专题01 相交线与平行线（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版2024新教材）
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内容正文：
专题01相交线与平行线
【考点1】对顶角、邻补角★
【考点2】点到直线的距离★
【考点3】垂线段最短★
【考点4】同位角，内错角和同旁内角★
【考点5】两直线平行的条件★★
【考点6】利用平行线的性质求角★★
【考点7】平行线与折叠综合★★
【考点8】平行线的生活中的实际应用★★
【考点9】平行线的性质与判定综合★★
【考点10】平行线中常考模型★★★
【考点11】图形的平移★
【考点12】利用平移的性质求解★★
知识点1：相交线的相关概念
1. 相交线的定义
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。
图1 图2 图3
2. 对顶角的定义
若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。
如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
3. 对顶角的性质：对顶角相等。
4. 邻补角的定义
如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。
知识点2：垂线
1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O.
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
图4
如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。
知识点3：平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
知识点4：三线八角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
图5
知识点5：平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
知识点6：平行线性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
知识点7：图形的平移
1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种
移动，叫做平移变换，简称平移。
2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。
3. 平移的性质
（1）对应点的连线平行(或共线)且相等
（2）对应线段平行(或共线)且相等；
（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法
（1）找关键点；
（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点
（3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形
【考点1】对顶角、邻补角★
1．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）如图，两条直线相交于点，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了对顶角和邻补角的概念，解题关键是掌握对顶角相等和邻补角互补．由对顶角相等得到，根据已知可求出，再由邻补角的性质即可求出的度数．
【详解】解：，，
，
，
．
故选：D．
2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，和互补，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查补角，熟练掌握其定义是解题的关键．若两个角的和为，则这两个角互为补角，据此即可求得答案．
【详解】解：∵和互补，若，
∴，
故选：B．
3．（23-24七年级下·湖北宜昌·阶段练习）下列图形和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解决问题的关键．根据各选项中的图形，依据对顶角的定义逐一进行判断即可．
【详解】解： A．和符合对顶角的定义，是对顶角，故A符合题意；
B． 和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故B不符合题意；
C．和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故C不符合题意；
D．和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故D不符合题意；．
故选：A．
【考点2】点到直线的距离★
1．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，点在直线上，点，分别在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．点到直线的距离等于 B．点到直线的距离等于
C．点到直线的距离等于 D．点到直线的距离等于
【答案】B
【分析】本题考查了点到直线的距离．解决本题的关键是熟记点到直线的距离．点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念解答即可．
【详解】解：A、∵不垂直与，∴点B到直线 的距离不等于4，故本选项错误；
B、∵，∴点C到直线的距离等于5，故本选项正确；
C、∵，，∴点到直线的距离等于4，故本选项错误；
D、点B到直线的距离等于，故本选项错误．
故选：B．
2．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离∶直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，
根据定义可知点C到直线的距离即垂线段的长即可解答．
【详解】解：∵，，
∴点C到直线的距离是，
故选A．
3．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，，，，，则点P到直线l的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．5.5
【答案】C
【分析】本题主要考查了点到直线的距离判断．根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可．
【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度，
，且，
点到直线的距离是5，
故选：C．
4．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，，点E、F在上，且．则点C到的距离是 ．
【答案】3
【分析】根据点到直线的距离，即可求解．
【详解】解：∵，点E、F在上，，
∴点C到AB的距离是，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度是解题关键．
【考点3】垂线段最短★
1．（23-24八年级上·湖南永州·开学考试）如图，计划从河边的，，，处引水到处，能使所用的水管最短的引水处是（ ）
A．处 B．处 C．处 D．处
【答案】B
【分析】本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．
【详解】解：，
由垂线段最短可知，从B处引水，能使所用的水管最短．
故选：B．
2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄P， 现要建一个汽车站，且有A， B， C， D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点之间，垂线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】C
【分析】本题考查了线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短即可解答．
