专题02 实数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版2024新教材）

专题02实数 【考点1】求一个数的算术平方根★ 【考点2】利用算术平方根的非负性解题★ 【考点3】与算术平方根有关的规律探索题★★ 【考点4】求一个数的平方根★ 【考点5】已知一个数的平方根，求这个数★ 【考点6】利用平方根解方程★ 【考点7】已知一个数的立方根，求这个数★ 【考点8】算术平方根和立方根的综合应用★★ 【考点1】无理数的定义★ 【考点10】实数的性质★ 【考点11】实数与数轴★ 【考点12】无理数的大小估算★ 【考点12】无理数整数部分有关计算★★ 【考点14】实数的混合运算★★ 知识点1：算术平方根和平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 4.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2：立方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 知识点3：无理数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【考点1】求一个数的算术平方根★ 1．（23-24八年级上·四川乐山·期末）的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）的值是（    ） A．3 B． C．81 D． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）的算术平方根是（　　） A． B．3 C． D． 【考点2】利用算术平方根的非负性解题★ 1．（23-24八年级下·新疆和田·期中）已知，，且，则（ ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级下·广西河池·期末）若，则的值（    ） A． B．0 C．1 D．2024 3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若，（   ） A．1 B． C．0 D．2024 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知x，y为实数，且，则 ． 【考点3】与算术平方根有关的规律探索题★★ 1．（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）已知，，则（     ） A．110 B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知，，那么 . 【考点4】求一个数的平方根★ 1．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）的平方根是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）的平方根是（   ）． A． B． C． D．4 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）的平方根是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）的平方根是 ． 【考点5】已知一个数的平方根，求这个数★ 1．（23-24八年级上·四川乐山·期末）已知的算术平方根是，的算术平方根是， ． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知一个正数的两个平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【考点6】利用平方根解方程★ 1．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）解方程： (1) (2) 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2) 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）解方程： (1)； (2)． 4．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式中x的值． (1) (2) 【考点7】已知一个数的立方根，求这个数★ 1．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）的值等于（   ） A． B． C． D．5 2．（23-24八年级上·河北保定·期中）若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期中）写出立方根是的数为： ． 【考点8】算术平方根和立方根的综合应用★★ 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知实数的一个平方根是，的立方根是． (1)求a、b的值． (2)求的算术平方根． 3．（24-25八年级上·江西抚州·阶段练习）已知的算术平方根是2，的立方根是，的平方根是．求： (1)，，的值； (2)的平方根． 4．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）已知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根， (1)求a，b，c的值 (2)求的平方根． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知的两个平方根分别是和的立方根是2． (1)求的值； (2)求的平方根． 【考点1】无理数的定义★ 1．（2024·湖北恩施·二模）下列实数中，是无理数的是（    ） A．5 B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）在实数，0，， ，中，无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在数字，，，，（相邻两个之间的个数逐次多），，中，无理数的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【考点10】实数的性质★ 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）的相反数是 ，的倒数是 ． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）的相反数是 ． 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）实数的绝对值是 ． 【考点11】实数与数轴★ 1．（2024·北京石景山·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，以2个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点，点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）实数在数轴上对应的位置如图所示，化简：． 【考点12】无理数的大小估算★ 1．（23-24七年级下·四川南充·期中）估算在哪两个整数之间（        ） A．2和3 B．3和4 C．6和7 D．8和9 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）估计的值在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．4和5之间 D．7和8之间 3．（24-25八年级上·重庆·期中）估算的结果在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．6和7之间 【考点12】无理数整数部分有关计算★★ 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）若的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为 2．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）若，且为整数，则整数的平方根为 ． 3．（23-24七年级下·北京·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）若的整数部分是，小数部分是，则的值为 ． 5．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知的小数部分用表示．