【精准提分】专题06 二元一次方程（组）实际应用（11个基础题型+3个压轴题型+课后复习）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（浙教2024版）（原卷+解析版）

【精准提分】专题06 二元一次方程（组）实际应用（浙教2024） 【11个基础题型+3个压轴题型】 【基础题型一】根据实际问题列二元一次方程（组） 1 【基础题型二】根据几何图形列二元一次方程（组） 4 【基础题型三】二元一次方程（组）实际应用之方案问题 7 【基础题型四】二元一次方程（组）实际应用之行程问题 11 【基础题型五】二元一次方程（组）实际应用之工程问题 13 【基础题型六】二元一次方程（组）实际应用之数字问题 16 【基础题型七】二元一次方程（组）实际应用之分配问题 20 【基础题型八】二元一次方程（组）实际应用之销售、利润问题 23 【基础题型九】二元一次方程（组）实际应用之几何问题 27 【基础题型十】二元一次方程（组）实际应用之图表信息问题 31 【基础题型十一】二元一次方程（组）实际应用之古代问题 35 【压轴题型十二】二元一次方程（组）实际应用之素材类问题 37 【压轴题型十三】二元一次方程（组）实际应用之实践探究问题 46 【压轴题型十四】三元一次方程（组）实际应用 52 【基础题型一】根据实际问题列二元一次方程（组） 例题1（24-25七年级下·广东东莞·期末）“六•一”儿童节前夕，某超市用3360元购进A，B两种童装共120套，其中A型童装每套24元，B型童装每套36元．若设购买A型童装x套，B型童装y套，依题意列方程组正确的是（   ） A．B．C． D． 【变式1-1】（2025·云南·模拟预测）七年级（1）班的同学去参加科技体验活动，第一组有2人选择“九天揽月”活动，3人选择“深海探幽”活动，共花费230元；第二组5人选择“深海探幽”活动，选择“九天揽月”活动的人数是第一组人数的2倍，花费的金额比第一组多180元，设“九天揽月”活动的门票为元/张，“深海探幽”活动的门票为元/张，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·广东深圳·二模）滨海学校在“玩转数学”为主题的数学节活动中，将份奖品分给了名学生，若每人分4份，则剩余30份；若每人分5份，则还缺20份．根据题意可列方程（组）（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·云南楚雄·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何．”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金的质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银的质量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子的质量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两．设每枚黄金重两，每枚白银重两．根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2025·浙江宁波·二模）动画电影《哪吒》以打破中国影史记录的票房引起国内外关注，某商家相应推出了联名款的玩偶和人物卡片．已知购买个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买个玩偶和5包人物卡片需花费65元，问联名款的玩偶和人物卡片的单价分别为多少？设玩偶单价为元/个，人物卡片单价为元/包，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】（2025·山东威海·一模）《孙子算经》记载了一道题：今有木，不知长短，引绳度之，绳余四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出四尺五寸；将这根绳子对折来量，绳子差一尺．这根木材有多长？（1尺寸，设木材长寸，绳子长寸，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-6】（2025·湖北恩施·一模）某校学生乘车去绿葱坡滑雪场进行研学活动．若每车坐12人，则有3人不能上车；若每车坐15人，则最后一辆车少坐6人，设学生人数为x人和车辆数为y辆，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【变式1-7】（2025·江苏·一模）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大跨海通道，部分主体工程由桥梁和隧道构成，其中，隧道长度比桥隧总长（桥梁与隧道的长度之和）的少0.7千米，桥梁长度比桥隧总长的一半多8.1千米，求主体工程中的桥梁长度和隧道长度．设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-8】（2025·浙江温州·二模）在一次体育模拟测试前，某班准备了若干块巧克力，若每位学生分3块，有7人未分到巧克力；若每位学生分2块．还剩下26块．问该班有多少名学生？准备了多少块巧克力？设该班有名学生，准备了块巧克力，则根据题意，可列出方程组（   ） A． B． C． D． 【基础题型二】根据几何图形列二元一次方程（组） 例题2（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图所示，，的度数比的度数的2倍少．设与的度数分别为，，下列方程组中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24七年级下·河南周口·期末）将7个全等的小长方形按如图方式摆放拼成一个大长方形，且．设小长方形的长为，宽为，依题意列二元一次方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25七年级上·全国·期末）如图，，的度数比的度数的两倍少，设和度数分别为度，度，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）图①，图②都是由8个一样的小长方形拼成的，且图②中的阴影部分（正方形）的面积为1，设每块小长方形地砖的长为，宽为，下列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-6】（24-25七年级下·山东泰安·期中）一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，且比小．若设，，则可得到的方程组为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-7】（24-25九年级下·广东清远·期中）个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．设一个小长方形的长为厘米，宽为厘米，则所列二元一次方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-8】（24-25七年级下·河南南阳·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”设这些小长方形的长和宽分别为和，则依题意可列二元一次方程组为 ．      【变式2-9】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①的正方形，其阴影部分的面积为25；8个矩形纸片围成如图②的正方形，阴影部分的面积为16；12个矩形纸片围成如图③的正方形，其阴影部分的面积为 ．    【基础题型三】二元一次方程（组）实际应用之方案问题 例题3（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）在“双减”背景政策下，学校将课后延时服务活动作为学生核心素养培养的重要阵地．某校为了丰富课后延时服务活动的内容，特开设了篮球和足球兴趣班，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价贵40元，购买10个篮球和5个足球共用去1600元． (1)篮球和足球的单价各是多少元？ (2)新学期开始，该校计划再用1200元（1200元恰好用完）购买篮球和足球，请问有几种购买方案？ 【变式3-1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）刘老师装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，某装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每箱50块，小包装每箱30块，若大、小包装均不拆开零售，可以只购买一种．刘老师共有哪几种购买方案． 【变式3-2】（23-24七年级下·全国·期末）小明用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯．如果20元钱刚好用完，有几种购买方式？每种方式能买可乐和奶茶各多少杯？ 【变式3-3】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）安庆某校为了做好大课间活动，计划用800元购买10件体育用品，备选体育用品及价格如下表： 备选体育用品 篮球 排球 羽毛球拍 价格 100元/个 80元/个 50元/副 (1)若800元全部用来购买羽毛球拍和篮球共10件，则各购买多少件？ (2)若800元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍三种共10件，能实现吗？若能，写出购买方案即可；若不能，请说明理由． 【变式3-4】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）甘肃地震牵动着全国人民的心，某地区开展了“一方有难，八方支援”抢险救灾活动，准备组织400名志愿者参加救灾．现需租用若干辆大、小客车将志愿者送往灾区，已知租用的大、小客车满员时载客情况如表格所示： 小客车（辆） 大客车（辆） 合计载客量（人） 3 1 105 1 2 110 (1)求满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐多少名志愿者？ (2)若计划租用小客车辆，大客车辆，大小客车都要有，一次全送完，且每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案： ②若小客车每辆租金1000元，大客车每辆租金1900元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【变式3-5】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场，一水果经销商购进了A，B两种台湾水果各10箱，分配给他的甲，乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表： A种水果/箱 B种水果/箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 有两种配货方案（整箱配货）： 方案一：甲，乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱； 方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店几箱，乙店几箱？B种水果甲店几箱，乙店几箱？ (1)如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元； (2)请你将方案二补充完整，写出所有结果，并将你填写的方案二与方案一做比较，得出哪一种方案盈利较多． 【变式3-6】（2025七年级下·全国·期中）星期天，小明和七名同学共八人去郊游．途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完，那么 (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各买多少杯？ (2)当至少购买2杯奶茶且每人至少分得1杯饮料时，有几种购买方式？ 【变式3-7】（23-24七年级下·全国·期末）某地区因强降雨天气引起洪水灾害，有名群众被困，某救援队立即前往救援．已知艘小型船和艘大型船一次可救援名群众，艘小型船和艘大型船一次可救援名群众． (1)每艘小型船和每艘大型船各能载多少名群众？ (2)若安排艘小型船和艘大型船一次救援完所有被困群众，且恰好每艘船都载满，请设计出所有的安排方案． 【变式3-8】（24-25八年级上·河南郑州·期末）年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 【变式3-9】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：辆） 总费用（单位：万元） 甲型汽车 乙型汽车 2 1 60 3 4 115 (1)求甲、乙两种型号的汽车每辆分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请直接写出该公司的购买方案． 【变式3-10】（24-25八年级上·陕西西安·期末）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车的进价共计90万元；3辆型新能源汽车、2辆及型新能源汽车的进价共计85万元． (1)求、两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用220万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【变式3-11】（24-25八年级上·四川成都·期末）随着我国网球名将郑钦文在巴黎奥运会中获得网球女子单打冠军，全国各地掀起了一股网球热，与网球有关的用品销量剧增，某厂家计划生产甲、乙两种品牌的网球拍共5000个，两种品牌的网球拍的成本和售价如下表所示： 甲 乙 成本（元/个） 180 320 售价（元） 230 400 (1)该厂家计划用118万元资金全部生产甲、乙两种品牌的网球拍，则生产这两种品牌的网球拍各多少个？ (2)经过市场调研，该厂家决定在原计划的基础上增加生产甲网球拍百个，乙网球拍百个（均为正整数），且两种品牌的网球拍售完后所获得的总利润为40万元，请问该厂家有几种生产方案？该厂家最少需投资多少万元？ 【变式3-12】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）我市的雨山湖公园，娟秀妩媚，环境优雅，湖水清澈见底，是市民游玩休闲的好地方．某校七年级1班学生计划假期去雨山湖游玩，游船价格如下表： 船型 四座电动船 六座电动船 价格 元/小时 元/小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩小时，请解决下面问题： (1)若租用四座电动船条数与六座电动船条数之比为，所有船恰好坐满，需花费元，那么租用了几条四座电动船？ (2)若每条船均坐满，且每种船型至少一条；列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 【基础题型四】二元一次方程（组）实际应用之行程问题 例题4（24-25七年级下·全国·期中）小刚去距县城远的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了．已知汽车的速度为，步行的速度为，则小刚乘车的路程和步行的路程分别为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级上·河北保定·期末）轮船顺流航行时的速度为m千米/小时，逆流航行时的速度为千米/小时，则水流速度（   ） A．3千米/小时 B．4千米/小时 C．6千米/小时 D．无法确定 【变式4-2】（24-25七年级上·陕西安康·期末）某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，甲、乙两地的距离是（   ）千米． A．200 B．120 C．100 D．150 【变式4-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔相遇一次；如果同向而行，每隔相遇一次．则（   ） A．甲每分跑圈，乙每分跑圈 B．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 C．甲每分跑圈，乙每分跑圈 D．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 【变式4-4】（2025七年级下·全国·期中）平泽唯搭乘电车外出游玩，电车正要经过一条长的桥，电车从车头上桥到车尾离桥共用时，整列电车完全在桥上的时间为，则电车的行驶速度为 ． 【变式4-5】（2025七年级下·全国·期中）甲、乙两人准备自行车骑行比赛，相约一同训练．两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发小时后两者相遇．则甲、乙两人的速度分别为 ． 【变式4-6】（2025七年级下·全国·期中）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．则该轮船在静水中的速度为 千米/小时，水流速度为 米/小时． 【变式4-7】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）小红和小丽在的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？ 【变式4-8】（24-25九年级上·福建福州·期末）甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？ 【变式4-9】（23-24七年级上·四川成都·期末）（行程问题）如图，某人从A地出发，经过B地和C地到达D地，段路程是段路程的2倍．原计划从A地到B地，B地到C地，C地到D地的速度分别是4千米/时、5千米/时和8千米/时，恰好用时160分钟．但此人在从B地到C地这段路程的实际速度比原计划在这段路程的速度提高，结果比预定时间提前10分钟到达D地．那么从A地到D地的总路程是多少千米？ 【变式4-10】（23-24七年级下·福建厦门·期中）福厦高铁去年开通后，不再受现有深杭线慢速铁道200km/h的限制，速度大幅提升后，福州厦门可以快速联通。某型号高铁由一节车头和若干节车厢组成，且每节车厢的长度都相等．已知该型号高铁挂8节车厢以57m/s的速度通过某观测点用时与挂12节车厢以82m/s的速度通过该观测点的用时均为4秒． (1)车头及每节车厢的长度分别是多少米？ (2)小兮乘坐该型号高铁从厦门前往福州，小蔡在对向的高铁里从福州前往厦门，在途中，小兮看到对向的高铁从身边呼啸而过，若将两条铁轨看作是两条直线，已知高铁的车厢有8节和16节两种． ①从看到车头到高铁车尾离开，大约经过了3s，此时小蔡看到车内屏幕显示车速为180km/h，小兮看到车里的屏幕显示324km/h．交汇时高铁的速度不发生变化．请你通过上述测量数据估计此时从福州开往厦门的高铁车厢的节数，并通过计算说明理由． ②若小兮在最后一节车厢，已知从车头到车尾高铁的车厢号按从小到大的顺序排列，小兮的妈妈此时正在前往4号车厢里的路上购买她们的午餐，若小兮妈妈比小兮正好早1.25s看到车头经过，请问此时小兮妈妈应该在第几号车厢？ 【基础题型五】二元一次方程（组）实际应用之工程问题 例题5（24-25七年级下·全国·期中）某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期中）有一项要生产154个零件的任务．若甲先做5天，乙再加入合做，则再做3天可超产2个；若乙先做5天，然后两人合做3天，则还有13个零件未完成．甲每天生产 个零件，乙每天生产 个零件． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·期中）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程． 问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？ 小明所列方程：；小亮所列方程：； 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x意义是否相同？________（填“是”或“否”）； (2)小亮的方程所用等量关系是________（填序号，“①每个小时生产的零件数相等”或“②4个小时生产的零件数相等”）； (3)根据小明所列的方程组完整解答老师提出的问题． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·期中）（应用意识）琳琳家准备装修一套新房．若甲、乙两家装修公司合作，需6周完成，共需装修费5.4万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费5.1万元，琳琳的爸爸妈妈商量后决定只选一家公司单独完成． (1)如果从节约时间的角度考虑应该选择哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑呢？ 【变式5-4】（24-25七年级下·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【变式5-5】（23-24七年级下·福建厦门·期末）某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物．已知台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克，台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克．求每台型机器人和每台型机器人每小时分别搬运货物多少千克？ 【变式5-6】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 【变式5-7】（2024八年级上·全国·期末）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治工程队每天整治，共用时20天． (1)求A，B两工程队分别整治河道多少天（用二元一次方程组解答）； (2)若A工程队整改的工费为200元，B工程队整改的工费为150元，则完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 【变式5-8】（23-24七年级下·湖南郴州·期末）为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． (1)甲、乙工程队每天各施工多少米？ (2)若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 【变式5-9】（23-24七年级下·吉林长春·期中）伊通河被誉为长春的母亲河，为把伊通河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的城市风景区．现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明同学设甲工程队整治河道用了x天，根据题意，小明所列方程为_______； (2)小华同学的思路是“设甲工程队整治河道m米，乙工程队整治河道n米”，请你按照他的思路写出完整解答过程． 【变式5-10】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面． (1)甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？ (2)已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？ 【基础题型六】二元一次方程（组）实际应用之数字问题 例题6（24-25七年级下·全国·期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 【变式6-1】（23-24七年级下·全国·期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49，求这个两位数？ 【变式6-2】（23-24八年级上·全国·期末）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 【变式6-3】（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【变式6-4】（23-24七年级下·甘肃天水·期末）一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 【变式6-5】（23-24七年级上·江苏·期末）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的倍小，求原来的两位数． 【变式6-6】（23-24九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0． 小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数． 【变式6-7】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）一个正整数，由N个数字组成．若它的第一位数可以被1整除，它的前面两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，……，一直到前N位数能被N整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：246的第一位数“2”可以被1整除，前两位数“24”可以被2整除，“246”可以被3整除，则246是一个“精巧数” (1)请直接写出最小四位数“精巧数”是__________；最大的四位“精巧数”是__________ (2)若一个三位“精巧数”各位数字之和为一个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数” 【变式6-8】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 【变式6-9】（24-25七年级下·河北唐山·期中）某两位数，两个数位上的数之和为．