【详解】解：根据题意，若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”．
故选：C．
3．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，计划把水渠中的水引到水池中，可过点作的垂线，然后沿开渠，则能使新开的渠道最短，这种设计方案的数学根据是 ．
【答案】垂线段最短
【分析】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．体现了数学的实际运用价值．
【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：垂线段最短．
【考点4】同位角，内错角和同旁内角★
1．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【分析】本题考查角的关系，结合图形理解对顶角、领补角、同旁内角的概念是解题关键．根据对顶角的定义的判定即可．
【详解】解：A、和为对顶角，故符合题意；
B、和互为同旁内角，故不符合题意；
C、和为邻补角，故不符合题意；
D、和为同旁内角，故不符合题意．
故选：A．
2．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是同旁内角
C．与是同位角 D．与是内错角
【答案】A
【分析】此题主要考查邻补角、同位角、内错角、同旁内角，根据邻补角、同位角、内错角、同旁内角对选项进行判断即可求解．
【详解】解：A. 与是同旁内角，说法正确；
B. 与是邻补角，原说法错误；
C. 与是内错角，原说法错误；
D. 与是同旁内角，原说法错误；
故选：A．
3．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线与直线被直线所截，分别交于点，过点作射线，则图中的同位角有（ ）
A． B．或
C．或 D．或或
【答案】B
【分析】本题主要考查三线八角的识别，结合图形，掌握三线八角的识别方法是解题的关键．
根据同位角的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：由题意可知，的同位角为，或者．
故选：B．
4．（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中，与是内错角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．
根据内错角的定义可知，内错角是成“”字形的两个角，据此逐项分析可得答案．
【详解】解：A.、与是内错角，符合题意；
B、与不是内错角，不符合题意；
C、与不是内错角，不符合题意；
D、与不是内错角，不符合题意；
故选：A．
【考点5】两直线平行的条件★★
1．（23-24七年级下·新疆吐鲁番·期中）如图所示，点E在的延长线上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理即可直接作出判断．
【详解】解：A．∵，
∴，故A不符合题意；
B．，不能判断，故B符合题意；
C．∵，
∴，故C不符合题意；
D．∵，
∴，故D不符合题意；
故选：B．
2．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，由下列条件：①；②；③；④；不能判定的条件为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定是解题关键；
根据平行线的判定，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行，分别判定即可求解；
【详解】解：，
，正确；
② ，
，错误；
③∵，
，正确；
④，
，正确；
综上所述，②不能判定，
故选：B
3．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，直线被直线所截，请添加一个条件，使得，该条件可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键，在图中发现直线被直线所截，故可按内错角相等，两直线平行补充条件．
【详解】解：∵，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：（答案不唯一）．
4．（23-24七年级下·北京丰台·期末）如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行．
【答案】70
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案．
【详解】解：如图，
木条转动时．
当时，．
∴当时，木条a与b平行．
故答案为：70．
【考点6】利用平行线的性质求角★★
1．（23-24九年级下·湖北黄石·阶段练习）如图， ，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．根据两直线平行，同位角相等解答即可．
【详解】解：∵，
，
故选：．
2．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，与三角板有关的角的运算；过G作，则，由得；由平行线的性质得，则由即可求解．
【详解】解：如图，过G作，
∴，
∵，
∴；
∴；
∵，
∴，
∴．
故选：B．
3．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，已知直线，点E是线段上的动点，若，，则 度．
【答案】45
【分析】本题考查了平行线的性质，过点E作，由得，进而得，，再根据进行求解即可．
【详解】解：如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：45．
4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是 ．
【答案】59
【分析】此题考查了平行线的性质．根据平行线的性质得到，由平角的定义得到，即可得到．
【详解】解：∵，
，
，
．
故答案为：59
【考点7】平行线与折叠综合★★
1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，把一张两边分别平行的纸条沿着折叠，交于点G，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质以及折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意得到，由于折叠得到，即可求出，即可得到答案．
【详解】解：两边分别平行，
，
沿着折叠，
，
，
．
故选C．
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成图2，再沿折叠成图3；用α表示图3中的大小为
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
由四边形为长方形，利用平行线的性质可得出和，再结合图2中及图3中，即可求出．
【详解】图1中，∵四边形为长方形，，
∴，
∴，
∴，
∴图2中，，
∴图3中，，
∴．
故答案为：．
3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如图，一张长方形纸条沿折叠．已知：，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是折叠的性质、角度的运算、平行线的性质，解题关键是熟练掌握折叠的性质．
先根据折叠性质得出，再计算出的角度，再由平行线的性质即可得解．
【详解】解：根据折叠性质可得：，
，
，
长方形中，，
．
故答案为：．
4．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ．
【答案】/18度
【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，由折叠的性质可得，，，由邻补角的定义可求得，则有，由平行线的性质得，，从而可求解．
【详解】解：由折叠性质得：，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【考点8】平行线的生活中的实际应用★★
1．（23-24八年级上·山西阳泉·期末）为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质的应用；过点E作，则；利用两线平行，同旁内角互补可分别求得的度数，从而可求解．
【详解】解：如图，过点E作，
∵，
∴；
∴，
∴，
∴；
故选：D．
2．（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）为响应国家新能源建设的号召，某市公交站亭装上了太阳能电池板．已知，当地某一季节的太阳光线（平行光线）与水平线最大夹角为，如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相互垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转（），则m等于（ ）
A．16 B．20 C．26 D．44
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用，利用平行线的性质求解即可，熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键．
【详解】解：∵电池板与最大夹角时刻的太阳光线相互垂直，
∴与水平线的夹角为：，
要使，需要电池板与水平线的夹角为，
需将电池板逆时针旋转：，
故选：．
3．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ．
【答案】/66度
【分析】本题考查了平行线的性质．根据，可得，根据，可得，由此可得，即可得解．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
，
故答案为：．
4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ．
【答案】/72度
【分析】本题考查平行线性质的应用，由，可得，，由反射的性质可得，由此可解．
【详解】解： ，
，
由题意知，，
，
，
，
，
故答案为：．
【考点9】平行线的性质与判定综合★★
1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可；
（2）先求出的度数，根据对顶角相等得到的度数即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
又，
，
．
（2）解：，，，，
，，
，
．
2．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点．
(1)求证：；
(2)若平分，求扶手与靠背的夹角度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
（1）根据题意得到，由同位角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，则有，根据，得即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴．
3．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）如图，，．将求的过程填写完整．
已知
又 已知
又 已知
．
【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；已知；；
【分析】本题考查是平行线的判定与其性质，理解平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质与判定完成填空，即可求解．
【详解】解：∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等 ）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴ （内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
又（已知）
∴.
4．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，D，E，F，G分别是边上的点，，．
(1)求证：；
(2)若，，请求出的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．
（1）根据得 ，进而得，则，再根据，得，据此可得出结论；
（2）先由（1）的结论得，进而得，由此可得的度数．最后根据邻补角的定义求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
又，
，
，
，
．
【考点10】平行线中常考模型★★★
1．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，已知直线，当点E在直线与之间时．
(1)与之间有怎样的关系（写出结论即可）；
(2)当点E在直线与之外时，试猜想这三个角的关系并加以证明．
【答案】(1)
(2)或，见解析
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，
（1）过点E作，先证明，得出，根据角的和差计算得出结论；
（2）分两种情况：当E在的上方时或当E在的下方时，分别作辅助线根据平行线的性质求出结论．
【详解】（1）解：与之间的关系为：，理由如下：
如图1，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图2，当E在的上方时，，证明如下：
过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图3，当E在的下方时，，证明如下：
过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：．
证明：如图②，过点作，
，
，即．
可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】
（1）如图③，已知，求的度数．
（2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键．
（1）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可求解；
（2）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论；
（3）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（2）中结论得到，进而可得结论．
【详解】解：（1）如图③，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）如图④，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q，
∴，，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴．
3．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程．
解：过点E作，
（ ）．
，，
（ ），
，
，
；
【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数；
【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．
【答案】（1），两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，；（2）；（3）或
【分析】本题考查了平行线的判定及性质；
（1）由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，则，即可得证；
（2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得，即可求解；
（3）结合（1）中的结论可得，分类讨论：是钝角或是锐角时两种情况，分别根据平行线的性质求解即可．
掌握平行线的判定及性质，并能利用平行线的判定及性质进行熟练求解是解题的关键．
【详解】解：（1）过点E作，
（两直线平行，内错角相等）．
，，
