专题13 折叠问题（3大常考题型） 期末专项训练 2024～2025学年 北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题13】折叠问题（3大基本题型） 【核心知识点总结】 1. 轴对称变换的本质 （1） 折叠是轴对称变换，对称轴是折痕所在的直线，对应点连线被对称轴垂直平分 （2） 折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，位置变化但形状和大小不变 2. 常见折叠图形与性质 （1） 长方形：折叠后常涉及平行线、直角、勾股定理的应用 （2） 平行四边形：折叠后可能形成等腰三角形或特殊角度 （3） 三角形：折叠常与等腰三角形、勾股定理结合，需关注对称角和平行线性质 3. 动态折叠问题：动点折叠需分析路径变化，结合方程思想 【技巧总结】 1. 对称性分析 （1） 找对应关系：标记折叠前后的对应点（如A→A'），利用对称性推导边角关系 （2） 辅助线构造：通过延长边、连接对称点或作垂线，将复杂问题转化为直角三角形 2. 方程思想与几何变换 （1） 设未知数表示边长，结合勾股定理或相似比建立方程 （2） 平移、旋转辅助分析：如将折叠后的图形平移还原 3. 分类讨论 （1） 多解情况：当折叠后图形位置不唯一时，需分情况讨论 （2） 动态路径：动点折叠问题需考虑不同落点 【易错点】 1. 对称轴判断错误：误将非折痕线当作对称轴，导致对应点关系错误 2. 动态问题路径分析不全：忽略折叠后点的不同落点情况 3. 忽略三角形三边关系：计算周长时未验证边长是否满足三角形成立条件 4. 角度计算未考虑平行线性质：折叠后未利用平行线的同位角、内错角关系 【题型1】角度计算问题：折叠前后对应角相等，结合三角形内角和、外角定理分析 【典例】如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，轴对称的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．由题意可得，则有，结合所给的条件可求得，再由平行线的性质得，由折叠的性质可得，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， 由折叠可得， ∴， ∵ ∴． 故选：C． 【变式1】如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，图2，根据折叠结合平行线的性质，得到，进而求出的度数，图3中，进行求解即可． 【详解】解：在图2中， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在图3中，． 故答案为：． 【变式2】如图1，在长方形纸条中，，，点E，F分别为线段上一点，将线段沿折叠，点B的对应点落在纸条外侧；如图2所示，将线段沿进行第二次折叠后点C的对应点落在纸条外侧，设，若，则的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质求度数，掌握折叠的不变性是解题的关键． 由长方形以及平行线的性质得到，由折叠得到，而，则，再由得到． 【详解】解：如图： ∵四边形是长方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴ ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵长方形， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图1纸片（），将按如图2所示沿着折叠至，与线段交于，，点在线段上，若将按如图3所示沿着折叠至，且在线段的延长线上，点在线段上，则 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】先根据邻补角性质求得，再由平行线性质与折叠性质求得，再根据折叠性质求得，最后用角的和差求得结果便可． 【详解】解：， ， ， ， ， 由折叠性质得， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠性质，角的和差，关键是根据平行线的性质解题． 【题型2】线段长度与周长问题：全等图形对应边相等，通过代数表示未知量并建立方程 【典例】如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的任一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 由题中折叠可知，为线段的垂直平分线，可得到，即可求解． 【详解】解：由题中折叠可知，为线段的垂直平分线， ，故C正确，符合题意， 其余选项均不能证明，不符合题意， 故选：C． 【变式1】如图，长方形纸片，点E在边上，将沿折叠，点A恰巧落在边上的点F处；点G在上，将沿折叠，点C恰好落在线段上的点H处，那么的长度是 ． 【答案】2 【分析】此题重点考查轴对称的性质、线段的和差计算等知识与方法，正确地找到沿折叠后的对应线段及沿折叠后的对应线段是解题的关键． 由折叠得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：由折叠得， ， ∴的长度是2， 故答案为：2． 【变式2】如图，中，，，点D为边上一点，将沿折叠，点B恰好落在边的中点处，求的周长． 【答案】14 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形的周长公式计算即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴的周长为． 