专题06 概率（十四大题型+思维导图+知识清单+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

专题06 概率 【人教A版（2019）】 【知识清单1 有限样本空间与事件】 1．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具 有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果， 则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 2．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们 将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 3．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，···，A∪B∪C∪··· (或 A+B+C+···)发生当且仅当A，B，C，···中至少一个发生，A∩B∩C∩··· (或ABC···)发生当且仅当A，B，C，···同时发生. 4．样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举， 即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以 便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 5．用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 【题型1 事件的分类】 【例1】（24-25高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【解题思路】利用随机事件的定义求解即可. 【解答过程】由题意得A，B，D的概率为1，所以是必然事件， C的概率不为0，也不为1，所以它是随机事件，故C正确. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（    ） A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 【解题思路】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断. 【解答过程】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片， 在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确； 在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确； 在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误； 在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确． 故选：C． 【变式1-2】（24-25高一·全国·课后作业）掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子（如图），观察向上的ｰ面的点数，下列属必然事件的是（    ） A．出现的点数是7 B．出现的点数不会是0 C．出现的点数是2 D．出现的点数为奇数 【解题思路】根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义判断即可. 【解答过程】掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子， 是不可能出现0的， 所以事件出现的点数不会是0为必然事件，B正确； 掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子， 是不可能出现7的， 所以事件出现的点数是7为不可能事件，A错误； 掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子， 可能出现2点，也可能不出现3点， 所以事件出现的点数是2和事件出现的点数为奇数都为随机事件，C，D错误， 故选：B. 【变式1-3】（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【解题思路】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断 【解答过程】对于①，三个球全部放入两个盒子，就是将3个分成两部分，其中一部分1个球，另一部分2个球，所以必有一个盒子有一个以上的球，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确， 故选：C. 【题型2 事件的关系和运算】 【例2】（24-25高二上·黑龙江双鸭山·开学考试）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球” C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球” 【解题思路】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答. 【解答过程】对于A，恰好有一个黑球的事件与恰好有两个黑球的事件不能同时发生，可以同时不发生， 因此“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而不对立的两个事件，A是； 对于B，至少有一个黑球的事件与都是红球的事件是对立事件，B不是； 对于C，至少有一个黑球的事件与至少有一个红球的事件可以同时发生，不互斥，C不是； 对于D，至少有一个黑球的事件与都是黑球的事件可以同时发生，不互斥，D不是. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高一·全国·课后作业）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可. 【解答过程】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中， 则样本空间. 由题意得，，，， 则，，且.即ABC都正确； 又，. .故D不正确. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一·全国·课后作业）抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（    ） A． B． C．表示向上的面的点数是1或2或3 D．表示向上的面的点数是1或2或3 【解题思路】由题意，得到事件，所包含的基本事件，由此分析判断即可． 【解答过程】解：由题意可知，，，，， 所以，，2，， 则表示向上的面的点数是1或2或3，故ABD错误，C正确． 故选：C． 【变式2-3】（24-25高一·全国·单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，则，，可判断A,C; 事件B与D是互斥事件,判断B; 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示至少有一名男生，由此判断D. 【解答过程】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，， 故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故，故B正确， 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生， 故，D错误， 故选：D. 【知识清单2 古典概型】 1．古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同， 有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 【题型3 计算古典概型问题的概率】 【例3】（24-25高一上·北京房山·期末）掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为奇数”，事件“点数为的整数倍”，若，分别表示事件，发生的概率，则（    ） A．， B．， C． D． 【解题思路】利用古典概型求解概率即可. 【解答过程】首先，我们知道投掷的点数有， 对于，符合条件的有，对于，符合条件的有， 故，，故B正确. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一下·全国·课后作业）某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由列举法可得所有可能的客车通过顺序的情况，分析可得该人可以乘上上等车的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案． 【解答过程】根据题意，所有可能的客车通过顺序的情况为 （上，中，下），（上，下，中），（中，上，下）， （中，下，上），（下，中，上），（下，上，中），共6种， 其中该人可以乘坐上等车的情况有（中，上，下），（中，下，上），（下，上，中），共3种， 则其概率为． 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设3个红球为A,B,C,2个黑球为,分别列出试验的样本空间和所求事件含的基本事件，利用古典概型概率公式计算即得. 【解答过程】设3个红球为A,B,C,2个黑球为. 因为试验为“从中依次不放回地随机抽取出2个球”， 故试验的样本空间为：， 记“两次取到的球颜色相同”,则， 由古典概型概率公式，可得. 故选：B. 【变式3-3】（23-24高一下·江苏南通·期末）一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用古典概型可解． 【解答过程】根据题意，设个苹果分别记为：和，个桃子编号为， 从盘中任选两个，可得 共种情况． 选中的水果品种相同的选法有：，，有种． 所以选中的水果品种相同概率为：． 故选：C. 【题型4 古典概型与统计综合】 【例4】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求出原始数据的下四分位数为3，再重新求得新的一组数据的下四分位数，求出满足题意的所有的取值，即可求得相应概率. 【解答过程】易知样本数据共6个，，因此样本数据的下四分位数为第2个数，即3； 添加一个数构成一组新的样本数据共有7个数，，因此新数据的下四分位数为第2个数，也得为3； 所以添加的数大于等于3即可满足题意，即可以为； 在中任选一个作为共有6种选择， 因此所求概率. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高一下·全国·课后作业）从一批苹果中随机抽取50个，其质量（单位：）的频数分布表如下： 分组 频数 5 10 20 15 用分层随机抽样的方法从质量在和内的苹果中共抽取4个，再从抽取的4个苹果中任取2个，则有1个苹果的质量在内的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出质量在和内的苹果各有多少个，用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率． 【解答过程】解：设从质量在内的苹果中抽取个，则从质量在内的苹果中抽取个， ∵频数分布表中，两组的频数分别为5，15， ∴，解得， 即抽取的4个苹果中质量在内的有1个，记为， 质量在内的有3个，记为， 从抽取的4个苹果中任取2个，其所有可能的结果为，共6个，其中有1个苹果的质量在内的所有可能的结果为，共3个， ∴所求概率为， 故选：A． 【变式4-2】（24-25高一下·全国·单元测试）某新能源汽车销售部为了满足广大客户对新能源汽车性能的需求，随机抽取了500名用户进行问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按分组，并绘制出了部分频率分布直方图，如图所示． (1)请将频率分布直方图补充完整； (2)估计样本中所有用户的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）； (3)销售部从年龄在两组的样本中用分层抽样的方法抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率． 【解题思路】（1）根据频率分布直方图计算缺少的部分的频率，再补充频率分布直方图即可； （2）利用频率分布直方图中平均数估计的计算公式计算即可； （3）根据分层抽样，计算年龄在内的有1人,记为A；年龄在内的有3人，分别记为，由列举法以及古典概型的概率计算公式计算可得答案. 