第十三章 统计重难点检测卷 -2025-2026学年高二数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第三册）

第十三章 统计重难点检测卷 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修第三册第十三章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）现有一组数据:3，4，6，8，9，10，12，13，其第 60 百分位数为 . 2．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）事件都没有发生的概率为，则事件至少有一个发生的概率为 ． 3．（24-25高二上·上海闵行·期中）设事件A、B是互斥事件，且，则 . 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）在三棱锥中，平面ABC，，，则点到平面的距离等于 . 5．（24-25高二上·上海长宁·期末）已知直线l，m和平面，，且，，则下列命题中正确的是 . ①若，则    ②若，则 ③若，则    ④若，则 6．（2025·上海·模拟预测）图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为 .    7．（23-24高二上·上海虹口·期末）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则的通项公式为 . 8．（24-25高二上·上海金山·阶段练习）如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是 ． 9．（2024·上海宝山·一模）随着我国国民教育水平的提高，越来越多的有志青年报考研究生.现阶段，我国研究生入学考试科目为思政、外语和专业课三门，录取工作将这样进行：在每门课均及格（分）的考生中，按总分进行排序，择优录取.振华同学刚刚完成报考，尚有11周复习时间，下表是他每门课的复习时间和预计得分.设思政、外语和专业课分配到的周数分别为，则自然数数组 时，振华被录取的可能性最大. 科目 周数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 思政 20 40 55 65 72 78 80 82 83 84 85 外语 30 45 53 58 62 65 68 70 72 74 75 专业课 50 70 85 90 93 95 96 96 96 96 96 10．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为 ．    11．（24-25高二上·上海奉贤·期中）如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为 ．       图1                   图2 12．（23-24高二上·上海杨浦·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）    ①当时，为等腰梯形. ②当时，与的交点满足. ③当时，为四边形. ④当时，的面积为. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（23-24高二上·上海·期末）先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是2，3，4的概率依次是，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 15．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为，容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为，当容器内盛有一定量的水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器水平倒置，水面也恰好过点（图2），对于命题：①；②将容器侧面水平放置，当水面静止时，水面恰好经过点．下列判断正确的是（   ）    A．①、②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①、②都是假命题 16．（23-24高二上·上海虹口·期末）空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表： 指数值 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日的数据并绘成折线图如下： 下列叙述正确的是（    ） A．这20天中的中位数略大于150 B．10月4日到10月11日，空气质量越来越好 C．这20天中的空气质量为优的天数占25% D．10月上旬的极差大于中旬的极差 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高二·上海·课堂例题）棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的高与体积时，相应的截面面积分别为、．求证：． 18．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 19．（24-25高二上·上海·期中）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且，.    (1)求异面直线和所成角； (2)求二面角的正切值. 20．（24-25高二上·上海青浦·期中）某同学为了解我国文化教育普及程度，收集了我国部分省级行政区15岁及以上男性和女性的文盲人口比重（％）情况，经统计得到如下的茎叶图. (1)根据茎叶图判断男性样本数据和女性样本数据的离散程度，并求离散程度较小的样本数据的第80百分位数； (2)若女性样本数据的极差为12.7，求该样本数据的平均数与方差；（结果精确到0.1） (3)为了调查今年某地区15岁及以上男性和女性文盲人口情况，研究小组准备采用分层随机抽样方法抽取5000人进行调查.已知该地区15岁及以上的男性约有4.2百万人，女性约有3.8百万人.分别求出抽取的男性人数和女性人数. 21．