请解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)的小数部分是______． (3)如果设的小数部分为，求的值． 6．（24-25七年级上·山东东营·期末）已知的立方根是2，的算术平方根是1，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【考点14】实数的混合运算★★ 1．（23-24七年级下·四川南充·期中）计算或求x的值． (1) (2) 2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）计算： (1) (2) 3．（23-24七年级下·新疆吐鲁番·期中）计算 (1) (2) (3)； (4) 4．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）计算： (1) (2)． 一、单选题 1．（22-23八年级上·四川攀枝花·期中）9的平方根是（    ） A． B．3 C． D． 2．（2022·浙江台州·中考真题）估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．（24-25七年级上·山东烟台·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）在实数，，，0，，0.101001000100001中，无理数有（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心，的长为半径画圆，和数轴交于点（点在点的右侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．2 C．4 D． 二、填空题 8．（21-22八年级上·广东河源·期末）64的算术平方根是 ． 9．（23-24七年级下·广东阳江·期末）如图，将数，，表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是 ． 10．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的时，输出的值是 ． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若一个正数的两个不同的平方根为和，则为 ． 三、解答题 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 13．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 14．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵，∴． 当时，可忽略，得，解得，∴． (1)填空：的整数部分的值为　　； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01） （答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02实数 【考点1】求一个数的算术平方根★ 【考点2】利用算术平方根的非负性解题★ 【考点3】与算术平方根有关的规律探索题★★ 【考点4】求一个数的平方根★ 【考点5】已知一个数的平方根，求这个数★ 【考点6】利用平方根解方程★ 【考点7】已知一个数的立方根，求这个数★ 【考点8】算术平方根和立方根的综合应用★★ 【考点1】无理数的定义★ 【考点10】实数的性质★ 【考点11】实数与数轴★ 【考点12】无理数的大小估算★ 【考点12】无理数整数部分有关计算★★ 【考点14】实数的混合运算★★ 知识点1：算术平方根和平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 4.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2：立方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 知识点3：无理数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【考点1】求一个数的算术平方根★ 1．（23-24八年级上·四川乐山·期末）的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，满足，若 a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：A． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）的值是（    ） A．3 B． C．81 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，根据算术平方根的含义可得答案． 【详解】解：， 故选：A 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）的算术平方根是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．根据算术平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：，算术平方根是， ∴的算术平方根是 故选：B． 【考点2】利用算术平方根的非负性解题★ 1．（23-24八年级下·新疆和田·期中）已知，，且，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值，算术平方根的计算，根据，异号确定，的值是解决本题的关键． 已知即可得到，根据即可求得，再根据可以得到：，异号，即可确定，的值，求得的值． 【详解】解： ，， ，， ， ，异号． ，或，； 当，时，； 当，时，． 故选：C． 2．（23-24七年级下·广西河池·期末）若，则的值（    ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，以及有理数的乘方运算，根据非负数的性质求出a、b的值是解答本题的关键．先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若，（   ） A．1 B． C．0 D．2024 【答案】A 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，熟练掌握几个非负数的和为0，那么这几个非负数分别为0是本题解题关键． 根据平方和算术平方根的非负性得出和的值，即可得出的值． 【详解】解：，，， ，， 解得：，； ； 故答案选：A． 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知x，y为实数，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，根据非负数的性质可得，，代入计算即可得解，熟练掌握算术平方根的非负性是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点3】与算术平方根有关的规律探索题★★ 1．（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）已知，，则（     ） A．110 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，理解小数点的移动规律是解此题的关键． 据算术平方根的意义，被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行求解即可． 【详解】解：因为， 即， 所以， 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数阵排列，得出第行第个数（从左往右算）为；结合第行第个数与第（是整数，且）行从左向右数第个数相差个位置，据此进行列式计算即可．本题考查了算术平方根．根据数据排列规律，计算前行数据的个数是解决本题的关键． 【详解】解：由图中规律知， 第一行第二个数（从左往右算）为； 第二行第三个数（从左往右算）为； 第三行第四个数（从左往右算）为； 第四行第五个数（从左往右算）为； 以此类推， …… 第行第个数（从左往右算）为； 则 ∴第是整数，且行从左向右数第个数是． 故选：C． 3．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知，，那么 . 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．被开方数是把2的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位． 【详解】解∶ ∵，， ∴， 故答案为∶． 