【解答过程】（1）年龄在的频率为， 补充完整的频率分布直方图如图所示． （2）所有用户的平均年龄的估计值为 ， 故估计样本中所有用户的平均年龄为45岁． （3）由分层抽样的方法可知，抽取的4人中，年龄在内的有1人，记为A， 年龄在内的有3人，分别记为， 则从这4人中随机抽取2人的所有样本点有 ，共6种． 记这2人取自不同年龄区间为事件M，其样本点有，共3种， 故这2人取自不同年龄区间的概率为． 【变式4-3】（23-24高一下·江苏淮安·期末）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩（满分100分）整理成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数； (2)利用频率直方图的组中值求2000名师生的平均成绩； (3)从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求2人的成绩来自同一区间的概率． 【解题思路】（1）根据频率分布直方图性质可得a，根据中位数的定义计算即可； （2）根据平均数定义计算即可； （3）根据古典概型公式计算即可． 【解答过程】（1）根据频率分布直方图性质，可得， 所以， 因为共五组，前四组的频率和且最后一组的频率， 设中位数为x，则 根据中位数的定义，可得， 所以； （2）根据平均数定义，可得， 即2000名师生的平均成绩为80. （3）因为第四组与第五组的频率之比为2:1， 故按照分层抽样第四组抽取人数为4人，记为a，b，c，d；第五组抽取人数为2人，记为e，f， 从6人中选出2人，共有， 共有15种， 其中选出的2人来自同一组有7种， 则选出的2人中来自同一组的概率为． 【知识清单3 概率的基本性质】 1．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，···，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+···+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=P（A）， P(A)=P(B). 性质5 如果，那么P（A）≤P（B）. 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B）. 【题型5 概率的基本性质及其应用】 【例5】（24-25高一上·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 【解题思路】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，求得，，即可判断；对D，求得即可判断. 【解答过程】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正. 则事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 对于A，事件与事件不是互斥事件， 它们有可能同时发生，故A错误； 对于B，试验结果除了和外，还有其它结果如反反，所以事件与事件不是相互对立事件，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C错误； 对于D，，，所以，故D正确. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件求出和，再利用概率的性质求出. 【解答过程】因为，所以. 又 所以. 故. 故选：D. 【变式5-2】（多选）（23-24高一下·湖南怀化·期末）设A，B是两个随机事件，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据事件的运算关系以及对立事件的概率，一一判断各选项，即得答案. 【解答过程】由，，即， 知，所以C错误. 又，所以A正确. 同理可得，B正确. 又，所以D正确.    故选：ABD. 【变式5-3】（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 【解题思路】（1）利用概率的加法公式即可； （2）利用互斥事件的概率公式即可； （3）利用对立事件的概率公式即可. 【解答过程】（1）由概率的加法公式，可得， 则. （2）因事件是事件的对立事件，则， 依题意，事件与事件互斥，则， 即，解得. （3）因事件是事件和事件的交集的对立事件， 则. 【知识清单4 事件的相互独立性】 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它 们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，···，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)···P(An). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=∅. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 或 P(A)+P(B) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 [P(A)+P(B)] A，B恰有一个发生 P(A)+P(B) A，B中至多有一个发生 1 P(A)P(B) 3．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【题型6 相互独立事件与互斥事件的判断】 【例6】（24-25高一下·河南安阳·阶段练习）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件 C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件 【解题思路】首先列举样本空间，利用样本空间法，结合互斥，对立事件的定义，判断ABD，根据与的关系，判断C. 【解答过程】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5， 从中随机取出两个球的试验样本空间包含的样本点为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个， 其中事件A包含的样本点为：（1,3），（1,5），（3,5）共3个，故， 事件B包含的样本点为：（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5）共7个，故； 事件C包含的样本点为：（1,3），（1,5），（2,4），（3,5）共4个，故， 事件D包含的样本为：（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个，故， 因为事件，，故事件A与B互斥且对立，故A，B正确； 因为,所以C与D不相互独立，故C错误. 因为,所以C与D不互斥，故D正确. 故选:C. 【变式6-1】（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【解题思路】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，即可判断选项. 【解答过程】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确； B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确； C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确； D. 若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误. 故选：D. 【变式6-2】（23-24高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【解题思路】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；对于BD：根据互斥事件、对立事件的概念分析判断；对于C：根据事件概率乘法公式分析判断. 【解答过程】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 【变式6-3】（2025·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（    ） A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥 C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立 【解题思路】利用互斥事件，独立事件的定义即得. 【解答过程】由题意得，， 所以. 所以与，与均相互独立，与，与均不互斥. 故选：A. 【题型7 相互独立事件的概率】 【例7】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求得均不正常工作的概率，再结合对立事件、独立事件概率计算公式即可求解； 【解答过程】由题可知，元件均不正常工作的概率为， 则元件中至少有一个正常工作的概率为， 从而该系统正常工作的概率为． 故选：B. 【变式7-1】（23-24高一下·河北沧州·期末）甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意甲班最终获胜分三种情况进行讨论，进而求出结果. 【解答过程】甲班最终获胜有三种情况： ①甲班前两场获胜； ②甲班第1场和第3场获胜，第2场输； ③甲班第1场输，第2场和第3场获胜. 故甲班最终获胜的概率为. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高一下·江西·阶段练习）甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先设出三个事件然后根据题意及独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式列方程求对应三个事件的概率，再根据公式算出甲命中乙也命中的概率. 【解答过程】设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“丙命中”， 由题意解得 故甲命中乙也命中的概率为. 故选D. 【变式7-3】（24-25高一下·甘肃武威·阶段练习）2023年华为回归推出双旗舰的传统，3—4月份发布P系列，9—10月份发布Mate系列，华为P60和Mate60机型分别搭载高通骁龙8＋GEN14G和高通骁龙8＋GEN24G芯片组，性能优异．互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家商城购买手机，张三与李四购买华为手机的概率分别为0.7，0.5，购买价位在5000元以上的手机的概率分别为0.4，0.6，假设张三与李四购买什么款式的手机相互独立． (1)求恰好有一人购买华为手机的概率； (2)求至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率． 【解题思路】（1）利用独立事件乘法概率公式，结合互斥事件概率公式，即可求解； （2）首先分别计算张三和李四购买价位在5000元以上的华为手机的概率，再结合 独立事件和互斥事件概率公式，列式求解. 【解答过程】（1）设张三购买华为手机为事件，李四购买华为手机为事件， 则恰好有一人购买华为手机的概率 （2）设张三购买5000元以上手机为事件，李四购买5000元以上手机为事件， 张三购买5000元以上的华为手机为事件，李四购买5000元以上的华为手机为事件， 则，, 所以至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率 . 【题型8 独立事件与其他知识综合】 【例8】（23-24高一下·天津·期末）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【解题思路】对于A，根据古典概型的概率公求解判断，对于B，根据互斥事件的定义分析判断，对于C，根据独立事件的定义分析判断，对于D，根据和事件的概率公式求解判断. 【解答过程】对于A，因为有4个数字，向下的数字为2或3的有2种，所以，错误； 对于B，由题意，事件和事件有可能同时发生，如第一次向下的数字为2，第二次向下的数字为1，所以B错误， 对于C，因为两次数字和为奇数的有：，共8种，所以， 第一次数字为2或3，且两次数字和为奇数的有：，4种，所以， 因为，所以，所以事件与事件相互独立，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 故选：C. 【变式8-1】（23-24高一下·广东广州·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，事件“两枚硬币都正面朝上”，事件“至少一枚硬币反面朝上”则（    ） A．与独立 B．与互斥 C． D． 【解题思路】写出样本空间及事件，再结合相互独立事件、互斥事件判断AB；利用古典概率公式计算判断CD. 