平面平面，平面平面平面，所以平面. （2）过，垂足为，因为平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面，平面，得 又，平面，则平面，为与平面所在角，，因此，所以与平面所成角为. 学科网（北京）股份有限公司 $$