精品解析：浙江省杭州市西湖区杭州市公益中学2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题

2024学年第二学期5月课堂练习 七年级数学 试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在日本核电站排放核废水期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘-131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：数据“0.0000963”用科学记数法可表示为； 故选C 2. 如图，按各组角的位置，判断错误的是（ ） A. 与是同旁内角 B. 与是内错角 C. 与是同旁内角 D. 与是同位角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同位角、同旁内角、内错角的定义，根据同位角、同旁内角、内错角的定义结合图形，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、与是同旁内角，故本选项正确，不符合题意； B、与是内错角，故本选项正确，不符合题意； C、与不是同旁内角，故本选项错误，符合题意； D、与是同位角，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项，乘方、完全平方公式，分式的乘除法，积的乘方逐一进行计算，即可得到答案． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意，选项错误； B、，原计算正确，符合题意，选项正确； C、，原计算错误，不符合题意，选项错误； D、，原计算错误，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了合并同类项，乘方、完全平方公式，分式的乘除法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 4. 要使分式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. 或 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件得出x+2≠0且x-1≠0，再求出即可． 【详解】解：要使分式有意义，必须x+2≠0且x-1≠0， 解得：x≠-2且x≠1， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，能根据分式有意义的条件得出x+2≠0且x-1≠0是解此题的关键． 5. 若等式成立，则a的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】应用完全平方的公式，将已知等式右边展开，然后合并，即可求出． 【详解】解：∵（x+2）2-3=x2+4x+1， ∴x2+4x+a=x2+4x+1， ∴a=1， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练完全平方的公式是解答此题的关键． 6. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了异分母分式减法计算，先把两分式通分，再约分化简即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若分式的值为0，则 B. 是最简分式 C. 把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么这个分式的值扩大为原来的4倍 D. 与的最简公分母是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，最简分式的定义，分式的性质，最简公分母； A.由分式值为零的条件得且，即可判断； B.将分子分母进行因式分解，由最简分式的定义即可判断； C.按要求扩大倍数进行化简，即可判断； D.按最简公分母定义找出最简公分母，即可判断； 理解分式的值为零的条件：分子的值为零，分母不等于零；最简分式的定义：分子分母除了，没有其它公因式；会找最简公分母是解题的关键． 【详解】解：A. 分式的值为0，则且，解得，结论错误，故不符合题意； B.，结论错误，故不符合题意； C.，结论正确，故符合题意； D.最简公分母是，结论错误，故不符合题意； 故选：C． 8. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握分式方程是解题的关键．根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天，根据题意列方程得，解答即可． 【详解】解：根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天， 根据题意列方程得， 故选：A． 9. 已知关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程组可化为，由方程组的解是即可求得方程组的解为． 【详解】解：方程组可化为， ∵方程组的解是， ∴， 即方程组的解为，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，把方程组化为是解决问题的关键． 10. 如图，已知正方形和正方形，点E在边上，连接交于点H，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（ ） A. 正方形的面积 B. 三角形的面积 C. 正方形的面积 D. 三角形的面积 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，单项式乘以多项式在几何图形中的应用，连接，由平行线的性质可得，则，设正方形和正方形的边长分别为，则，根据可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 设正方形和正方形的边长分别为，则， ∴ ， ∴只需要知道正方形的面积就可以知道阴影部分的面积， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂与负整数指数幂的运算，先计算零次幂与负整数指数幂，再计算乘法即可； 【详解】解：； 故答案为： 12. 已知，．则________． 【答案】7 【解析】 【分析】将所求式子利用完全平方公式变形后，把a+b与ab的值代入即可求出值． 【详解】∵a+b=3，ab=1， ∴a2+b2=（a+b）2-2ab=32-2=9-2=7； 故答案为：7. 【点睛】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 13. 如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，若，，三角形的面积为10，则四边形的面积为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．过C作于G；由平移的性质得，，，，则可得的长；由三角形的面积可求得的长，再由梯形面积减去三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图，过C作于G； 由平移的性质得，，，； 所以，； 因为三角形的面积为10，， 所以， 所以四边形的面积为； 故答案为：30． 14. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【详解】解：四个独立图形的面积和： 组合图形面积： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查长方形的面积，因式分解定义，理解因式分解的定义是解题的关键． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据增根的定义求出x，去分母后把求得的x代入即可求出a的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， ∴， 原分式方程去分母得， 把代入得， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于的值，不是原分式方程的解． 16. 在当今“互联网+”的时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果是，当取时，各个因式的值是：，，于是就可以把“182021”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式，当取时，得到密码596769，则______，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意可得出因式分解的结果，再展开与原式相等即可得到所求的值． 【详解】∵当时，密码为596769，且的系数是1 ∴ ∴ 即 【点睛】此题考查因式分解，找到因式分解的结果是关键，主要是在于对题意的理解，难度一般． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）（x+3）（x-3）；（2）原式=2y（x-1）． 【解析】 【分析】（1）通过平方差公式分解因式； （2）先提公因式，再通过完全平方公式进行分解． 【详解】（1）原式=（x+3）（x-3）； （2）原式=2y（x-2x+1） =2y（x-1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握公式是解题的关键． 18. 解下列方程(组)： （1） （2）＋2＝ 【答案】（1） （2）x=1 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可． 【小问1详解】 解： 用①×3+②得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解： 两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项合并得：， 经检验是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解分式方程，熟知相关求解方法是解题的关键． 19. 如图，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若比大25°，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得； （2）设，从而可得，再根据三角形的外角性质可求出x的值，然后根据平行线的性质即可得． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ， ， ， 又， ， ； 【小问2详解】 设，则， 由三角形的外角性质得：，即， 解得， 即， 由（1）已证：， ． 20. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ． （2）请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ． 【答案】（1）， ， （2）作图见解析， 【解析】 【分析】本题考查几何背景下的整式的乘法与因式分解，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）图2可看作是边长为的正方形，也可以看作4个部分组成，可分别表示出面积，再根据二者面积相等，即可作答； （2）拼成的大长方形需要2张A种纸片，1张B种纸片，3张C种纸片，据此即可作图，再由面积关系即可解答． 