（23-24高二上·上海杨浦·期末）如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸，其中，，．现将彩纸沿向内进行折叠． (1)求线段的长度； (2)若是等边三角形，折叠后使⊥，求直线与平面的所成角的大小； (3)将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥，求该四棱锥的体积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 统计重难点检测卷 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修第三册第十三章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）现有一组数据:3，4，6，8，9，10，12，13，其第 60 百分位数为 . 【答案】9 【分析】根据百分位数的求法，即可求得答案. 【详解】数据:3，4，6，8，9，10，12，13，已按从小到大排列， 由于， 故第 60 百分位数为9， 故答案为：9 2．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）事件都没有发生的概率为，则事件至少有一个发生的概率为 ． 【答案】 【分析】利用对立事件的概率求法求概率. 【详解】由都没有发生与至少一个发生互为对立事件， 所以事件至少有一个发生的概率为. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海闵行·期中）设事件A、B是互斥事件，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意，利用互斥事件的概率加法公式，进行计算，即可求解. 【详解】根据题意，由互斥事件的概率加法公式，可得. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）在三棱锥中，平面ABC，，，则点到平面的距离等于 . 【答案】 【分析】根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定可推出面，则，再利用等体积法转换即可. 【详解】面，面；. 且，面；. ；. ；； 设点到平面的距离等于. ；；即. 即点到平面的距离等于. 5．（24-25高二上·上海长宁·期末）已知直线l，m和平面，，且，，则下列命题中正确的是 . ①若，则    ②若，则 ③若，则    ④若，则 【答案】①④ 【分析】根据线面垂直的性质，面面平行的判定定理，面面垂直的性质逐一判断即可. 【详解】由直线l，m和平面，，且，，知： 在①中，若，则由线面垂直的性质得，而，所以，故①正确； 在②中，若，显然由可得，，此时不成立，故②错误； 在③中，若，则l与m相交、平行或异面，故③错误； 在④中，若，则，，故④正确. 故答案为：①④ 6．（2025·上海·模拟预测）图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为 .    【答案】41 【分析】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对，有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对，由最大可得答案． 【详解】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对， 有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对， 可得，， 要使能看见的13个正方形面上的数字和的最小， 最上面的一个正方体的有数字6的正方形面朝下，与中间的正方体面接触， 中间的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上下正方体接触， 最下面的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上面正方体和地面接触， 所以能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为. 故答案为：41. 7．（23-24高二上·上海虹口·期末）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则的通项公式为 . 【答案】， 【分析】根据条件概率分别求出第次出现红球、绿球情况下第n次出现红球的概率，利用全概率公式计算数列的递推公式，再根据递推公式求通项公式. 【详解】设“第次出现红球”，“第次出现绿球”，D＝“第n次出现红球”， 则，，，， 由全概率公式得 ()． 即，， 所以，, 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，， 故答案为：， 8．（24-25高二上·上海金山·阶段练习）如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】利用结论平面图形的直观图面积与原图面积之比为，结合三角形的面积是求结论. 【详解】因为平面图形的直观图面积与原图面积之比为， 所以，又， 所以. 故三角形的面积是． 故答案为：. 9．（2024·上海宝山·一模）随着我国国民教育水平的提高，越来越多的有志青年报考研究生.现阶段，我国研究生入学考试科目为思政、外语和专业课三门，录取工作将这样进行：在每门课均及格（分）的考生中，按总分进行排序，择优录取.振华同学刚刚完成报考，尚有11周复习时间，下表是他每门课的复习时间和预计得分.设思政、外语和专业课分配到的周数分别为，则自然数数组 时，振华被录取的可能性最大. 科目 周数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 思政 20 40 55 65 72 78 80 82 83 84 85 外语 30 45 53 58 62 65 68 70 72 74 75 专业课 50 70 85 90 93 95 96 96 96 96 96 【答案】 【分析】根据题意，分别保证各科及格，再由得分效益最大求解. 【详解】首先保证各学科均及格，则思政、外语、专业课分别需要3周，4周，1周，还有剩余复习时间3周，剩余时间复习一周思政可提高7分，复习外语可提高3分，复习专业课可提高15分，故先安排一周复习专业课，剩余2周，若再复习专业课一周可提高5分，从得分效益来看，先安排一周复习思政，剩一周再复习思政可提高6分，故安排复习思政， 综上，安排5周思政复习，4周外语复习，2周专业课复习，总分最高， 故答案为： 10．