【解答过程】样本空间{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件{(正,正),(正,反)}， 事件{(正,反),(反,反)}，事件{(正,正)}，事件{(正,反),(反,正),(反,反)}， 对于A，，而，，与不独立，A错误； 对于B，事件可以同时发生，与不互斥，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，{(正,正),(正,反),(反,反)}，，D正确. 故选：D. 【变式8-2】（多选）（24-25高一上·山东威海·期末）口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（   ） A．A与B互斥 B． C．A与B独立 D． 【解题思路】根据互斥事件、独立事件的概念判断A、C，根据和事件、交事件的定义及古典概型的概率公式计算即可判断B、D； 【解答过程】对于A，当取到的小球为黑球，且编号为③，事件和事件同时发生，所以， 故与不互斥，故A错误； 对于B，表示、同时发生的概率，即取到的小球为黑球且编号为③，所以，故B正确； 对于C，表示取出的小球的编号为③的概率，则， 表示取出的小球是黑球的概率，则， 因为，所以事件A与B不独立，故C错误； 对于D，表示取到的小球标号为③或黑球，所以，故D正确. 故选：BD． 【变式8-3】（24-25高一下·江西景德镇·期中）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位） (2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率． 【解题思路】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可； （2）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加物理竞赛的概率，然后利用独立事件乘法概率公式求解即可. 【解答过程】（1）依题意得，， 又 ， 所以第分位数位于，且， 他的物理成绩应不低于分较为合适． （2）依题意甲能参加物理竞赛的概率， 乙能参加物理竞赛的概率， 二人互不影响，所以甲、乙至少有一人能参加物理竞赛的概率为: . 【知识清单5 频率的稳定性】 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (2)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频 率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又 具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可 能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数 之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. (3)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着 试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生 的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A). 2．生活中的概率 (1)游戏的公平性 在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判 员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. (2)天气预报的概率解释 天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天 气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样. 另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨. 【题型9 辨析概率与频率的关系】 【例9】（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 【解题思路】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断. 【解答过程】频率与概率不是同一个概念，故A错误； 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误； 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确； 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误． 故选：C． 【变式9-1】（2025高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是 B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上 C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 D．大量试验后，可以用频率近似估计概率 【解题思路】利用概率的定义和估计方法逐个选项分析求解即可. 【解答过程】对于A，可得中靶的结果是频率，不是概率；故错误， 对于B，C，太过绝对，故错误， 对于D，符合概率的估算方法，故正确． 故选：D. 【变式9-2】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 【解题思路】根据概率与频率的关系判断. 【解答过程】甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确； 抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误； 甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误. 故选：B. 【变式9-3】（23-24高一下·天津河东·期末）用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（    ） 四面体的面 1 2 3 4 频数 44 36 42 78 A．该四面体一定不是均匀的 B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72 C．再抛掷一次，标记4的面落地 D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2 【解题思路】根据频率和概率的关系分析每个选项. 【解答过程】A选项，就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样，在均匀的条件下，随着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近，换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在200次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，A选项错误； BCD选项，由于这200次实验2，3，4落在底面的频率分别为，即， B选项中所估计的概率和频率差别过大， C选项认为标记4的面必定落地，是必然事件，概率为，但频率只有，因此不能认为必然发生，BC选项错误； D选项，标记3的面落地概率估计是，和实验频率非常接近，D选项正确. 故选：D. 【题型10 天气预报、抽奖、彩票的概率解释】 【例10】（24-25高一·全国·课后作业）气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（    ） A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨 C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋 【解题思路】根据概率的实际意义即可判断. 【解答过程】明天本地区降雨的概率为90%意味着有90%的可能会下雨，结合选项可知只有D正确， 故选：D. 【变式10-1】（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【解题思路】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【解答过程】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 【变式10-2】（2025高一下·全国·专题练习）有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是 ①②③ . 【解题思路】根据概率的概念、概率与频率的关系逐一判断即可. 【解答过程】①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误； ②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误； ③中正面朝上的频率为，概率仍为，故③错误； ④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件…50次品，故④正确. 故答案为：①②③. 【变式10-3】（24-25高一·全国·课后作业）解释下列概率的含义． (1)某厂生产产品的合格率为0.9; (2)一次抽奖活动中,中奖的概率为0.2. 【解题思路】根据概率是反映事件发生机会的大小解释即可. 【解答过程】（1）“某厂生产产品的合格率为0.”．说明该厂产品合格的可能性为90%,也就是说100件该厂的产品中大约有90件是合格的 （2）“中奖的概率为0.2”说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖,也就是说,若有100人参加抽奖,约有20人中奖． 【题型11 游戏的公平性问题】 【例11】（23-24高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【解题思路】分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项． 【解答过程】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平； 对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平； 对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平； 对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共四种情况， 两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平． 故选：B． 【变式11-1】（24-25高一·全国·课后作业）下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（    ） 取球方式 结果 游戏1 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜 游戏2 有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球. 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜. 游戏3 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球. 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜. A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3 【解题思路】分别计算出每个游戏中所给事件的概率，若两事件的概率大小相同则说明此游戏是公平的，否则说明不公平. 【解答过程】对于游戏1，样本点共有12个，取出的2个球同色包含的样本点有6个，其概率是，取出的2个球不同色的概率也是，故游戏1公平； 对于游戏2，样本点共有2个，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是，故游戏2公平； 对于游戏3，样本点共有12个，取出的2个球同色的概率是，取出的2个球不同色的概率是，故此游戏不公平，乙胜的概率大. 故选D. 【变式11-2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（    ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人从1～10中各选一个整数，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 【解题思路】对A、C、D：可得甲或乙胜的概率都为，故公平；对B：可得甲胜的概率小，故其不公平. 