专题02 函数、不等式（9题型）（云南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题02 函数、不等式 题型概览 题型01不等式及其性质 题型02基本不等式技巧应用 题型03函数模型的应用 题型04函数的单调性及其应用 题型05函数的奇偶性及其应用 题型06函数性质的综合应用 题型07指数与指数函数问题 题型08对数与对数函数问题 题型09 比较函数值大小 优选提升题 ( 题型01 ) 不等式及其性质 1．（23-24高二下·云南·期末）若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南·期末）已知、、都是实数．若，则（    ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 基本不等式技巧应用 1．（23-24高二下·云南红河·期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是（    ） A．小于10g B．等于10g C．大于10g D．大于或等于10g 2．（23-24高二下·云南·期末）若，则的最小值为 ． 3．（23-24高二下·云南玉溪·期末）若，使取得最小值时的值为 . 4．（23-24高二下·云南·期末）已知，，则的最小值为 . ( 题型03 ) 函数模型的应用 1．（23-24高二下·云南·期末）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝ 某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%. 其中正确结论的序号有 ．(请写出所有正确结论的序号) ( 题型04 ) 函数的单调性及其应用 1．（23-24高二下·云南·期末）下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 函数的奇偶性及其应用 1．（23-24高二下·云南·期末）已知函数是奇函数．若，则 ． 2．（23-24高二下·云南红河·期末）已知函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数，且，则 . 3．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知函数满足，且是偶函数，在上有，则 ． ( 题型0 6 ) 函数性质的综合应用 1．（23-24高二下·云南·期末）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南保山·期末）函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，对所有的，都有，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上可能单调递增 D．在上可能单调递减 ( 题型0 7 ) 指数与指数函数问题 1．（23-24高二下·云南·期末）函数在上的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数，则 . ( 题型0 8 ) 对数与对数函数问题 1．（23-24高二下·云南·期末）（   ） A．5 B．2 C．1 D．0 2．（23-24高二下·云南·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 4．（23-24高二下·云南保山·期末）记为不超过的最大整数，则 ． ( 题型0 9 ) 比较函数值大小 1．（23-24高二下·云南·期末）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数，且，，，则的一个解析式为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知定义在上的函数满足，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B．为奇函数 C．不存在零点 D． 3．（23-24高二下·云南红河·期末）已知函数对任意的都有成立，当时，，则（    ） A． B． C． D．2 4．（23-24高二下·云南·期末）设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 5．（多选）（23-24高二下·云南·期末）定义在上的偶函数满足，当时，，则（    ） A． B．的一个周期为4 C．的图象关于点对称 D． 6．（多选）（23-24高二下·云南·期末）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．4是函数的周期 C． D．方程恰有4个不同的根 7．（23-24高二下·云南·期末）已知b、c是常数，函数，，．函数的零点是、2． (1)求b、c的值； (2)函数是否有零点？若有，请求出的所有零点；若没有，请说明理由． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数、不等式 题型概览 题型01不等式及其性质 题型02基本不等式技巧应用 题型03函数模型的应用 题型04函数的单调性及其应用 题型05函数的奇偶性及其应用 题型06函数性质的综合应用 题型07指数与指数函数问题 题型08对数与对数函数问题 题型09 比较函数值大小 优选提升题 ( 题型01 ) 不等式及其性质 1．（23-24高二下·云南·期末）若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，解得， 则x的取值范围为. 故选：A. 2．（23-24高二下·云南·期末）已知、、都是实数．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质以及特殊值法逐项对选项进行分析即可. 【详解】因为， 对于A，根据不等式的性质知，故A正确； 对于B，当时，；当时，；当时，，故B错误； 对于C，当时，，所以；当时，，所以，故C错误； 对于D，若，，则，故D错误. 故选：A. ( 题型02 ) 基本不等式技巧应用 1．（23-24高二下·云南红河·期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是（    ） A．小于10g B．等于10g C．大于10g D．大于或等于10g 【答案】C 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，， ，， ， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即. 