（平行于同一条直线的两条直线平行），
，
，
；
（2）由（1）中探究可知，，
，且，
，
；
故答案为：，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，；
（3）如图，当为钝角时，
由（1）中结论可知，
，
；
当为锐角时，如图，
由（1）中结论可知，
，
即，
综上，的度数为或．
4．（24-25七年级上·福建漳州·期末）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能．
(1)问题情景：如图1，已知．
①问题初探：求证：；
②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数．（直接写出答案）
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质与判定；
（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证；
②过点作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解；
（2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∴
∵
∴
∴；
②，理由如下，
如图所示，过点作
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）解：如图所示，的顶点分别为，
依题意，，作，
∴
∴，
∴．
【考点11】图形的平移★
1．（23-24七年级下·全国·期末）如图平移得到的图形是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小．根据平移的性质判断即可．
【详解】解：A、图形能由原图平移得到，符合题意；
B、图形不能由原图平移得到，不符合题意；
C、图形不能由原图平移得到，不符合题意；
D、图形不能由原图平移得到，不符合题意；
故选：A．
2．（23-24七年级下·浙江·期中）观察下列四幅图案，通过平移可以得到左图的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
利用平移的性质即可得出答案．
【详解】
解：观察各选项中的图案可以发现，通过平移可以得到的是B，
故选：B．
3．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（ ）
A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格
C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格
【答案】C
【分析】本题考查图形的平移，根据平移后图形的位置，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，图①中的三角形甲先向下平移2个单位，再向右平移3个单位到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形；
故选：C．
【考点12】利用平移的性质求解★★
1．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，将三角形沿方向向右平移得到，若，且点E是的中点，则平移的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查平移的知识，熟练掌握平移的定义是关键；
本题根据点E是的中点，求得，然后根据平移的定义即可求解；
【详解】解：∵，且点E是的中点，
∴，
∵三角形沿方向向右平移得到，
∴点和对应，点和点对应，点和点对应，
∴平移的距离为：；
故选：A；
2．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向右平移得到，，，，平移距离为6，则的面积为（ ）
A．27 B．40 C．42 D．54
【答案】A
【分析】本题主要考查了平移的性质及三角形的面积公式，根据平移的性质得出，是解题的关键．根据平移的性质得出，，则，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：由平移的性质知，，，，
，，
的面积．
故选：A
3．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，这是一个9级台阶的侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的加法的应用，可以将台阶的横面、竖面平移，横向和为4米，竖向和为3米，再根据有理数的加法法则列式计算即可得出答案．
【详解】解：可以将台阶的横面、竖面平移，横向和为4米，竖向和为3米，
故在台阶上铺地毯至少需，
故选：D．
4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．
设小路宽为，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了，进而即可列出方程，求出答案．
【详解】解：利用平移，原图可转化为如图，
设小路宽为，
根据题意得：．
故选：A．
5．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米60元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要（ ）
A．298元 B．288元 C．287元 D．297元
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的平移，熟记平移的性质并理解地毯长度的求法是解题的关键．根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据长方形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解．
【详解】解：地毯的长度至少为：（米）；
（元）．
答：铺设梯子的红地毯至少需要花费至少元．
故选B．
一、单选题
1．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图所示的车标图案，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了图形的平移，把一个图形沿着某个方向移动一定的距离叫做平移，根据平移的定义进行判断．
【详解】解：A、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
B、图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意；
C、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
D、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意．
故选：B．
2．（2025·山东·二模）如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂直的定义、角的和差、角平分线的定义、对顶角的性质等知识点．由垂直的定义可得，易得，再根据角平分线的定义可得，然后运用角的和差可得，最后根据对顶角相等即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
3．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，求出，再根据邻补角的定义列式计算即可得解．
【详解】解：如图
，，
，
．
故选B．
4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是平移的性质，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质判断即可．
【详解】解：A、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故本选项不符合题意；
B、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故本选项不符合题意；
