专题13.3 期末模拟测试卷（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版2024）

期末模拟测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列命题是真命题的有（    ） ①实数与数轴上的点一一对应； ②直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若，的两边与的两边分别平行，则； ⑤两直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A．①③ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①③④ 2．（24-25八年级上·四川资阳·期末）计算的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 3．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）已知a，b，c满足，，，则的值为（   ） A．5 B． C．6 D． 4．（23-24七年级下·广东广州·期末）现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共7元．1角、5角、1元硬币的取法共有（    ） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 5．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如关于，的方程组和有相同的解，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 7．（24-25八年级上·福建福州·期末）某商店的某种商品成本增加，因此商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为；其中a，b是不相等的正数．有以下说法：①方案一、方案二提价一样；②方案一提价有可能高于方案二提价；③三种方案中，方案三的提价最多；④方案三的提价有可能低于方案一的提价．其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 8．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）已知关于x，y的二元一次方程组下列结论中正确的是（    ） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当，时，；③无论a取何值，的值始终不变． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（   ） A．正方形的边长 B．正方形的边长 C．正方形的边长 D．正方形的边长 10．（24-25八年级上·广东广州·期中）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为______． 12．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知不等式组的解集为，则的值为 ． 13．（24-25八年级上·四川乐山·期末）观察等式：，，…，若，则 （用含m的代数式表示） 14．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ． 15．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图所示，的周长为，将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，如图所示．下列结论：①且；②且；③和的周长和为；④；⑤若，，则边扫过的图形的面积为，正确的是 ．（填序号） 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共9小题，满分55分） 16．（4分）（24-25七年级下·山东济南·期中）计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 17．（4分）（24-25七年级下·全国·期末）（1）解方程组： （2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 18．（4分）（24-25八年级上·重庆渝北·期末）已知． （1）若此时满足，求+的值； （2）先化简，再求值：．此时满足． 19．（6分）（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，在一个的正方形网格中有一个，的顶点都在格点上． （1）在网格中画出向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的； （2）在网格中画出关于点P成中心对称得到的； （3）若可将绕点O旋转得到，请在正方形网格中标出点O； 20．（6分）（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）根据乘方的意义可知： 一般地，对于任意不为0的底数a与任意正整数m，n，． 同理，我们有（，m，n都是正整数，并且）． 例如：． 根据所学知识，解决以下问题： （1）已知，则_______； （2）已知，求的值； （3）已知，，，，请解关于s的方程：． 21．（6分）（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． （1）求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； （2）若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案． 22．（8分）（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． （1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； （3）①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 23．（8分）（23-24七年级下·河北石家庄·期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . （2）请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . （3）若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 24．（9分）（24-25七年级上·浙江金华·期末）将直角三角板和直角三角板如图摆放，点O、B、D都在直线上，点A、C在的上方，其中，，．将三角板绕点以5度/秒的速度顺时针旋转，直至边第一次落在直线上，三角板停止转动，设三角板的旋转时间为t秒． （1）若三角板保持不动，则三角板旋转______秒时，平分； （2）若三角板旋转5秒时，三角板绕点O以3度/秒的速度逆时针开始旋转，当三角板停止转动时，三角板也停止转动． ①三角板旋转10秒时，是否平分？请说明理由； ②当t的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角？ 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末模拟测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列命题是真命题的有（    ） ①实数与数轴上的点一一对应； ②直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若，的两边与的两边分别平行，则； ⑤两直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A．①③ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①③④ 【思路点拨】 本题考查了真假命题的判断，牢记相关定义与定理是解题的关键．根据实数与数轴的关系、点到直线的距离、垂线的定义、平行公理、平行线的性质逐项判断即可． 【解题过程】 解：实数与数轴上的点一一对应，故①是真命题； 直线外的一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②是假命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③是真命题； ，的两边与的两边分别平行， 如图： 故④是假命题； 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故⑤是假命题； 所以真命题有①③， 故选：A． 2．（24-25八年级上·四川资阳·期末）计算的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 【思路点拨】 本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用． 先逆用同底数幂相乘将化成，再逆用积的乘方法则计算，即可求解． 【解题过程】 解： ． 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）已知a，b，c满足，，，则的值为（   ） A．5 B． C．6 D． 【思路点拨】 本题主要考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是根据完全平方公式将代数式转化为偶次方的和的形式，求出，，的值，将题目中的式子相加，然后利用配方法变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质即可求得所求式子的值． 