因此，顾客购得的黄金大于. 故选：C 2．（23-24高二下·云南·期末）若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式求最值. 【详解】由基本不等式及，可知. 而当时，有. 所以的最小值为. 故答案为： 3．（23-24高二下·云南玉溪·期末）若，使取得最小值时的值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求出最小值及取最小值时的值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，即. 故答案为： 4．（23-24高二下·云南·期末）已知，，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： ( 题型03 ) 函数模型的应用 ．（23-24高二下·云南·期末）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝ 某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%. 其中正确结论的序号有 ．(请写出所有正确结论的序号) 【答案】①② 【知识点】分段函数模型的应用、根据图像判断函数单调性 【分析】由函数图象可知是减函数，且可计算，即可判断各结论的正误. 【详解】由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故①正确； 当1<x≤30时，，则，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确； 而，故③错误． 故答案为：①② ( 题型04 ) 函数的单调性及其应用 1．（23-24高二下·云南·期末）下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求sinx的函数的单调性、求含cosx的函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据常见函数的单调性分析判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递增，在上单调递减； 对于B，函数在上单调递增； 对于C，函数在，上单调递增， 在，上单调递减； 对于D，函数在，上单调递减， 在，上单调递增. 故选：B. ( 题型0 5 ) 函数的奇偶性及其应用 1．（23-24高二下·云南·期末）已知函数是奇函数．若，则 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】依题意，是奇函数， 所以. 故答案为： 2．（23-24高二下·云南红河·期末）已知函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数，且，则 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数， 故， 所以， 故. 故答案为： 3．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知函数满足，且是偶函数，在上有，则 ． 【答案】1 【知识点】函数奇偶性的应用、求函数值 【分析】根据及是偶函数代入可得. 【详解】由题意可知． 故答案为： ( 题型0 6 ) 函数性质的综合应用 1．（23-24高二下·云南·期末）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先分析不等式在上的解，再根据对称性得出不等式在上的解即可. 【详解】因为在上是增函数且，所以在范围内的解为. 因为函数在定义域上图象关于轴对称，所以在内的解为，所以不等式在R内的解为. 故选：C 2．（23-24高二下·云南保山·期末）函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由奇偶性求函数解析式、抽象函数的奇偶性、基本不等式求和的最小值 【分析】由奇偶函数定义，利用方程组法求解析式，再利用基本不等式求最值. 【详解】由是奇函数， 得①， 由是偶函数， 得② 联立①②得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值是， 故选：B． 3．（多选）（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，对所有的，都有，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上可能单调递增 D．在上可能单调递减 【答案】AC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】应用赋值法及化简判断A,B选项，再根据导函数的正负判断函数单调性即可判断C,D选项. 【详解】令，则， 若，则，即， 所以为常数，则． 因为，所以，所以为奇函数，故A正确，B错误． ，当时，在上单调递增，故C正确． 结合是开口向上的二次函数可知，不可能恒成立，故D错误． 故选：AC. ( 题型0 7 ) 指数与指数函数问题 1．（23-24高二下·云南·期末）函数在上的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】求已知指数型函数的最值 【分析】由指数函数单调性得到最小值. 【详解】在上单调递增，其最小值为. 故选：B 2．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数，则 . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、求分段函数值 【分析】根据分段函数的性质直接求函数值. 【详解】由分段函数可知， 故答案为：. ( 题型0 8 ) 对数与对数函数问题 1．（23-24高二下·云南·期末）（   ） A．5 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】由换底公式进行求解. 【详解】 故选：C 2．（23-24高二下·云南·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数函数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】由得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 3．