【解答过程】对A：抛一枚骰子，向上的点数为奇数与偶数的概率都是，游戏是公平的，故A正确； 对B：同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等， 但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平，故B错误； 对C：扑克牌是红色与黑色的概率都是，游戏是公平的，故C正确； 对D：甲、乙两人从1～10中各选一个整数，同奇或同偶的概率都是， 游戏是公平的，故D正确； 故选：ACD. 【变式11-3】（23-24高一下·江西吉安·期末）（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． （2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． 【解题思路】利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可，若概率相同，则游戏公平，否则不公平 【解答过程】（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，所有情况有：{（正正），（正反），（反正），（反反）}． 记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，则， 这个游戏公平的． （2）拋掷三枚质地均匀的硬币，所以有情况有：{（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）}． 记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”， 则，．这个游戏不公平． 【题型12 频率估计概率在统计中的应用】 【例12】（2025·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ）    A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 【解题思路】利用频率分别直方图、频数、频率、中位数、众数直接求解. 【解答过程】对于A，该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的天数为：天，故A错误； 对于B，估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为，故B错误； 对于C，的频率为，的频率为， 则该学生每日完成作业时间的中位数为，故C正确； 对于D，估计该学生每日完成作业时间的众数为，故D错误； 故选：C. 【变式12-1】（2025·天津·一模）某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（    ） A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少 B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465 C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16 D．估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15 【解题思路】根据直方图写出对应该滑冰馆的锻炼天数区间的频率，再结合各选项的描述及中位数、平均数的求法判断正误． 【解答过程】由图知：、、、、、的频率分别为、、、、、， 对于A：内的天数最少，故A错误； 对于B：估计锻炼天数超过15天的概率为，故B正确； 对于C：由、、频率和为，设中位数为x， 则，可得，故C错误； 对于D：平均天数为 天，故D错误； 故选：B． 【变式12-2】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率； (2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 【解题思路】（1）通过计算旧养殖法的箱产量低于50kg的频率来估计其概率； （2）利用平均数进行比较判断即可. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 ， 所以事件A的概率估计值为； （2）由频率分布直方图可得 旧养殖法100个网箱的箱产量的平均数为 ， 新养殖法100个网箱的箱产量的平均数为 ， 因为， 所以新养殖法更加优于旧养殖法. 【变式12-3】（23-24高二上·贵州遵义·期末）我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）. (1)应收集多少个男生样本数据? (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率. 【解题思路】（1）根据分层抽样比公式进行求解即可； （2）根据频率分布直方图，利用样本频率估计概率得解. 【解答过程】（1）根据分层抽样的方法， 所以男生样本数据个数为； （2）学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率为：， 所以该校学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率. 【知识清单6 随机模拟】 1．随机数的产生 (1)随机数的定义 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等. (2)产生随机数的方法 ①利用抽签法产生随机数 要产生1n(n∈)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，，n放入一 个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数. ②利用计算机或计算器产生伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数 的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数. (3)用随机模拟法估计概率 ①随机模拟法产生的必要性 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行， 因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复. ②随机模拟法估计概率的思想 随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每 次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率. ③随机模拟法的优点 不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域 中去. ④随机模拟法的步骤 建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果. 【题型13 随机模拟问题】 【例13】（23-24高一下·广东潮州·期末）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412  451  312  533  224  344  151  254  424  142 435  414  335  132  123  233  314  232  353  442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（    ） A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6 【解题思路】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【解答过程】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有： 533  224  344  254  424  435   335   233  232  353  442共11组， 因此，所求概率为. 故选：C. 【变式13-1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【解答过程】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有： 116  812  730  217  109  361  284  147  318  027共10个， 故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是， 故选：B. 【变式13-2】（24-25高二上·四川·期中）盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 . 【解题思路】依题意由事件代表的随机数计算出符合题意的随机数组数，由古典概型公式计算可得结果. 【解答过程】根据题意可知“联”、“盟”两个字都抽取到，代表三个数字中同时出现数字2和3， 观察发现组随机数中有233，320，231，231，132，123，023，230，321，232，共10组， 再由古典概型公式计算可得事件发生的概率为. 故答案为：. 【变式13-3】（23-24高二上·四川成都·期中）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 0.75 . 【解题思路】先求出三只豚鼠都没被感染的随机数的组数求出其概率，再根据对立事件的概率性质即可得出三只豚鼠中至少一只被感染的概率. 【解答过程】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为. 故答案为：. 【题型14 概率综合】 【例14】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（    ） A．事件A与事件B互为对立事件 B．事件A与事件B相互独立 C． D． 【解题思路】根据对立事件的概念判断A,应用独立事件概率积公式判断B,应用古典概型计算判断C,D. 【解答过程】第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，即事件A与事件B不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A不正确； ， 抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果： ，共36个，它们等可能， 事件AB所含的结果有：，共8个， 则有，即事件A与事件B相互独立，B正确； 显然，，C，D都错误. 故选：B. 【变式14-1】（24-25高二上·四川成都·期中）如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥，与相互对立 B． C．但不满足两两独立 D．且两两相互独立 【解题思路】明确事件，，所包含的样本点，根据互斥、对立、独立事件的概念判断各选项是否正确. 【解答过程】因为事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：. 因为事件，都包含样本点2,3，所以，不互斥，故A错误； 因为所含的样本点为：，所以，故B错误； 因为所含的样本点为：，所以，又，所以. 又事件所含的样本点为：，所以，又， 所以，所以事件不独立，即两两独立错误，所以C正确，D错误. 故选：C. 【变式14-2】（2024·四川成都·模拟预测）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权. (1)求前三个问题回答结束后乙获胜的概率； (2)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率. 【解题思路】（1）列举法列出前三个问题回答的甲乙所有得分情况，利用古典概型即可求解； （2）分别求出甲同学连续回答了三次问题且获胜的三种情况的概率，再用概率的加法公式求解即可. 【解答过程】（1）设“甲回答问题且得分”为事件，“甲回答问题但对方得分”为事件，“乙回答问题且得分”为事件，“乙回答问题但对方得分”为事件. 记“前三个问题回答结束后乙获胜”为事件. 前三个问题回答的情况有8种：， 其中事件只包含了1种情况，即， 所以， 即前三个问题回答结束后乙获胜的概率为. （2）记“甲同学连续回答了三次问题且获胜”为事件. 由（1）可得，. 即甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为. 【变式14-3】（23-24高一下·甘肃武威·期末）龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功．