C、由平移的性质可知，故本选项不符合题意；
D、由平移的性质可知不一定等于，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查线段之间的距离的计算，理解线段之间的距离的计算，分类讨论思想是关键．
依题意有以下两种情况：①当直线在直线之间时，根据平行线间的距离可求出与之间的距离；②当直线在直线外时，根据平行线间的距离可求出与之间的距离，综上所述即可得出答案．
【详解】解：∵，与之间的距离为，与之间的距离为，
分两种情况讨论如下：
①当直线在直线之间时，如图1所示：
此时与之间的距离是：；
②当直线在直线外时，如图2所示：
此时与之间的距离是：，
综上所述：与之间的距离是或．
故选：C．
6．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，已知直线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】、本题考查了平行线的性质，根据得，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
7．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）随着时代到来，光纤通信越来越被大家熟知．如图，是光信号在光纤中传输的一小段过程，图示中可看作两个平行放置的平面镜，光信号经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，得到，由平角定义即可求出的度数．
【详解】解：如图：
两平面镜平行，
，
，
．
故选：B．
8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，若，，给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据内错角相等，两直线平行结合两直线平行，同旁内角互补，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴；故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴；故③错误，④正确；
故选D．
二、填空题
9．（23-24七年级下·广西河池·期末）已知和互为邻补角，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查邻补角，由邻补角的性质得到，又，即可求出．
【详解】解：∵和互为邻补角，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
10．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，若，再增加一个条件，使得 ，则符合要求的一个条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
根据平行线的判定方法进行求解即可．
【详解】解：添加：，
∴，
∴ ；
添加：，
∵，
∴，
∴ ；
添加：，
∴，
∴ ；
添加：，
∵，
∴，
∴ ；
故答案为：（答案不唯一）．
11．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，将沿BC方向平移一定距离得到．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了平移的性质：平移前后两图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到，，则，再利用得到，然后根据梯形的面积公式计算．
【详解】解：∵沿方向平移一定距离得到，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：12．
12．（23-24七年级下·新疆和田·阶段练习）某商场重新装修，准备在楼梯铺上地毯地毯厚度忽略不计如图是该楼梯的侧面截面图，长，高，若楼梯的宽度是，则该地毯的面积为 ．
【答案】28
【分析】本题考查平移性质的应用．根据平移的性质知地毯的长度为的长，据此即可求出地毯面积．
【详解】解：∵长，高，楼梯宽，
∴地毯的面积为：．
故答案为：28．
13．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）早在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤．木杆秤在称物时，所有秤绳都平行．如图，这是一杆古秤在称物时的一种状态，若，则的度数为 ．
【答案】/105度
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得到，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，依题意，，
∴，
∴
故答案为：．
14．（2024七年级下·河南周口·专题练习）如图，已知， ．
【答案】
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，过点作由平行线的判定与性质推出，即可得到∠1的度数．
【详解】解：如图，过点作
∴
∵
∴，
∵，
∴
∴
∴．
故答案为：．
三、解答题
15．（23-24七年级下·天津河北·期中）如图，直线，相交于点，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，邻补角的定义，熟练掌握上述知识是解题关键．
（1）根据角平分线的定义可求出，再结合对顶角相等求解即可；
（2）根据邻补角互补，结合题意可求出，再由（1）同理即可求解．
【详解】（1）解：因为，平分，
所以，
所以；
（2）解：因为，，
所以．
因为平分，
所以，
所以．
16．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，有一格点四边形．（各顶点均在格点上）
(1)将四边形经过一次平移得到四边形，点的对应点为点，请画出平移后的四边形；
(2)在（1）的条件下，求线段在平移过程中扫过的面积．
【答案】(1)见详解
(2)27
【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）观察发现，点是由A点向右平移9个单位，再向下平移2个单位得到的，因此按照相同的规律，画出B、C、D三点平移后的对应点、、，再顺次连接、、、即可得到平移后的四边形；
（2）线段扫过的图形为，按照平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图：四边形即为所求；
（2）解：如图，线段扫过的图形为，它的面积为：．
17．（23-24七年级下·广东中山·期中）如图，在中，平分，F是上一点，过点F作交于点E，点G在上且满足．
(1)求证：；
(2)若于点E，，求的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】此题考查平行线的判定和性质，
（1）根据得到，由此得到，即可证得．
（2）根据，得到，由角平分线定义及平行线的性质求出，，即可求出．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵（邻补角定义），
∴，
∴．
（2）解：因为，，
所以．
因为平分，，
所以，．
所以．
18．（21-22七年级下·北京海淀·期中）已知，，点C在上方，连接．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系；
(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系．
（1）过点C作，可得，再由平行线的性质得，则可求得；
（2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得；
（3）延长交于点Q，过点G作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解．
【详解】（1）解：过点C作，如图1，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由：
过点C作，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