【变式3】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝3，将△ABC的一角沿着MN折叠，点B'落在AC上，若B'M∥AB，则BM的长度为 ． 【答案】2 【分析】先证明四边形BNB'M是菱形，设BM＝x，则B'C＝NB'＝x，AB'＝6﹣x，再由平行线的性质得，，即，即可求BM＝2． 【详解】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵B'M∥AB， ∴∠B＝∠B'MC， ∴∠C＝∠B'MC， ∴B'C＝B'M， 由折叠可得，BM＝B'M，∠B＝∠NB'M， ∴∠B'MC＝∠NB'M， ∴NB'∥BC， ∴四边形BNB'M是菱形， 设BM＝x，则B'C＝NB'＝x， ∵AB＝AC＝6，BC＝3， ∴AB'＝6﹣x， ∴，即， ∴x＝2， ∴BM＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查折叠的性质，通过条件证明四边形BNB'M是菱形是解题的关键． 【题型3】复杂图形折叠的综合分析：结合全等三角形及对称轴性质，分步骤推理 【典例】如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，，将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则______，______； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）； (3)当和的度数之和为时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查折叠中角度的计算，平行线的性质： （1）根据折叠的性质，平行线的性质，求出的度数，对顶角即可得出的度数，再根据平行线的性质，求出即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可； （3）分和两种情况，利用（2）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，如图， ∵将长方形纸带沿折叠， ∴， ∴， ∴； ∴当时， ； 故答案为：； （2）当时： 由（1）可知：，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 当时，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 综上：或； （3）当时，，解得； 当时，，解得； 故：或． 【变式1】如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长，相交于Q点，证明，则，求出，则可得的度数；当在下方时，延长交于Q点，证明，则．求出，则可得的度数． 本题考查了矩形中的折叠问题，分类讨论，掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：①如图，在上方时， 延长，相交于Q点， 由折叠知：，， ， ， ， ， ， ，， ， 由折叠知：， ， ， ； ②如图，在下方时， 延长，交于Q点， 由折叠知：，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， 由折叠知：， ， ． 故答案为：或 【变式2】综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，向内折叠并压平，点，分别落在点和点处． 小明同学的操作如图2，点在线段上； 小红同学的操作如图3，点在上，点在上． (1)在图1中，若，求的度数； (2)直接写出图2和图3中的度数； (3)若折叠后， 求的度数(用含的代数式表示)． 【答案】(1) (2)图2中，；图3中， (3)或 【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，即可求解． （2）图2根据折叠的性质得，，从而可得，即可求解；图3根据折叠的性质可得，再由 ，即可求解； （3）分两种情况：先表示出的度数，再根据和进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 由折叠的性质得：， ， ； （2）解：图2中，由折叠的性质得：，， ， ， ， 即， ； 图3中，由折叠的性质得：，， ， ， ， 即； （3）解：分两种情况进行讨论： ①当与不重叠时，如图1所示： 由折叠的性质得：，， ， ， 即， ， ； ②当与重叠时，如图4所示： 由折叠的性质得：，， ， 又， ， 即， ． 综上所述：的度数为或． 【变式3】在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）； (2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明； (3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，当是等腰三角形时，的度数为______． 【答案】(1)是 (2)在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角；证明见解析 (3)或或 【分析】（1）根据轴对称的性质，即可判断答案； （2）连结，，证明，即可得得出结论； （3）根据筝形的定义、性质及四边形内角和，求得，再分，，三种情况讨论，根据等腰三角形的性质，即可分别求得答案． 