专题06勾股定理与最短路径问题2大类型-2024-2025学年八年级数学下册【高分必刷】专练（人教版）

专题06 勾股定理与最短路径问题（解析版） （2大类型精选20题） 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 故选：B．    2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， 因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2， 所以AC2=DC2+AD2=20， 所以AC=， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ． 【答案】10． 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】根据题意画出图形，求出AC、BC的长，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】解：有三种情况，如图所示： 连接AB，求出AB的长就可以， （1）如下图1， AC=4，BC=6+4=10， 由勾股定理得：AB=； （2）如下图2， AC=4+4=8，BC=6， 由勾股定理得：AB==10， （3）如图3，AC=8，BC=6， 由勾股定理得：AB==10； ∵＞， ∴最短是10．故答案为10． 考点：平面展开-最短路径问题；勾股定理． 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为 ． 【答案】 【知识点】几何体展开图的认识、最短路径问题、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理、两点之间线段最短、几何体的展开图等知识点，掌握勾股定理“”是解题的关键．把长方体沿边剪开，利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把长方体沿边剪开，连接， 根据题意：，， 在中，由勾股定理得：. 故答案为：． 5．（24-25八年级下·青海海东·阶段练习）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用-最短路径问题，分三种情况进行讨论，分别计算的长度，进而比较即可求解． 【详解】解：展开前面和右面，如图： ； 展开左面和上面，如图： ； 展开上面和前面，如图： ； ∵， ∴， ∴需要爬行的最短距离是25， 故答案为：25． 6．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）2024年12月4日，我国的“春节”申遗成功，被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间，为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱的点处缠绕到圆柱的点处（点在下底面，点在上底面，点在点的正上方），若圆柱的底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高，在展开图中，根据题意，利用两点之间线段最短，求出即可． 【详解】解：圆柱体的侧面展开图如图所示， 最短长度为 ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是 分米． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，把圆柱侧面展开，由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：把圆柱侧面展开，如图，则分米，分米， 由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径， 由勾股定理得，分米， ∴需要走的最短路程是分米， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 ． 【答案】20 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20． 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是 ．（鱼缸厚度忽略不计） 【答案】130 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了最短路径问题，作点E关于点的对称点，连接交于点P，连接，则，的最小值为的长，利用勾股定理求出的长度即为壁虎爬行最短路程. 【详解】解：如图，作点E关于点的对称点，连接交于点P，连接，则，的最小值为的长， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：130． 10．（23-24八年级下·全国·期末）如图，圆柱的高为，底面周长为，用一根绳子由点A逆时针绕圆柱两圈到点B，则这根绳子的长度至少需要 ． 【答案】13 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题．将圆柱的侧面展开，根据“两点之间，线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将圆柱沿展开，设点分别为的中点， 连接，根据两点之间，线段最短，可得的长度和就是这根绳子的长度的最短长度． 由题可得：， ， 由勾股定理得：，， ， 故答案为：13． 11．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与无理数、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，当点、、在同一条直线上时，最短， 则此时为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形的边长是，点是边上的一个点，且，是对角线上的一个动点，连接和，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了最短路线问题，正方形的性质、勾股定理，连接，由正方形性质可得点与点关于对称，，，则，由，即有，当三点共线时，最小，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴点与点关于对称，，， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，最小， 如图， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一壁虎，与壁虎相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一蚊子，急于捕获蚊子充饥的壁虎，所走的最短路线的长度为 ． 【答案】25 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 如图所示，作点F关于的对称点，连接，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度的长度，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：把圆柱侧面展开成一个矩形，如图所示，作点F关于的对称点，连接，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度的长度， 过S作于E，由题意得， 在中， ∵， ∴． 故答案为：25． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 【答案】100 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短． 则， 根据题意：，， ∴， ∴， ∴最短路线长为， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ．（假设蜂蜜不会下滑） 【答案】20 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解、几何体展开图的认识 【分析】本题考查了勾股定理的应用、轴对称的最短路径问题、圆柱的展开图，熟练掌握相关知识点，利用轴对称的性质分析出最短距离是解题的关键．将圆柱形杯子的侧面展开，作关于的对称点，连接交于点，利用轴对称的性质得到从外壁处到达内壁处的最短距离为的长，再利用勾股定理求出的长即可解答． 【详解】解：如图，将圆柱形杯子的侧面展开，作关于的对称点，连接交于点， 由对称性可得， ， 从外壁处到达内壁处的最短距离为的长， 由题意得，，， 在中，． 故答案为：20． 16．