专题07勾股定理与逆定理三大类型-2024-2025学年八年级数学下册【高分必刷】专练（人教版）

专题07 勾股定理与逆定理（原卷版） （3大类型精选30题） 类型一：判断是否是直角三角形 类型二：勾股定理逆定理在几何中的应用 类型三：勾股定理的拓展及新定义问题 类型一：判断是否是直角三角形 1．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，请判断这个三角形的形状是 ． 2．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）已知a，b，c为三角形的三边且满足，则三角形的形状为 3．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）已知a，b，c为的三边，给出下列条件：①；②，，；③；④，，．其中能判定是直角三角形的是 ．（填序号） 4．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）已知、、为的三边，且满足，则是 5．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知、、为的三边，且，则的形状是 ． 6．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知的三边、、满足，则的面积为 ． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a，b，c，则a，b，c正好是直角三角形三边长的概率是 ． 8．（24-25八年级上·四川内江·期末）若三角形的三边长、、满足，则这个三角形的面积是 ． 9．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知中，，，，且满足．则边上的高为 ． 10．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）已知a，b，c是的三边长，且满足关系式，则的形状为 ． 类型二：勾股定理逆定理在几何中的应用 11．（24-25八年级下·安徽黄山·期中）如图，已知中，，，三角形顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，则，之间的距离是 ． 12．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，，则的面积为 ． 13．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，D，E两点分别在直线和直线上运动（点E不与点C重合）．若与全等，则线段的长为 ． 14．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，凸四边形的四边，，和的长分别是3，4，12和13，，则四边形的面积 ． 15．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，在四边形中，已知，则的度数为 ． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，点是等边三角形内的一点，且，若将绕点逆时针旋转后得到． （1）求的度数为 （2）的面积= 17．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，，，将沿直线向右平移3个单位长度得到，连接，则下列结论：①，；②；③四边形的周长是27；④点A到直线的距离是．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 18．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，点P是在正内一点．，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，四边形的面积为 ． 19．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，点P在内，且，，，则的长为 ．    20．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ． 类型三：勾股定理的拓展及新定义问题 21．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 22．（23-24八年级上·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 23．（23-24八年级上·福建·期末）观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数： ． 24．（23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，为了庆祝祖国70周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯.平面上，不同颜色的彩色线段从点发出，恰好依次落到边长为1的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围.则的长度为 .照此规律，的长度为 . 25．（24-25八年级下·河南信阳·期中）阅读下列内容： 设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________． 26．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 27．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 28．（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 29．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 30．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 勾股定理与逆定理（解析版） （3大类型精选30题） 1．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，请判断这个三角形的形状是 ． 【答案】直角三角形 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、非负数的性质等知识点，掌握运用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形成为解题的关键． 根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 2．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）已知a，b，c为三角形的三边且满足，则三角形的形状为 【答案】直角三角形 【知识点】运用完全平方公式进行运算、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了配方法的应用及勾股定理的逆定理，由配方法得，结合勾股定理的逆定理，即可求解；掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ，，， ，，， ， ， 为直角三角形． 3．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）已知a，b，c为的三边，给出下列条件：①；②，，；③；④，，．其中能判定是直角三角形的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：①∵，则 ∴是直角三角形，故①正确； ②∵，，， 则， ∴是直角三角形，故②正确； ③∵， ∴， ∴不是直角三角形，故③正确； ④∵，， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 故答案为：①②④． 4．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）已知、、为的三边，且满足，则是 【答案】等腰三角形或直角三角形 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了非负性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定等知识，根据非负性质得出或，然后分三种情况讨论判定． 【详解】解：∵， ∴或， 即或， 当时，是等腰三角形， 当时，是直角三角形， 故答案为∶ 等腰三角形或直角三角形 5．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知、、为的三边，且，则的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【知识点】绝对值非负性、运用完全平方公式进行运算、判断三边能否构成直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理、等腰三角形的定义等知识点，利用非负数的性质得出a、b、c之间的关系是解题的关键． 