专题06 用空间向量研究距离问题（2知识点+四大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题06 用空间向量研究距离问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：点到线的距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、异面直线的距离（线线距） （1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. （2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 知识点02：点到平面的距离 1、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 注：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 【题型01：点到线的距离】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·海南·阶段练习）点是直线l上一点，是直线l的一个方向向量，则点到直线l的距离是（    ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高二上·四川眉山·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，则点F到直线的距离为（ ） A．6 B．4 C．2 D．1 4．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．6 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型02：点到面的距离】 一、单选题 1．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知点在平面α内，点在平面α外，且平面α的一个法向量为，则点到平面α的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·海南·期末）已知是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，是圆柱的母线，是线的中点，．则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．（24-25高二上·广东汕尾·阶段练习）如图①，在中，，，E，F分别为AB，AC上的点，，．如图②，将沿EF折起，当四棱锥的体积最大时，点E到平面ACF的距离为（    ）    A． B． C． D． 【题型03：其他距离】 一、单选题 1．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面与的距离为（   ） A．2 B． C．3 D． 2．（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东佛山·期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·山东德州·期末）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．点到的距离为 B．面与面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 【题型04：距离中的探索性问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，分别为的中点. (1)线段上是否存在点，使得？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由. 2．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，，在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 3．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足. (1)是否存在点，使得平面？ (2)求的取值范围. (3)求点到直线的距离的最小值. 4．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，已知四边形为菱形，，，将菱形绕所在直线旋转到的位置，使得平面平面，连接，，得到几何体，、分别为、上的动点，且，，其中. (1)求的长； (2)是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (3)求的最小值，并求取最小值时，点到平面的距离与点到平面的距离的比值. 一、单选题 1．（24-25高二上·福建福州·期中）已知点，直线过原点且平行于，则点到的距离为（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高二上·北京西城·期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点P到平面QGC的距离是（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（    ）    A．1 B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，，，两两相互垂直，，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知空间四点，，，，则四面体的体积为（   ） A． B． C．15 D． 6．（23-24高二上·广东江门·期中）在三棱锥中，，，，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则平面到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东滨州·期末）在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 9．（24-25高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 10．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，且分别是各棱的中点，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·重庆·期末）已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为（   ） A． B． C．1 D． 12．（24-25高二上·吉林·期中）如图1，平面四边形中，，垂足为，如图2，将沿翻折至，使得平面平面，若点为线段上的动点，则点到直线距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 13．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 14．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知正方体的棱长为1，动点分别在棱和线段上，满足平面，则（    ） A．到平面的距离有最大值 B．到平面的距离有最小值 C．两点距离有最大值1 D．两点距离有最小值 三、解答题 15．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若，在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 16．（23-24高二上·山东临沂·期末）如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，是与的交点.    (1)在线段上找一点，使得平面; (2)在（1）的条件下，求PQ与平面的距离. 17．（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点. (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 用空间向量研究距离问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：点到线的距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、异面直线的距离（线线距） （1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. （2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 知识点02：点到平面的距离 1、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 注：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 【题型01：点到线的距离】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用点到直线距离的向量法，即可求解. 【详解】因为，，，则，， 所以点到直线的距离为：. 故选：D 2．（24-25高二上·海南·阶段练习）点是直线l上一点，是直线l的一个方向向量，则点到直线l的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即可． 【详解】，是直线的一个单位方向向量， 点P到直线l的距离为. 故选：B. 3．（24-25高二上·四川眉山·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，则点F到直线的距离为（ ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】代入点到直线距离的向量公式，即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，，，， ，， 所以点到直线的距离 故选：D 4．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得， 由点E在棱BC上，且，得，的重心， 则，，，， 所以点G到直线AE的距离. 故选：A 5．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】利用向量单位化，求得直线的单位方向向量，利用点线距的向量公式，可得答案. 【详解】与向量同向的单位向量，则直线的单位方向向量为， 设，则点到直线的距离为， 易知当时，距离取得最小值为. 故选：B. 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得点到直线的距离的表达式，再由二次函数性质可求得最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 【题型02：点到面的距离】 一、单选题 1．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知点在平面α内，点在平面α外，且平面α的一个法向量为，则点到平面α的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，再利用点到平面的距离公式即可. 【详解】因为， 所以点到平面的距离为． 故选：A. 2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量法求点到面的距离即可. 【详解】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示.    所以，，，，所以，. 设平面的法向量， 所以令，解得，， 所以平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离. 故选：B. 3．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点B到平面的距离． 故选：C 4．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出平面的一个法向量，利用点到平面距离的向量求法计算可得结果. 【详解】设平面的一个法向量为， 则，令，可得，； 所以， 则点到平面的距离为. 故选：D 5．（24-25高二上·海南·期末）已知是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，是圆柱的母线，是线的中点，．则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】如图建系，写出相关点的坐标，求出相关向量，平面的法向量坐标，利用点到平面的距离的向量公式计算即得. 【详解】 如图，分别取圆柱上下底面的圆心为 因是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，故， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 于是， 设平面的法向量为， 则，故可取， 故点到平面的距离为. 故选：B. 6．（24-25高二上·广东汕尾·阶段练习）如图①，在中，，，E，F分别为AB，AC上的点，，．如图②，将沿EF折起，当四棱锥的体积最大时，点E到平面ACF的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定四棱锥的体积最大时，平面，然后以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求点面距． 【详解】由得，所以，四边形的面积是确定的， 点到平面为，则，因此 四棱锥的体积最大时，取得最大值，所以平面， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以点到平面的距离为， 故选：B． 【题型03：其他距离】 一、单选题 1．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面与的距离为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】平面与的距离即点到平面的距离,利用向量法求点到平面的距离. 【详解】平面均以为法向量，则， 平面经过点，则平面与的距离等于点到平面的距离， 平面经过坐标原点，， 点到平面的距离， 所以平面与的距离为2. 故选：A. 2．（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量法来求平行线与平行平面间的距离即可. 【详解】 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，即 平面平面平面 直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则 点到平面的距离为. 故选：D. 3．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 4．（24-25高二上·广东佛山·期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，证明两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法求出最小值. 【详解】由正方形，得，而平面平面，平面， 得平面，又四边形是正方形，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，， 设与都垂直的向量，则，令，得， 所以的最小值为. 故选：B 【点睛】思路点睛：求两条异面直线上两点间距离最小值，可以利用空间向量求出两条异面直线的公共法向量，再求投影长即可. 二、多选题 5．（23-24高二上·山东德州·期末）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．点到的距离为 B．面与面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 【答案】AB 【分析】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量求法可判断A；求出平面、平面的一个法向量，可得平面平面，转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离向量求法可判断B；求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可判断C；利用点到平面的距离的向量求法可判断D. 【详解】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系， 对于A，，， 所以点到的距离，故A正确； 对于B，， ，， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为，故B正确； 对于C，，， 设为平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 因为，所以，故C错误； 对于D，因为平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离为，故D错误. 