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，边长为3的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，最短路径问题，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．连接、，根据正方形的性质可证出，得到，利用勾股定理求出的长，再利用两点之间线段最短性质即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 边长为3的正方形， ，，， 又， ， ， ， ， 在中，， 由两点之间线段最短性质得，， ， 的最小值为． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，菱形的边长为，，P，Q分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、利用菱形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】如图，连接，过点C作，使得，连接．证明，推出，推出，求出即可解决问题．本题考查轴对称-最短问题，全等三角形，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，连接，过点C作，使得，连接． ∵四边形是菱形， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 18．（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）如图，边长为6的正方形，点P是对角线上一动点，点E在边上，，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、根据正方形的性质求线段长、两点之间线段最短、利用二次根式的性质化简 【分析】连接交于点P、连接，由正方形的性质可知、关于直线对称，则的长即为的最小值，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接交于点P、连接， 四边形是正方形， 、关于直线对称， ， ∴， 的长即为的最小值，（两点之间线段最短） ，， ， 在中， ， 的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查了轴对称的最短路线问题及正方形的性质，根据题意、两点之间线段最短，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 19．（22-23八年级下·湖北荆门·期中）如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、四边形中的线段最值问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解题的关键． 作点的对称点，作点关于的对称点，连接，，，过点作的垂线，交的延长线于点，推得当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长，根据矩形的性质可得，求得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长． 过点作的垂线，交的延长线于点， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 20．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，点、分别是边、上的动点，，若，，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解、根据矩形的性质与判定求线段长、两点之间线段最短 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、轴对称、勾股定理求最短路径问题，熟练掌握轴对称、矩形的性质作辅助线是解题的关键．连接，作点关于的对称点，连接，，根据轴对称的性质可得，，根据矩形的性质可得，，进一步可知四边形是矩形，根据矩形的性质可得，推出的最小值等于的最小值，即的长度，利用勾股定理求的长，即可确定的最小值． 【详解】解：如图，连接，作点关于的对称点，连接，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点、、在同一直线上， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值等于的最小值， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值等于的长度， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 勾股定理与最短路径问题（原卷版） （2大类型精选20题） 类型一：展开图形求最短路径 类型二：将军饮马模型最短路径问题 类型一：展开图形求最短路径 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（    ） A． B．3 C． D． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ． 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为 ． 5．（24-25八年级下·青海海东·阶段练习）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ． 6．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）2024年12月4日，我国的“春节”申遗成功，被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间，为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱的点处缠绕到圆柱的点处（点在下底面，点在上底面，点在点的正上方），若圆柱的底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 7．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是 分米． 8．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 ． 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是 ．（鱼缸厚度忽略不计） 10．（23-24八年级下·全国·期末）如图，圆柱的高为，底面周长为，用一根绳子由点A逆时针绕圆柱两圈到点B，则这根绳子的长度至少需要 ． 类型二：将军饮马模型最短路径问题 11．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 12．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形的边长是，点是边上的一个点，且，是对角线上的一个动点，连接和，则的最小值是 ． 13．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一壁虎，与壁虎相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一蚊子，急于捕获蚊子充饥的壁虎，所走的最短路线的长度为 ． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 15．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ．（假设蜂蜜不会下滑） 16．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，边长为3的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为 ．    17．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，菱形的边长为，，P，Q分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 18．（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）如图，边长为6的正方形，点P是对角线上一动点，点E在边上，，则的最小值是 ． 19．（22-23八年级下·湖北荆门·期中）如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ． 20．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，点、分别是边、上的动点，，若，，则的最小值是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$