现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 (1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； (2)若三种抽取方式小明各进行一次， （i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率； （ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明． 【解题思路】（1）运用列举法，结合古典概型求解概率即可； （2）（i）运用对立事件概率性质求解即可；（ii）求出各自的概率再比较即可． 【解答过程】（1）设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 则，，， 设事件，，，，，，，，， 故，，． （2）（i）记三次抽取至少有一次成功为事件B， 则． （ii）有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大． 若按①②③的顺序，， 同理，求出①③②、②①③、②③①、③①②、③②①顺序下的概率分别为，，，，， 故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大. 一、单选题 1．（23-24高一下·新疆伊犁·阶段练习）为了解某中学高一年级600名学生的身高情况，抽查了其中100名学生的身高进行统计分析．下列叙述错误的是（    ） A．以上调查属于全面调查 B．每名学生的身高是总体的一个个体 C．100名学生的身高是总体的一个样本 D．600名学生的身高是总体 【解题思路】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【解答过程】A．以上调查属于抽样调查，故符合题意； B．每名学生的身高情况是总体的一个个体，故不符合题意； C．100名学生的身高是总体的一个样本，故不符合题意； D．600名学生的身高情况是总体，故不符合题意； 故选：A． 2．（23-24高一下·黑龙江·期末）下列说法正确的是（    ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是2的倍数的概率是 【解题思路】由必然事件的定义可判断A错；由随机事件可能性可知B正确C错误；由古典概型概率公式可得其概率是，D错. 【解答过程】对于A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，所以A错； 对于B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，所以B正确； 对于C.某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票不一定会中奖，所以C错； 对于D.任意投掷两枚质地均匀的骰子，共有36种可能， 其中能被2整除的可能是两个数同时为奇数或同时为偶数，共有18种可能， 所以点数和是2的倍数的概率是，所以D错； 故选：B. 3．（23-24高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 【解题思路】由概率得出这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”，结合题设条件，估计第二个问题有人回答了“是”，从而得出所占比例. 【解答过程】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中， 随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为， 因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人， 而一年12个月中，奇数的占一半， 所以对第一个问题回答“是”的概率为 所以这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”， 从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有人回答了“是”， 所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为． 故选：C. 4．（24-25高一·全国·课后作业）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可. 【解答过程】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中， 则样本空间. 由题意得，，，， 则，，且.即ABC都正确； 又，. .故D不正确. 故选：D. 5．（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【解答过程】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以. 故选：A. 6．（23-24高一下·江苏常州·期末）设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 【解题思路】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D. 【解答过程】对于A，若是对立事件，则，A错误； 对于B，若是互斥事件，，则，B错误； 对于C，，则，， 又，则是独立事件，C正确； 对于D，若是独立事件，则是独立事件，而， 则，D错误. 故选：C. 7．（23-24高一下·江苏淮安·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件A，“三次试验恰有1次正面向上”为事件B，“三次试验恰有2次正面向上”为事件C，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件 D，则下列说法正确的是（    ） A．A与B互斥 B．A与D相互独立 C．A与C相互独立 D．C与D对立 【解题思路】列出基本事件，由互斥事件、对立事件与独立事件的概念逐项判断即可． 【解答过程】抛掷一枚质地均匀的硬币3次，共有（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反）共8种结果， 事件A“第一次硬币正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反正），（正反反）共4种结果， 事件B“三次试验恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3种结果， 事件C“三次试验恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3种结果， 事件D“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（正反反），共2种结果， 对于A选项，事件A与事件B可能同时发生，即（正反反），不是互斥事件，错误； 对于B选项，，，，则A与D相互独立，正确； 对于C选项，，，则A与C不独立，错误； 对于D选项，C和D互斥但并事件不是全体事件，故它们不对立，错误． 故选:B. 8．（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）2024年韩国釜山举行世界乒乓球团体锦标赛.男团比赛规则，各单位每次比赛双方选取三人出场比赛.每场比赛采用5局3胜制，以先赢3场者为胜方，赛前双方用抽签方法选定主、客队.如主队3名选手出场依次为A、B、C；客队3名选手出场依次定为X、Y、Z，规定：5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对X，⑤对.已知某次比赛甲方为主队，乙方为客队.甲方参赛队员为，乙方为（）根据以往经验，甲方各位队员赢乙方队员概率如下表 了解到乙队出场比赛队员依次为.甲方对乙方出场顺序有四种预案：（一）；（二）；（三）；（四）；以本次比赛甲赢的概率比较，应选定哪种方案（     ） A．(一) B．(三) C．(二) D．(四) 【解题思路】分别考虑各预案5场比赛甲方各位队员赢乙方队员概率，再由独立事件的乘法公式求出甲三连胜的概率，结合第四局和第五局甲方各位队员赢乙方队员概率即可得出答案. 【解答过程】选择预案（一），则5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对，⑤对， 甲方各位队员赢乙方队员概率分别为：，，，，， 若甲三连胜则概率为：， 选择预案（二），则5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对，⑤对， 甲方各位队员赢乙方队员概率分别为：，，，，， 若甲三连胜则概率为：， 选择预案（三），则5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对，⑤对， 甲方各位队员赢乙方队员概率分别为：，，，，， 若甲三连胜则概率为：， 选择预案（四），则5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对，⑤对， 甲方各位队员赢乙方队员概率分别为：，，，，， 若甲三连胜则概率为：， 由甲三连胜可看出选择方案三赢的概率更大， 而且第四局和第五局甲方各位队员赢乙方队员概率也比其他方案赢的概率更大. 所以选择预案（三）甲赢的概率更大， 故选：B. 二、多选题 9．（2025高一·全国·专题练习）(多选)给出关于满足的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【解题思路】利用子集的含义和必然事件、不确定事件和不可能事件的定义逐一分析选项，即可得解. 【解答过程】对于A，由知是的子集，集合中的元素全在集合中，但集合中的元素不一定在集合中，故A正确； 对于B，若，则是有可能的，所以是可能事件，故B错误； 对于C，任取，则x不一定是A中的元素，所以是随机事件，故C正确； 对于D，若，则x一定不是A中的元素，所以是必然事件，故D正确； 故选：ACD. 10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏．方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后有放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择第一次摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球．记三种方案选到2号球的概率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用列举法，结合古典概型的概率公式分别求得三个方案选到2号球的概率，从而得解. 【解答过程】方案一：易得“选到2号球”的概率； 方案二：先后有放回的摸出两个球的基本事件有，共件， 其中“选到2号球”的基本事件有，共件， 所以“选到2号球”的概率为； 方案三：同时摸出两个球的基本事件有，共3件， 其中“选到2号球”的基本事件有，共1件， 所以“选到2号球”的概率为； 所以，故AB错误，CD正确. 故选：CD. 11．（23-24高一下·江苏南通·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C． D． 【解题思路】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案． 【解答过程】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：BC． 三、填空题 12．（24-25高一下·陕西宝鸡·期中）给出如下几个命题： ①若A​是随机事件，则 ​； ②若事件 A​与​是互斥事件，则A​与​一定是对立事件； ③若事件A​与​是对立事件，则A​与​一定是互斥事件； ④事件中至少有一个发生的概率一定比中恰有一个发生的概率大． 其中正确的是 ①③ ．（填序号） 【解题思路】根据随机事件的概念可判断①；根据互斥事件与对立事件的关系可判断②③；举例当事件互斥时事件中至少有一个发生的概率和中恰有一个发生的概率一样大，判断④. 【解答过程】①若A为不可能事件时，其概率为0，当A为必然事件时，其概率为1， 不可能事件和必然事件是作为随机事件的两个极端情形，故，所以①正确； ②若事件A与B是互斥事件，则A与B不一定是对立事件，比如掷色子“朝上的面为1”和”朝上的面为2“互斥但不对立，所以不正确；    ③若事件A与B是对立事件，即A与B不会同时发生，则A与B一定是互斥事件，所以正确；   ④事件 中至少有一个发生的概率不一定比中恰有一个发生的概率大，比如当互斥时则概率一样大，所以错误. 故答案为：①③. 13．（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，每人输两次即被淘汰，比赛顺序为甲、乙先比，丙轮空，之后胜者与丙比赛，败者轮空，以此类推直到比出获胜者，假如甲、乙、丙三人实力相当，则丙获胜的概率为 . 