暑假复习综合测试卷（范围：必修第二册全册）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

暑假复习综合测试卷（范围：必修第二册全册） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·北京·期中）已知复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】利用复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【解答过程】因为， 所以在复平面内对应的点在，位于第二象限. 故选：B. 2．（5分）（24-25高一下·北京·阶段练习）已知单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对等式两边同时平方，即可求出结果. 【解答过程】化简得， ， ，， ， 故选:C. 3．（5分）（24-25高一上·江西·期末）某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，发车顺序随机，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，他先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他没有乘坐下等车的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由列举法可得所有可能的客车通过顺序的情况，分析他没有乘坐下等车的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案． 【解答过程】根据题意，所有可能的客车通过顺序的情况为 （上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），（中，下，上），（下，中，上），（下，上，中）， 共6种， 其中该人可以不坐下等车情况有除第一种情况外的其余5种情况，则其概率为． 故选：D. 4．（5分）（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论正确的是（   ） A．75%分位数为1 B．平均数为1.2 C．方差为1 D．极差为4 【解题思路】写出测试结果标记后得到数据，再利用极差，平均数，方差，百分位数的定义以及计算公式即可求解. 【解答过程】将8次测试结果标记后得到数据0，0，0，1，1，1，2，3， 对于A：因为，所以数据的75%分位数为：，故A错误； 对于B：平均数为，故B错误； 对于C：方差为，故C正确； 对于D：极差为，故D错误． 故选：C. 5．（5分）（24-25高一下·天津滨海新·期中）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如图所示，已知正方体边长为，则该石凳的体积为（   ）    A． B． C． D． 【解题思路】正方体体积减去截去的八个四面体体积即可. 【解答过程】截去的四面体体积，正方体体积， 所以石凳的体积为. 故选：B. 6．（5分）（24-25高一下·江西赣州·开学考试）新高考选科要求，语数外＋（物理，历史）二选一＋（政治，地理，化学，生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B选历史”，事件C选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件对立 D． 【解题思路】根据互斥事件的概念判断A；根据对立事件的概念判断C；根据古典概型的概率公式判断BD. 【解答过程】由题意，用表示选择物理，用表示选择历史，用数字分别表示选择政治，地理，化学，生物， 则样本空间， 共有12个样本点，即，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型. 对于A，， 则事件，所以事件与事件不互斥，故A错误； 对于B，因为，所以， 则，故B错误； 对于C，， 则，且，所以事件与事件对立，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误， 故选：C. 7．（5分）（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】过点作平面于，在平面内过作，，垂足分别为，，连接，，可得为直线与平面所成的角，进而结合题设求角即可. 【解答过程】过点作平面于，在平面内过作，， 垂足分别为，，连接，， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以，， 又，，，平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 得，又， 因此四边形为正方形，，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 故选：B. 8．（5分）（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【解答过程】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·甘肃·阶段练习）如图1为某省2024年1~4月份快递业务量统计图，图2为该省2024年1~4月份快递业务收入统计图，对统计图理解正确的是（    ） A．2024年月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件 B．2024年月份快递业务量同比增长率均超过，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关 C．从两图中看，业务量与业务收入变化高度一致 D．从月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长 【解题思路】根据题意，结合两个统计图，对选项逐一判断，即可得到结果． 【解答过程】对于A，由图1可知，快递业务量3月份为4397万件，2月份为2411万件，差值为万件，故A正确； 对于B，由图1可知2024年月份快递业务量同比增长率均超过，在3月份最高，故B正确； 对于C，由两图易知业务量从高到低是3月4月1月2月，业务收入从高到低是3月4月1月2月，保持高度一致，故C正确； 对于D，由图2知业务收入2月比1月减少，4月比3月减少，整体不具备高速增长之说，故D错误； 故选：ABC． 10．（6分）（24-25高一下·吉林·阶段练习）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则有两解 【解题思路】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解. 【解答过程】对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B，，故边最长，角最大. 设， 则. 所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 对于C，，则或，即或，则为直角三角形或等腰三角形，故C错误； 对于D，， 根据正弦定理 ，所以有两解，所以有两解，故D正确. 故选：AD. 11．（6分）（24-25高一下·吉林·期中）在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，则下列选项正确的有（    ） A．直线与直线所成的角是 B．二面角的平面角是 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．三棱锥外接球半径为 【解题思路】A.易知直线与直线所成的角为判断；B.由面，得到二面角的平面角是判断；C.易知平面截正方体所得的截面图形为梯形判断；D.确定的外接圆半径为，易知外心为的中点，且到面距离为，再由三棱锥外接球半径为判断. 【解答过程】A.如图所示： 易知，所以直线与直线所成的角为，易知， 所以直线与直线所成的角是，故正确； B.如图所示： 面，平面，所以， 则二面角的平面角是，易知， 所以二面角的平面角是，故错误； C.如图所示： 易知平面截正方体所得的截面图形为梯形，作， 易知 ，则， 所以梯形的面积为，故正确； D.如图所示： 易知，的外接圆半径为，则 ， 所以 ，外心为的中点，且到面距离为， 所以 三棱锥外接球半径为，故正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知，其中，则 . 【解题思路】根据复数相等，列出方程组计算即可. 【解答过程】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为 . 【解题思路】根据题意，列举出“甲与乙比赛负1场且最终甲获胜”的所有基本事件，利用独立事件的概率乘法公式计算出相应概率. 【解答过程】设甲乙比赛中甲胜乙负为事件，甲负乙胜为事件；甲丙比赛中甲胜丙负为事件，甲负丙胜为事件;乙丙比赛中乙胜丙负为事件，乙负丙胜为事件. 设甲与乙比赛负1场且最终甲获胜为事件， 则 ， 故答案为： 14．（5分）（24-25高一下·福建三明·期中）宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为 米. 