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】结合对数函数的性质可求出x1x2=1，然后利用基本不等式即可求解． 【详解】因为， 若，则， 所以，所以， 则，当且仅当，即时取等号． 故选：C． 4．（23-24高二下·云南保山·期末）记为不超过的最大整数，则 ． 【答案】1 【知识点】函数新定义、对数的运算 【分析】由函数的新定义求解． 【详解】由题意知：， 故原式． 故答案为：1 ( 题型0 9 ) 比较函数值大小 1．（23-24高二下·云南·期末）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】由已知求出，然后作差计算出，则可得到答案. 【详解】， 则， 因为，所以， 所以； ， 因为，所以， 所以， 所以． 故选:D． 2．（23-24高二下·云南·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用单调性可判断数的范围，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 故. 故选：C. 3．（23-24高二下·云南·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以， 而，所以， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：B. 1．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数，且，，，则的一个解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据各解析式分别代入即可. 【详解】A选项：，成立，，，则，A选项错误； B选项：，，B选项错误； C选项：，成立，，，则，C选项正确； D选项：，，D选项错误； 故选：C. 2.（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知定义在上的函数满足，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B．为奇函数 C．不存在零点 D． 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数、抽象函数的奇偶性 【分析】根据题意，结合抽象函数的赋值法，列出方程，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，令，可得， 因为，所以，所以A不符合题意； 对于B中，函数的定义域为全体实数，由，显然不符合， 所以函数不是奇函数，所以B符合题意； 对于C中，由，令，可得， 即，解得或， 所以函数没有零点，所以C不符合题意； 对于D中，由， 令，可得，所以，即， 所以D不符合题意. 故选：B． 3．（23-24高二下·云南红河·期末）已知函数对任意的都有成立，当时，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、特殊角的三角函数值、由函数的周期性求函数值 【分析】利用条件得到函数的周期性为，从而，再结合已知条件即可得到结果. 【详解】由，得可知周期为， 所以， 又当 时，， 所以. 故选：A 4．（23-24高二下·云南·期末）设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求积的最大值、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化 【分析】先利用指、对数的关系，用表示，再利用基本不等式求最大值. 【详解】∵，，，， ∴，， ∴， 当且仅当，时取等号. ∴的最大值为1. 故选：C. 5．（多选）（23-24高二下·云南·期末）定义在上的偶函数满足，当时，，则（    ） A． B．的一个周期为4 C．的图象关于点对称 D． 【答案】AB 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】对于A，利用偶函数求得，即可判断；对于B，由题意可得，从而有，即可判断；对于C，由题意可得的图象关于直线对称，从而可判断；对于D，，再利用周期性即可计算，从而可判断. 【详解】对于A，因为为偶函数，且当时，， 所以，故A正确； 对于B，因为为偶函数，且， 所以，所以， 所以的周期为4，故B正确； 对于C，因为，所以的图象关于直线对称. 因为的周期为4， 所以的图象关于直线对称，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D错误. 故选：AB 6．（多选）（23-24高二下·云南·期末）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．4是函数的周期 C． D．方程恰有4个不同的根 【答案】ABD 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用是偶函数，可得，关于对称，又因为是奇函数，即是双对称函数，从而可证明是周期函数，这样可以由的图象，根据关于对称，作出，再根据关于点对称, 作出,这样就有了一个完整周期为4的图象，再利用周期为4进行不断的延伸，这样后面的选项就可以利用数形结合来分析解决. 【详解】对于A：令是偶函数，则，即， 所以关于对称，故A正确； 对于B：因为，所以， 即，即周期，故B正确； 对于C：，， 所以，故C错误； 对于D：因为，，且关于直线对称， 根据对称性可以作出上的图象， 又，可知关于点对称，又可作出上的图象， 又的周期，作出的图象与的图象， 如图所示：所以与有4个交点，故D正确， 故选：ABD． 7．（23-24高二下·云南·期末）已知b、c是常数，函数，，．函数的零点是、2． (1)求b、c的值； (2)函数是否有零点？若有，请求出的所有零点；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)函数有零点，为，2，， 【知识点】求函数的零点、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】（1）由题意可得和2为方程的根，进而结合韦达定理求解即可； （2）结合题意可得，令，因式分解可得，进而解方程即可求解. 【详解】（1）由， 因为函数的零点是、2， 所以和2为方程的根， 则，解得，. （2）由（1）知，， 所以， 令，即， 即，即， 即，即， 即， 解得或或或， 即函数的零点为，2，，. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$