【解题思路】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，将丙最终获胜的可能情况进行分类，分别求出各类事件发生的概率，即可求解． 【解答过程】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，假如甲、乙、丙三人实力相当，则每局比赛双方获胜的概率均为， 比赛进行4场，丙最终获胜，则后3场丙全胜，概率为； 比赛进行5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 ; 所以丙获胜的概率为. 故答案为：. 14．（23-24高一下·江苏常州·期末）一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为 ． 【解题思路】分第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”，三种情况计算即可，分别计算可得结论. 【解答过程】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 记黄球为，2个白球为、1个红球为， 利用枚举法可知从中一次取2个小球为， 共有10种取法，而颜色相同的取法有两种， 故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为， 所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为． 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”， 第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为， 所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为． 两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为． 所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2024高一下·江苏·专题练习）甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布），用表示结果，其中x表示甲出的拳，y表示乙出的拳. (1)写出样本空间； (2)用集合表示事件“甲赢”； (3)用集合表示事件“平局”. 【解题思路】列举法得到样本空间和事件. 【解答过程】（1）＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}． （2）记“甲赢”为事件A，则{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}． （3）记“平局”为事件B，则{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}． 16．（23-24高一下·宁夏固原·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”. (1)求事件A，B的概率. (2)求事件、的概率. 【解题思路】（1）所有组成的三位数的个数是，由个位数是5的数的个数可求；由被3整除三位数的个数可求； （2）根据和事件的概率公式和积事件的性质即可得解. 【解答过程】（1）只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，三位数的个数是， 要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可， 而这些数中个位数是5的数的个数为， 所以事件发生的概率. 由题意要使得组成的三位数能被3整除， 则只能同时出现3个1或者同时出现3个5，即111和555共两个数， 即组成的三位数能被3整除的数的个数为2个， 所以事件发生的概率. 故，. （2）因为表示，组成的三位数既能被3整除，又能被5整除， 555既能被3整除，又能被5整除， 所以. 因为表示，组成的三位数能被3整除或能被5整除， 所以. 故，. 17．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 乙每轮猜对的概率为 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，记甲在第轮猜对成语为事件，乙在第轮猜对成语为事件 . (1)求甲在两轮活动中恰好猜对1个成语的概率； (2)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率． 【解题思路】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）记“星队”在两轮活动中共猜对3个成语为事件，由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【解答过程】（1）记甲在两轮活动中恰好猜对1个成语为事件， 则. （2）记“星队”在两轮活动中共猜对3个成语为事件， 则 ， 即“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. 18．（23-24高一下·江苏苏州·期末）2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； (2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率． (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 【解题思路】（1）首先算出，然后根据平均数、百分位数的计算公式计算即可； （2）由列举法求解古典概型概率即可； （3）由分层抽样方差公式计算即可. 【解答过程】（1）由题意可知：，解得， 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数为， 因为， 设第25百分位数为，则，则，解得，故第25百分位数为63． （2）10人中，第四组为8人.第五组为2人，记第四组的人的编号为1到8，第五组的人的编号为9和10， 则样本空间 共45个样本点， 记两名面试者成绩都在第五组为事件A， 则事件，故； （3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差 ． 故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是． 19．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知甲箱中有4个大小、形状完全相同的小球，上面分别标有大写英文字母、和小写英文字母、；乙箱中有个与甲箱大小、形状完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，…， (1)现从甲箱中任意抽取2个小球，求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文字母的概率； (2)现从乙箱中任意抽取1个小球，设=“所抽小球上面标注的数字”，记事件=“”，事件=“”，若事件与事件独立，求的值； (3)在（2）的条件下，现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱，充分摇匀，然后有放回地抽取3次，每次取1个小球，求这3个小球中至少有2个小球上面标有英文字母的概率． 【解题思路】（1）利用列举法，结合古典概率公式计算即得. （2）求出事件、、的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算即得. （3）将所求概率的事件分拆成互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式计算即得. 【解答过程】（1）依题意，样本空间，共包含6个样本点， 记事件C=“恰好一个小球上面标注大写英文字母、另一个小球上面标注小写英文字母”， 则，共包含4个样本点， 所以事件C的概率为. （2）依题意，事件，事件，， 由事件与事件独立，得，即，解得， 所以的值为6. （3）由（2）知，丙箱中有10个小球，所抽小球上面标注英文字母的事件为，则， 记事件=“这3个小球中至少有2个标注英文字母”，则， 所以. 第 1 页 共 47 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 概率 【人教A版（2019）】 【知识清单1 有限样本空间与事件】 1．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具 有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果， 则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 2．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们 将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 3．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，···，A∪B∪C∪··· (或 A+B+C+···)发生当且仅当A，B，C，···中至少一个发生，A∩B∩C∩··· (或ABC···)发生当且仅当A，B，C，···同时发生. 4．样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举， 即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以 便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 5．用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 【题型1 事件的分类】 【例1】（24-25高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【变式1-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（    ） A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 【变式1-2】（24-25高一·全国·课后作业）掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子（如图），观察向上的ｰ面的点数，下列属必然事件的是（    ） A．出现的点数是7 B．出现的点数不会是0 C．出现的点数是2 D．出现的点数为奇数 【变式1-3】（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【题型2 事件的关系和运算】 【例2】（24-25高二上·黑龙江双鸭山·开学考试）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球” C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球” 【变式2-1】（24-25高一·全国·课后作业）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一·全国·课后作业）抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（    ） A． B． C．表示向上的面的点数是1或2或3 D．表示向上的面的点数是1或2或3 【变式2-3】（24-25高一·全国·单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【知识清单2 古典概型】 1．古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同， 有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 【题型3 计算古典概型问题的概率】 【例3】（24-25高一上·北京房山·期末）掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为奇数”，事件“点数为的整数倍”，若，分别表示事件，发生的概率，则（    ） A．， B．