【解题思路】分别在以及表示出，然后在中，结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【解答过程】设塔高为， 在中，，则， 在中，，则，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即， 化简可得，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数，且是实数． (1)求； (2)在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）利用复数的乘法运算结合复数的定义，列式计算求得即可得； （2）利用复数的加法运算及复数的几何意义，列出不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为 所以 由是实数，得， ∴， （2）由（1）知， ∴， ∵复数对应的点在第四象限， ∴，解得 实数m的取值范围是. 16．（15分）（24-25高三上·江西宜春·期末）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 【解题思路】（1）由题意结合各组频率之和为1，即可求得的值，利用中位数的计算方法即可求得中位数； （2）利用平均值以及方差公式，即可求得答案. 【解答过程】（1）由第二组的频数是第一组频数的2倍，可知第二组的频率是第一组频率的2倍， 即，则； 又，解得； 由于成绩在内的频率为，在内的频率为， 故中位数位于，设为m，则，解得； （2）由，可得， 则剔除其中的75和85两个分数，剩余8个数平均数为； 又标准差， 故， 则， 则剩余的8个数的方差为. 17．（15分）（24-25高一下·江苏盐城·期中）在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点. (1)若点E满足，且，求的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围. 【解题思路】（1）根据图形用表示出，即可得参数值； （2）令且，进而得，，再应用向量数量级的运算律求得，即可得范围. 【解答过程】（1）由 ， 又，即，故； （2）如下图，令且， ， ， 所以 ， 所以. 18．（17分）（24-25高一上·江西·期末）多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分． (1)考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率； (2)现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率． 【解题思路】（1）设相应事件，利用列举法结合古典概型运算求解； （2）分析得分刚好得18分的可能性情况，根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式运算求解. 【解答过程】（1）甲同学所有可能的选择答案有14种：，，，，，，，，，，，，，， 设事件表示“猜对本题至少得2分”， 则，有7个样本点， 所以. （2）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，乙丙总分刚好得18分的情况包含： 事件E：乙得12分有一种情况，丙得6分有，，三种情况， 则， 事件F：乙得9分有，两种情况，丙得9分有，两种情况， 则 事件G：乙得6分有，，三种情况，丙得12分有一种情况， 则， 故乙丙总分刚好得18分的概率. 19．（17分）（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）借助余弦定理证得，再利用面面垂直的性质推理得证. （2）作出线面角，利用定义法求出大小. （3）延长棱台侧棱还原成棱锥，再利用面面角的定义计算推理即可. 【解答过程】（1）在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. （2）过，垂足为， 因为平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面， 得  又，平面， 则平面，为与平面所在角，， 因此，所以与平面所成角为. （3）三棱台侧棱延长线交于一点，由（1）得为正三角形， 由平面，平面，得平面平面，取中点， 则，而平面平面，平面，则平面， 作交于，则平面，而平面，则， 作于，连接，即在平面上的射影，    又，平面，则平面， 又平面，于是，为二面角的平面角， 若存在使得二面角的大小为，即， 设，则，， 即，解得，，， 因此，， 所以存在满足题意的点. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假复习综合测试卷（范围：必修第二册全册） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握所学内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·北京·期中）已知复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（5分）（24-25高一下·北京·阶段练习）已知单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高一上·江西·期末）某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，发车顺序随机，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，他先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他没有乘坐下等车的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论正确的是（   ） A．75%分位数为1 B．平均数为1.2 C．方差为1 D．极差为4 5．（5分）（24-25高一下·天津滨海新·期中）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如图所示，已知正方体边长为，则该石凳的体积为（   ）    A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高一下·江西赣州·开学考试）新高考选科要求，语数外＋（物理，历史）二选一＋（政治，地理，化学，生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B选历史”，事件C选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件对立 D． 7．（5分）（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·甘肃·阶段练习）如图1为某省2024年1~4月份快递业务量统计图，图2为该省2024年1~4月份快递业务收入统计图，对统计图理解正确的是（    ） A．2024年月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件 B．2024年月份快递业务量同比增长率均超过，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关 C．从两图中看，业务量与业务收入变化高度一致 D．从月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长 10．（6分）（24-25高一下·吉林·阶段练习）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则有两解 11．（6分）（24-25高一下·吉林·期中）在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，则下列选项正确的有（    ） A．直线与直线所成的角是 B．二面角的平面角是 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．三棱锥外接球半径为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知，其中，则 . 13．（5分）（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为 . 14．（5分）（24-25高一下·福建三明·期中）宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为 米. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数，且是实数． (1)求； (2)在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 16．（15分）（24-25高三上·江西宜春·期末）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 17．（15分）（24-25高一下·江苏盐城·期中）在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点. (1)若点E满足，且，求的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围. 18．（17分）（24-25高一上·江西·期末）多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分． (1)考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率； (2)现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率． 19．（17分）（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$