【解题过程】 解： ，，， ， ， ， ， ，，， 解得，，，， 故选：． 4．（23-24七年级下·广东广州·期末）现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共7元．1角、5角、1元硬币的取法共有（    ） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 【思路点拨】 本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设1角、5角、1元硬币各取了x枚，y枚，z枚，根据题意可得方程组，求出方程组的非负整数解即可得到答案． 【解题过程】 解：设1角、5角、1元硬币各取了x枚，y枚，z枚， 由题意得，， ∴， ∴， ∵x、y、z都是非负整数， ∴是非负整数， ∴x一定是5的倍数， 当时，，则； 当时，，则，不符合题意； 综上所述，只有一种取法，1角、5角、1元硬币各取了5枚，7枚，3枚， 故选：B． 5．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如关于，的方程组和有相同的解，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【思路点拨】 本题考查了方程组相同解问题，理解方程组有相同解的意义并熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．将方程组中不含、的两个方程联立，求得、的值，联立含有、的两个方程，把、的值代入，求得、的值，即可求得答案． 【解题过程】 解：方程组和有相同的解， 则有， ，得， 解得， 把代入①，解得， 把，，代入， 得， ，得， 解得， 把代入④，解得， 当，时，． 故选：B． 6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的整数解、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次方程，根据不等式组的解的情况求参数是解题的关键．先求出的解为，从而推出，再整理不等式组为，结合不等式组无解得到，最后利用整数k的值以及是正整数的条件即可解答． 【解题过程】 解：由，得， ∵方程的解为正整数， ∴， 解得：， ∵， ∴解①得， 解②得， ∴， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 即整数， ∵为正整数， ∴，或， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：D． 7．（24-25八年级上·福建福州·期末）某商店的某种商品成本增加，因此商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为；其中a，b是不相等的正数．有以下说法： ①方案一、方案二提价一样； ②方案一提价有可能高于方案二提价； ③三种方案中，方案三的提价最多； ④方案三的提价有可能低于方案一的提价． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 【思路点拨】 本题主要考查列代数式，分别求出三次方案提价后变为原来的多少，再进行比较即可． 【解题过程】 解：方案一：两次提价后变为原来的， 方案二：两次提价后变为原来的， 方案三：两次提价后变为原来的， 所以方案一和方案二提价一样，故①正确，②错误； ， ∵， ∴， ∴方案三提价最多，故③正确，④错误． 故选：A． 8．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）已知关于x，y的二元一次方程组下列结论中正确的是（    ） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当，时，；③无论a取何值，的值始终不变． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解决问题的关键．解方程组得，再根据条件进行判断即可． 【解题过程】 解：解方程组得 ①∵x，y的值互为相反数， ∴， ∴， 解得，故①正确； ②∵，， ∴ 解得， 故②错误； ③∵，， ∴，即的值始终不变， 故③正确． 故选C． 9．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（   ） A．正方形的边长 B．正方形的边长 C．正方形的边长 D．正方形的边长 【思路点拨】 本题考查了列代数式，整式的混合运算，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积，分别设正方形的边长分别为，正方形的边长为，表示出，，再作差即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积， 设正方形的边长分别为，正方形的边长为， 则，，，，，， ∴，， ∴ 故要知道和的面积差，只需要知道的值即可，即要知道正方形的边长， 故选：． 10．（24-25八年级上·广东广州·期中）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【思路点拨】 本题考查了多项式的乘法运算及数字的变化规律，解题的关键是将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出规律． 根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【解题过程】 解：∵①； ②； ③； ④， ……， ∴． ∴ ， 因为，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为______． 【思路点拨】 本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含的二次项，则二次项的系数为． 根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项是系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解． 【解题过程】 解：， ， ， ∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为， 解得，， ， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知不等式组的解集为，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出、的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【解题过程】 解：， 解不等式①： ， ， ， 解不等式②： ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·四川乐山·期末）观察等式：，，…，若，则 （用含m的代数式表示） 【思路点拨】 本题考查了规律型：数字的变化类，幂的乘方的逆运算，由题意可知，将变形为，进而可得 ，由此可解． 【解题过程】 解：由题意知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ． 【思路点拨】 本题考查解二元一次方程组的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程组和不等式的方法．根据关于、的方程组的解满足，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决． 【解题过程】 解：， ①+②得， ， 关于、的方程组的解满足， ，得， 解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ，得，由上可得，， 符合条件的整数的值的和为：． 故答案为：5． 15．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图所示，的周长为，将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，如图所示．下列结论：①且；②且；③和的周长和为；④；⑤若，，则边扫过的图形的面积为，正确的是 ．（填序号） 【思路点拨】 本题考查平移的性质，利用平移的性质即可判断结论①②③；利用平移可得，根据，，即可判断结论④；根据边扫过的图形的面积等于，即可判断结论⑤．解题的关键是掌握平移的性质：平移前后图形的形状大小都不变，对应边平行且相等，对应点的连线平行且相等． 【解题过程】 解：∵将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置， ∴且；且；， 故结论①②正确； ∵将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置， ∴，， ∴和的周长和为：， 故结论③正确； ∵， 又∵，， ∴， 故结论④正确； 根据平移可知，， 则边扫过的图形的面积为： ， 即边扫过的图形的面积为， 故结论⑤错误； 综上所述，正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共9小题，满分55分） 16．