， C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·全国·课后作业）某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一下·江苏南通·期末）一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型4 古典概型与统计综合】 【例4】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·全国·课后作业）从一批苹果中随机抽取50个，其质量（单位：）的频数分布表如下： 分组 频数 5 10 20 15 用分层随机抽样的方法从质量在和内的苹果中共抽取4个，再从抽取的4个苹果中任取2个，则有1个苹果的质量在内的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·全国·单元测试）某新能源汽车销售部为了满足广大客户对新能源汽车性能的需求，随机抽取了500名用户进行问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按分组，并绘制出了部分频率分布直方图，如图所示． (1)请将频率分布直方图补充完整； (2)估计样本中所有用户的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）； (3)销售部从年龄在两组的样本中用分层抽样的方法抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率． 【变式4-3】（23-24高一下·江苏淮安·期末）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩（满分100分）整理成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数； (2)利用频率直方图的组中值求2000名师生的平均成绩； (3)从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求2人的成绩来自同一区间的概率． 【知识清单3 概率的基本性质】 1．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，···，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+···+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=P（A）， P(A)=P(B). 性质5 如果，那么P（A）≤P（B）. 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B）. 【题型5 概率的基本性质及其应用】 【例5】（24-25高一上·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）（23-24高一下·湖南怀化·期末）设A，B是两个随机事件，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 【知识清单4 事件的相互独立性】 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它 们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，···，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)···P(An). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=∅. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 或 P(A)+P(B) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 [P(A)+P(B)] A，B恰有一个发生 P(A)+P(B) A，B中至多有一个发生 1 P(A)P(B) 3．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【题型6 相互独立事件与互斥事件的判断】 【例6】（24-25高一下·河南安阳·阶段练习）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件 C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件 【变式6-1】（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【变式6-2】（23-24高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【变式6-3】（2025·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（    ） A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥 C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立 【题型7 相互独立事件的概率】 【例7】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一下·河北沧州·期末）甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一下·江西·阶段练习）甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高一下·甘肃武威·阶段练习）2023年华为回归推出双旗舰的传统，3—4月份发布P系列，9—10月份发布Mate系列，华为P60和Mate60机型分别搭载高通骁龙8＋GEN14G和高通骁龙8＋GEN24G芯片组，性能优异．互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家商城购买手机，张三与李四购买华为手机的概率分别为0.7，0.5，购买价位在5000元以上的手机的概率分别为0.4，0.6，假设张三与李四购买什么款式的手机相互独立． (1)求恰好有一人购买华为手机的概率； (2)求至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率． 【题型8 独立事件与其他知识综合】 【例8】（23-24高一下·天津·期末）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【变式8-1】（23-24高一下·广东广州·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，事件“两枚硬币都正面朝上”，事件“至少一枚硬币反面朝上”则（    ） A．与独立 B．与互斥 C． D． 【变式8-2】（多选）（24-25高一上·山东威海·期末）口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（   ） A．A与B互斥 B． C．A与B独立 D． 【变式8-3】（24-25高一下·江西景德镇·期中）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位） (2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率． 【知识清单5 频率的稳定性】 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (2)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频 率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又 具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可 能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数 之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. (3)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着 试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生 的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A). 2．生活中的概率 (1)游戏的公平性 在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判 员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. (2)天气预报的概率解释 天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天 气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样. 另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨. 【题型9 辨析概率与频率的关系】 【例9】（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 【变式9-1】（2025高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是 B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上 C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 D．大量试验后，可以用频率近似估计概率 【变式9-2】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 【变式9-3】（23-24高一下·天津河东·期末）用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（    ） 四面体的面 1 2 3 4 频数 44 36 42 78 A．该四面体一定不是均匀的 B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72 C．再抛掷一次，标记4的面落地 D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2 【题型10 天气预报、抽奖、彩票的概率解释】 【例10】（24-25高一·全国·课后作业）气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（    ） A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨 C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋 【变式10-1】（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【变式10-2】（2025高一下·全国·专题练习）有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是 . 【变式10-3】（24-25高一·全国·课后作业）解释下列概率的含义． (1)某厂生产产品的合格率为0.9; (2)一次抽奖活动中,中奖的概率为0.2. 【题型11 游戏的公平性问题】 【例11】（23-24高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【变式11-1】（24-25高一·全国·课后作业）下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（    ） 取球方式 结果 游戏1 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜 游戏2 有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球. 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜. 游戏3 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球. 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜. A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3 【变式11-2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（    ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人从1～10中各选一个整数，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 【变式11-3】（23-24高一下·江西吉安·期末）（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． （2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． 