这个两位数加上，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)如果设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组． (3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组． 【变式6-10】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 【基础题型七】二元一次方程（组）实际应用之分配问题 例题7（23-24七年级下·全国·期末）1张圆桌由1张桌面和4根桌腿组成．已知木料可做50张桌面或300根桌腿，现有木料，恰好能做多少张圆桌？ 【变式7-1】（23-24八年级上·广东深圳·期中）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ 【变式7-2】（23-24八年级上·重庆·期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 【变式7-3】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某机械厂加工车间平均每人每天加工甲种零件10个或乙种零件16个，已知3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，问怎样安排人员才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套？ 【变式7-4】（24-25七年级下·贵州·期中）已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【变式7-5】（23-24七年级下·广东江门·期末）用铁皮材料做罐头盒，每张铁皮可制盒身30个，或制盒底50个，一个盒身与两个盒底配成一套．现有33张铁皮材料，分别用多少张制盒身、盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套？ 【变式7-6】（24-25七年级下·海南海口·期中）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量人，乙种客车每辆载客量人，已知辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元． (1)求辆甲种客车和辆乙种客车的租金分别是多少元？ (2)学校计划租用甲、乙两种客车共辆，送名师生集体外出活动，刚好全部坐满，问租车费用是多少？ 【变式7-7】（24-25七年级下·河南周口·期中）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若只单独调配36座新能源客车若干辆，则有16人没有座位；若只单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位． (1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（用二元一次方程组解答） (2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则36座客车需要多少辆？22座客车需要多少辆？ 【变式7-8】（2023·湖南邵阳·一模）某公司需运送甲、乙两种货物到指定仓库，已知月份甲货物运费单价为元/吨，乙货物运费单价为元/吨，共需运费元；月份由于油价上涨，运费单价上涨为：甲货物元/吨，乙货物元/吨；该公司月运送的甲种货物和乙种数量与月份相同，月份共支付运费元. (1)该公司月运送两种货物各多少吨？ (2)该公司预计月份运送这两种货物吨，且甲货物的数量不大于乙货物的倍，在运费单价与月份相同的情况下，该公司月份最多将支付多少运输费？ 【变式7-9】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． (1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）． (2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题） 【变式7-10】（24-25七年级上·安徽·期末）某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车． (1)装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？ (2)第三次安排大、小货车共12辆向甲地运输208吨蔬菜，若要使得每辆车都装满，则大货车和小货车分别需要多少辆？ 【基础题型八】二元一次方程（组）实际应用之销售、利润问题 例题8（2025·贵州六盘水·二模）在2025年的春晚舞台上，来自宇树科技的机器人扭秧歌表演惊艳了无数观众．某商家推出A、B两种机器人模型，买2个模型3个模型共需120元；买3个模型，1个模型共需110元． (1)求模型和模型的销售单价各是多少元？ (2)某公司计划购买A、B两种模型共100个作为团建活动的奖品．商家给出两种优惠方案．甲方案为：按标价的八折销售；乙方案为：花288元成为会员后，可按标价的7折销售，购买多少个模型时，两种方案费用相同． 【变式8-1】（24-25八年级下·山西太原·期中）在数学文化节的筹备之际，一家书店为丰富活动的阅读资源，用 2200 元精心购进了《数学简史》和《巧思巧解数学》两种极具数学特色的读本共 100 本．这两种书的进价和标价如下表所示： 书名 《数学简史》 《巧思巧解数学》 进价（元∕本） 20 25 标价（元∕本） 30 40 (1)《数学简史》、《巧思巧解数学》各购进了多少本？ (2)若《数学简史》按标价的9折出售，《巧思巧解数学》按标价的8折出售，那么这两种书全部售出后，该商店共获利多少元？ 【变式8-2】（2025·吉林松原·模拟预测）七年级六班的同学去参加科技体验活动，第一组有3人选择“九天揽月”活动，2人选择“深海探幽”活动，共花费120元；第二组有2人选择“九天揽月”活动，4人选择“深海探幽”活动，共花费160元，求每张“九天揽月”和“深海探幽”活动的票价分别为多少元？ 【变式8-3】（24-25七年级下·重庆·期中）四月春风和煦，气温适宜，正是放风筝的好时节．某景区提前购买了、两种型号风筝进行销售，已知2只型风筝和1只型风筝共需18元，3只型风筝和2只型风筝共需31元． (1)求、两种型号风筝的进价各多少元？ (2)该景区将型风筝的售价定为每只12元，型风筝的售价定为每只20元．该景区第一天售出型风筝200只，型风筝150只，第二天该景区决定对型风筝打折，型风筝售价不变，结果第二天型风筝售出的数量比第一天少了型风筝售出的数量比第一天多了．若第二天的销售利润比第一天的销售利润少了640元，请问型风筝打了几折？ 【变式8-4】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建两种光伏车棚．已知修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元，修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元． (1)求修建每个种、种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若该社区拟修建个种光伏车棚和个种光伏车棚，当总投资金额为万元时，那么共有几种修建方案． 【变式8-5】（24-25七年级下·浙江·期中）为了响应“每天锻炼小时”的号召，卢老师先后三次到同一家体育用品专卖店为学校采购乒乓球拍，羽毛球拍．第一，二次按照标价采购，第三次采购时恰巧遇到专卖店搞活动，乒乓球拍，羽毛球拍都按标价折销售．三次购买乒乓球拍，羽毛球拍数量及其费用如下表： 采购 乒乓球拍的数量（副） 羽毛球拍的数量（副） 总支出（元） 第一次采购 第二次采购 第三次采购 (1)求每副乒乓球拍，羽毛球拍的标价； (2)第三次采购乒乓球拍，羽毛球拍的数量分别为，求的值． 【变式8-6】（24-25七年级下·浙江·期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示： 类型 进价/（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元． (1)求m和n的值． (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3 000元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？ 【变式8-7】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若“五一”搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 【变式8-8】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）2024年4月成都世界园艺博览会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色，五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”，若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元 (1)求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格； (2)若小明购买两款吉祥物共花了800元，则小明分别购买了A，B款吉祥物各多少件？ 【变式8-9】（2025·吉林长春·一模）为实现乡村振兴战略，解决山区老百姓优质土特产销售问题，某地政府帮助小强家开通了网络商店（简称“网店”），将红枣，小米等土特产迅速销往全国，已知相关的销售信息如下：今年前3个月，该网店销售了红枣和小米共3000kg，获得利润4.2万元．问：这3个月该网店销售红枣和小米多少袋？ 红枣 小米 规格／（kg/袋） 1 2 成本／（元／袋） 40 38 售价／（元／袋） 60 54 【变式8-10】（2025七年级下·全国·期中）元旦期间，若干名家长和学生去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题： (1)求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ (2)通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分别购票更省钱？ (3)另有9名家长和6名学生也计划去这个景区游玩，请直接写出这15人按照上述景区票价购票，最少需要多少元？ 【变式8-11】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）佰洋电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是2025年3月前两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售总额 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 18000元 第二周 4台 10台 31000元 (1)求A，B两种型号的净水器的销售单价？ (2)由于前两周两种净水器都销售一空，电器公司第三周采购这两种型号的净水器共30台，恰好花费54000元，求A种型号的净水器采购了多少台？ (3)在（2）的条件下，电器公司第三周开始销售部分刚购进的A型号和B型号净水器，但发现市场将要被新款智能净水器所取代，为扩大销售量，将剩余B种型号净水器按售价的七折进行销售，A种型号净水器原售价不变，当第三周采购的30台净水器都销售一空后统计这30台净水器的利润为6700元，求电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为多少个？ 【基础题型九】二元一次方程（组）实际应用之几何问题 例题9（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为． (1)求每块小长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． 【变式9-1】（23-24七年级下·浙江·期末）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．    (1)填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 1只横式无盖铁容器中 (2)现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？ (3)把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？ 【变式9-2】（23-24七年级下·吉林通化·期末）在长方形中，放入5个形状、大小相同的小长方形，其中，． (1)求小长方形的长和宽； (2)求阴影部分图形的总面积． 【变式9-3】（2024七年级下·天津·期末）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示． (1)若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？　　（填“变”或“不变”）； (2)若不变，请写出图中阴影部分面积；若变，请说明理由． 【变式9-4】（23-24七年级下·辽宁大连·期中）小明手中有块周长为的长方形硬纸片，若将该硬纸片的长减少，宽增加，就成为一个正方形硬纸片． (1)求这块长方形的硬纸片的长、宽各是多少？ (2)现小明想用这块长方形硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新长方形纸片，请判断小明能否裁出，并说明理由． 【变式9-5】（23-24七年级下·浙江湖州·期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）． (1)若该厂购进正方形纸板1500张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 【变式9-6】（23-24七年级下·浙江金华·期末）小堡在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小晧看见了，说：“我也来试一试．”结果小晧七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．求每个小长方形的面积． 【变式9-7】（23-24七年级下·全国·期末）如图，现要在长方形草坪中规划出块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花． (1)如图①，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长； (2)如图②，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【变式9-8】（2024七年级·全国·期末）如图1，一张正方形纸板可以裁成甲、乙2种长方形纸板，分别用4个甲、乙纸板可以拼成图2、图3所示的中间有方孔的正方形框架．已知图2、图3中框架的内正方形方孔的周长之比为，且图3中正方形框架的外围边长为36厘米．求图1中原正方形纸板的面积． 【基础题型十】二元一次方程（组）实际应用之图表信息问题 例题10（23-24七年级下·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【变式10-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【变式10-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）下表是某校七至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．（活动次数为自然数），求、的值． 课外小组活动总时间/ 文艺小组活动次数/次 科技小组活动次数/次 七年级 八年级 九年级 【变式10-3】（2025·山西·一模）小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 【变式10-4】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 【变式10-5】（23-24七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 【变式10-6】（23-24七年级下·广东广州·期末）某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量（吨） 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 (1)甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？ (2)该公司又新购买45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？ (3)在（2）的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案最省钱？ 【变式10-7】（23-24七年级下·全国·期末）某学校现有甲种材料，乙种材料，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表： 需甲种材料 需乙种材料 1件A型工艺品 1件B型工艺品 (1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件？ (2)若每千克甲、乙两种材料分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少钱？ 【变式10-8】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【基础题型十一】二元一次方程（组）实际应用之古代问题 例题11（2024·陕西西安·模拟预测）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载有一题：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七，四疋绢价九十贯，三疋布价该五十，欲问绢布各几何？”其大意为：今有绢与布共30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢布各有多少？ 【变式11-1】（23-24九年级下·安徽合肥·期中）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知小鸡买78只，求公鸡、母鸡各买几只． 【变式11-2】（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何?”译文“今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个、小容器个，总容量为斛，问大、小容器的容积各是多少斛?” 【变式11-3】（2024·安徽合肥·一模）我国古代有一道著名的数学题，原文如下：甲，乙二人隔溪牧羊，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？译文为：甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？ 【变式11-4】（23-24七年级下·江苏南通·期末）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是 ；请将这两个方程联立成方程组，并求出这个方程组的解． 【变式11-5】（23-24七年级上·陕西西安·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【变式11-6】（2023·广东佛山·一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”其大意为：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为一斤．问雀、燕每1只各重多少斤？ 【变式11-7】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我国明朝有一位著名数学家叫程大位，他的书中有一道名题，说的是：“100个和尚分92个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚3人吃一个，问大、小和尚各多少人？” (1)请你列方程组求出大、小和尚各多少人； (2)重新修建寺庙需要和尚们向工地运送10万块砖，若每篮子装20块砖，一个大和尚每次可担两篮子砖，两个小和尚每次可抬一篮子砖，请问大小和尚们一起至少需要运送多少趟才能满足工地需要？ 【变式11-8】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十二枚，称之重适等.交易其二，金轻二十四两. 问金、银一枚各重几何?”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银12枚(每枚白银 重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换2枚后，甲袋比乙袋轻了24两(袋子重量忽略不计)，问：黄金、白银每枚各重多少两? 【变式11-9】（2025·安徽·模拟预测）《算法统宗》中有这样一道数学问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！”大意是说：“用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？”试求甜果，苦果的个数． 【压轴题型十二】二元一次方程（组）实际应用之素材类问题 例题12综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 【变式12-1】（24-25七年级上·湖南常德·期末）根据如下素材，探索完成任务． 背景 数学兴趣小组对某奶茶店中A、B两种款式的奶茶进行研究． 素材1 买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．           素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 解决问题 任务1 求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的，B款加料的奶茶3杯．则一共买了多少杯奶茶？ 【变式12-2】（23-24七年级下·山西阳泉·期末）综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 背景 “追光少年，青春飞扬”盂县年中小学生运动会于月日举行，某校组织了一场运动员选拔赛，七年级二班班主任为奖励同学们在选拔赛中的优异表现，让班长小林去奶茶店购买，两种款式的奶茶． 素材1 买杯款奶茶，杯款奶茶共需元；买杯款奶茶，杯款奶茶共需元 素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料． 素材3 班长小林用了元购买，两款共四种不同的奶茶，其中款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的． 问题解决 任务1 问款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，若购买，两种款式的奶茶（两种都要）刚好花元，问有哪几种购买方案？ 任务3 结合素材，班长小林购买的奶茶中款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出答案即可） 【变式12-3】（23-24七年级下·浙江温州·期末）综合与实践：设计纸盒制作方案． 素材1：某实践小组欲制作尺寸如图1所示的横式和竖式两种无盖纸盒．    素材2：如图2，现有长，宽的纸板60张．需要对该纸板进行裁切做成的正方形和的长方形，裁切时不计损耗但不浪费纸板． 问题1：用1张纸板能裁切正方形纸板和长方形纸板各多少张？ 问题2：若制作后无材料剩余，设制作横式无盖纸盒个，竖式无盖纸盒个． ①用，的代数式分别表示正方形和长方形的总数量． ②确定纸盒的所有制作方案，求出，的值． 【变式12-4】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）2张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张． 素材二 在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券．某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了_______张C型的消费券，此时的实际消费最少为_______元． 任务二 若小明一家用13张型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用付款最少，并求出此过消费券的搭配方案． 【变式12-5】（2025·安徽淮南·三模）根据以下素材，完成项目任务： 有关教辅图书的素材 素材1 因材施教、分层作业是实施国家“双减”政策的重要手段．新华书店为该校九年级学生提供了、两种难易程度不同的数学复习资料，已知每本，种资料的定价和为105元． 素材2 小明按定价计算发现3本种资料的总价与4本种资料的总价相同． 素材3 新华书店规定：种资料按定价的7折出售，种资料按定价的8折出售．九二班共40人，购买种资料的有30人，其余人购买种资料． 问题解决 任务1 设种资料每本的定价为元，种资料每本的定价为元，请根据素材1，则________（用含的代数式）． 