由（2）可得：，
∴，
即．
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1
学科网（北京）股份有限公司
$$
专题01相交线与平行线
【考点1】对顶角、邻补角★
【考点2】点到直线的距离★
【考点3】垂线段最短★
【考点4】同位角，内错角和同旁内角★
【考点5】两直线平行的条件★★
【考点6】利用平行线的性质求角★★
【考点7】平行线与折叠综合★★
【考点8】平行线的生活中的实际应用★★
【考点9】平行线的性质与判定综合★★
【考点10】平行线中常考模型★★★
【考点11】图形的平移★
【考点12】利用平移的性质求解★★
知识点1：相交线的相关概念
1. 相交线的定义
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。
图1 图2 图3
2. 对顶角的定义
若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。
如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
3. 对顶角的性质：对顶角相等。
4. 邻补角的定义
如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。
知识点2：垂线
1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O.
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
图4
如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。
知识点3：平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
知识点4：三线八角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
图5
知识点5：平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
知识点6：平行线性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
知识点7：图形的平移
1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种
移动，叫做平移变换，简称平移。
2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。
3. 平移的性质
（1）对应点的连线平行(或共线)且相等
（2）对应线段平行(或共线)且相等；
（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法
（1）找关键点；
（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点
（3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形
【考点1】对顶角、邻补角★
1．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）如图，两条直线相交于点，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，和互补，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·湖北宜昌·阶段练习）下列图形和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点2】点到直线的距离★
1．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，点在直线上，点，分别在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．点到直线的距离等于 B．点到直线的距离等于
C．点到直线的距离等于 D．点到直线的距离等于
2．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
3．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，，，，，则点P到直线l的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．5.5
4．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，，点E、F在上，且．则点C到的距离是 ．
【考点3】垂线段最短★
1．（23-24八年级上·湖南永州·开学考试）如图，计划从河边的，，，处引水到处，能使所用的水管最短的引水处是（ ）
A．处 B．处 C．处 D．处
2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄P， 现要建一个汽车站，且有A， B， C， D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点之间，垂线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
3．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，计划把水渠中的水引到水池中，可过点作的垂线，然后沿开渠，则能使新开的渠道最短，这种设计方案的数学根据是 ．
【考点4】同位角，内错角和同旁内角★
1．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
2．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是同旁内角
C．与是同位角 D．与是内错角
3．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线与直线被直线所截，分别交于点，过点作射线，则图中的同位角有（ ）
A． B．或
C．或 D．或或
4．（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中，与是内错角的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点5】两直线平行的条件★★
1．（23-24七年级下·新疆吐鲁番·期中）如图所示，点E在的延长线上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，由下列条件：①；②；③；④；不能判定的条件为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，直线被直线所截，请添加一个条件，使得，该条件可以是 ．
4．（23-24七年级下·北京丰台·期末）如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行．
【考点6】利用平行线的性质求角★★
1．（23-24九年级下·湖北黄石·阶段练习）如图， ，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，已知直线，点E是线段上的动点，若，，则 度．
4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是 ．
【考点7】平行线与折叠综合★★
1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，把一张两边分别平行的纸条沿着折叠，交于点G，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成图2，再沿折叠成图3；用α表示图3中的大小为
3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如图，一张长方形纸条沿折叠．已知：，则 ．
4．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ．
【考点8】平行线的生活中的实际应用★★