【考点4】求一个数的平方根★ 1．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：的平方根是； 故选C． 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）的平方根是（   ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、平方根，先求得，再求4的平方根即可，注意（易错点）． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）的平方根是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故选：． 4．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方运算、平方根等知识，理解并掌握平方根的定义是解题关键．首先求得，然后根据平方根的定义，即可获得答案． 【详解】解：∵，且9的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 【考点5】已知一个数的平方根，求这个数★ 1．（23-24八年级上·四川乐山·期末）已知的算术平方根是，的算术平方根是， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握：若一个正数x的平方等于a，即，则这个正数x为a的算术平方根．先根据算术平方根的定义得出，求出a的值，再根据算术平方根的定义和a的值，求出b的值，即可求解． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是， ∴， 即， 解得：， ∴． 故答案为： 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查平方根的性质，根据正数的平方根互为相反数求出x值是解题的关键． 由正数的平方根互为相反数，可得，即可求得x的值，再根据平方根的概念求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴ 解得：， ∴ ∴这个正数是． 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知一个正数的两个平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根的性质，平方根解方程，掌握平方根的概念及计算是解题的关键． （1）根据平方根的性质得到，解方程即可求解； （2）把代入，由平方根的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是与， ∴， 解得，； （2）解：由（1）知，则， ∴， 解得，， ∴． 【考点6】利用平方根解方程★ 1．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程． （1）先移项，然后利用平方根的性质解方程； （2）先两边同时除以2，再利用平方根的性质解方程． 【详解】（1）解：， ∴， 解得，； （2）解：， 或， 解得，． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可； 本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键． 【详解】（1）解：； ， ， （2）解： 或 解得：或． 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先将变形为，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）先将变形为，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：，． 4．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式中x的值． (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求平方根知识点，熟练掌握求平方根的方法是解本题的关键； （1）将等式整理为，再直接开平方计算求值即可； （2）直接开平方计算求值即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）， ， 或 【考点7】已知一个数的立方根，求这个数★ 1．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）的值等于（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据一个数的立方根求出这个数是解题的关键． 计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C ． 2．（23-24八年级上·河北保定·期中）若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数．熟练掌握立方根的运算是解题的关键． 由，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期中）写出立方根是的数为： ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，设这个数为，则，然后求出的值即可，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：设这个数为， 则，解得：， ∴这个数为， 故答案为：． 【考点8】算术平方根和立方根的综合应用★★ 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的意义，解题的关键是掌握平方根、立方根的意义是正确解答的关键． （1）根据平方根的意义进行计算即可； （2）根据立方根的意义进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知实数的一个平方根是，的立方根是． (1)求a、b的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，求一个数的算术平方根： （1）对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此可得，，计算求解即可得到答案； （2）对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可； 【详解】（1）解：∵实数的一个平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∴的算术平方根为6. 3．（24-25八年级上·江西抚州·阶段练习）已知的算术平方根是2，的立方根是，的平方根是．求： (1)，，的值； (2)的平方根． 【答案】(1)，，的值分别为3，9，12 (2) 【分析】本题考查立方根和平方根的综合问题，利用二次根式的性质化简等知识，掌握立方根和平方根的定义是解题的关键． （1）利用算术平方根，立方根和平方根的定义求出a、b、c即可； （2）将a、b、c的值代入中求其值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是2， ， ； 的立方根是， ， ； 的平方根是， ， ； ∴，，的值分别为3，9，12； （2）由（1）知，，，的值分别为3，9，12， ∴， 的平方根是． 4．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）已知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根， (1)求a，b，c的值 (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可； （2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴，∴； ∵，∴，∵，∴； ∵，∴； （2）把：代入得： ， ∵， ∴的平方根是：． 【点睛】本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数的平方是，叫做的平方根；算术平方根：一个非负数的平方是，叫做的算术平方根；立方根：一个数的立方是，叫做的立方根，是解题的关键． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知的两个平方根分别是和的立方根是2． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据平方根和立方根的定义求解即可； （2）由（1）知，，，根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的两个平方根是与， ， 解得：， ∴， ∴， ∵的立方根是2． ∴， （2）由（1）知，，， 的平方根为． 【考点1】无理数的定义★ 1．（2024·湖北恩施·二模）下列实数中，是无理数的是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的概念，解题的关键是熟练掌握无理数的概念． 利用无理数的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项是有理数，不符合题意； B. 该选项是无理数，故符合题意； C. 该选项是有理数，不符合题意； D. 该选项是有理数，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）在实数，0，， ，中，无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：在实数，0，， ，中，是无理数的有：，，， ∴无理数的有个， 故选：B． 3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在数字，，，，（相邻两个之间的个数逐次多），，中，无理数的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：是有理数，不符合题意； 是有限小数，属于有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是整数，属于有理数，不符合题意； （相邻两个之间的个数逐次多）是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； 综上可知：共有无理数个， 故选：． 【考点10】实数的性质★ 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数，解题的关键是掌握：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：实数的相反数是． 故选：B． 2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）的相反数是 ，的倒数是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了实数的性质，求一个数的立方根，倒数和相反数的定义，掌握以上知识是解题的关键，根据求一个数的立方根，倒数和相反数的定义进行求解． 【详解】解：的相反数是； 的倒数是 故答案为：；． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：的相反数是； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）实数的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，利用绝对值的定义计算． 【详解】解：实数的绝对值是：． 故答案为：． 【考点11】实数与数轴★ 1．（2024·北京石景山·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的加法、实数的乘法运算，先由数轴得，再运算出，，即可作答． 【详解】解：结合数轴得， 故A选项不符合题意； ∴， 故B选项符合题意； 则，， 故C选项和D选项不符合题意； 故选：B 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，以2个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点，点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根的意义，由算术平方根的意义可得小正方形的边长为，再根据题意并结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵边长为2的正方形的面积为4， ∴小正方形的面积为2， ∴小正方形的边长为， ∵在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点， ∴点所表示的数是， 故选：A． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）实数在数轴上对应的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值以及二次根式的性质与化简，正确得出各式的符号是解题的关键．直接根据数轴上a，b，c的位置得出，进而化简得出答案． 【详解】解：由数轴可得：， ， ∴ ． 【考点12】无理数的大小估算★ 1．（23-24七年级下·四川南充·期中）估算在哪两个整数之间（        ） A．2和3 B．3和4 C．6和7 D．8和9 【答案】B 【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故选B． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）估计的值在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．4和5之间 D．7和8之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）估算的结果在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算 的取值范围，进而可求出的取值范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选A 【考点12】无理数整数部分有关计算★★ 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）若的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为 【答案】/ 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用夹值法估算出的范围是解此题的关键． 根据题意求出、的范围，得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）若，且为整数，则整数的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数估算、平方根等知识，先由无理数的估算得到，再由平方根求法得到整数的平方根为，熟练掌握无理数的估算方法及平方根求法是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵为整数， ∴， ∵的平方根为， ∴整数的平方根为， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·北京·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数整数部分的有关计算，先求出，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，小数部分为， ∴，， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）若的整数部分是，小数部分是，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算．先估算出的范围，根据可得，的值，最后代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； 5．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知的小数部分用表示．请解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)的小数部分是______． (3)如果设的小数部分为，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3)3 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能够熟练运用夹逼法是解题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，再估算出的范围，即可得出答案； （3）先估算出的范围，求出的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是4，小数部分是：， 故答案为：4，； （2）解：， ， ， ， 的小数部分是 故答案为：； （3）解：， ， 的小数部分， 6．