任务2 基于素材1和素材2的信息，求、两种资料每本的定价各是多少元． 任务3 请你计算九二班这次购买资料共付新华书店________元． 【变式12-6】（23-24七年级下·山东淄博·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计布料剪裁方案？ 素材1 图1中是第31届世界大学生夏季运动会吉祥物“蓉宝”玩偶，经测量，制作该款吉祥物头部所需布料尺寸为，身子布料尺寸．图2是两部分布料的尺寸示意图． 素材2    某工厂制作该款式吉祥物．经清点库存时发现，需在市场上购进某型号布料加工制作该款式的玩偶．已知该布料长为，宽为．（剪裁时不计损耗） 我是布料裁剪师 任务一 拟定剪裁方案 若要不造成布料浪费，请你设计出一匹该布料的所有剪裁方案∶ 方案一：剪裁头部布料张和身子布料张． 方案二：剪裁头部布料_____张和身子布料______张． 方案三：剪裁头部布料_____张和身子布料______张． 任务二 解决实际问题 工厂目前有裁剪好的张头部布料和张身子布料，经商议，现需购买一批该型号布料，其中一部分按照方案二裁剪，另一部分按照方案三裁剪，一共制作个“蓉宝”玩偶，请问：需购买该型号布料共多少匹（恰好全部用完） 【变式12-7】（24-25七年级下·福建福州·期中）根据以下素材，完成任务． 如何生产纸盒 素材1 某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位） 素材2 工厂仓库内现存有的正方形纸板150张，的长方形纸板300张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 素材3 库存纸板用完后，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有400张，乙纸板有300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为1和4．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 任务一 求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完，且每张纸板利用率均为． 任务二 若用本次重新采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，纸板恰好用完，且每张纸板利用率均为．请你帮助工厂确定丙纸板的张数． 【变式12-8】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 “以体树人”是以身体为媒介，将教育回归到“人”的全面发展．它让学生在奔跑中理解坚持的意义，在合作中领悟共情的力量，在竞争中学会优雅地接受输赢． 素材1 某体育用品商场销售A、两款足球，A款、款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、款两种足球共60个，进货共用4400元． 素材2 由于各校“以体树人”系列活动的开展，足球生意火爆．该商场决定4月份再购进一批A、款足球（A、两款足球都需要购买），另购进款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款4400元不变．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球． 问题解决 任务1 求3月份该商场购进A款、款足球各多少个？ 任务2 若4月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，则4月份该商场购进A、、款足球各多少个？ 【变式12-9】（23-24七年级下·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务： 如何设计购买方案？ 素材1 某校30名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和2张B场馆门票共需130元，购买3张A场馆门票和1张B场馆门票共需190元．C场馆门票为每张15元． 素材2 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 在出发前，某同学初步统计了大家的参观意向，其中有12位同学想参观A场馆，9位同学想参观C场馆，其余同学想参观B场馆，求在大家初步意向下所需花费的最少门票总额． 任务3 拟定购买方案 到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观C场馆的同学人数多于参观A场馆的同学人数，且最终购买三种门票共花费了750元，请你写出符合条件的所有购买方案． 【变式12-10】（23-24七年级下·福建泉州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 奖品购买及兑换方案设计 素材1 小明在瓷都爱心超市购物时发现：顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元． 素材2 瓷都中学花费600元购买该超市的风琴包和精美书签作为奖品颁发给七年级期末考试优秀学生，两种奖品的购买数量均不少于20个，且购买精美书签的数量是10的倍数． 素材3 学校花费600元后，该超市赠送张兑换券（如右图）用于商品兑换．兑换后，精美书签与风琴包数量相同．    问题解决 任务1 探求商品单价 请运用列方程组的方法，求出风琴包与精美书签的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买风琴包和精美书签数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，求所有符合条件的兑换方式．（求风琴包和精美书签分别用的兑换券张数） 【压轴题型十三】二元一次方程（组）实际应用之实践探究问题 例题13（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）综合与实践 【问题背景】 《礼记》有言：“孟春之月，盛德在木”，树是地球的活力，为了鼓励全民植树造林，绿化环境，我国以3月12日为中国的植树节，某校积极开展“校园绿化实践活动”，实践小组的同学们设计在校园中栽种三棵杏树和三棵桃树以及甲、乙两种花卉． 【设计方案】 如图，已知杏树的位置用坐标表示为．连接将三角形向右平移3个单位，向上平移2个单位得到三角形在点处栽种桃树． （1）请你根据点的坐标建立平面直角坐标系； （2）画出平移后的三角形并直接写出点的坐标． 【解决问题】 （3）现将甲、乙两种花卉栽种在三角形，三角形内部，每平方单位可栽种30棵花卉，请你帮助计算共栽种花卉______棵．（结果直接填在横线上） （4）在（1）的条件下，实践小组的同学在采购花卉时，甲种花卉每棵价格为0.7元，乙种花卉每棵价格为0.5元，原价购买这些花卉共需173元，由于购买的数量较多，商家提供给实践小组两种方案进行采购： 方案一：所有花卉采购打八折； 方案二：乙种花卉原价采购，甲种花卉由于购买数量多，不超过60棵数量的部分不打折，对超过60棵数量的部分打五折； 请你帮助计算哪种方案购买更合算． 【变式13-1】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）学科实践： 【驱动任务】： 第33届夏季奥森匹克运动会（Games of the XXXIII Olympiad），又称2024年巴黎奥运会，将于2024年7月26日到2024年8月11日在法国首都巴黎举办．为了迎接巴黎奥运会．某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．数学研习小组协助商店进行销售及采的方案设计． 【研究要素】： 已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣共花费130元．已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期末考试，王老师打算给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额． 【问题解决】： 根据以上素材和相关数据，完成下列任务： 任务1：假设明信片的售价为元/套，钥匙扣的住价为元个，问：__________（用含的代数式表示），请协助解决问题． 任务2：基于任务1的假设和素材条件，请尝试求出吉样物钥匙扣和明信片的售价． 【拟定设计方案】 任务3：请结合素材中的信息，帮助王老师完成此次促销活动可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高？ 【变式13-2】（23-24八年级上·山西运城·期末）综合与实践 小许是个爱动脑筋的学生，她在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：如图1，长方形中放置个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． (1)小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积． 解决问题： 请按照小许的思路完成上述问题： (2)动手实践：解决完上面的问题后，小许在家里找了张形状大小都相同的卡片，恰好拼成了一个大的长方形如图所示，打乱后又拼成如图那样的大正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，求每个小长方形的面积．请给出解答过程． 【变式13-3】（2025·江苏淮安·一模）综合与实践 【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产． 【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 江浙沪地区 江西省 首重 续重 收费说明： 每件快递按送达地分别计算运费； 运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）． 【素材2】 电子存单 电子存单 托寄物：捆蹄、萝卜干 目的地：江苏常州 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：鸡糕、捆蹄 目的地：江西南昌 计量重量：千克 件数： 总费用：元 【问题解决】 (1)求、的值； (2)小美给在上海的哥哥寄出了千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小美给在江西的外婆寄特产花了元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【变式13-4】（2025·福建泉州·二模）日常生活收纳物品时，人们通常以空间利用率（）来衡量收纳效果．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长，宽，高，收纳口在储物箱的上方．现计划收纳A，B两种长方体物品（数量足够多），其中A物品的尺寸为长，宽，高，B物品的尺寸为长，宽，高． 根据实际要求，收纳物品时，储物箱内的同一层只能以同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式，但物品的叠加高度不得超过储物箱的高度，物品叠加时储物箱及物品都不会产生形变．A物品可选择方式①②③进行摆放，B物品只按方式④进行摆放． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)若储物箱只收纳A物品且以方式①摆放，求储物箱最多可收纳A物品的数量（单位：件）； (2)若储物箱同时收纳A，B两种物品且A物品以方式①摆放，请你判断储物箱的空间利用率是否可以达到．若能，请分别求出收纳A，B两种物品的数量（单位：件）；若不能，请说明理由； (3)若储物箱同时收纳A，B两种物品，且箱子的承重量足够，已知每个A物品重，每个B物品重，现选择其中若干种摆放方式进行组合，请你直接写出一种空间利用率最大的组合方式及收纳物品的总重量．（要求：组合方式及收纳物品的总重量的回答格式：如“一层①和两层④组合，总重量***”、“一层①、两层②、一层③组合，总重量***”；本题将综合考虑“空间利用率最大”和“收纳物品的总重量”给分，空间利用率不是最大的不得分，空间利用率最大但总重量不是最大的酌情得分，空间利用率最大且总重量最大的才能得满分．） 【变式13-5】（2025·福建三明·一模）综合与实践 【背景】住尤溪的小颖想给亲朋好友寄送尤溪特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 福建省内 江浙沪地区 首重 续重 素材2： 电子存单1 电子存单2 托寄物：尤溪特产 目的地：福州 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：尤溪特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)小颖给在厦门的朋友寄出了千克的尤溪特产，她需要支付快递费多少元？ (2)小颖给在杭州的外婆寄特产快递费花了72元，求这份特产重量的取值范围． 【变式13-6】（2025·福建三明·二模）综合与实践：阅读下列材料，回答问题． “校安工程”全称为“全国中小学校舍安全工程”，是党中央、国务院做出的一项重大决策．某中学校安工程需要制作个矩形铝合金窗框，每个窗框由根长管（长度米/根）和根短管（长度米/根）组成，这些铝合金管用长度足够的铝合金型材作为原材料进行切割获得，切割后剩余的原材料（长度小于米）称为废料．已知有型材（长度为米/根）、型材（长度为米/根）两种铝合金型材可供选择，它们的价格均为元/米，且只能整根购买． 数学综合实践小组对如何节约原材料的购买成本展开讨论，各自发表了意见： 小聪：需要使用的铝合金管的总长度是确定的，而原材料购买成本只与购买的总长度有关，因此废料最少时原材料的购买成本最低； 小颖：若全部采用型材比全部采用型材的购买成本更高； 小亮：除了选择原材料，还要制定合理的切割方法，才能使得购买原材料的成本最低． (1)分别写出，两种型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度； (2)为了使这个矩形铝合金窗框所需原材料的购买成本最低，请设计方案，方案应说明，两种型材的购买数量及对应切割方法，但不必说明理由． 【压轴题型十四】三元一次方程（组）实际应用 例题14（24-25七年级下·四川眉山·期中）“一马当先，当仁不让”，2025年仁寿举办中国首个白金标半马赛，引来世界各地朋友前来参赛，某酒店有二人间，三人间，四人间客房供参赛者租住．某地区20人组团参赛，准备租住客房7间，若每种房型均有居住且房间都住满，则租住方案有 种． 【变式14-1】（2025七年级下·全国·期中）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？ 【变式14-2】（24-25七年级下·北京·期中）列方程组解应用题： 越野爱好者吴悠分三次从甲地出发，沿着不同的线路（线，线，线）去乙地．在每条线路上，行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登山峰这三种路况，且他在同种路况下行进的速度不以线路改变而变化．已知他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等．线、线路程相等，都比线路程多，线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，在线中一共用了，其中涉水行走所用时间比线上升了，攀登山峰所用时间也比线上升了．若他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，且都为正整数，求，，的值． 【变式14-3】（24-25六年级下·上海·期中）有这样一个问题；甲、乙、丙三种商品：①购买甲3件、乙5件、丙7件共需要490元；②购买甲4件、乙7件、丙10件共需要690元；③购买甲2件、乙3件、丙1件共需要170元．求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？ 欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案． 乐乐认为：这道题目去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求得答案． (1)请你根据欢欢的思路解决问题． (2)你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由． 【变式14-4】（23-24七年级下·全国·期末）已知满足求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这种方法利用了“整体思想”．请你利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则_______，_______； (2)买5支铅笔，2块橡皮，1本日记本共需35元，买4支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需47元，求购买11支铅笔，3块橡皮，1本日记本共需多少元． 【变式14-5】（2024七年级下·全国·期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则___________，___________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需多少元？ (3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么___________． 【变式14-6】（23-24七年级下·湖南长沙·期中）阅读以下内容：已知实数x，y满足，求的值．两位同学分别采用了以下两种不同的解题方法： 甲同学：先解关于x，y的方程组解得，的值，再代入． 乙同学：先，可得，再可得． 李老师对两位同学的解法进行了点评，甲同学的解法是常规思路，其运算量比较大，乙同学利用两个方程未知数的系数之间的关系，通过变形，求得该整式的值，这种解题思想就是数学中常见的“整体思想”．两种解法中，选择你欣赏的解法解答下面问题． (1)已知方程组，则的值为_________； (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变； (3)盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱若干，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个无线充电宝，1个迷你音箱；B盒中3个蓝牙耳机，5个无线充电宝，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个无线充电宝，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱的成本之和），求C盒的成本． 【变式14-7】（2024七年级下·江苏·期末）2022杭州亚运会吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，某厂家需要制作吉祥物“琼琼”、“莲莲”、“宸宸”三个为一组的礼盒套装若干套． 已知甲、乙、丙三个小组每天可完成的数量如下： 琮琮个 莲莲个 宸宸个 甲组 15 10 乙组 25 10 丙组 5 10 20 (1)如果安排甲组生产3天．乙组生产2天，最多能搭配 个套装． (2)若现已有20个琮琮，厂家还需安排甲组工作天，乙组工作天，恰好可以搭配成若干个套装． ①请填写下表：（用，的代数式表示） 琮琮个 莲莲个 宸宸个 ②结合上表，列方程组，求一共可以搭配多少个套装？ (3)若现已有100个琮琮，甲、乙两组分别生产天，天后被委派其他任务，此时该工作由丙组接替完成，要使吉祥物恰好可以搭配成若干个套装，则甲组至少要生产 天，共可搭配 个套装． 【变式14-8】（23-24七年级上·四川成都·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量． 【变式14-9】（23-24八年级上·陕西西安·期末）问题提出 已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为______． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景-共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 1．《九章算术》中记载了这样一个问题：“甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．”其大意为：“甲、乙两人各自带了若干钱．若甲拿到乙的一半钱后刚好凑成五十文；若乙拿到甲的三分之二钱后也能凑成五十文．问两人原本各带了多少文钱？”设甲、乙原有钱分别为x，y文，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．在长为，宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出3个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中每个小长方形花圃的面积为（   ） A．30 B．27 C．21 D．15 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北恩施·一模）已知一个两位数，十位数字比个位数字大1，若将个位数字与十位数字对调后，新得的两位数比原来的两位数小9，设原来的两位数个位数字为，十位数字为，则可列方组是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·新疆和田·期末）在早餐店里，亚森买了个馒头，个包子，老板少收了元，只要元；艾力江买了个馒头，个包子，老板以售价的九折优待，只要元．若每个馒头元，每个包子元，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广西钦州·二模）随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套．设该书店第一次购进x套，第二次购进y套，根据题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，小明准备将78张形状、大小完全相同的小长方形（长是宽的3倍）卡片，既不重叠又无空隙地放在一个长方形（长与宽的比为）的蛇年插画边沿，则得到的新长方形的长与宽的比为 . 8．（2025·浙江杭州·二模）如图，款式相同的4个碗叠放在一起总高度为，若同款的7个碗叠放在一起总高度为，则一个碗的高度为 ．    9．（2025·山东青岛·二模）如图是一张长为，宽为的长方形硬纸板，在四个直角处分别剪去边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等的底面是正方形的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为 ． 10．（2025·山西晋中·三模）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值钱；行酒（劣质酒）1斗，价值钱．现有钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为 ． 11．（2025·宁夏吴忠·二模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格：将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则 ． 12．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则需要 米布料做玩偶A． 13．（24-25七年级下·北京·期中）某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共25个，搭配成三种盲盒各一个，其中盲盒中有3个蓝牙耳机，5个多接口优盘，1个迷你音箱；盲盒中蓝牙耳机数量与迷你音箱数量之和等于多接口优盘数量，并且蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比是3：2，盲盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．若一个迷你音箱的成本是35元，盲盒成本是210元，盲盒成本是155元，则盲盒成本是 元，一个蓝牙耳机与一个多接口优盘的成本之和是 元．（每种盲盒的成本是盒中所有蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和） 14．（2025·江苏泰州·二模）某公司组织50名员工外出团建，有两种出行方案及对应费用如下表： 方案类型 坐动车人数 坐飞机人数 总费用 方案一 10人 40人 24000元 方案二 15人 35人 23750元 根据表中信息，求动车和飞机票价分别是多少元？ 15．（24-25七年级下·北京·期中）填空并完成下面的解答过程． 探究：用含药和-的两种消毒药水，配置含药的消毒药水18千克，两种药水各需要多少？ 解： (1)设需要含药的消毒药水千克，含药的消毒药水千克，根据药水中含药量和需要配置的药水量，找出相等关系，可以列出方程组 (2)将（1）中所列方程组整理并化简，得， (3)解（2）中方程组，得 (4)答：需要含药30%的消毒药水___________千克，需要含药75%的消毒药水___________千克． 16．（24-25七年级下·全国·期中）某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加，高中在校学生增加，这样会使该中学在校学生增加．这所中学现在的初中和高中在校学生分别有多少人？ (1)设现在的初中在校学生有x人，高中在校学生有y人，填写下表： 学生情况 初中在校学生 高中在校学生 总人数 现有学生数/人 x y 4200 一年后学生数/人 (2)列出关于x，y的二元一次方程组：______． 