（4分）（24-25七年级下·山东济南·期中）计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【思路点拨】 此题考查了乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，平方差公式和单项式乘多项式法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先计算乘方，负整数指数幂，零指数幂和绝对值，再计算加减即可； （2）把化为，再利用平方差公式计算即可； （3）单（多）项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可； （4）先利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2） ； （3） ； （4） . 17．（4分）（24-25七年级下·全国·期末）（1）解方程组： （2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】 本题考查的是解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示即可． 【解题过程】 解：（1）整理方程组，得 ，得， 解得， 把代入②，得， 则方程组的解为； （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 则不等式组的解集为． 将不等式组的解集表示在数轴上如下： ． 18．（4分）（24-25八年级上·重庆渝北·期末）已知． （1）若此时满足，求+的值； （2）先化简，再求值：．此时满足． 【思路点拨】 （1）利用完全平方公式的变形运算计算即可求解； （2）根据整式的运算法则先化简，再利用完全平方公式的变形运算计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的变形运算，整式的混合运算化简求值，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：； （2）解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式 ． 19．（6分）（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，在一个的正方形网格中有一个，的顶点都在格点上． （1）在网格中画出向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的； （2）在网格中画出关于点P成中心对称得到的； （3）若可将绕点O旋转得到，请在正方形网格中标出点O； 【思路点拨】 本题考查了作图—平移变换、旋转变换，熟练掌握平移与旋转的性质是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接和，交点即为所求． 【解题过程】 （1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图：点即为所求， 20．（6分）（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）根据乘方的意义可知： 一般地，对于任意不为0的底数a与任意正整数m，n，． 同理，我们有（，m，n都是正整数，并且）． 例如：． 根据所学知识，解决以下问题： （1）已知，则_______； （2）已知，求的值； （3）已知，，，，请解关于s的方程：． 【思路点拨】 （1）根据同底数幂的乘法，即可得到结果； （2）根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用化简原式，然后代入已知条件，即可得到结果； （3）根据题意，由同底数幂的乘法得到，由同底数幂的除法得到，然后利用幂的乘方及幂的乘方的逆用对方程进行变形，再将，代入到方程中，解方程，即可得到结果． 【解题过程】 （1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ； （3）解：，，，， ，， 即：，， ， ， 即：， 解得：． 21．（6分）（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． （1）求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； （2）若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案． 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等组的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意列出方程组求解即可； （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意列出不等组，求解即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意得： ， 解得：， 答：每辆型车、型车坐满后各载客人、人； （2）解：设租用型车辆，则租用型车辆，由题意得： ， 解得：， ∵取正整数， ∴， ∴共有种租车方案； 方案一、租用型车5辆，则租用型车5辆； 方案二、租用型车6辆，则租用型车4辆； 方案三、租用型车7辆，则租用型车3辆； 方案四、租用型车8辆，则租用型车2辆． 22．（8分）（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． （1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； （3）①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解． （1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可； （2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可； （3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可； ②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：方程①的解为； 方程②的解为； 方程③的解为； 不等式组的解集为， ∵， ∴不等式组的关联方程是方程③， 故答案为：③； （2）解：解不等式组，得， 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程0， 得； （3）解：①， 解得； ， 解得； ②不存在．理由如下： 解不等式组， 得， 假如方程和都是关于的不等式组的关联方程， 则且． 解得：且 ∴不等式组无解， 不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程． 23．（8分）（23-24七年级下·河北石家庄·期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . （2）请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . （3）若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 【思路点拨】 本题考查拼图与整式的乘法，数形结合是解题的关键. （1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可； （2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案； （3）先画长方形，长为，宽为，观察图形可得答案； （4）①利用和计算即可； ②设，，利用求出，再利用求出，最后把还原后求解即可. 【解题过程】 （1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：， 方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即， 故答案为：，； （2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的， ∴， 故答案为： （3）拼图如下：    观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张. 故答案为：1，3，2； （4）①根据（2）题可得， ∵,， ∴ ∴， ； ②设，， ∵， ∴， 又∵， ∵ ∴， ∴， 由，得 ∴， 即， 整理，得，即 ∴. 24．（9分）（24-25七年级上·浙江金华·期末）将直角三角板和直角三角板如图摆放，点O、B、D都在直线上，点A、C在的上方，其中，，．将三角板绕点以5度/秒的速度顺时针旋转，直至边第一次落在直线上，三角板停止转动，设三角板的旋转时间为t秒． （1）若三角板保持不动，则三角板旋转______秒时，平分； （2）若三角板旋转5秒时，三角板绕点O以3度/秒的速度逆时针开始旋转，当三角板停止转动时，三角板也停止转动． ①三角板旋转10秒时，是否平分？请说明理由； ②当t的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角？ 【思路点拨】 （1）旋转后，旋转角等于，根据平分求出，然后根据平角定义列方程求解即可； （2）①求出旋转后的度数，即可判断； ②分平分，平分，平分三种情况讨论即可． 【解题过程】 （1）解：如图， ∵平分， ∴， ∵旋转， ∴， 根据题意，得， 解得， 即三角板旋转秒时，平分， 故答案为：； （2）解：①不是的平分线， 理由：当时，如图， 此时，， ∴， ∴不是的平分线； ②当平分时，如图， 此时，， ∴， 根据题意，得， 解得； 当平分时，如图， 此时，， ∴， 根据题意，得， 解得； 当平分时，如图， 此时，， ∴， 根据题意，得， 解得； 综上，当t的值为或或时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$