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为 ．    【答案】 【分析】作,根据二面角的定义可得，即可利用余弦定理求解，进而由勾股定理求解. 【详解】过点作直线的垂线段，垂足为点，以为邻边作平行四边形，连接，如图，    由， 又，则就是二面角的平面角, 平面, 所以平面， 所以，在中，解：， 在中利用余弦定理得：， 解得：， 由于平面，平面，故， ，故， 在中，即：， 整理得：． 故答案为： 11．（24-25高二上·上海奉贤·期中）如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为 ．       图1                   图2 【答案】 【分析】连接，，由正四棱台的性质得和的长，过作，过作，得，，最后在直角三角形中，由勾股定理得到结果. 【详解】由为正四棱台，，，， 连接，得，， 过作，过作， 所以，， 在直角三角形中，， 所以正四棱台的高. 故答案为：. 12．（23-24高二上·上海杨浦·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）    ①当时，为等腰梯形. ②当时，与的交点满足. ③当时，为四边形. ④当时，的面积为. 【答案】①②④ 【分析】根据题意作出图形，由相关知识对选项一一判断即可得出答案. 【详解】①如图当时，即为中点，此时可得， ， 故可得截面为等腰梯形，故①正确；    ②当时，如图， 延长至，使，连接交于，连接交于， 连接，可证，由， 可得，故可得，故②正确；    ③由②可知当时，只需点上移即可， 此时的截面形状仍然上图所示的，显然为五边形，故③错误； ④当时，与重合，取的中点，连接， 可证，且， 可知截面为为菱形，故其面积为，故④正确．    故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． 确定截面的依据如下：（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；（3）两个平面平行的性质；（4）球的截面的性质． 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（23-24高二上·上海·期末）先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是2，3，4的概率依次是，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列出先后抛掷两枚骰子出现的点数的所有的基本事件，再分别求出点数之和是2、3、4的基本事件个数，进而求出点数之和是2、3、4的概率，，，即可得到它们的大小关系． 【详解】先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有： ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，共36种， 其中点数之和是2的有1种，故， 点数之和是3的有2种，故， 点数之和是4的有3种，故， 所以 故选：D 14．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到，所以四边形为平行四边形，求出经过、、的截面为平行四边形. 【详解】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D 15．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为，容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为，当容器内盛有一定量的水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器水平倒置，水面也恰好过点（图2），对于命题：①；②将容器侧面水平放置，当水面静止时，水面恰好经过点．下列判断正确的是（   ）    A．①、②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【分析】根据题意，结合棱柱和棱锥的体积公式求解即可. 【详解】由题意可知图1水的高度，几何体正四棱柱的高为，设底面正方形的边长为， 图1中水的体积为，图2中水的体积为， 所以，解得，故①正确， 对于②，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上， 又因为容器容积为，所以水的体积是容器容积的一半， 即水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过点，故②正确， 故选：A 16．（23-24高二上·上海虹口·期末）空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表： 指数值 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日的数据并绘成折线图如下： 下列叙述正确的是（    ） A．这20天中的中位数略大于150 B．10月4日到10月11日，空气质量越来越好 C．这20天中的空气质量为优的天数占25% D．10月上旬的极差大于中旬的极差 【答案】C 【分析】利用折线图中数据信息以及变换趋势，对选项一一分析判断即可. 【详解】对于A，由折线图知100以上有10个，100以下有10个，中位数是100两边最近的两个数的均值，观察这两个数，比100大的数离100远点，因此两者均值大于100但小于150，故A错误； 对于B，由折线图知10月4日到10月11日，越来越大，则空气质量越来越差，故B错误； 对于C，由折线图知小于50的有5天，则20天中的空气质量为优的天数占25%，故C正确； 对于D，由折线图知10月上旬的最小值与中旬的最小值差不多，但10月上旬的最大值比中旬的最大值小的多，则10月上旬的极差小于中旬的极差，故D错误； 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高二·上海·课堂例题）棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的高与体积时，相应的截面面积分别为、．求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】设棱锥的底面积为，分别判断与的关系，从而判断的大小关系. 【详解】设棱锥的底面积为，当截面平分棱锥的高时，，即； 当截面平分棱锥的体积时，，即. 因为，所以. 18．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. (2)①答案见解析；②不公平 【分析】（1）根据古典概型的计算公式求盒中红球、黄球、蓝球的个数. （2）①根据题意，列出样本空间即可； ②结合古典概型，分别求出甲乙获胜的概率，即可作出判断. 【详解】（1）设盒中红球个，黄球个，则篮球（）个， 由题意：. 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. （2）①因为是有放回的随机抽取两次，每次抽取一球，所以样本空间为：，其中包含个样本点，并且每个样本点发生的可能性相同. ②因为红球的编号为1,2，黄球的编号为3，篮球的编号为4,5,6. 根据规则，甲获胜的样本点有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个样本点，所以甲获胜的概率为， 从而乙获胜的概率为：. 因为，所以这个游戏不公平. 19．（24-25高二上·上海·期中）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且，.    (1)求异面直线和所成角； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得为正三角形，取中点，连，即为异面直线和所成角，求解即可. （2）如图，根据线面垂直的判定定理可得平面，则，易证，则为二 面角的平面角的补角，结合等面积法求得，即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面， 则，，所以点的曲率为， 所以，所以为正三角形， 取中点，连， 则，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以即为异面直线和所成角 设，则可得，， 所以， 即异面直线和所成角为.      （2）取的中点，连接，则， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面. 又平面，所以， 过作的垂线，垂足为，连接，    则，又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角的补角. 设，设，则，，. 由等面积法可得，则， 则，故二面角的正切值为. 20．（24-25高二上·上海青浦·期中）某同学为了解我国文化教育普及程度，收集了我国部分省级行政区15岁及以上男性和女性的文盲人口比重（％）情况，经统计得到如下的茎叶图. (1)根据茎叶图判断男性样本数据和女性样本数据的离散程度，并求离散程度较小的样本数据的第80百分位数； (2)若女性样本数据的极差为12.7，求该样本数据的平均数与方差；（结果精确到0.1） (3)为了调查今年某地区15岁及以上男性和女性文盲人口情况，研究小组准备采用分层随机抽样方法抽取5000人进行调查.已知该地区15岁及以上的男性约有4.2百万人，女性约有3.8百万人.分别求出抽取的男性人数和女性人数. 【答案】(1) (2)平均数为，方差为 (3)男性人数为，女性人数为， 【分析】(1)根据百分位数的定义即可求解； (2)根据平均数和，方差公式即可求解； (3)根据分层抽样方法即可求解. 【详解】（1）由茎叶图可得女性样本数据较分散，男性样本数据较集中，故男生离散程度较小. 又因为茎叶图中数据从小到大排列，可知，男性共有30个数据，则第80百分位数为， 所以第80百分位数即为从小到大排列数中第24位与第25位的平均值，即， （2）由茎叶图可得， 又因为女性的极差为，所以， 所以， , （3）因为男性与女性人数之比为， 根据分层抽样，从5000人中抽取男性人数为人，女性人数为人. 21．（23-24高二上·上海杨浦·期末）如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸，其中，，．现将彩纸沿向内进行折叠． (1)求线段的长度； (2)若是等边三角形，折叠后使⊥，求直线与平面的所成角的大小； (3)将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥，求该四棱锥的体积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作出辅助线，得到为等边三角形，求出，，利用余弦定理求出答案； （2）作出辅助线，证明线面垂直，得到即为直线与平面的所成角，显然，从而求出答案； （3）先求出四边形的面积，要想折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大，故要使平面⊥平面BCDE，且需要△ABE边BE上的高最大， 再利用余弦定理及基本不等式得到BE上的高最大值，从而求出体积的最大值. 【详解】（1）延长BC，ED相交于点F， 因为，所以， 故为等边三角形，所以， 因为，， 所以，， 在中，由余弦定理得：， 所以； （2）由（1）知：，，， 所以， 由勾股定理逆定理得：⊥BE， 因为⊥，，平面ABE， 所以BC⊥平面ABE， 取BE的中点Q，连接AQ，CQ， 因为AQ平面ABE， 所以BC⊥AQ， 因为是等边三角形， 由三线合一得：AQ⊥BE， 因为BE，BC平面BCDE，， 所以AQ⊥平面BCDE， 所以即为直线与平面的所成角，显然， 故直线与平面的所成角大小为. （3）延长BC，ED相交于点F， 由（1）（2）得：BF⊥BE，且为等边三角形， 故，， 故四边形的面积为， 要想折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大， 故要使平面⊥平面BCDE，且需要△ABE边BE上的高最大， 因为，，故只需使△ABE的面积最大， 由余弦定理得：， 故， 由基本不等式得：，即， 所以，当且仅当时，等号成立， △ABE的面积最大值为， 故四棱锥的高最大为， 该四棱锥的体积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$