17．（24-25七年级下·全国·期中）某动物园的门票价格如下： 门票类型 票价 成人票 20元/人 儿童票 10元/人 小明爸爸带客人游玩该动物园，共买了10张票，花去140元，成人票和儿童票各买了多少张？ (1)设成人票买了x张，儿童票买了y张，根据题意列出方程组； (2)设成人票买了x张，列一元一次方程进行求解； (3)比较第（1）题与第（2）题，思考如何解第（1）题的二元一次方程组． 18．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 19．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）某实验室进行物体浸没实验，使用底面积为的长方体容器，初始水深为，已知每次实验物体均完全浸没． 第一次实验放入4个A型物体和3个B型物体后，水位上升至． 第二次实验放入2个A型物体和5个B型物体后，水位上升至． (1)求每个A型物体和B型物体的体积； (2)若第三次实验放入3个A型物体和4个B型物体，求此时容器内的水深． 20．（23-24七年级下·全国·期末）某景区门票售价如下： 购票人数 1~50 51~100 100以上 单人门票售价/元 130 110 90 今有甲、乙两个旅行团，已知甲旅行团人数少于50，乙旅行团人数不超过100．若分别购票，则两旅行团共计应付门票费13920元；若合在一起作为一个团体购票，则总计应付门票费10800元． (1)请判断乙旅行团的人数是否也少于50； (2)求甲、乙两旅行团各有多少人． 1 / 154 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题06 二元一次方程（组）实际应用（浙教2024） 【11个基础题型+3个压轴题型】 【基础题型一】根据实际问题列二元一次方程（组） 1 【基础题型二】根据几何图形列二元一次方程（组） 6 【基础题型三】二元一次方程（组）实际应用之方案问题 11 【基础题型四】二元一次方程（组）实际应用之行程问题 25 【基础题型五】二元一次方程（组）实际应用之工程问题 32 【基础题型六】二元一次方程（组）实际应用之数字问题 40 【基础题型七】二元一次方程（组）实际应用之分配问题 49 【基础题型八】二元一次方程（组）实际应用之销售、利润问题 56 【基础题型九】二元一次方程（组）实际应用之几何问题 68 【基础题型十】二元一次方程（组）实际应用之图表信息问题 77 【基础题型十一】二元一次方程（组）实际应用之古代问题 86 【压轴题型十二】二元一次方程（组）实际应用之素材类问题 91 【压轴题型十三】二元一次方程（组）实际应用之实践探究问题 111 【压轴题型十四】三元一次方程（组）实际应用 124 【基础题型一】根据实际问题列二元一次方程（组） 例题1（24-25七年级下·广东东莞·期末）“六•一”儿童节前夕，某超市用3360元购进A，B两种童装共120套，其中A型童装每套24元，B型童装每套36元．若设购买A型童装x套，B型童装y套，依题意列方程组正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：设购买A型童装x套，B型童装y套，依题意列方程组为： ． 故选：B 【变式1-1】（2025·云南·模拟预测）七年级（1）班的同学去参加科技体验活动，第一组有2人选择“九天揽月”活动，3人选择“深海探幽”活动，共花费230元；第二组5人选择“深海探幽”活动，选择“九天揽月”活动的人数是第一组人数的2倍，花费的金额比第一组多180元，设“九天揽月”活动的门票为元/张，“深海探幽”活动的门票为元/张，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组． 根据题目中的等量关系列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得， 故选：C． 【变式1-2】（2025·广东深圳·二模）滨海学校在“玩转数学”为主题的数学节活动中，将份奖品分给了名学生，若每人分4份，则剩余30份；若每人分5份，则还缺20份．根据题意可列方程（组）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． 根据数量关系列出方程组即可求解． 【详解】解：∵每人分4份，则剩余30份， ∴， ∵每人分5份，则还缺20份， ∴， ∴可列方程组为：； 故选：C． 【变式1-3】（2025·云南楚雄·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何．”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金的质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银的质量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子的质量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两．设每枚黄金重两，每枚白银重两．根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，根据“甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等；两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等， ； 两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两， ． 根据题意可列方程组． 故选：C． 【变式1-4】（2025·浙江宁波·二模）动画电影《哪吒》以打破中国影史记录的票房引起国内外关注，某商家相应推出了联名款的玩偶和人物卡片．已知购买个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买个玩偶和5包人物卡片需花费65元，问联名款的玩偶和人物卡片的单价分别为多少？设玩偶单价为元/个，人物卡片单价为元/包，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确找到等量关系是解题的关键． 根据玩偶和人物的单价，以及两次购买的玩偶和人物的数量，总花费，即可列出二元一次方程组． 【详解】解：由题意，得． 故选D． 【变式1-5】（2025·山东威海·一模）《孙子算经》记载了一道题：今有木，不知长短，引绳度之，绳余四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出四尺五寸；将这根绳子对折来量，绳子差一尺．这根木材有多长？（1尺寸，设木材长寸，绳子长寸，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．用一根绳子去量一根木条，绳子剩余四尺五寸可知：；绳子对折再量木条，绳子差一尺可知：；组成方程组即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 【变式1-6】（2025·湖北恩施·一模）某校学生乘车去绿葱坡滑雪场进行研学活动．若每车坐12人，则有3人不能上车；若每车坐15人，则最后一辆车少坐6人，设学生人数为x人和车辆数为y辆，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了二元一次方程组的应用．设学生人数为x人和车辆数为y辆，根据“每车坐12人，则有3人不能上车；若每车坐15人，则最后一辆车少坐6人”，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设学生人数为x人和车辆数为y辆，依题意得：     ． 故选：D 【变式1-7】（2025·江苏·一模）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大跨海通道，部分主体工程由桥梁和隧道构成，其中，隧道长度比桥隧总长（桥梁与隧道的长度之和）的少0.7千米，桥梁长度比桥隧总长的一半多8.1千米，求主体工程中的桥梁长度和隧道长度．设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米，根据题意列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米， 由题意可得：， 故选：B． 【变式1-8】（2025·浙江温州·二模）在一次体育模拟测试前，某班准备了若干块巧克力，若每位学生分3块，有7人未分到巧克力；若每位学生分2块．还剩下26块．问该班有多少名学生？准备了多少块巧克力？设该班有名学生，准备了块巧克力，则根据题意，可列出方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意列出方程组即可． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 【基础题型二】根据几何图形列二元一次方程（组） 例题2（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，根据题意，得 ． 故选：C 【变式2-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图所示，，的度数比的度数的2倍少．设与的度数分别为，，下列方程组中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据AB⊥BC，得，再利用∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少得，即可求出答案． 【详解】解：∵AB⊥BC，且∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°， ∴． 故选：B． 【变式2-3】（23-24七年级下·河南周口·期末）将7个全等的小长方形按如图方式摆放拼成一个大长方形，且．设小长方形的长为，宽为，依题意列二元一次方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合图形，数形结合即可列出方程组． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由题意，结合图形可得， 故选：D． 【变式2-4】（24-25七年级上·全国·期末）如图，，的度数比的度数的两倍少，设和度数分别为度，度，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别利用的度数比的度数的两倍少，分别得出等式求出答案． 【详解】解：设和度数分别为x，y，可列方程组为： ． 故选：C． 【变式2-5】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）图①，图②都是由8个一样的小长方形拼成的，且图②中的阴影部分（正方形）的面积为1，设每块小长方形地砖的长为，宽为，下列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用长方形的对边相等及图2中的阴影部分（正方形）的面积为1（边长为1），即可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：由图①可得：； 图②中的阴影部分（正方形）的面积为1，则边长也为1， 由图②可得：， ∴可得方程组， 故选：B． 【变式2-6】（24-25七年级下·山东泰安·期中）一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，且比小．若设，，则可得到的方程组为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平角的定义可得，再由比小，即可列出对应的方程组． 【详解】解：设，， 由题意得，，即 故选D． 【变式2-7】（24-25九年级下·广东清远·期中）个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．设一个小长方形的长为厘米，宽为厘米，则所列二元一次方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在甲图中， 个小长方形的长个小长方形的宽，在乙图中，个小长方形的宽个长方形的长厘米，用含有，的代数式分别表示出等量关系即可求得答案． 【详解】在甲图中， 个小长方形的长个小长方形的宽，在乙图中，个小长方形的宽个长方形的长厘米，可得 故选：A． 【变式2-8】（24-25七年级下·河南南阳·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”设这些小长方形的长和宽分别为和，则依题意可列二元一次方程组为 ．      【答案】 【分析】设小长方形长为，宽为，由图1、图2中的数量关系列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设小长方形长为，宽为， 由题意得：， 故答案为：． 【变式2-9】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①的正方形，其阴影部分的面积为25；8个矩形纸片围成如图②的正方形，阴影部分的面积为16；12个矩形纸片围成如图③的正方形，其阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】图①中阴影部分的边长为，图②中，阴影部分的边长为；设小矩形的长为，宽为，依据等量关系即可得到方程组，进而得出，的值，即可得到图③中，阴影部分的面积． 【详解】解：由图可得，图①中阴影部分的边长为，图②中，阴影部分的边长为； 设小矩形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， ∴图③中，阴影部分的面积为， 故答案为：． 【基础题型三】二元一次方程（组）实际应用之方案问题 例题3（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）在“双减”背景政策下，学校将课后延时服务活动作为学生核心素养培养的重要阵地．某校为了丰富课后延时服务活动的内容，特开设了篮球和足球兴趣班，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价贵40元，购买10个篮球和5个足球共用去1600元． (1)篮球和足球的单价各是多少元？ (2)新学期开始，该校计划再用1200元（1200元恰好用完）购买篮球和足球，请问有几种购买方案？ 【答案】(1)篮球和足球的单价分别是120和80元；(2)有4种购买方案 【详解】（1）解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元， 由题意得：， 解得：， ， 答：篮球和足球的单价分别是120和80元； （2）解：设购买篮球和足球的个数分别为 m、n个， 由题意得：， ∴， ∵m、n为正整数， ∴，，， ∴有4种购买方案 【变式3-1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）刘老师装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，某装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每箱50块，小包装每箱30块，若大、小包装均不拆开零售，可以只购买一种．刘老师共有哪几种购买方案． 【答案】刘老师共有四种购买方案，分别为购买大包装0箱瓷砖，购买小包装16箱瓷砖或购买大包装3箱瓷砖，购买小包装11箱瓷砖或购买大包装6箱瓷砖，购买小包装6箱瓷砖或购买大包装9箱瓷砖，购买小包装1箱瓷砖 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意找到等量关系式是解题的关键．设购买大包装箱，小包装箱，根据题意列出方程，然后利用、为非负整数得到方程的解即可． 【详解】解：设购买大包装箱，小包装箱， 根据题意，得． 即， 因为、为非负整数， 所以方程的解为，或，或，或． 答：刘老师共有四种购买方案，分别为购买大包装0箱瓷砖，购买小包装16箱瓷砖或购买大包装3箱瓷砖，购买小包装11箱瓷砖或购买大包装6箱瓷砖，购买小包装6箱瓷砖或购买大包装9箱瓷砖，购买小包装1箱瓷砖． 【变式3-2】（23-24七年级下·全国·期末）小明用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯．如果20元钱刚好用完，有几种购买方式？每种方式能买可乐和奶茶各多少杯？ 【答案】有4种购买方式：方式1：买10杯可乐；方式2：买7杯可乐，2杯奶茶；方式3：买4杯可乐，4杯奶茶;方式4：买1杯可乐，6杯奶茶． 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，设购买可乐x杯，奶茶y杯，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出各购买方案； 【详解】解：设买可乐和奶茶分别为x杯、y杯． 根据题意，得， 所以. 要使x为非负整数，y的取值必是偶数，且， 所以； 把y的值分别代入，得 ，，， 故有4种购买方式： 方式1：买10杯可乐； 方式2：买7杯可乐，2杯奶茶； 方式3：买4杯可乐，4杯奶茶； 方式4：买1杯可乐，6杯奶茶． 【变式3-3】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）安庆某校为了做好大课间活动，计划用800元购买10件体育用品，备选体育用品及价格如下表： 备选体育用品 篮球 排球 羽毛球拍 价格 100元/个 80元/个 50元/副 (1)若800元全部用来购买羽毛球拍和篮球共10件，则各购买多少件？ (2)若800元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍三种共10件，能实现吗？若能，写出购买方案即可；若不能，请说明理由． 【答案】(1)购买羽毛球4副，篮球6个； (2)可以，篮球、排球和羽毛球拍各3，5，2个． 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用． （1）设买篮球x个，则买羽毛球拍件，根据买篮球的费用+买羽毛球拍的费用建立方程求出其解即可； （2）设买篮球x个，卖排球y个，则买羽毛球拍件，由题意建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：设买篮球x个，则买羽毛球拍件，由题意，得 ， 解得：， 则． 答：买篮球6个，买羽毛球拍4件． （2）解：设买篮球x个，买排球y个，则买羽毛球拍件，由题意，得 ， 整理得：， ∵x、y都是整数， ∴当时，，羽毛球拍为4件； 当时，不符合题意，舍去， 当时，不符合题意，舍去， 当时，不符合题意，舍去， 当时，不符合题意，舍去， 当时，，羽毛球拍为件， 当时，不符合题意，舍去， 当时，不符合题意，舍去 当时，不符合题意，舍去 当时，不符合题意，舍去 当时，，羽毛球拍为0件． ∴篮球、排球和羽毛球拍各3，5，2个． 【变式3-4】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）甘肃地震牵动着全国人民的心，某地区开展了“一方有难，八方支援”抢险救灾活动，准备组织400名志愿者参加救灾．现需租用若干辆大、小客车将志愿者送往灾区，已知租用的大、小客车满员时载客情况如表格所示： 小客车（辆） 大客车（辆） 合计载客量（人） 3 1 105 1 2 110 (1)求满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐多少名志愿者？ (2)若计划租用小客车辆，大客车辆，大小客车都要有，一次全送完，且每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案： ②若小客车每辆租金1000元，大客车每辆租金1900元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1)满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐20名志愿者、45名志愿者 (2)①一共有两种租车方案：方案一：租小客车11辆，租大客车4辆；方案二：租小客车2辆，租大客车8辆；②租小客车2辆，租大客车8辆的费用最少，最少为17200元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设满员时每辆小客车能坐x名志愿者，则每辆大客车能坐名志愿者，再由1辆小客车，2辆大客车可坐100人列出方程求解即可； （2）①由题意得，，把n看做已知解方程得到，再由m、n都为正整数进行求解即可；②根据（2）①所求分别求出两种方案的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：设满员时每辆小客车能坐x名志愿者，则每辆大客车能坐名志愿者， 由题意得，， 解得， ∴， 答：满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐20名志愿者、45名志愿者； （2）解：①由题意得，， ∴， ∵m、n都为正整数， ∴必须要是4的倍数， ∴当时，；当时，； ∴一共有两种租车方案：方案一：租小客车11辆，租大客车4辆；方案二：租小客车2辆，租大客车8辆； ②方案一的费用为元， 方案二的费用为元， ∵， ∴租小客车2辆，租大客车8辆的费用最少，最少为17200元． 【变式3-5】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场，一水果经销商购进了A，B两种台湾水果各10箱，分配给他的甲，乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表： A种水果/箱 B种水果/箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 有两种配货方案（整箱配货）： 方案一：甲，乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱； 方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店几箱，乙店几箱？B种水果甲店几箱，乙店几箱？ (1)如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元； (2)请你将方案二补充完整，写出所有结果，并将你填写的方案二与方案一做比较，得出哪一种方案盈利较多． 【答案】(1)250 (2)案二补充见解析，方案一盈利较多 【分析】本题考查二元一次方程的应用； （1）按照方案一配货，用单价数量总价分别来求； （2）按照甲、乙两店盈利相同配货，就是甲店A，B两种水果的总盈利等于乙店A、B两种水果的总盈利，根据等量关系列出方程再分析． 【详解】（1）元 ∴经销商能盈利250元 （2）设按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店x箱，B种水果甲店y箱 由题意得： ∵， 当时，方程有整数解 答：A种水果甲店5箱，乙店5箱，B种水果甲店4箱，乙店6箱；A种水果甲店2箱，乙店8箱。B种水果甲店6箱，乙店4箱；A种水果甲店8箱，乙店2箱。B种水果甲店2箱，乙店8箱； 元 元 元 ∵ ∴方案一盈利较多； 【变式3-6】（2025七年级下·全国·期中）星期天，小明和七名同学共八人去郊游．途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完，那么 (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各买多少杯？ (2)当至少购买2杯奶茶且每人至少分得1杯饮料时，有几种购买方式？ 【答案】(1)有四种购买方式，方式一：10杯可乐；方式二：7杯可乐，2杯奶茶；方式三：4杯可乐，4杯奶茶；方式四：1杯可乐，6杯奶茶 (2)当至少购买2杯奶茶且每人至少分得1杯饮料时，有2种购买方式 【详解】分析：本题的实质是求一个二元一次方程的自然数解的问题，因此首先确定其中一个未知数的自然数值，然后求得另一个未知数的自然数值． 答案：（1）设分别买x杯可乐、y杯奶茶，则（且x，y均为自然数），所以，所以取，得，即或或或 所以有四种购买方式，方式一：10杯可乐；方式二：7杯可乐，2杯奶茶；方式三：4杯可乐，4杯奶茶；方式四：1杯可乐，6杯奶茶． （2）由（1）知，当至少购买2杯奶茶且每人至少分得1杯饮料时，有2种购买方式． 【变式3-7】（23-24七年级下·全国·期末）某地区因强降雨天气引起洪水灾害，有名群众被困，某救援队立即前往救援．已知艘小型船和艘大型船一次可救援名群众，艘小型船和艘大型船一次可救援名群众． (1)每艘小型船和每艘大型船各能载多少名群众？ (2)若安排艘小型船和艘大型船一次救援完所有被困群众，且恰好每艘船都载满，请设计出所有的安排方案． 【答案】(1)每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众 (2)有种方案，分别为：安排艘小型船艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船，安排艘小型船和艘大型船； 【分析】本题考查了一元二次方程组的应用，求一元二次方程整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众，根据题意得列出方程，然后解方程即可； （）由安排艘小型船和艘大型船，得，则，解得，再根据为整数，求出解即可． 【详解】（1）解：每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众， 根据题意得，， 解得：， 答：每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众； （2）解：由安排艘小型船和艘大型船， ∴， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或或或或或， ∴或或或或或， 答：有种方案，分别为：安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船，安排艘小型船和艘大型船；． 