【详解】（1）解：四边形为对折后折出的三角形展开形成的四边形， ，， 四边形是筝形； 故答案为：是． （2）解：性质：在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角；证明如下： 证明：如图所示，连结，， 四边形是筝形， ，， ， ， ，， 平分和； （3）解：沿边翻折后得到， ， ，， 四边形是筝形， ，， 同理，， 在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角， ， ，， ， 当是等腰三角形时，有三种情况： ①当时，， ， ， ， ； ②当时， ， ， ， ； ③当时， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，四边形的内角和，将等腰三角形分三种情况讨论是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题13】折叠问题（3大基本题型） 【核心知识点总结】 1. 轴对称变换的本质 （1） 折叠是轴对称变换，对称轴是折痕所在的直线，对应点连线被对称轴垂直平分 （2） 折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，位置变化但形状和大小不变 2. 常见折叠图形与性质 （1） 长方形：折叠后常涉及平行线、直角、勾股定理的应用 （2） 平行四边形：折叠后可能形成等腰三角形或特殊角度 （3） 三角形：折叠常与等腰三角形、勾股定理结合，需关注对称角和平行线性质 3. 动态折叠问题：动点折叠需分析路径变化，结合方程思想 【技巧总结】 1. 对称性分析 （1） 找对应关系：标记折叠前后的对应点（如A→A'），利用对称性推导边角关系 （2） 辅助线构造：通过延长边、连接对称点或作垂线，将复杂问题转化为直角三角形 2. 方程思想与几何变换 （1） 设未知数表示边长，结合勾股定理或相似比建立方程 （2） 平移、旋转辅助分析：如将折叠后的图形平移还原 3. 分类讨论 （1） 多解情况：当折叠后图形位置不唯一时，需分情况讨论 （2） 动态路径：动点折叠问题需考虑不同落点 【易错点】 1. 对称轴判断错误：误将非折痕线当作对称轴，导致对应点关系错误 2. 动态问题路径分析不全：忽略折叠后点的不同落点情况 3. 忽略三角形三边关系：计算周长时未验证边长是否满足三角形成立条件 4. 角度计算未考虑平行线性质：折叠后未利用平行线的同位角、内错角关系 【题型1】角度计算问题：折叠前后对应角相等，结合三角形内角和、外角定理分析 【典例】如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为 ． 【变式2】如图1，在长方形纸条中，，，点E，F分别为线段上一点，将线段沿折叠，点B的对应点落在纸条外侧；如图2所示，将线段沿进行第二次折叠后点C的对应点落在纸条外侧，设，若，则的度数为 （用含的代数式表示）． 【变式3】如图1纸片（），将按如图2所示沿着折叠至，与线段交于，，点在线段上，若将按如图3所示沿着折叠至，且在线段的延长线上，点在线段上，则 ．（用含的式子表示） 【题型2】线段长度与周长问题：全等图形对应边相等，通过代数表示未知量并建立方程 【典例】如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　） A．平分 B． C． D． 【变式1】如图，长方形纸片，点E在边上，将沿折叠，点A恰巧落在边上的点F处；点G在上，将沿折叠，点C恰好落在线段上的点H处，那么的长度是 ． 【变式2】如图，中，，，点D为边上一点，将沿折叠，点B恰好落在边的中点处，求的周长． 【变式3】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝3，将△ABC的一角沿着MN折叠，点B'落在AC上，若B'M∥AB，则BM的长度为 ． 【题型3】复杂图形折叠的综合分析：结合全等三角形及对称轴性质，分步骤推理 【典例】如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，，将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则______，______； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）； (3)当和的度数之和为时，求的值． 【变式1】如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为 ． 【变式2】综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，向内折叠并压平，点，分别落在点和点处． 小明同学的操作如图2，点在线段上； 小红同学的操作如图3，点在上，点在上． (1)在图1中，若，求的度数； (2)直接写出图2和图3中的度数； (3)若折叠后， 求的度数(用含的代数式表示)． 【变式3】在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）； (2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明； (3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，当是等腰三角形时，的度数为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$