由非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 6．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知的三边、、满足，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、完全平方公式分解因式、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了非负数的性质，算术平方根的非负性，完全平方公式，勾股定理的逆定理，先根据，得出，求出，，，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而求得面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，，， 解得：，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， ∴的面积为 故答案为：． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a，b，c，则a，b，c正好是直角三角形三边长的概率是 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查的是概率的求法．三粒均匀的正六面体骰子同时掷出共出现216种情况，而边长能构成直角三角形的数字为3、4、5，含这三个数字的情况有6种，故由概率公式计算即可． 【详解】解：因为将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，按出现数字的不同共种情况，其中数字分别为3，4，5，是直角三角形三边长时，有6种情况，所以其概率为． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·四川内江·期末）若三角形的三边长、、满足，则这个三角形的面积是 ． 【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：， ， ， 三角形是直角三角形． ∵， ∴， ∴这个三角形的面积是， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知中，，，，且满足．则边上的高为 ． 【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、与三角形的高有关的计算问题、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的面积．根据非负数的性质得出，继而得出，再根据三角形面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是直角三角形， 设斜边上的高为， ∴， ∴， 故答案为： ． 10．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）已知a，b，c是的三边长，且满足关系式，则的形状为 ． 【答案】等腰直角三角形 【知识点】等腰三角形的定义、判断三边能否构成直角三角形、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理和等腰三角形的定义，直接利用非负数的性质，得出a，b，c之间的关系是解题关键． 由非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 11．（24-25八年级下·安徽黄山·期中）如图，已知中，，，三角形顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，则，之间的距离是 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的乘法、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理等知识，过点A作于，过点B作于，可利用勾股定理的逆定理证明，再证明，得到，由勾股定理得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于，过点B作于． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵直线，，是三条互相平行的直线， ∴，之间的距离是， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，，则的面积为 ． 【答案】6 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， ∴的面积为， 故答案为：6． 13．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，D，E两点分别在直线和直线上运动（点E不与点C重合）．若与全等，则线段的长为 ． 【答案】或或 【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明，再分，，三种情况根据全等三角形的性质求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 如答图1所示，当时，， ∴， ∴； 如答图2所示，当且E在B的右边时，， ∴， ∴． 如答图3所示，当且E在B的左边时，． ∴． ∴． 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或． 14．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，凸四边形的四边，，和的长分别是3，4，12和13，，则四边形的面积 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，连接，在直角中，根据勾股定理可以求得，在中，可得，根据勾股定理的逆定理确定为直角三角形，四边形的面积为和面积之和． 【详解】解：连接， 在直角中，，， ∴， 又∵，∴为直角三角形， ∴的面积为，的面积为， ∴四边形的面积为和面积之和，即． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，在四边形中，已知，则的度数为 ． 【答案】/135度 【知识点】求一个数的算术平方根、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识，连接，得出为等腰直角三角形，得到，根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，， 为等腰直角三角形， ∴， 在中， ， 在中，， 是直角三角形，且， ， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，点是等边三角形内的一点，且，若将绕点逆时针旋转后得到． （1）求的度数为 （2）的面积= 【答案】 /150度 / 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、利用勾股定理的逆定理求解、根据旋转的性质求解 【分析】（1）连接，得出为等边三角形，进而可求出点P与之间的距离；根据，，，判定为直角三角形，即可求解； （2）过点作交延长线于点，过点B作于点，则，根据角直角三角形的性质以及勾股定理求出，那么，由勾股定理求出，求由勾股定理得到，最后由面积公式求解． 【详解】解：（1）连接，如图， ∵绕点A逆时针旋转后，得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴； （2）过点作交延长线于点，过点B作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理，含角直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键． 17．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，，，将沿直线向右平移3个单位长度得到，连接，则下列结论：①，；②；③四边形的周长是27；④点A到直线的距离是．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 【答案】①② 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟记平移的性质（对应边相等且平行，对应角相等）是解题的关键． 由平移的性质①②正确；由平移得到，，求出四边形周长可判断③；延长，交于点G，过点B作于点H，利用面积公式求出，得出的长度，由此可判断④． 