【变式3-8】（24-25八年级上·河南郑州·期末）年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每件A型航模元，每件B型航模元 (2)张老师共有2种购买方案：方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；方案2：购买1件A型航模，3件B型航模 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每件A型航模x元，每件B型航模y元，根据“购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元．”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m件A型航模，n件B型航模，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每件A型航模x元，每件B型航模y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件A型航模元，每件B型航模元． （2）解：设购买m件A型航模，n件B型航模， 根据题意得：， ． 又∵m，n均为正整数， 或． ∴张老师共有2种购买方案， 方案1：购买4件A型航模，1件B型航模； 方案2：购买1件A型航模，3件B型航模． 【变式3-9】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：辆） 总费用（单位：万元） 甲型汽车 乙型汽车 2 1 60 3 4 115 (1)求甲、乙两种型号的汽车每辆分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请直接写出该公司的购买方案． 【答案】(1)甲万元，乙万元(2)共有种购买方案： 方案：甲辆，乙辆 方案：甲辆，乙辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设甲型汽车的单价是x万元，乙型汽车的单价是y万元，根据“总价单价数量”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买m辆甲型汽车，n辆乙型汽车，根据“总价单价数量”，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设甲型汽车的单价是x万元，乙型汽车的单价是y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型汽车的单价是25万元，乙型汽车的单价是10万元； （2）解：设购买m辆甲型汽车，n辆乙型汽车， 根据题意得：， ∴，，， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴该公司共有2种购买方案， 方案1：购买4辆甲型汽车，5辆乙型汽车； 方案2：购买2辆甲型汽车，10辆乙型汽车． 【变式3-10】（24-25八年级上·陕西西安·期末）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车的进价共计90万元；3辆型新能源汽车、2辆及型新能源汽车的进价共计85万元． (1)求、两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用220万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元 (2)共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用； （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元．”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于的二元一次方程，结合均为正整数即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得： 解得： 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元． （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， ， 均为正整数， 为的倍数， 解得：或或 答：共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆． 【变式3-11】（24-25八年级上·四川成都·期末）随着我国网球名将郑钦文在巴黎奥运会中获得网球女子单打冠军，全国各地掀起了一股网球热，与网球有关的用品销量剧增，某厂家计划生产甲、乙两种品牌的网球拍共5000个，两种品牌的网球拍的成本和售价如下表所示： 甲 乙 成本（元/个） 180 320 售价（元） 230 400 (1)该厂家计划用118万元资金全部生产甲、乙两种品牌的网球拍，则生产这两种品牌的网球拍各多少个？ (2)经过市场调研，该厂家决定在原计划的基础上增加生产甲网球拍百个，乙网球拍百个（均为正整数），且两种品牌的网球拍售完后所获得的总利润为40万元，请问该厂家有几种生产方案？该厂家最少需投资多少万元？ 【答案】(1)生产甲品牌的网球拍3000个，生产乙品牌的网球拍2000个 (2)有两种，厂家最少需投资152万元 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用； （1）设生产甲品牌的网球拍个，生产乙品牌的网球拍个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意列出二元一次方程，根据整数解求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设生产甲品牌的网球拍个，生产乙品牌的网球拍个， 根据题意得：， 解得， 答：生产甲品牌的网球拍3000个，生产乙品牌的网球拍2000个； （2）根据题意得： ， 整理得：， ， 又都为正整数，为5的正整数倍， 或， 当时，， 需投资：（元）， 当时， ， 需投资：（元）， 又， 最少投资1520000元， 答：厂家生产方案有两种：生产甲网球拍4000个，乙网球拍2500个；生产甲网球拍3200个， 乙网球拍3000个；厂家最少需投资152万元． 【变式3-12】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）我市的雨山湖公园，娟秀妩媚，环境优雅，湖水清澈见底，是市民游玩休闲的好地方．某校七年级1班学生计划假期去雨山湖游玩，游船价格如下表： 船型 四座电动船 六座电动船 价格 元/小时 元/小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩小时，请解决下面问题： (1)若租用四座电动船条数与六座电动船条数之比为，所有船恰好坐满，需花费元，那么租用了几条四座电动船？ (2)若每条船均坐满，且每种船型至少一条；列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 【答案】(1)租用了条四座电瓶船 (2)方案见解析；最省钱的方案是租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船． 【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程的应用． （1）根据题意，设租用了条四座电瓶船，则租用了条六座电瓶船，列出方程并正确计算即可； （2）先计算出共有学生数量，设租用条四座电瓶船，条六座电瓶船，则，再分别计算出方案一到方案三所花费用，进行比较即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设租用了条四座电瓶船，则租用了条六座电瓶船，根据题意得， 解得：， ∴，， ∴租用了条四座电瓶船，条六座电瓶船 答：租用了条四座电瓶船 （2）解：由（1）可得学生人数为人 设租用条四座电瓶船，条六座电瓶船，则 ∴， ∴ ∵为正整数， ∴或或 方案一：租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船，总费用为元， 方案二：租用6条四座电瓶船，4条六座电瓶船，总费用为元， 方案三：租用9条四座电瓶船，2条六座电瓶船，总费用为元， ∵ ∴最省钱的方案是租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船． 【基础题型四】二元一次方程（组）实际应用之行程问题 例题4（24-25七年级下·全国·期中）小刚去距县城远的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了．已知汽车的速度为，步行的速度为，则小刚乘车的路程和步行的路程分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设小刚乘车的路程和步行的路程分别为、， 根据题意列方程组得：， 解得：， 小刚乘车的路程和步行的路程分别为、， 故选：B. 【变式4-1】（24-25八年级上·河北保定·期末）轮船顺流航行时的速度为m千米/小时，逆流航行时的速度为千米/小时，则水流速度（   ） A．3千米/小时 B．4千米/小时 C．6千米/小时 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，准确找出等量关系列出二元一次方程组是解题的关键； 设轮船在静水中航行的速度为x千米小时，水流速度为y千米小时，根据“顺流航行速度轮船速度水流速度”与“逆流航行速度轮船速度水流速度”列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出值即可． 【详解】解：设轮船在静水中航行的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，依题意得， 两个方程相减可得：，即水流速度为6千米小时． 故选：B． 【变式4-2】（24-25七年级上·陕西安康·期末）某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，甲、乙两地的距离是（   ）千米． A．200 B．120 C．100 D．150 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，设甲乙两地的距离为千米，规定时间为小时，根据题意，得，求解即可得到答案． 【详解】设甲乙两地的距离为千米，规定时间为小时． 根据题意，得 解得 所以，甲乙两地的距离为千米． 故选：B． 【变式4-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔相遇一次；如果同向而行，每隔相遇一次．则（   ） A．甲每分跑圈，乙每分跑圈 B．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 C．甲每分跑圈，乙每分跑圈 D．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲的速度为，乙的速度为，环形路的长度为单位1，由题意得出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为，环形路的长度为单位1，当甲比乙跑得快时， 由题意得， 解得， ∴甲每分跑圈，乙每分跑圈， 当乙跑得比甲快时，同理可得：甲每分跑圈，乙每分跑圈； 故选：B． 【变式4-4】（2025七年级下·全国·期中）平泽唯搭乘电车外出游玩，电车正要经过一条长的桥，电车从车头上桥到车尾离桥共用时，整列电车完全在桥上的时间为，则电车的行驶速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设电车的行驶速度为，电车的长为，根据过桥总路程为桥长加车长，整列车在桥上，总路程等于桥长减去车长，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设电车的行驶速度为，电车的长为，由题意，得： ，解得：； 则电车的行驶速度为． 故答案为：． 【变式4-5】（2025七年级下·全国·期中）甲、乙两人准备自行车骑行比赛，相约一同训练．两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发小时后两者相遇．则甲、乙两人的速度分别为 ． 【答案】16千米时，24千米时 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲的速度为千米时，乙的速度为千米时，根据两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发小时后两者相遇，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲的速度为千米时，乙的速度为千米时， ， 解得， 所以，甲的速度为16千米时，乙的速度为24千米时． 故答案为：16千米时，24千米时． 【变式4-6】（2025七年级下·全国·期中）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．则该轮船在静水中的速度为 千米/小时，水流速度为 米/小时． 【答案】 12 3 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，根据从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 则该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时． 故答案为：12，3． 【变式4-7】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）小红和小丽在的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？ 【答案】小红的平均速度是，小丽的平均速度是 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设小红的平均速度是，小丽的平均速度是，根据同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；反向跑，那么经过40s两人第一次相遇，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设小红的平均速度是，小丽的平均速度是； 根据题意，得， 解得； 答：小红的平均速度是，小丽的平均速度是． 【变式4-8】（24-25九年级上·福建福州·期末）甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？ 【答案】摩托车走完全程要216分钟． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A、B两地的距离为S，按照原速同时出发时，t分钟甲乙两人相遇，则，据此可得，再根据如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们推出，可得；再根据如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B得到，则，进而可得，，据此求出摩托车需要的时间即可． 【详解】解：设A、B两地的距离为S，按照原速同时出发时，t分钟甲乙两人相遇， 由题意得，， ∴； ∵如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分钟 答：摩托车走完全程要216分钟． 【变式4-9】（23-24七年级上·四川成都·期末）（行程问题）如图，某人从A地出发，经过B地和C地到达D地，段路程是段路程的2倍．原计划从A地到B地，B地到C地，C地到D地的速度分别是4千米/时、5千米/时和8千米/时，恰好用时160分钟．但此人在从B地到C地这段路程的实际速度比原计划在这段路程的速度提高，结果比预定时间提前10分钟到达D地．那么从A地到D地的总路程是多少千米？ 【答案】千米 【分析】题目主要考查线段的和差及二元一次方程组的应用，设，则，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：分钟小时，分钟小时， ∵从B地到C地这段路程的实际速度比原计划在这段路程的速度提高， ∴从B地到C地这段路程的实际速度为千米/小时， 设，则， 根据题意得：，， 解得：， ∴全程为：千米． 【变式4-10】（23-24七年级下·福建厦门·期中）福厦高铁去年开通后，不再受现有深杭线慢速铁道200km/h的限制，速度大幅提升后，福州厦门可以快速联通。某型号高铁由一节车头和若干节车厢组成，且每节车厢的长度都相等．已知该型号高铁挂8节车厢以57m/s的速度通过某观测点用时与挂12节车厢以82m/s的速度通过该观测点的用时均为4秒． (1)车头及每节车厢的长度分别是多少米？ (2)小兮乘坐该型号高铁从厦门前往福州，小蔡在对向的高铁里从福州前往厦门，在途中，小兮看到对向的高铁从身边呼啸而过，若将两条铁轨看作是两条直线，已知高铁的车厢有8节和16节两种． ①从看到车头到高铁车尾离开，大约经过了3s，此时小蔡看到车内屏幕显示车速为180km/h，小兮看到车里的屏幕显示324km/h．交汇时高铁的速度不发生变化．请你通过上述测量数据估计此时从福州开往厦门的高铁车厢的节数，并通过计算说明理由． ②若小兮在最后一节车厢，已知从车头到车尾高铁的车厢号按从小到大的顺序排列，小兮的妈妈此时正在前往4号车厢里的路上购买她们的午餐，若小兮妈妈比小兮正好早1.25s看到车头经过，请问此时小兮妈妈应该在第几号车厢？ 【答案】(1)每节车厢的长度是米，车头的长度是米； (2)小兮妈妈应该在第10号车厢． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）设每节车厢的长度是米，车头的长度是米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①根据速度时间求得高铁的总长，再计算求解即可； ②根据速度时间求得小兮与妈妈之间的距离，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：设每节车厢的长度是米，车头的长度是米， 依题意得， 解得， 答：每节车厢的长度是米，车头的长度是米； （2）解：①180km/h等于50m/s，324km/h等于90m/s， 从福州开往厦门的高铁的总长为， 共有车厢（节）， 答：从福州开往厦门的高铁共有16节车厢； ②小兮与妈妈之间的距离为， 相距的车厢共有（节）， 如果小兮乘坐该型号高铁只有8节车厢，则小兮妈妈应该在第2号车厢，但与题意不符； 则小兮乘坐该型号高铁有16节车厢，则小兮妈妈应该在第10号车厢． 【基础题型五】二元一次方程（组）实际应用之工程问题 例题5（24-25七年级下·全国·期中）某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米． 【答案】 44.5 42.5 【详解】解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，由题意，得： ，解得：， 答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米； 故答案为：，． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期中）有一项要生产154个零件的任务．若甲先做5天，乙再加入合做，则再做3天可超产2个；若乙先做5天，然后两人合做3天，则还有13个零件未完成．甲每天生产 个零件，乙每天生产 个零件． 【答案】 15 12 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是找出等量关系，列方程组求解． 设甲每天做个，乙每天做个，等量关系为：甲5天生产的零件甲乙3天生产的零件，乙5天生产的零件甲乙3天生产的零件，列方程组求解． 【详解】解：设甲每天做个，乙每天做个， 由题意得：， 解得：， 答：甲每天做15个，乙每天做12个． 故答案为：15，12． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·期中）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程． 问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？ 小明所列方程：；小亮所列方程：； 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x意义是否相同？________（填“是”或“否”）； (2)小亮的方程所用等量关系是________（填序号，“①每个小时生产的零件数相等”或“②4个小时生产的零件数相等”）； (3)根据小明所列的方程组完整解答老师提出的问题． 【答案】(1)是(2)②(3)一箱零件数是28个，该工人每小时能生产的零件数是8个 【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，正确理解所列方程的意义是解题的关键． （1）根据所列方程分别得到小明和小亮所列方程中x的意义即可得到答案； （2）根据小亮所列方程的意义求解即可； （3）利用解二元一次方程组的方法求解即可． 【详解】（1）解：由小明所列方程的意义可知，小明方程中x表示的是这一箱零件的个数， 而由小亮所列方程的意义可知，小亮方程中的x表示的是这一箱零件的个数， ∴以上两个方程（组）中x意义相同， 故答案为：是； （2）解：根据小亮所列方程的意义可知小亮的方程所用等量关系为4个小时生产的零件数相等， 故答案为：②； （3）解：设一箱零件数是个，该工人每小时能生产的零件数是个， 根据题意得，， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， ∴这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是28个、8个． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·期中）（应用意识）琳琳家准备装修一套新房．若甲、乙两家装修公司合作，需6周完成，共需装修费5.4万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费5.1万元，琳琳的爸爸妈妈商量后决定只选一家公司单独完成． (1)如果从节约时间的角度考虑应该选择哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑呢？ 【答案】(1)从节约时间的角度考虑应该选择甲公司 (2)从节约开支的角度考虑应该选择乙公司 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n．依题意列出二元一次方程组，再解得，即可作答． （2）设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元．依题意列出二元一次方程组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． 根据题意，得， 解得， ， ∴甲公司的工作效率高． 故从节约时间的角度考虑应该选择甲公司． （2）解：设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元． 根据题意，得， 解得， 由（1）可知，甲公司单独完成需要10周，乙公司单独完成需要15周， ∴甲公司共需（万元），乙公司共需（万元）． ∵4.5万元万元， ∴从节约开支的角度考虑应该选择乙公司． 【变式5-4】（24-25七年级下·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车 (2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人9人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3人，熟练工4人 (3)应招聘6名新工人 【分析】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．根据“1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车”列方程组求解． （2）设工厂有名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据，都是正整数和，进行分析的值的情况； （3）根据总费用熟练工人的费用新工人的费用列出代数式，分别代入（2）中方案，计算比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． 根据题意得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）解：设工厂有名熟练工． 根据题意，得， ， ， 又，都是正整数，， 所以，6，3． 即工厂有3种新工人的招聘方案： ①，，即新工人9人，熟练工2人； ②，，即新工人6人，熟练工3人； ③，，即新工人3人，熟练工4人． （3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则，或，； 根据题意得：． 当时，（元） 当时，（元） ， 当，时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能少． 【变式5-5】（23-24七年级下·福建厦门·期末）某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物．已知台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克，台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克．求每台型机器人和每台型机器人每小时分别搬运货物多少千克？ 【答案】型机器人每小时搬运千克，型机器人每小时搬运千克． 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意列出二元一次方程组并求解． 