（24-25七年级上·山东东营·期末）已知的立方根是2，的算术平方根是1，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，再根据无理数的估算求出c的值即可； （2）先代入求出代数式的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， ∵的算术平方根是1， ∴， ∵， ∴即， ∴的整数部分是4， 又是的整数部分， ∴， 综上可知，，； （2）∵，，， ∴． ∴的平方根为． 【考点14】实数的混合运算★★ 1．（23-24七年级下·四川南充·期中）计算或求x的值． (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了实数的混合运算，用平方根解方程，掌握实数的运算法则和平方根的定义是解题的关键． （1）利用乘方、算术平方根、立方根的定义，绝对值的性质分别化简，再合并即可求解； （2）利用平方根的定义解答即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴， ∴， 或． 2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，立方根，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，然后根据实数的加减运算进行计算即可求解； （2）先算乘方与开方，再算乘除，后算加减，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（23-24七年级下·新疆吐鲁番·期中）计算 (1) (2) (3)； (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再计算加减即可； （2）先计算立方根和算术平方根，再算减法即可． （3）先算乘方、算术平方根和立方根，再算加减法即可； （4）先算算术平方根和立方根，绝对值，再算加减法即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根，立方根，进行化简，即可求解； （2）根据有理数的立方，化简绝对值，求一个数的立方根，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 一、单选题 1．（22-23八年级上·四川攀枝花·期中）9的平方根是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴9的平方根是， 故选：D． 2．（2022·浙江台州·中考真题）估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．由，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，熟知立方根和算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义求解即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）在实数，，，0，，0.101001000100001中，无理数有（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了无理数，算术平方根以及立方根，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键． 实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数，无限不循环小数为无理数，分为正无理数和负无理数．根据无理数的意义即可解答． 【详解】解：， 在实数，，，0，，0.101001000100001中，无理数有，，共2个． 故选：A． 5．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心，的长为半径画圆，和数轴交于点（点在点的右侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合 点所表示的数及间距离可得点所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 【详解】解：正方形的面积为，且， ， 点表示的数是，且点在点的右侧， 点表示的数为． 故选：C． 6．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由数轴可知，，即，，再计算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，，即，， ． 故选：B． 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数．解题关键是熟练掌握如何估算无理数． 先估算的大小，再根据不等式的基本性质判断的大小，从而求出，最后代入所求式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴ ， 故选：B． 二、填空题 8．（21-22八年级上·广东河源·期末）64的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于一个非负实数a，其算术平方根为，据此求解即可． 【详解】解：64的算术平方根是， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·广东阳江·期末）如图，将数，，表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，先根据数轴得被墨迹覆盖的数，再结合进行作答即可． 【详解】解：由数轴得被墨迹覆盖的数， ∵ ∴ 则能被墨迹覆盖的数是， 故答案为： 10．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，以及程序框图，解题的关键在于正确理解程序框图．将代入程序框图进行运算求解，即可解题． 【详解】解：当时， 则，是有理数， ，是有理数， ，是有理数， 是无理数， 所以输出的值是； 故答案为：． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若一个正数的两个不同的平方根为和，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键；由平方根的性质可求出的值； 【详解】解：由题意可知：， ， ， 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）4；（2）或 【分析】本题考查实数的运算，平方根，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． （1）利用算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将原方程整理后利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原方程整理得：， 则， ∴或， 解得：或． 13．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)a的值为5，b的值为 (2) 【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题． （2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，， 故a的值为5，b的值为． （2）解：由题知，， ∵， ∴的平方根是． 14．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵，∴． 当时，可忽略，得，解得，∴． (1)填空：的整数部分的值为　　； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01） （答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)12 (2)12.54 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键 （1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题目所提供的方法进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分的值为12， 故答案为：12； （2）解：如图，图中正方形的面积， 又∵， ∴． 当时，可忽略，得， 解得， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$