1．（23-24八年级上·山西阳泉·期末）为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）为响应国家新能源建设的号召，某市公交站亭装上了太阳能电池板．已知，当地某一季节的太阳光线（平行光线）与水平线最大夹角为，如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相互垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转（），则m等于（ ）
A．16 B．20 C．26 D．44
3．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ．
4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ．
【考点9】平行线的性质与判定综合★★
1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
2．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点．
(1)求证：；
(2)若平分，求扶手与靠背的夹角度数．
3．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）如图，，．将求的过程填写完整．
已知
又 已知
又 已知
．
4．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，D，E，F，G分别是边上的点，，．
(1)求证：；
(2)若，，请求出的度数．
【考点10】平行线中常考模型★★★
1．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，已知直线，当点E在直线与之间时．
(1)与之间有怎样的关系（写出结论即可）；
(2)当点E在直线与之外时，试猜想这三个角的关系并加以证明．
2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：．
证明：如图②，过点作，
，
，即．
可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】
（1）如图③，已知，求的度数．
（2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值．
3．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程．
解：过点E作，
（ ）．
，，
（ ），
，
，
；
【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数；
【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．
4．（24-25七年级上·福建漳州·期末）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能．
(1)问题情景：如图1，已知．
①问题初探：求证：；
②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数．（直接写出答案）
【考点11】图形的平移★
1．（23-24七年级下·全国·期末）如图平移得到的图形是（ ）
A．B．C． D．
2．（23-24七年级下·浙江·期中）观察下列四幅图案，通过平移可以得到左图的是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（ ）
A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格
C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格
【考点12】利用平移的性质求解★★
1．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，将三角形沿方向向右平移得到，若，且点E是的中点，则平移的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向右平移得到，，，，平移距离为6，则的面积为（ ）
A．27 B．40 C．42 D．54
3．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，这是一个9级台阶的侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米60元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要（ ）
A．298元 B．288元 C．287元 D．297元
一、单选题
1．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图所示的车标图案，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·山东·二模）如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上
C． D．
5．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（ ）
A． B． C．或 D．
6．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，已知直线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）随着时代到来，光纤通信越来越被大家熟知．如图，是光信号在光纤中传输的一小段过程，图示中可看作两个平行放置的平面镜，光信号经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，若，，给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
二、填空题
9．（23-24七年级下·广西河池·期末）已知和互为邻补角，若，则 ．
10．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，若，再增加一个条件，使得 ，则符合要求的一个条件是 ．
11．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，将沿BC方向平移一定距离得到．若，则图中阴影部分的面积为 ．
12．（23-24七年级下·新疆和田·阶段练习）某商场重新装修，准备在楼梯铺上地毯地毯厚度忽略不计如图是该楼梯的侧面截面图，长，高，若楼梯的宽度是，则该地毯的面积为 ．
13．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）早在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤．木杆秤在称物时，所有秤绳都平行．如图，这是一杆古秤在称物时的一种状态，若，则的度数为 ．
14．（2024七年级下·河南周口·专题练习）如图，已知， ．
三、解答题
15．（23-24七年级下·天津河北·期中）如图，直线，相交于点，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
16．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，有一格点四边形．（各顶点均在格点上）
(1)将四边形经过一次平移得到四边形，点的对应点为点，请画出平移后的四边形；
(2)在（1）的条件下，求线段在平移过程中扫过的面积．
17．（23-24七年级下·广东中山·期中）如图，在中，平分，F是上一点，过点F作交于点E，点G在上且满足．
(1)求证：；
(2)若于点E，，求的度数．
18．（21-22七年级下·北京海淀·期中）已知，，点C在上方，连接．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系；
(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．
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