设每台型机器人每小时搬运千克，每台型机器人每小时搬运千克，根据题意列出二元一次方程组后求解即可． 【详解】解：设每台型机器人每小时搬运千克，每台型机器人每小时搬运千克． 依题得， 解得． 答：型机器人每小时搬运千克，型机器人每小时搬运千克． 【变式5-6】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 【答案】4天；2天 【分析】本题考查了二元一次方程组在工程问题中的应用，解题的关键是审清题意，正确列出方程组． ①工程类问题中相等关系一般都比较明显，常见的一组相等关系是：两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量．2在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工作总量设为单位“1”． 根据题目中提供的信息找出两个相等关系建立方程求解即可． 【详解】解：设乙、丙两队合作了天，甲队加入后又做了天 根据题意有解得 答：乙、丙两队合作了4天，甲队加入后又做了2天． 【变式5-7】（2024八年级上·全国·期末）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治工程队每天整治，共用时20天． (1)求A，B两工程队分别整治河道多少天（用二元一次方程组解答）； (2)若A工程队整改的工费为200元，B工程队整改的工费为150元，则完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 【答案】(1)A工程队整治河道5天，B工程队整治河道15天 (2)60000元 【详解】解：（1）设A工程队整治河道x天，B工程队整治河道y天． 根据题意，得 解得 故A工程队整治河道5天，B工程队整治河道15天． （2）根据题意，得（元）． 故完成整治河道时，这两工程队的工费共是60000元． 【变式5-8】（23-24七年级下·湖南郴州·期末）为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． (1)甲、乙工程队每天各施工多少米？ (2)若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 【答案】(1)甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米 (2)需支付的总费用为60000元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，以及一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意列出二元一次方程组求解，即可解题； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天，根据题意列出方程求出a的值，再根据“总费用甲工程队费用乙工程队费用求解”即可解题． 【详解】（1）解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米， 根据题意，得， 解得． 答：甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天， 则， 解得， （元）． 答：需支付的总费用为60000元． 【变式5-9】（23-24七年级下·吉林长春·期中）伊通河被誉为长春的母亲河，为把伊通河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的城市风景区．现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明同学设甲工程队整治河道用了x天，根据题意，小明所列方程为_______； (2)小华同学的思路是“设甲工程队整治河道m米，乙工程队整治河道n米”，请你按照他的思路写出完整解答过程． 【答案】(1)(2)见详解 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次方程的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和方程组． （1）根据题意，可以列出方程，本题得以解决； （2）根据题意，可以列出方程组，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）解：由题意可得：， 解得， 答：甲、乙两个工程队分别整治河道75米、150米． 【变式5-10】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面． (1)甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？ (2)已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？ 【答案】(1)甲组每天铺设50平方米，乙组每天铺设30平方米 (2)甲组施工一天的工时费为3000元，乙组施工一天的工时费为1400元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设甲组每天铺设平方米，乙组每天铺设平方米．利用两组每天可共铺设地面80平方米，再建立方程求解即可； （2）设甲组施工一天的工时费为元，乙组施工一天的工时费为元．结合两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，再建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：设甲组每天铺设平方米，乙组每天铺设平方米． ， ， ∴乙组每天铺设（平方米）， 答：甲组每天铺设50平方米，乙组每天铺设30平方米． （2）设甲组施工一天的工时费为元，乙组施工一天的工时费为元． ， 得：， 答：甲组施工一天的工时费为3000元，乙组施工一天的工时费为1400元． 【基础题型六】二元一次方程（组）实际应用之数字问题 例题6（24-25七年级下·全国·期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 【答案】49 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为，十位数字为， 根据题意，得，解得． 所以，原来的两位数为． 【变式6-1】（23-24七年级下·全国·期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49，求这个两位数？ 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为，个位数字为，根据“一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49”列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为，个位数字为， 由题意可知：， 解得：， 答：这个两位数为36． 【变式6-2】（23-24八年级上·全国·期末）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 【答案】(1)这个两位数是36(2)风速为每分钟50里． 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中运用，需要设两个未知数，再寻找建立方程组的两个等量关系． （1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y， 根据题意，得 解得 答：这个两位数是36； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里， 根据题意得， 解得 ∴风速为每分钟50里． 【变式6-3】（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【答案】外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆白圆圈内的数字为，内圆白圆圈内的数字为外圆两条直径上的四个数之和相等， ①， 内外两个圆周上的四个数之和相等， ②， 整理得：， 解得：， 外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9． 【变式6-4】（23-24七年级下·甘肃天水·期末）一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位数字比个位数字大2得到方程，根据将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66可得方程，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得，， 解得， ∴原来的两位数为． 【变式6-5】（23-24七年级上·江苏·期末）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的倍小，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数是． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，列出方程组，是解答本题的关键． 根据题意设个位数字为，十位数字为，利用已知条件列出二元一次方程组，由此得到答案． 【详解】解：根据题意设： 个位数字为，十位数字为， ， 解得：， 原来的两位数为：， 答：原来的两位数是． 【变式6-6】（23-24九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0． 小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数． 【答案】这个三位数是615，小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，由题意得出百位拨的数字是6，再根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，设出未知数列方程组并解出即可解决．找出等量关系列方程组是解题关键． 【详解】解：由题意得：小华在百位拨的数字是6， 设个位数字是，十位数字是， 由题意得：， 解这个方程组，得：， 答：这个三位数是615， 小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠． 【变式6-7】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）一个正整数，由N个数字组成．若它的第一位数可以被1整除，它的前面两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，……，一直到前N位数能被N整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：246的第一位数“2”可以被1整除，前两位数“24”可以被2整除，“246”可以被3整除，则246是一个“精巧数” (1)请直接写出最小四位数“精巧数”是__________；最大的四位“精巧数”是__________ (2)若一个三位“精巧数”各位数字之和为一个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数” 【答案】(1)1020，9876(2)306，324，342，360 【分析】（1）根据定义，结合最大的四位数和最小的四位数的特点，求解即可； （2）根据题意可得，再由a是偶数，即可确定三位“精巧数”是306，324，342，360． 【详解】（1）解：∵1可以被1整除，10可以被2整除，102可以被3整除，1020可以被4整除， ∴最小的四位数“精巧数”是1020， ∵9可以被1整除，98可以被2整除，987可以被3整除，9876可以被4整除， ∴最大的四位数“精巧数”是9876， （2）∵ 的各位数字之和为， ∵，，且a、b是整数， ∴， ∵ 各位数字之和为一个完全平方数， ∴或或， ∵的和可以被3整除， ∴， ∴， ∵a是偶数， ∴，2，4，6， ∴，4，2，0， ∴三位“精巧数”是306，324，342，360． 【变式6-8】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 【答案】(1)(2)4(3) 【分析】（1）设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t，分别用含有t的式子表示每一空格的数，再根据第三行的和等于第二行的和列方程求解即可； （2）由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组求得m、n的值，即可求解； （3）根据第一行的和等于第三列的和可得关于x的一元二次方程，求得x的值，再根据第二行的和与对角线的和相等即可求解． 【详解】（1）解：设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t， 则每一空格如图所示， 0 2 3 a ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴最左下角的数为：， ∴最中间的数为：或， ∴最右下角的数为：或， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4； （3）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 整理得，， ∵， 整理得，， ∴， 故答案为：． 【变式6-9】（24-25七年级下·河北唐山·期中）某两位数，两个数位上的数之和为．这个两位数加上，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)如果设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组． (3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组． 【答案】(1)原两位数为38(2)(3)（1）中求得的结果满足（2）中的方程组 【分析】（1）设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据题意，列出方程组即可求解； （3）结合（1），可知：，，进而即可求解． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：原两位数为38； （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为， 依题意，得：； （3）结合（1）可知，，， ∴，， ∴（1）中求得的结果满足（2）中的方程组． 【变式6-10】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 【答案】(1)(2)(3)一共有3种填法；填写见解析 【分析】（1）根据题意列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据题意列出关于a、b的方程组，解方程组即可； （3）根据题意列出关于m、n的二元一次方程，求出整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：根据题意得：， 即， ∵m，n为正整数， ∴，，， ∴共有3种填法；    【基础题型七】二元一次方程（组）实际应用之分配问题 例题7（23-24七年级下·全国·期末）1张圆桌由1张桌面和4根桌腿组成．已知木料可做50张桌面或300根桌腿，现有木料，恰好能做多少张圆桌？ 【答案】150张 【详解】解：设用木料做桌面，木料做桌腿． 根据题意，得解得 故用木料做桌面，木料做桌腿，可做桌面（张），可做桌腿（根）． 答：恰好能做成150张圆桌． 【变式7-1】（23-24八年级上·广东深圳·期中）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ 【答案】租住了三人间8间、双人间13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可． 【详解】解：∵凡团体入住一律五折优惠， ∴三人间为每人每天（元），双人间为每人每天（元）， 设三人间有a间，双人间有b间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住了三人间8间、双人间13间． 【变式7-2】（23-24八年级上·重庆·期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车 (2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人 【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意列方程组即可； （2）设熟练工人和新工人各m，n人，根据题意列出等式取值即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车， 根据题意，得：，解得， 答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车． （2）解：设熟练工人和新工人各m，n人， 由题意得：， 整理得：， 当时，； 当时，； 当时，； 答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人； 【变式7-3】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某机械厂加工车间平均每人每天加工甲种零件10个或乙种零件16个，已知3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，问怎样安排人员才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套？ 【答案】应分配60人生产甲种零件，25人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套 【分析】设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套，根据3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套， 由题意得： ， 解得：， 答：应分配60人生产甲种零件，25人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套． 【变式7-4】（24-25七年级下·贵州·期中）已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨． (2)租用型车2辆、型车7辆最省钱，最少租车费为1040元． 【分析】（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，根据“用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车载满货物一次可运货34吨，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案，再根据总租金每辆车的租金租车辆数，可分别求出三种租车方案所需租金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨． （2）依题意，得：， ． ，均为非负整数， ，，， 该物流公司共有三种租车方案，方案1：租用型车10辆，型车1辆；方案2：租用型车6辆，型车4辆；方案3：租用型车2辆，型车7辆． 方案1所需租金：（元， 方案2所需租金：（元， 方案3所需租金：（元． ， 方案3租用型车2辆、型车7辆最省钱，最少租车费为1040元． 【变式7-5】（23-24七年级下·广东江门·期末）用铁皮材料做罐头盒，每张铁皮可制盒身30个，或制盒底50个，一个盒身与两个盒底配成一套．现有33张铁皮材料，分别用多少张制盒身、盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套？ 【答案】用15张制盒身，用18张制盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套 【分析】设用x张制盒身，用y张制盒底，根据题中等量关系列出x、y的方程组，然后解方程组可求解． 【详解】解：设用x张制盒身，用y张制盒底， 根据题意，得， 解得， 答：用15张制盒身，用18张制盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套． 【变式7-6】（24-25七年级下·海南海口·期中）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量人，乙种客车每辆载客量人，已知辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元． (1)求辆甲种客车和辆乙种客车的租金分别是多少元？ (2)学校计划租用甲、乙两种客车共辆，送名师生集体外出活动，刚好全部坐满，问租车费用是多少？ 【答案】(1)辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元 (2)租车费用是元 【分析】（1）可设辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元，根据等量关系：辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，列出方程组求解即可； （2）根据题意，刚好全部坐满，确定等量关系：甲客车人数+乙客车人数，建立一元一次方程求解，进而求出费用即可． 【详解】（1）解：设辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元，依题意有 ， 解得， 答：辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元． （2）解：设租用甲种客车辆，乙种客车辆，则 ，解得， 元． 答：刚好坐满时，租车费用是元． 【变式7-7】（24-25七年级下·河南周口·期中）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若只单独调配36座新能源客车若干辆，则有16人没有座位；若只单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位． (1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（用二元一次方程组解答） (2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则36座客车需要多少辆？22座客车需要多少辆？ 【答案】(1)计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有232名志愿者； (2)36座客车需要4辆，22座客车需要4辆． 【分析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，根据题中等量关系列出方程组即可；　 （2）设需调配36座客车辆，22座客车辆，根据题意列出二元一次方程， 【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车辆，依题意，得：， 解得：； 答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有232名志愿者． （2）解：设需调配36座客车辆，22座客车辆， 依题意，得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴； 答：36座客车需要4辆，22座客车需要4辆． 【变式7-8】（2023·湖南邵阳·一模）某公司需运送甲、乙两种货物到指定仓库，已知月份甲货物运费单价为元/吨，乙货物运费单价为元/吨，共需运费元；月份由于油价上涨，运费单价上涨为：甲货物元/吨，乙货物元/吨；该公司月运送的甲种货物和乙种数量与月份相同，月份共支付运费元. (1)该公司月运送两种货物各多少吨？ (2)该公司预计月份运送这两种货物吨，且甲货物的数量不大于乙货物的倍，在运费单价与月份相同的情况下，该公司月份最多将支付多少运输费？ 【答案】(1)公司月运送甲种货物吨，乙种货物吨； (2)该公司月份最多将支付元运输费； 【分析】（1）设甲种货物运输了吨，乙种货物运输了吨，根据题意列方程解方程组即可解答； （2）设甲种货物为吨，则乙种货物为根据题意列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设甲种货物运输了吨，乙种货物运输了吨， 依题意得：， 解之得：， 答：公司月运送甲种货物吨，乙种货物吨． （2）解：设甲种货物为吨，则乙种货物为， 依题意得：， 解得：， 设总费用为元，则， 根据一次函数的性质，可知随着的增大而增大， 当取最大值时，即元， ∴该公司月份最多将支付元运输费． 【变式7-9】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． (1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）． (2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题） 【答案】(1)5；10 (2)制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完 【分析】（1）根据1个竖式纸盒需要长方形纸板4张，正方形纸板1张，1个横式纸盒需要长方形纸板3张，正方形纸板2张，求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒需要的正方形纸板和长方形纸片的张数即可； （2）设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据制作竖式纸盒和横式纸盒需要的正方形和长方形纸板数列出方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：需正方形纸板：（张）， 长方形纸板：（张）， 故答案为：5；10． （2）解：设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据题意得： ， 解得：， 答：制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【变式7-10】（24-25七年级上·安徽·期末）某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车． (1)装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？ (2)第三次安排大、小货车共12辆向甲地运输208吨蔬菜，若要使得每辆车都装满，则大货车和小货车分别需要多少辆？ 【答案】(1)76吨 (2)大货车8辆和小货车4辆 【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据“5辆大货车与2辆小货车一次可以运货124吨，6辆大货车与5辆小货车一次可以运货180吨”列方程组求解可得； （2）设安排m辆大货车，则小货车需要（12﹣m）辆，根据两种货车运送的蔬菜总质量208吨列方程求解可得． 【详解】（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨， 根据题意，得：， 解得：， ∴ 答：装满2辆大货车和3辆小货车能运输76吨蔬菜． （2）设安排m辆大货车，则小货车需要辆， 根据题意，得：， 解得：， 所以则大货车8辆和小货车4辆． 答：需要大货车8辆和小货车4辆． 【基础题型八】二元一次方程（组）实际应用之销售、利润问题 例题8（2025·贵州六盘水·二模）在2025年的春晚舞台上，来自宇树科技的机器人扭秧歌表演惊艳了无数观众．某商家推出A、B两种机器人模型，买2个模型3个模型共需120元；买3个模型，1个模型共需110元． (1)求模型和模型的销售单价各是多少元？ (2)某公司计划购买A、B两种模型共100个作为团建活动的奖品．商家给出两种优惠方案．甲方案为：按标价的八折销售；乙方案为：花288元成为会员后，可按标价的7折销售，购买多少个模型时，两种方案费用相同． 【答案】(1)购买模型的销售单价为元，模型的销售单价为元 (2)购买个模型时，两种方案费用相同 【详解】（1）解：设模型的销售单价为元，模型的销售单价为元， 可得， 解得， 答：购买模型的销售单价为元，模型的销售单价为元； （2）解：设购买种模型个，则购买种模型个， 则可得， 解得， 答：购买个模型时，两种方案费用相同． 【变式8-1】（24-25八年级下·山西太原·期中）在数学文化节的筹备之际，一家书店为丰富活动的阅读资源，用 2200 元精心购进了《数学简史》和《巧思巧解数学》两种极具数学特色的读本共 100 本．这两种书的进价和标价如下表所示： 书名 《数学简史》 《巧思巧解数学》 进价（元∕本） 20 25 标价（元∕本） 30 40 (1)《数学简史》、《巧思巧解数学》各购进了多少本？ (2)若《数学简史》按标价的9折出售，《巧思巧解数学》按标价的8折出售，那么这两种书全部售出后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)《数学简史》购进了60本，《巧思巧解数学》购进了40本； (2)这两种书全部售出后，该商店共获利700元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程组求出两种书的购进数量是解题的关键． （1）设《数学简史》购进了x本，《巧思巧解数学》购进了y本，根据用 2200 元精心购进了《数学简史》和《巧思巧解数学》两种极具数学特色的读本共 100 本建立方程组求解即可； （2）用标价乘以折扣求出实际售价，用实际售价减去进价得到每本书的利润，再分别求出两种书的利润，求和即可得到答案． 【详解】（1）解：设《数学简史》购进了x本，《巧思巧解数学》购进了y本， 由题意得，， 解得， 答：《数学简史》购进了60本，《巧思巧解数学》购进了40本； （2）解：； 答：这两种书全部售出后，该商店共获利700元． 【变式8-2】（2025·吉林松原·模拟预测）七年级六班的同学去参加科技体验活动，第一组有3人选择“九天揽月”活动，2人选择“深海探幽”活动，共花费120元；第二组有2人选择“九天揽月”活动，4人选择“深海探幽”活动，共花费160元，求每张“九天揽月”和“深海探幽”活动的票价分别为多少元？ 【答案】每张“九天揽月”活动的票价为20元，每张“深海探幽”活动的票价为30元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 先设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元，再根据费用相等列出二元一次方程组，求出解即可． 【详解】解：设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元，由题意，得 解得 答：每张“九天揽月”活动的票价为20元，每张“深海探幽”活动的票价为30元． 【变式8-3】（24-25七年级下·重庆·期中）四月春风和煦，气温适宜，正是放风筝的好时节．某景区提前购买了、两种型号风筝进行销售，已知2只型风筝和1只型风筝共需18元，3只型风筝和2只型风筝共需31元． (1)求、两种型号风筝的进价各多少元？ (2)该景区将型风筝的售价定为每只12元，型风筝的售价定为每只20元．该景区第一天售出型风筝200只，型风筝150只，第二天该景区决定对型风筝打折，型风筝售价不变，结果第二天型风筝售出的数量比第一天少了型风筝售出的数量比第一天多了．若第二天的销售利润比第一天的销售利润少了640元，请问型风筝打了几折？ 【答案】(1)种型号风筝的进价是5元，种型号风筝的进价是8元 (2)8折 【分析】本题考查一元一次方程、二元一次方程组解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程（组）是解决问题的关键． （1）设种型号风筝的进价是元，种型号风筝的进价是元，由等量关系列方程组求解即可得到答案； （2）设型风筝打了折，由等量关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设种型号风筝的进价是元，种型号风筝的进价是元，则 ， 解得， 答：种型号风筝的进价是5元，种型号风筝的进价是8元； （2）解：设型风筝打了折，则 ， 解得， 答：B型风筝打了8折． 【变式8-4】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建两种光伏车棚．已知修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元，修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元． (1)求修建每个种、种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若该社区拟修建个种光伏车棚和个种光伏车棚，当总投资金额为万元时，那么共有几种修建方案． 【答案】(1)修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元 (2)共有三种修建方案 【分析】（）设修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元，根据题意列出方程组即可求解； （）根据题意得，即得，根据均为正整数，可求出二元一次方程的解，即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，根据题意正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元， 由题意得，， 解得， 答：修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元； （2）解：根据题意得，， ∴， ∵均为正整数， 或或， ∴共有三种修建方案． 【变式8-5】（24-25七年级下·浙江·期中）为了响应“每天锻炼小时”的号召，卢老师先后三次到同一家体育用品专卖店为学校采购乒乓球拍，羽毛球拍．第一，二次按照标价采购，第三次采购时恰巧遇到专卖店搞活动，乒乓球拍，羽毛球拍都按标价折销售．三次购买乒乓球拍，羽毛球拍数量及其费用如下表： 采购 乒乓球拍的数量（副） 羽毛球拍的数量（副） 总支出（元） 第一次采购 第二次采购 第三次采购 (1)求每副乒乓球拍，羽毛球拍的标价； (2)第三次采购乒乓球拍，羽毛球拍的数量分别为，求的值． 【答案】(1)每幅乒乓球的标价为元，羽毛球的标价为元； (2)或． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，求二元一次方程的整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设每幅乒乓球和羽毛球的标价分别为元，元，列出方程组，然后求解即可； （）根据题意列出二元一次方程，然后求的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每幅乒乓球和羽毛球的标价分别为元，元， 则， 解得， 答：每幅乒乓球的标价为元，羽毛球的标价为元； （2）解：由题意得，， ， 因为是奇数，是偶数， 所以是奇数， 所以或． 【变式8-6】（24-25七年级下·浙江·期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示： 类型 进价/（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元． (1)求m和n的值． (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3 000元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？ 【答案】(1)m的值为80，n的值为60 (2)可获利1000元 (3)销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）根据“该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值； （2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论； （3）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴m的值为80，n的值为60； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴， 答：该商场可获利1000元； （3）解：设该日商场销售a个A款足球，个B款足球， 根据题意得：， ∴， 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴或， 答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球． 【变式8-7】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若“五一”搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 【答案】(1)每辆A型汽车的进价为80万元，每辆B型汽车的进价为100万元； (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为80万元，每辆B型汽车的进价为100万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴该公司共有3种购买方案， 方案1：购进15辆A型汽车，4辆B型汽车； 方案2：购进10辆A型汽车，8辆B型汽车； 方案3：购进5辆A型汽车，12辆B型汽车． 【变式8-8】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）2024年4月成都世界园艺博览会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色，五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”，若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元 (1)求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格； (2)若小明购买两款吉祥物共花了800元，则小明分别购买了A，B款吉祥物各多少件？ 【答案】(1)每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元； (2)购买A款吉祥物0件和B款吉祥物20件，或A款吉祥物4件和B款吉祥物13件，或A款吉祥物8件和B款吉祥物6件. 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用． （1）分别设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据小明购买两款吉祥物共花了800元，列出二元一次方程，再求整数解即可． 【详解】（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元． 根据题意，得， 解得． 答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元； （2）解：设购买A款吉祥物件和B款吉祥物件，根据题意，得 ， 解得：． 当时，， 当时，， 当时，， 答：购买A款吉祥物0件和B款吉祥物20件，或A款吉祥物4件和B款吉祥物13件，或A款吉祥物8件和B款吉祥物6件. 【变式8-9】（2025·吉林长春·一模）为实现乡村振兴战略，解决山区老百姓优质土特产销售问题，某地政府帮助小强家开通了网络商店（简称“网店”），将红枣，小米等土特产迅速销往全国，已知相关的销售信息如下：今年前3个月，该网店销售了红枣和小米共3000kg，获得利润4.2万元．问：这3个月该网店销售红枣和小米多少袋？ 红枣 小米 规格／（kg/袋） 1 2 成本／（元／袋） 40 38 售价／（元／袋） 60 54 【答案】这个月小明家网点销售红枣袋，小米袋 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题关键在于找出等量关系，正确列出方程组． 设这3个月该网店销售红枣袋，小米袋，根据题意列方程组得，解得，即可得到答案． 【详解】解：设这3个月该网店销售红枣袋，小米袋， 由题意得， 解得； 答∶这个月小明家网点销售红枣袋，小米袋． 【变式8-10】（2025七年级下·全国·期中）元旦期间，若干名家长和学生去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题： (1)求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ (2)通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分别购票更省钱？ (3)另有9名家长和6名学生也计划去这个景区游玩，请直接写出这15人按照上述景区票价购票，最少需要多少元？ 【答案】(1)家长有5人，学生有4人 (2)分别购票比购买团体票更省钱 (3)945元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，找出等量关系列出方程组是解答本题的关键． （1）设这次参加游玩的家长有x人，学生有y人，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）求出家长和学生一起购买团体票最低费用，即可求解； （3）分别求出若家长和学生一起购买团体票；若家长和学生分别购票；若10人购买团体票，5名学生购买学生票的费用，即可求解． 【详解】（1）解：设这次参加游玩的家长有x人，学生有y人，根据题意得： ， 解得， 答：这次参加游玩的家长有5人，学生有4人； （2）解：家长和学生一起购买团体票最低费用为（元）， ∵， ∴分别购票比购买团体票更省钱； （3）解：若家长和学生一起购买团体票，费用为（元）， 若家长和学生分别购票费用为（元）， 若10人购买团体票，5名学生购买学生票，此时费用为（元）， ∵， 所以购票最少需要945元． 【变式8-11】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）佰洋电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是2025年3月前两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售总额 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 18000元 第二周 4台 10台 31000元 (1)求A，B两种型号的净水器的销售单价？ (2)由于前两周两种净水器都销售一空，电器公司第三周采购这两种型号的净水器共30台，恰好花费54000元，求A种型号的净水器采购了多少台？ (3)在（2）的条件下，电器公司第三周开始销售部分刚购进的A型号和B型号净水器，但发现市场将要被新款智能净水器所取代，为扩大销售量，将剩余B种型号净水器按售价的七折进行销售，A种型号净水器原售价不变，当第三周采购的30台净水器都销售一空后统计这30台净水器的利润为6700元，求电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为多少个？ 【答案】(1)A型2500元，B型2100元(2)10台(3)10台 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次方程的应用，根据题意正确列方程（组）是解题的关键． （1）设A种型号的净水器的销售单价为x元，B种型号的净水器的销售单价为y元，根据“第一周A种型号净水器的销售量为3台，B种型号净水器的销售量为5 台，销售总额为18000元；第二周A种型号净水器的销售量为4台，B种型号净水器的销售量为10台，销售总额为31000元”，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A种型号的净水器采购了m台，则B种型号的净水器采购了台，根据总价单价数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为n台，则不打折销售的B种型号净水器为台，根据利润销售收入进货成本，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种型号的净水器的销售单价为x元，B种型号的净水器的销售单价为y元， 依题意，得， 解得： ， 答：A种型号的净水器的销售单价为2500元，B种型号的净水器的销售单价为2100元． （2）解：设A种型号的净水器m台，则B种型号的净水器台， 依题意，得：， 解得， 答：A种型号的净水器采购了10台． （3）解：设电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为n台，则不打折销售的B种型号净水器为台， 依题意，得：， 解得：， 答：电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为10台． 【基础题型九】二元一次方程（组）实际应用之几何问题 例题9（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为． (1)求每块小长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． 【答案】(1)长为，宽为 (2) 【详解】（1）解：设一块长方形墙砖的长为，宽为， 依题意得，解得， 答：一块长方形墙砖的长为，宽为； （2）解：求电视背景墙的面积为， 答：电视背景墙的面积为． 【变式9-1】（23-24七年级下·浙江·期末）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．    (1)填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 1只横式无盖铁容器中 (2)现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？ (3)把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)见解析 (2)可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个 (3)最多可以加工成19个铁盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组或二元一次方程． （1）根据图2进行填表即可； （2）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片300张、正方形铁片100张，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，根据裁成的长方形铁片和正方形铁片正好配套，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，均为非负整数，即可得出各裁剪方案，再分别求出各方案所能加工成的铁盒数量，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：根据图2可知：1只竖式无盖铁容器中长方形铁片4张，正方形铁片1张；1只横式无盖铁容器中长方形铁片3张，正方形铁片2张； 填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 4 1 1只横式无盖铁容器中 3 2 （2）解：设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个， 依题意，得：， 解得：． 答：可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个． （3）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，依题意，得： ， ∴， ∵m，n，均为非负整数， ∴或， 当，时，； 当，时，； ∵， ∴最多可以加工成19个铁盒． 【变式9-2】（23-24七年级下·吉林通化·期末）在长方形中，放入5个形状、大小相同的小长方形，其中，． (1)求小长方形的长和宽； (2)求阴影部分图形的总面积． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）设小长方形的长为，宽为，根据题意，得，解方程组解答即可； （2）根据题意，阴影部分图形的总面积为，解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得， 故小长方形的长为，宽为． （2）根据题意，阴影部分图形的总面积为． 【变式9-3】（2024七年级下·天津·期末）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示． (1)若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？　　（填“变”或“不变”）； (2)若不变，请写出图中阴影部分面积；若变，请说明理由． 【答案】(1)不变(2)不变，51 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据平移的性质，可得出平移后阴影部分面积不会改变； （2）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中给定的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）解：若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积不会改变． 故答案为：不变． （2）设小长方形的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：图中阴影部分面积为51． 【变式9-4】（23-24七年级下·辽宁大连·期中）小明手中有块周长为的长方形硬纸片，若将该硬纸片的长减少，宽增加，就成为一个正方形硬纸片． (1)求这块长方形的硬纸片的长、宽各是多少？ (2)现小明想用这块长方形硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新长方形纸片，请判断小明能否裁出，并说明理由． 【答案】(1)这块长方形的硬纸片的长为，宽为 (2)小明能够裁出符合条件的长方形纸片，见解析 【分析】本题考查了平方根的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设这块长方形的硬纸片的长为，宽为，根据周长为的长方形硬纸片，若将该硬纸片的长减少，宽增加，就成为一个正方形硬纸片．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设新长方形纸片的长为，宽为，根据裁出一块面积为的新长方形纸片，列出方程，根据平方根解方程，即可解决问题． 【详解】（1）设这块长方形的硬纸片的长为，宽为，根据题意得， ，解得， 答：这块长方形的硬纸片的长为，宽为； （2）设新长方形纸片的长为，宽为，根据题意得， ， ， ， ， ，， 小明能够裁出符合条件的长方形纸片． 【变式9-5】（23-24七年级下·浙江湖州·期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）． (1)若该厂购进正方形纸板1500张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 【答案】(1)加工竖式纸盒300个，加工横式纸盒600个，恰好能将购进的纸板全部用完 (2)在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值为155，160，165，170 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合即可求出a的值，此题得解． 