【题型12 频率估计概率在统计中的应用】 【例12】（2025·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ）    A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 【变式12-1】（2025·天津·一模）某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（    ） A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少 B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465 C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16 D．估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15 【变式12-2】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率； (2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 【变式12-3】（23-24高二上·贵州遵义·期末）我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）. (1)应收集多少个男生样本数据? (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率. 【知识清单6 随机模拟】 1．随机数的产生 (1)随机数的定义 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等. (2)产生随机数的方法 ①利用抽签法产生随机数 要产生1n(n∈)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，，n放入一 个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数. ②利用计算机或计算器产生伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数 的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数. (3)用随机模拟法估计概率 ①随机模拟法产生的必要性 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行， 因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复. ②随机模拟法估计概率的思想 随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每 次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率. ③随机模拟法的优点 不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域 中去. ④随机模拟法的步骤 建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果. 【题型13 随机模拟问题】 【例13】（23-24高一下·广东潮州·期末）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412  451  312  533  224  344  151  254  424  142 435  414  335  132  123  233  314  232  353  442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（    ） A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6 【变式13-1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高二上·四川·期中）盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 . 【变式13-3】（23-24高二上·四川成都·期中）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 . 【题型14 概率综合】 【例14】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（    ） A．事件A与事件B互为对立事件 B．事件A与事件B相互独立 C． D． 【变式14-1】（24-25高二上·四川成都·期中）如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥，与相互对立 B． C．但不满足两两独立 D．且两两相互独立 【变式14-2】（2024·四川成都·模拟预测）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权. (1)求前三个问题回答结束后乙获胜的概率； (2)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率. 【变式14-3】（23-24高一下·甘肃武威·期末）龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功．现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 (1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； (2)若三种抽取方式小明各进行一次， （i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率； （ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明． 一、单选题 1．（23-24高一下·新疆伊犁·阶段练习）为了解某中学高一年级600名学生的身高情况，抽查了其中100名学生的身高进行统计分析．下列叙述错误的是（    ） A．以上调查属于全面调查 B．每名学生的身高是总体的一个个体 C．100名学生的身高是总体的一个样本 D．600名学生的身高是总体 2．（23-24高一下·黑龙江·期末）下列说法正确的是（    ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是2的倍数的概率是 3．（23-24高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 4．（24-25高一·全国·课后作业）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏常州·期末）设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 7．（23-24高一下·江苏淮安·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件A，“三次试验恰有1次正面向上”为事件B，“三次试验恰有2次正面向上”为事件C，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件 D，则下列说法正确的是（    ） A．A与B互斥 B．A与D相互独立 C．A与C相互独立 D．C与D对立 8．（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）2024年韩国釜山举行世界乒乓球团体锦标赛.男团比赛规则，各单位每次比赛双方选取三人出场比赛.每场比赛采用5局3胜制，以先赢3场者为胜方，赛前双方用抽签方法选定主、客队.如主队3名选手出场依次为A、B、C；客队3名选手出场依次定为X、Y、Z，规定：5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对X，⑤对.已知某次比赛甲方为主队，乙方为客队.甲方参赛队员为，乙方为（）根据以往经验，甲方各位队员赢乙方队员概率如下表 了解到乙队出场比赛队员依次为.甲方对乙方出场顺序有四种预案：（一）；（二）；（三）；（四）；以本次比赛甲赢的概率比较，应选定哪种方案（     ） A．(一) B．(三) C．(二) D．(四) 二、多选题 9．（2025高一·全国·专题练习）(多选)给出关于满足的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏．方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后有放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择第一次摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球．记三种方案选到2号球的概率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·江苏南通·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C． D． 三、填空题 12．（24-25高一下·陕西宝鸡·期中）给出如下几个命题： ①若A​是随机事件，则 ​； ②若事件 A​与​是互斥事件，则A​与​一定是对立事件； ③若事件A​与​是对立事件，则A​与​一定是互斥事件； ④事件中至少有一个发生的概率一定比中恰有一个发生的概率大． 其中正确的是 ．（填序号） 13．（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，每人输两次即被淘汰，比赛顺序为甲、乙先比，丙轮空，之后胜者与丙比赛，败者轮空，以此类推直到比出获胜者，假如甲、乙、丙三人实力相当，则丙获胜的概率为 . 14．（23-24高一下·江苏常州·期末）一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为 ． 四、解答题 15．（2024高一下·江苏·专题练习）甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布），用表示结果，其中x表示甲出的拳，y表示乙出的拳. (1)写出样本空间； (2)用集合表示事件“甲赢”； (3)用集合表示事件“平局”. 16．（23-24高一下·宁夏固原·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”. (1)求事件A，B的概率. (2)求事件、的概率. 17．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 乙每轮猜对的概率为 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，记甲在第轮猜对成语为事件，乙在第轮猜对成语为事件 . (1)求甲在两轮活动中恰好猜对1个成语的概率； (2)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率． 18．（23-24高一下·江苏苏州·期末）2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； (2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率． (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 19．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知甲箱中有4个大小、形状完全相同的小球，上面分别标有大写英文字母、和小写英文字母、；乙箱中有个与甲箱大小、形状完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，…， (1)现从甲箱中任意抽取2个小球，求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文字母的概率； (2)现从乙箱中任意抽取1个小球，设=“所抽小球上面标注的数字”，记事件=“”，事件=“”，若事件与事件独立，求的值； (3)在（2）的条件下，现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱，充分摇匀，然后有放回地抽取3次，每次取1个小球，求这3个小球中至少有2个小球上面标有英文字母的概率． 第 1 页 共 47 页 学科网（北京）股份有限公司 $$