【详解】解：∵将沿直线向右平移3个单位长度得到， ∴，，，故①正确； ∴，故②正确； ∵将沿直线向右平移3个单位长度得到， ∴，， ∵，，， ∴四边形的周长，故③错误； 如图：延长，交于点G，过点B作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A到直线的距离是，故④错误； 综上，正确的有①②． 故答案为：①②． 18．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，点P是在正内一点．，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、利用勾股定理的逆定理求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】由旋转的性质可证是等边三角形，过点作于点，证明，得到，利用勾股定理逆定理，得出，再根据四边形求解． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，， 如图，过点作于点， ，， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ， 四边形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转和等边三角形的性质是解题关键． 19．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，点P在内，且，，，则的长为 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解、根据旋转的性质求解 【分析】将绕点C逆时针旋转得到，根据旋转的性质，勾股定理，，根据勾股定理的逆定理，，得到，继而得到，结合，判定A，P，D三点共线，运用勾股定理计算即可． 【详解】如图，将绕点C逆时针旋转得到，， 根据旋转的性质，得， ∴，， ∵，    ∴， ∴， ∴， ∴A，P，D三点共线， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握旋转的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 20．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理等知识，综合性强．延长到E，使得，连接，作于点F，先证明，得到，根据勾股定理逆定理得到，进而得到，，即可得到，，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长到E，使得，连接，作于点F， 则． ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为： 21．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 22．（23-24八年级上·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 23．（23-24八年级上·福建·期末）观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数： ． 【答案】17，144，145 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可． 【详解】解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17， 继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m，则弦为m+1， 所以有，解得，，即第8组勾股数为17，144，145. 故答案为17，144，145. 【点睛】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可． 24．（23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，为了庆祝祖国70周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯.平面上，不同颜色的彩色线段从点发出，恰好依次落到边长为1的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围.则的长度为 .照此规律，的长度为 . 【答案】 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】根据勾股定理分别表示出、、、的长度，然后研究之间存在的规律， 【详解】由图可知，、、、……分别为直角三角形的斜边 == 、== 、== 、== …… 由上式可以看出，= 故答案是：； 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和数字规律，解决本题的关键是正确将每条线段的长度用式子表示出来. 25．（24-25八年级下·河南信阳·期中）阅读下列内容： 设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________． 【答案】(1)锐角； (2)或 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据阅读材料中提供的思路进行判断即可． 根据题意，三角形的三边长分别是，，，其中最长边是，计算出和的大小，从而可以判断三角形的形状； 当是最长边时，可得方程，解方程求出即可，当是最长边时，可得方程，解方程求出即可． 【详解】（1）解：三角形的三边长分别是，，，其中最长边是， ， 该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）解：三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形， 当是最长边时， 可得：， 解得：， 当是最长边时， 可得：， 解得：， 故答案为：或． 26．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 27．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题、因式分解的应用、整式的混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 28．（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 29．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）、等边三角形的判定和性质、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可； （2）利用勾股定理计算画出即可； （3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解． 【详解】解：（1）填直角梯形，长方形； （2）如图， （3）证明：∵△ABD为等边三角形， ∴AB＝AD，∠ABD＝60°， ∵∠CBE＝60°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC， 即∠ABC＝∠DBE， 又∵BE＝BC， ∴△ABC≌△DBE， ∴BE＝BC，AC＝ED； 连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形， ∴BC＝CE，∠BCE＝60°， ∵∠DCB＝30°， ∴∠DCE＝90°， 在Rt△DCE中， DC2+CE2＝DE2， ∴DC2+BC2＝AC2． 【点睛】此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目． 30．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题、勾股定理的证明方法、作垂线(尺规作图)、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质． 问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论． 问题再探：如图，过点P作直线于点F交直线a于点E，截取，，连接即可； 问题拓展：过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：问题初探：（1）； 证明：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；, （2）∵， ， 故答案为：；, （3）证明：∵四边形的面积 ， ∴四边形的面积 ， ∴， 即． 问题再探：解：如图，即为所求；    问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，     ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 故答案为：9． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$