【小问1详解】 解：图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式． 故答案为： ， ， ． 【小问2详解】 解：如图， 由图可知，拼成的大长方形的长为，宽为，即， ∴可将因式分解为． 故答案为： 21. 先化简，再求值：，从，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件．先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件，得到x的合适的值代入求值即可． 【详解】解： ， 要使原分式有意义，则 ， ∴且， ∴当时，原式． 22. 已知关于x，y的方程组． （1）请写出方程的所有正整数解； （2）若方程组的解满足，求m的值； （3）无论m取何值，方程总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？ 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解． （1）根据二元一次方程解的定义以及整数解的意义进行计算即可； （2）解方程组，得到x、y的值，再代入方程即可求解； （3）把方程变形为：，结合无论实数m取何值，方程总有一个公共解，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴方程的正整数解为或； 【小问2详解】 解：由题意，解方程组，得， 把代入方程，得 ， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵无论实数m取何值，总有一个公共解， ∴， 解得 ∴方程的公共解为． 23. 杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同． （1）问，款丝巾的进货单价分别是多少元？ （2）小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示： 日期 款丝巾（条） 款丝巾（条） 销售总额（元） 12月10日 4 6 2160 12月11日 6 8 3040 问：两款丝巾的销售单价分别是多少？ （3）根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高． 【答案】（1）款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元 （2）款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元 （3）有三种进货方案，方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条；方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条；方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条．选择方案一利润最高． 【解析】 【分析】（1）设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出分式方程，求解即可获得答案； （2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出方程组并求解即可； （3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条，根据题意可列出方程，由均为正整数，确定的值，得到进货方案，再分别求出总利润，比较即可确定答案． 【小问1详解】 解：设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， ∴款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元； 【小问2详解】 设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， ∴款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元； 【小问3详解】 设购进款丝巾条，购进款丝巾条， 根据题意，可得 ， 整理，可得， ∴， ∵均为正整数， ∴；；， 即有三种进货方案： 方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条， 则利润为：元； 方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条， 则利润为：元； 方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条， 则利润为：元； 综上所述，选择方案一利润最高． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系是解题关键． 24. 探索下面不同的情境，回答问题： （1）【探索发现】已知：如图，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； （2）【深入思考】如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； （3）【拓展延伸】如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）小刚的证明：过点作，可得，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长交于点，可得，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明即可求证； （3）由角平分线的定义得，设，则，得，再根据（2）的条件得，解得，设，同理可得，即可求解； 【小问1详解】 解：小刚的证明如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ， 即； 小红的证明如下： 如图3，延长交于点， ， ， ∵，， ， 即； 【小问2详解】 证明：∵，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：∵平分，， ∴， 设，则， ， ∵在（2）的条件下， ， ， 解得， ， 设， ∵平分， ， ， ， ， ， ∵在（）的条件下， ， 同理可得，，即， 解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期5月课堂练习 七年级数学 试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在日本核电站排放核废水期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘-131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，按各组角的位置，判断错误的是（ ） A. 与是同旁内角 B. 与是内错角 C. 与是同旁内角 D. 与是同位角 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要使分式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. 或 D. 且 5. 若等式成立，则a的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若分式的值为0，则 B. 是最简分式 C. 把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么这个分式的值扩大为原来的4倍 D. 与的最简公分母是 8. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形和正方形，点E在边上，连接交于点H，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（ ） A. 正方形的面积 B. 三角形的面积 C. 正方形的面积 D. 三角形的面积 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算__________． 12. 已知，．则________． 13. 如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，若，，三角形的面积为10，则四边形的面积为______． 14. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 16. 在当今“互联网+”的时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果是，当取时，各个因式的值是：，，于是就可以把“182021”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式，当取时，得到密码596769，则______，________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 解下列方程(组)： （1） （2）＋2＝ 19. 如图，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若比大25°，求的度数． 20. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ． （2）请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ． 21. 先化简，再求值：，从，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 22. 已知关于x，y的方程组． （1）请写出方程的所有正整数解； （2）若方程组的解满足，求m的值； （3）无论m取何值，方程总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？ 23. 杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同． （1）问，款丝巾的进货单价分别是多少元？ （2）小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示： 日期 款丝巾（条） 款丝巾（条） 销售总额（元） 12月10日 4 6 2160 12月11日 6 8 3040 问：两款丝巾的销售单价分别是多少？ （3）根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高． 24. 探索下面不同的情境，回答问题： （1）【探索发现】已知：如图，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； （2）【深入思考】如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； （3）【拓展延伸】如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $