专题14 运动问题（4大常考题型） 期末专项训练 2024～2025学年 北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题14】运动问题（4大常考题型） 【核心知识点总结】 1. 平行线中的运动问题 （1） 模型应用：掌握“猪蹄模型”（同位角、内错角、同旁内角的动态关系）和“铅笔头模型”（多折线中角的和差关系） （2） 动点轨迹分析：动点在平行线间移动时，需结合速度和时间变量表示位置，并利用平行线性质推导角度关系 （3） 面积变化：如动点沿矩形边运动时，面积与时间的函数关系需分段讨论 2. 三角形中的运动问题 （1） 等腰三角形动态特性：动点导致边长或角度变化时，需判断等腰三角形的存在性，结合“三线合一”性质 （2） 直角三角形动点：如勾股定理的动态应用，动点导致斜边或直角边变化时，需列方程求解 （3） 全等三角形动态构造：通过平移、旋转等变换构造动态全等，如“将军饮马”模型中对称点的应用 3. 全等三角形中的运动问题 （1） 动态全等判定：需注意对应边、角的动态匹配，避免因动点位置变化导致全等条件失效 （2） 辅助线技巧：通过作对称点或平移线段构造全等，例如将复杂路径转化为直线问题 4. 轴对称中的运动问题 （1） 最短路径模型：典型如“将军饮马”，利用轴对称将折线路径转化为直线，结合勾股定理计算距离 （2） 动态对称图形：动点导致对称轴变化时，需重新定位对称点，并验证图形性质（如周长、面积不变性） 【技巧总结】 1. 辅助线构造 （1） 平行线中过拐点作平行线，将复杂角关系转化为基本模型（如“猪蹄模型”） （2） 全等三角形中通过作对称点或平移线段简化路径（如“将军饮马”） 2. 分类讨论 （1） 动点导致图形状态变化时需分阶段讨论（如从线段到折线、从三角形到四边形） （2） 等腰三角形或全等三角形存在性问题需多情况分析（如不同边作为底边） 3. 方程建模 （1） 用时间变量表示动点位置，结合几何关系列方程（如速度×时间=位移） （2） 面积问题中分段函数需结合临界点（如动点到达顶点时面积突变） 4. 动态想象能力：通过画图或动态模拟理解动点轨迹（如轴对称中的对称点移动路径） 【易错点】 1. 对应关系识别错误 （1） 全等三角形中动点导致对应边、角变化时，易混淆对应元素（如忽略旋转后的对应关系） （2） 平行线模型中误用角关系（如将内错角误认为同位角） 2. 模型混淆：将平行线模型（如“铅笔头模型”）与轴对称模型（如“将军饮马”）的适用条件混淆 3. 辅助线添加不当：全等三角形中错误添加辅助线（如未作对称点直接拼接线段）导致路径计算错误 4. 时间变量范围遗漏：动点超出图形范围时未检验时间变量的合理性（如动点到达终点后停止） 5. 轴对称路径规划疏漏：未考虑对称轴动态变化时的最短路径（如多个对称轴需多次反射） 【例1】平行线中的运动问题 【典例】问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求． （1）按照小明的思路，求度数； 问题迁移： （2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出间的数量关系，并说明理由． 【变式1】如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒． (1) ； (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由． 【变式2】如图①，过直线外一点C作，连接，． (1)求的度数； (2)如图②，若的平分线交于点D，点E是线段上一动点（不与A，D重合），连接．若，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)过点B引一条射线交于点H，满足，现将绕点B每秒的速度顺时针转动，绕点H每秒的速度顺时针转动，它们同时开始运动，设运动时间为．若转动后的两条射线交于点P，过P作交射线于点Q．若在转动过程中，与的比值是定值，求此时的度数． 【变式3】已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系； (3)如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值． 【例2】三角形中的运动问题 【典例】如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当与全等时，运动时间t的值为 ． 【变式1】如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【变式2】如图，已知，，是射线上一动点（与点不重合），平分交射线于点． (1)的度数是_________． (2)当点运动时，与之间的度数之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的度数之比，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【变式3】如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当____时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【例3】全等三角形中的运动问题 【典例】如图，在中，厘米，厘米，且，点D为的中点．如果点P在线段上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点在线段上由C点向A点运动．若点的运动速度为4厘米/秒，则当与全等时，v的值为 ． 【变式1】如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ． 【变式2】如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为 ． 【变式3】如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【例4】轴对称中的运动问题 【典例】如图，，点、分别在射线、，，的面积为3，则三角形的边上的高是 ；是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，三角形的面积最小值为 ． 【变式1】如图，，点分别在射线上，，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，当的面积最小值为时，则的面积为 ． 【变式2】如图1，已知长方形中，，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒） (1)当时，_____；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【变式3】已知长方形纸片，E为线段上一点，射线交线段于点F，将三角形沿翻折，点A落在点M处；射线交边于点G，将三角形沿翻折，点B落在N处． (1)点E，M，N共线时，如图1，求的度数； (2)点E，M，N不共线时，如图2，若设，，请写出图2中，满足的数量关系式．并说明理由； (3)如图3，设运动时间为t秒，若射线从绕点E以每秒顺时针旋转，当时，点F与D重合，射线停止旋转，若射线从绕点E以每秒逆时针旋转，当时，点G与C重合，射线停止旋转；两条射线同时开始旋转，当t为多少时，？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题14】运动问题（4大常考题型） 【核心知识点总结】 1. 平行线中的运动问题 （1） 模型应用：掌握“猪蹄模型”（同位角、内错角、同旁内角的动态关系）和“铅笔头模型”（多折线中角的和差关系） （2） 动点轨迹分析：动点在平行线间移动时，需结合速度和时间变量表示位置，并利用平行线性质推导角度关系 （3） 面积变化：如动点沿矩形边运动时，面积与时间的函数关系需分段讨论 2. 三角形中的运动问题 （1） 等腰三角形动态特性：动点导致边长或角度变化时，需判断等腰三角形的存在性，结合“三线合一”性质 （2） 直角三角形动点：如勾股定理的动态应用，动点导致斜边或直角边变化时，需列方程求解 （3） 全等三角形动态构造：通过平移、旋转等变换构造动态全等，如“将军饮马”模型中对称点的应用 3. 全等三角形中的运动问题 （1） 动态全等判定：需注意对应边、角的动态匹配，避免因动点位置变化导致全等条件失效 （2） 辅助线技巧：通过作对称点或平移线段构造全等，例如将复杂路径转化为直线问题 4. 轴对称中的运动问题 （1） 最短路径模型：典型如“将军饮马”，利用轴对称将折线路径转化为直线，结合勾股定理计算距离 （2） 动态对称图形：动点导致对称轴变化时，需重新定位对称点，并验证图形性质（如周长、面积不变性） 【技巧总结】 1. 辅助线构造 （1） 平行线中过拐点作平行线，将复杂角关系转化为基本模型（如“猪蹄模型”） （2） 全等三角形中通过作对称点或平移线段简化路径（如“将军饮马”） 2. 分类讨论 （1） 动点导致图形状态变化时需分阶段讨论（如从线段到折线、从三角形到四边形） （2） 等腰三角形或全等三角形存在性问题需多情况分析（如不同边作为底边） 3. 方程建模 （1） 用时间变量表示动点位置，结合几何关系列方程（如速度×时间=位移） （2） 面积问题中分段函数需结合临界点（如动点到达顶点时面积突变） 4. 动态想象能力：通过画图或动态模拟理解动点轨迹（如轴对称中的对称点移动路径） 【易错点】 1. 对应关系识别错误 （1） 全等三角形中动点导致对应边、角变化时，易混淆对应元素（如忽略旋转后的对应关系） （2） 平行线模型中误用角关系（如将内错角误认为同位角） 2. 模型混淆：将平行线模型（如“铅笔头模型”）与轴对称模型（如“将军饮马”）的适用条件混淆 3. 辅助线添加不当：全等三角形中错误添加辅助线（如未作对称点直接拼接线段）导致路径计算错误 4. 时间变量范围遗漏：动点超出图形范围时未检验时间变量的合理性（如动点到达终点后停止） 5. 轴对称路径规划疏漏：未考虑对称轴动态变化时的最短路径（如多个对称轴需多次反射） 【例1】平行线中的运动问题 【典例】问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求． （1）按照小明的思路，求度数； 问题迁移： （2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当在延长线时，；当在延长线时，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，熟悉平行线的性质，作出合适的辅助线是解决问题的关键． （1）过作，通过平行线性质求即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点作，如图所示， ， ， ，， ，， ，， ； （2）， 理由是：如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 【变式1】如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒． (1) ； (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)不变， 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算，通过分析旋转过程中角度的变化，利用平行线的性质来求解角度和时间的关系． （1）连接，利用平行线的性质即可求得； （2）设当时刻时，点分别转到了， 将延长，交EF于点；将反向延长，交延长线于点，或其补角为射线与射线所在直线的夹角，得到，其补角为，计算即可得到答案； （3）分别将与利用含有时间的代数式表示出来，根据其比值结果是否含有即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图①所示， ， ， 故答案为：； （2）解：设当时刻时，点分别转到了，如图②所示， 将延长，交EF于点；将反向延长，交延长线于点， 或其补角为射线与射线所在直线的夹角， 由题意可知：， 转到时同时停止转动， 的最大值为秒， ， ， ， ，其补角为， 当时，（秒）； 当时，（秒）． 答：存在这样的时刻，当秒或秒时，射线与射线所在直线的夹角为； （3）解：不会发生改变； 理由：如图③，由题意可知：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】如图①，过直线外一点C作，连接，． (1)求的度数； (2)如图②，若的平分线交于点D，点E是线段上一动点（不与A，D重合），连接．若，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)过点B引一条射线交于点H，满足，现将绕点B每秒的速度顺时针转动，绕点H每秒的速度顺时针转动，它们同时开始运动，设运动时间为．若转动后的两条射线交于点P，过P作交射线于点Q．若在转动过程中，与的比值是定值，求此时的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，则，再由平角的定义可得答案； （2）由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理和角的和差关系结合已知条件证明，即可得到； （3）根据平行线的性质和已知条件求出；则可表示出，，过点P作，则，可得，设（k为常数），则，进而得到，再由的度数与时间t无关，推出，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴； 由题意得，， ∴，， 如图所示，过点P作，则， ∴， ∴， 设（k为常数），则， ∴， ∵的度数与时间t无关， ∴， ∴， ∴． 【变式3】已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系； (3)如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)，，，，，秒 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，以及旋转的性质，解题的关键是注意分类讨论思想的应用． （1）过点作，利用平行线的性质可得，，再利用垂直定义即可得解； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义，通过等量代换，即可得解； （3）根据的旋转速度，得到的旋转速度，分情况进行讨论，即可得出结果， 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示 由和的角平分线交于点， 设，，、交于点， ∴，， 由（1）得，即：， ，即：， 过点G作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， 射线绕点以每秒的速度顺时针旋转， 射线绕点以每秒的速度顺时针旋转， 当旋转到在射线上时，有， 此时，， 解得（秒） 当旋转到平行于射线时，有， 则， ∴ 此时，， 解得（秒）； 当旋转到平行于射线时，有， 则， ∴， 此时，， 解得（秒） ④当继续旋转到与重合之后，则， ∴旋转了， ∴， 解得：（秒）； ⑤当旋转到平行于射线时，有， ∴， ∴旋转角大小为：， ∴， 解得：（秒）； ⑥当旋转到平行于射线时，有， ∴， ∴旋转角大小为：， ∴， 解得：（秒）， 故的值为，，，，，秒． 【例2】三角形中的运动问题 【典例】如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当与全等时，运动时间t的值为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查是利用动点证明三角形全等，解题关键是分和两种情况分别计算． 首先根据题意得到，然后分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则有，即， 解得， 当时，则，即， 解得， 故答案为：1或3． 【变式1】如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】厘米秒或厘米秒 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用（行程问题）等知识点．利用全等三角形的判定方法，分两种情况讨论：或，分别求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为秒， 则（厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是厘米秒； 当，时，， 是中点， （厘米）， ∵， ∴， 解得：， ∴厘米秒； 当点的运动速度为厘米秒或厘米秒时，能够使与全等， 故答案为：厘米秒或厘米秒． 【变式2】如图，已知，，是射线上一动点（与点不重合），平分交射线于点． (1)的度数是_________． (2)当点运动时，与之间的度数之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的度数之比，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【答案】(1) (2)不变，． 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、角平分线的定义、外角的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质． （1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补即可得解； （2）结合平行线性质和角平分线定义可推得，再由外角性质即可得． 【详解】（1）解：∵，， ， ． 故答案为：． （2）解：不变化，，理由如下： ， ， 平分交射线于点， ， ， 是的外角， ． 【变式3】如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当____时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，根据运动时间，分类解答即可． （2）根据直角三角形的全等，分类解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为， 当时，点P在上运动，此时不存在； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， 解得； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴, 解得； 故当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或． （2）解：当点P在上运动，点Q在上运动，且满足， ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， ∴动点Q的运动速度为； 当点P在上运动，点Q在上运动，不满足，不存在； 当点P在上运动，点Q在上运动，满足，存在； ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， 点Q的运动路程为， ∴动点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的速度为或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，运动问题，三角形面积计算，分类思想的应用，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【例3】全等三角形中的运动问题 【典例】如图，在中，厘米，厘米，且，点D为的中点．如果点P在线段上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点在线段上由C点向A点运动．若点的运动速度为4厘米/秒，则当与全等时，v的值为 ． 【答案】3或4 【分析】此题考查了全等三角形的性质．分两种情况讨论：①若，根据全等三角形的性质，则厘米，（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若，则厘米，，得出，解得：．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【详解】解：中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则需厘米，（厘米）， 点的运动速度为4厘米秒， 点的运动时间为：， （厘米秒）； 若，则需厘米，， ， 解得：； 的值为3或4． 故答案为：3或4． 【变式1】如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．根据已知条件分，，两种情况，根据和列方程求出t值即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴当时，，， ∴点重合，点在点右侧， 此时，， ∴， 解得：； 当时，， 当点在点左侧时， 此时，， ∴， 解得：； 当点在点右侧时， 此时，， ∴， 解得：； 综上：则t的值为或或时，与以点，，为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 【变式2】如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 【变式3】如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析； (2)存在，或使得与全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键： （1）由速度和时间求得，，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得，进而可得， 即可得到答案； （2）分，两种情况讨论：利用对应边相等的关系建立方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：与全等，，理由如下， 当时，，， 又∵，在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在 ①若，则，， ∴，解得； ②若，则，， ∴，解得； 综上所述，存在或使得与全等． 【例4】轴对称中的运动问题 【典例】如图，，点、分别在射线、，，的面积为3，则三角形的边上的高是 ；是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，三角形的面积最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于， ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：，． 【变式1】如图，，点分别在射线上，，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，当的面积最小值为时，则的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于，根据轴对称的性质可得，，，即得，得到为等腰直角三角形，即得，可知当的面积最小时，点在点位置，即，可得，最后根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 由轴对称可得，，，，， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当的面积最小时，点在点位置，即， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2】如图1，已知长方形中，，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒） (1)当时，_____；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【答案】(1)1，3 (2)或； (3)①；②或 【分析】本题考查了一元一次方程与几何应用，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动速度和时间列式得出，再结合，，进行线段的和差运算，即可作答； （2）根据平分或的面积，得到或，据此列式进行计算可作答； （3）①结合垂线段最短，找出最短，即点与点重合，根据轴对称的性质，得出，结合边形的面积是长方形的面积，即可作答． ②由得出，然后进行分类讨论，即当点P在上时和点P在上时，再根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可作答． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动， ∴当时，则， ∵，， ∴， ∴当时，则， ∴， 故答案为：1，3； （2）解：∵长方形中，，， ∵平分的面积， ∴，即， 解得； ∵平分的面积， ∴，即， 解得； ∴或； （3）解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结， ∴最短时，即最短， 此时（垂线段最短），即点与点重合， ∴； ②∵边形的面积是长方形的面积， ∴， ∵， ∴， 当点P在上时， ∴， 解出； 当点P在上时 ∴ 解出； 综上：或． 【变式3】已知长方形纸片，E为线段上一点，射线交线段于点F，将三角形沿翻折，点A落在点M处；射线交边于点G，将三角形沿翻折，点B落在N处． (1)点E，M，N共线时，如图1，求的度数； (2)点E，M，N不共线时，如图2，若设，，请写出图2中，满足的数量关系式．并说明理由； (3)如图3，设运动时间为t秒，若射线从绕点E以每秒顺时针旋转，当时，点F与D重合，射线停止旋转，若射线从绕点E以每秒逆时针旋转，当时，点G与C重合，射线停止旋转；两条射线同时开始旋转，当t为多少时，？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)10或 【分析】本题考查了折叠的性质、角的和差、一元一次方程的应用，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）先根据折叠的性质可得，，再根据求解即可得； （2）结论是，理由：先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据求解即可得； （3）根据折叠的性质可得，，分两种情况：①与相遇前，②与相遇后，根据平角的定义建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 由折叠的性质得：，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由题意可知，，， 由折叠的性质得：，， ①与相遇前， 则， 即， 解得； ②与相遇后， 则， 即， 解得， ∴在与相遇后，当时，射线已停止旋转， ∴此时， ∴， 解得， 综上，当为10或时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$