故选：AB. 【题型04：距离中的探索性问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，分别为的中点. (1)线段上是否存在点，使得？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由. 【答案】存在，距离为 【分析】（1）分别取中点O，，连接，进而以O为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在点G，设，进而根据得，再计算点到面的距离即可. 【详解】（1）分别取中点O，，连接. 因为是正三棱柱， 所以平面，. 所以平面，平面，所以. 以O为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 则. 所以. 设平面的法向量为， 所以，即 令，解得，所以. 假设存在点G，设. 所以，所以. 由知，若， 则. 解得.即G与C为同一个点. 因为，平面的法向量为， 所以点G到平面的距离. 2．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，，在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析． (2)存在，． 【分析】（1）取中点，连接，证明是平行四边形，得平行线，再由线面平行的判定定理得证线面平行； （2）证明平面，然后以为原点，为轴建立空间直角坐标系，假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是，并设，，由空间向量法求点面距后结合已知可得结果． 【详解】（1）取中点，如图，连接， ∵是中点，∴且， 又，， ∴且， ∴是平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面； （2）∵，，，∴，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又， 因此以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是， 设，， ， ∴点到平面的距离为，（舍去）， 所以． 3．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足. (1)是否存在点，使得平面？ (2)求的取值范围. (3)求点到直线的距离的最小值. 【答案】(1)存在， (2) (3) 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用，及即可求出点坐标； （2）由（1）知，利用模长公式结合二次函数求值域即可求解； （3）取中点为，则点轨迹为线段，所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离，利用向量法求出异面直线与的距离即可. 【详解】（1） 如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， ，， 设平面的法向量为， 则，可取， 设， 所以， 又，所以， 即，所以， 设存在点，使得平面， 则，解得，则， 则， 所以存在点，使得平面 （2）由（1）知， 所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以的取值范围是. （3） 由（1）知点满足， 取中点为，则点轨迹为线段， 所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离， ，，，，， 设，， 则，可取， 又， 点到直线的距离的最小值. 4．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，已知四边形为菱形，，，将菱形绕所在直线旋转到的位置，使得平面平面，连接，，得到几何体，、分别为、上的动点，且，，其中. (1)求的长； (2)是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (3)求的最小值，并求取最小值时，点到平面的距离与点到平面的距离的比值. 【答案】(1) (2)存在； (3)最小值为，比值为． 【分析】（1）取的中点，由余弦定理求得，证得和，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得，再求得平面的一个法向量，根据平面，得到，列出方程，即可求解； （3）由，得到，利用二次函数的饿性质，求得的最小值，再由向量的距离公式，分别求得到平面的距离为和到平面的距离为，即可求解. 【详解】（1）解：取的中点，连接，， 在中，，，， 由余弦定理得，所以， 所以，所以，即， 同理，且，故为二面角的平面角， 因为平面平面，平面平面， 且平面，，所以平面， 又因为平面，所以，所以， 所以在直角中，可得，所以． （2）解：由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示 则，，，， 可得，，，，，，， 因为，， 可得，， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以是平面的一个法向量， 若直线平面，则满足，即， 解得，满足，所以存在，使得直线平面. （3）解：由（2）知：， 则，当时，取得最小值，最小值为， 此时，， 因为是平面的一个法向量， 所以到平面的距离为， 此时， 又因为是平面的一个法向量， 所以到平面的距离为， 则，即当取最小值时，点到平面的距离与点到平面的距离的比值为． 一、单选题 1．（24-25高二上·福建福州·期中）已知点，直线过原点且平行于，则点到的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意取点，然后求出在方向上的投影，再结合勾股定理可求得结果. 【详解】取，又，所以，则点到的距离为 . 故选：A 2．（24-25高二上·北京西城·期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点P到平面QGC的距离是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合向量法求解点到面的距离，即可得到结果. 【详解】 建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 所以点P到平面QGC的距离是. 故选：B 3．（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点线距即可. 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 故选：B 4．（24-25高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，，，两两相互垂直，，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求得点到平面距离. 【详解】 依题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 则点到平面的距离， 故选：C. 5．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知空间四点，，，，则四面体的体积为（   ） A． B． C．15 D． 【答案】B 【分析】根据已知点坐标求平面的一个法向量，向量法求到面的距离，且为边长为的等边三角形，最后应用棱锥的体积公式求体积. 【详解】由题设为边长为的等边三角形， 且，，， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 则到面的距离， 所以四面体的体积为. 故选：B    6．（23-24高二上·广东江门·期中）在三棱锥中，，，，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的方法求距离即可. 【详解】 以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 得，， 取，， 则，， 所以点到直线的距离为． 故选：C. 7．（24-25高二下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则平面到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用线面与面面平行的判定定理可证得平面平面，根据线面平行的性质可得平面，确定平面到平面的距离为到平面的距离，结合空间向量法求解点到平面的距离即可. 【详解】由且知，四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； 由且知，四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面.又平面， 所以平面， 则到平面的距离即为平面到平面的距离. 建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以，则点到平面的距离为， 即平面到平面的距离为. 故选：A 8．（24-25高二上·山东滨州·期末）在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系后利用点到直线的距离空间向量求解后可得正确的选项. 【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设．    因为，平面，平面，故平面， 故直线到平面的距离为到平面的距离. ，， 设平面的法向量为，则由可得： ，取， 故到平面的距离，故，故， 故选：C. 9．（24-25高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积即可得解. 【详解】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 10．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，且分别是各棱的中点，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，用向量的坐标运算证明向量共面，进而证明点共面，确定平面的一个法向量，利用点到面的距离的向量计算公式求得答案. 【详解】在正方体中，以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 于是，，，，，， 则有，，， ，， 因此，，，，共面，又它们过同一点E， 所以E，F，G，H，K，L共面， 因，，又， ， 是平面的一个法向量，且， 设点到平面的距离为， 则. 故选：C. 11．（24-25高二上·重庆·期末）已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，，根据，得到，从而得到，再由向量模的坐标表示求出的最小值及此时、的值，最后利用空间向量法求出点到平面的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，， 设，，所以，， 因为，所以，即， 所以，又， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 所以，，， 设平面PMG的法向量为，所以，取， 所以当取得最小值时，点到平面PMG的距离. 故选：A 12．（24-25高二上·吉林·期中）如图1，平面四边形中，，垂足为，如图2，将沿翻折至，使得平面平面，若点为线段上的动点，则点到直线距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到直线的距离，进而求出最小值. 【详解】因为平面平面，平面，平面平面，， 所以平面，平面，则，又，， 以点为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系，连接， 则，，设，， 所以，，设与的夹角为， ，则， 所以点到直线的距离为， 由，则，所以， 所以点到直线距离的最小值为. 故选：D.    二、多选题 13．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 【答案】AB 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， ， 所以. 设，则， . 故到直线的距离，故A对. 易知， 平面的一个法向量， 则点到平面的距离，故B对. . 设平面的法向量为， 则，所以 令，得， 所以. 所以点到平面的距离. 因为平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面间的距离为，故C错. 因为， 所以 又，则， 所以点到的距离，故D错. 故选：AB. 14．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知正方体的棱长为1，动点分别在棱和线段上，满足平面，则（    ） A．到平面的距离有最大值 B．到平面的距离有最小值 C．两点距离有最大值1 D．两点距离有最小值 【答案】AD 【分析】A，B选项，建立空间直角坐标系，过点P作交BC于点E，过E作交AD于点F，通过平行将PQ到平面的距离转化为PE到平面的距离即可求解C，D选项，用两点间的距离公式表示转化为函数求最值. 【详解】如图建立空间直角坐标系，    过点作交于点，过作交于点， 则平面平面，故，过作交于点． 所以到平面的距离就是到平面的距离， 当与重合时，有最大距离为，无最小距离，故A正确B错误． 设，，则，所以， 故， 当时，，无最大值，故C错误D正确． 故选：AD 三、解答题 15．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若，在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明结论； （2）根据面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，设，结合点到直线距离公式列方程求. 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接． 为棱的中点，． ， 四边形是平行四边形，． 又平面平面平面． （2）解：． 平面平面，平面平面平面， 平面． 又平面． 又两两垂直． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则． 为棱的中点，． ①，设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是． 设，则． 由①知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是，解得． 在中，． 16．（23-24高二上·山东临沂·期末）如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，是与的交点.    (1)在线段上找一点，使得平面; (2)在（1）的条件下，求PQ与平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先以点为原点建立空间直角坐标系，并求平面的法向量，并利用参数表示向量，利用向量，即可证明线面平行； （2）根据（1）的结果，利用点到平面的距离的向量公式，即可求解. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则 ， 设平面的法向量，则，即， 令，得，是平面的一个法向量， 设， 则， 若平面，则， 从而，即，解得， ， 当为线段上靠近的三等分点时，平面; （2）由(1)知， ， 到平面的距离为. 17．（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点. (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点， 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论； （2）①以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示，设，则向量，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果． 【详解】（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点. ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面； （2）①在平面内过点作，由平面底面得平面， 菱形中，则， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，是正三角形，则， 设 即 化简得，故（舍负） 综上，存在点， 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$