【详解】（1）解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：，解得：． 答：加工竖式纸盒300个，加工横式纸盒600个，恰好能将购进的纸板全部用完． （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个， 根据题意得：， ． ，a为正整数， 为5的倍数， 又， 满足条件的a为：155，160，165，170． 答：在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值为155，160，165，170． 【变式9-6】（23-24七年级下·浙江金华·期末）小堡在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小晧看见了，说：“我也来试一试．”结果小晧七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．求每个小长方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键．设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由题意得：， 解得：， 小正方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 【变式9-7】（23-24七年级下·全国·期末）如图，现要在长方形草坪中规划出块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花． (1)如图①，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长； (2)如图②，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)小长方形的相邻两边长分别是，． (2)为定值，过程见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用和代数式： （1）设小长方形的宽为，长为，依题意，得，求解即可； （2）根据题意可知个小长方形的周长，根据题意可知，，大长方形的周长． 【详解】（1）设小长方形的宽为，长为． 根据题意，得 解得 答：小长方形的相邻两边长分别是，． （2）是定值，理由如下： 根据题意可知个小长方形的周长． 根据题意可知，，大长方形的周长． 可得 ． 所以，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值，为． 【变式9-8】（2024七年级·全国·期末）如图1，一张正方形纸板可以裁成甲、乙2种长方形纸板，分别用4个甲、乙纸板可以拼成图2、图3所示的中间有方孔的正方形框架．已知图2、图3中框架的内正方形方孔的周长之比为，且图3中正方形框架的外围边长为36厘米．求图1中原正方形纸板的面积． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设甲纸板的宽为厘米，乙纸板的宽为厘米，根据图形找准等量列方程是解题的关键． 【详解】解：设甲纸板的宽为厘米，乙纸板的宽为厘米，则由题意得 ，解得， 原正方形纸板的边长为（厘米）， 面积为（平方厘米）． 答：图1中原正方形纸板的面积为平方厘米． 【基础题型十】二元一次方程（组）实际应用之图表信息问题 例题10（23-24七年级下·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【答案】(1)a值为值为4.2(2)146.6元 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 解得，， 即a值为值为4.2； （2）根据题意知，吨的水费为：， 答：6月份小王家用水，应交水费元． 【变式10-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【答案】(1)；；(2)甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可； （2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可． 【详解】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元）， ， 乙公司人数超过人， 则乙公司游览人数为：（人）， 故答案为：；； （2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览， 若时， 根据题意，得， 解得，； 若时， 根据题意，得， 解得，， 甲公司不超过人， 此情况不符合题意，舍去； 答：甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【变式10-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）下表是某校七至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．（活动次数为自然数），求、的值． 课外小组活动总时间/ 文艺小组活动次数/次 科技小组活动次数/次 七年级 八年级 九年级 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程及方程组，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．文艺小组每次活动的时间为，科技小组每次活动的时间为，根据题意列方程求出、，再得到关于、的二元一次方程即可求解． 【详解】解：文艺小组每次活动的时间为，科技小组每次活动的时间为， 根据题意可得：， 解得：， 即文艺小组每次活动的时间为，科技小组每次活动的时间为， ，即， ， 、都是整数， ，． 【变式10-3】（2025·山西·一模）小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 【答案】参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．本题的关键在于通过建立方程组来解题，需要仔细分析题目的条件，将抽象的活动转化为具体的数学模型，通过代数运算求解未知数．同时解题过程中应注意方程组的建立与解法，以及对解出的未知数是否符合题目中的实际情况进行检验． 【详解】解：设参与一次课堂展示加分为x分，进行一次有效质疑加分为y分， 由题意可得：， 解得：， 答：参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分． 【变式10-4】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 【答案】(1)大球为2个，小球为4个 (2)三种，当大球6个，小球2个，或大球3个，小球6个，或只放10个小球，过程见解析 【分析】本题考查了列二元一次方程组和列二元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程组及二元一次方程的解法的运用，解答时理解图画含义是解答本题的关键． （1）由图得出一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度．设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设此时需a个大球，个小球，根据题意列出方程，由、均为正整数列出所有符合条件的a、b的值即可． 【详解】（1）解：（1）由题意可得：一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度． 设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度． 解得： 答∶需放入大球为2个，小球为4个时，水面上升到40个单位的高度． （2）解：容器恰好装满时，水位需上涨30个单位高度，设此时需a个大球，个小球，则： ． 所以 因为、均为正整数，所以有以下三种情况， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件． 即：当大球6个，小球2个或大球3个，小球6个或只放10个小球时，容器恰好装满． 【变式10-5】（23-24七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 【答案】(1)a，b的值分别为800，600 (2)方案一：中学生7人，小学生4人；方案二：中学生4人，小学生8人；方案三：中学生1人，小学生12人 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可． （2）利用九年级的捐款额8000列方程求人数． 【详解】（1）解：由题意得   解得： ∴a，b的值分别为800，600； （2）由题意得捐款总额为：（元） 设九年级资助贫困的中学生人数为x，资助贫困的小学生人数为y； 可得：；整理得：， 即； 又∵x、y均为正整数 ， ∴    ； 即方案一：中学生7人，小学生4人； 方案二：中学生4人，小学生8人； 方案三：中学生1人，小学生12人； 【变式10-6】（23-24七年级下·广东广州·期末）某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量（吨） 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 (1)甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？ (2)该公司又新购买45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？ (3)在（2）的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案最省钱？ 【答案】(1)甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨； (2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车． (3)方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车，所需费用最少，最少费用是元． 【分析】本题考查二元一次方程组和二元一次方程的应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． （1）根据题意，设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，然后列出方程组，解方程组即可； （2）根据题意，设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，然后列出方程，根据m，n均为非负整数，解出m，n，即可得到租车的方案； （3）分别求出每个方案的费用，然后进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨， 依题意有：， 解得：， 答：甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨； （2）设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆， 依题意有：， ∴ ． ∵m，n均为正整数， ∴或 或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车； 方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车． （3）方案1所需费用：（元）； 方案2所需费用：（元）； 方案3所需费用：（元）． ∵， ∴方案3所需费用最少，最少费用是元． 【变式10-7】（23-24七年级下·全国·期末）某学校现有甲种材料，乙种材料，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表： 需甲种材料 需乙种材料 1件A型工艺品 1件B型工艺品 (1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件？ (2)若每千克甲、乙两种材料分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少钱？ 【答案】(1)制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件 (2)306元，264元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，另外还涉及有理数混合运算的应用； （1）设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件，根据等量关系：两种工艺品所需甲种材料为，两种工艺品所需乙种材料为，列出二元一次方程组，并求解即可； （2）分别计算出制作1件两种型号的工艺品需要的费用，则可计算出制作A，B两种型号的工艺品各需材料费． 【详解】（1）解：设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件， 由题意，得，解得； 答：利用这些材料能制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件． （2）解：制作1件A种型号的工艺品需要（元）， 则制作A种型号的工艺品需材料费（元）； 制作1件B种型号的工艺品需要（元）， 则制作B种型号的工艺品需材料费（元）． 答：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费306元，264元． 【变式10-8】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为，b的值为(2)度 【分析】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【基础题型十一】二元一次方程（组）实际应用之古代问题 例题11（2024·陕西西安·模拟预测）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载有一题：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七，四疋绢价九十贯，三疋布价该五十，欲问绢布各几何？”其大意为：今有绢与布共30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢布各有多少？ 【答案】绢有12疋，布有18疋 【详解】解：设绢有x疋，布有y疋， 由题意得，， 解得 ， 答：绢有12疋，布有18疋． 【变式11-1】（23-24九年级下·安徽合肥·期中）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知小鸡买78只，求公鸡、母鸡各买几只． 【答案】公鸡买4只，母鸡买18只 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键．设公鸡买x只，母鸡买y只，根据用一百钱买一百只鸡列方程组求解即可． 【详解】解：设公鸡买x只，母鸡买y只， 依题意，得，                 解得：， 答：公鸡买4只，母鸡买18只． 【变式11-2】（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何?”译文“今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个、小容器个，总容量为斛，问大、小容器的容积各是多少斛?” 【答案】大容器的容积是斛，小容器的容积是斛 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系．设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛， 依题意，得：， 解得：， 答：大容器的容积是斛，小容器的容积是斛． 【变式11-3】（2024·安徽合肥·一模）我国古代有一道著名的数学题，原文如下：甲，乙二人隔溪牧羊，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？译文为：甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？ 【答案】甲有63只羊，乙有45只羊 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊， 根据题意，可得， 解得． 答：甲有63只羊，乙有45只羊． 【变式11-4】（23-24七年级下·江苏南通·期末）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是 ；请将这两个方程联立成方程组，并求出这个方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查了列二元一次方程组，解方程组，根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可列方程，然后组成方程组，根据加减消元法求解即可． 【详解】 解：，表示的方程是， 故答案为：； 由，可得， 解得 把代入②，可得：， 解得， 原方程组的解是． 【变式11-5】（23-24七年级上·陕西西安·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】共有48人，13辆车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； 设共有x人，y辆车，根据“每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”即可得到关于x、y二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设共有x人，y辆车，根据题意得： 解得： 共有48人，13辆车． 【变式11-6】（2023·广东佛山·一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”其大意为：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为一斤．问雀、燕每1只各重多少斤？ 【答案】每只雀重斤，每只燕重斤 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤， 根据题意，得， 解得， 答：每只雀重斤，每只燕重斤． 【变式11-7】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我国明朝有一位著名数学家叫程大位，他的书中有一道名题，说的是：“100个和尚分92个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚3人吃一个，问大、小和尚各多少人？” (1)请你列方程组求出大、小和尚各多少人； (2)重新修建寺庙需要和尚们向工地运送10万块砖，若每篮子装20块砖，一个大和尚每次可担两篮子砖，两个小和尚每次可抬一篮子砖，请问大小和尚们一起至少需要运送多少趟才能满足工地需要？ 【答案】(1)有个大和尚，个小和尚 (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题目中的数量关系，掌握消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）设有大和尚，有个小和尚，根据个和尚分个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚人吃一个，列方程组求解； （2）先求得大小和尚们一起运送一趟，可以运砖块，然后用10万除以即可求解． 【详解】（1）解：设有大和尚，有个小和尚，根据题意得， 解得： 答：有个大和尚，个小和尚． （2）解：依题意，大小和尚们一起运送一趟，可以运砖 （块）， ， ∴大小和尚们一起至少需要运送趟才能满足工地需要． 【变式11-8】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十二枚，称之重适等.交易其二，金轻二十四两. 问金、银一枚各重几何?”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银12枚(每枚白银 重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换2枚后，甲袋比乙袋轻了24两(袋子重量忽略不计)，问：黄金、白银每枚各重多少两? 【答案】黄金每枚重24两，白银每枚重18两 【分析】设黄金每枚重两，白银每枚重两，根据两袋互相交换2枚后，甲袋比乙袋轻了24两可列方程，即可解得答案． 【详解】解：设黄金每枚重两，白银每枚重两，根据题意列方程得， ， 解得， 答：黄金每枚重24两，白银每枚重18两． 【变式11-9】（2025·安徽·模拟预测）《算法统宗》中有这样一道数学问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！”大意是说：“用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？”试求甜果，苦果的个数． 【答案】苦果买343个，甜果买657个 【分析】设苦果买x个，甜果买y个，根据用999文钱可以买甜果和苦果共1000个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设苦果买x个，甜果买y个， 根据题意，得， 解得 答：苦果买343个，甜果买657个． 【压轴题型十二】二元一次方程（组）实际应用之素材类问题 例题12综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 【答案】(1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工(2)需要安排初级工5人，高级工人 (3)应安排初级工名，高级工8名 【详解】（1）解：设需要安排名初级工， 根据题意得：， 解得：， 答：若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工． （2）解：设安排初级工x人，高级工y人 ，解得 答：需要安排初级工5人，高级工人． （3）解：设参与生产的初级工人，高级工人 则，化简得， 则为5的倍数，可列表如下： 0 5 5 参与指导的高级工人数 8 6 4 2 高级工人数 8 费用 ∴应安排初级工29名，高级工8名． 【变式12-1】（24-25七年级上·湖南常德·期末）根据如下素材，探索完成任务． 背景 数学兴趣小组对某奶茶店中A、B两种款式的奶茶进行研究． 素材1 买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．           素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 解决问题 任务1 求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的，B款加料的奶茶3杯．则一共买了多少杯奶茶？ 【答案】任务1：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元 任务2：共有3种购买方案 任务3：一共买了33杯奶茶 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键． （任务1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据“买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务2）设在不加料的情况下，购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，利用总价＝单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出共有3种购买方案； （任务3）设购买A款不加料的奶茶m杯，A款加料和B款不加料的奶茶共n杯，则购买B款加料的奶茶杯，利用总价＝单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，均为正整数，即可得出m，n的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：（任务1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； （任务2）设在不加料的情况下，购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶， 根据题意得：， ∴， 又∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案； （任务3）∵（元）， ∴A款加料的奶茶的单价与B款不加料的奶茶的单价相同． 设购买A款不加料的奶茶m杯，A款加料和B款不加料的奶茶共n杯，则购买B款加料的奶茶杯， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n，均为正整数， ∴， ∴（杯）． 答：一共买了33杯奶茶． 【变式12-2】（23-24七年级下·山西阳泉·期末）综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 背景 “追光少年，青春飞扬”盂县年中小学生运动会于月日举行，某校组织了一场运动员选拔赛，七年级二班班主任为奖励同学们在选拔赛中的优异表现，让班长小林去奶茶店购买，两种款式的奶茶． 素材1 买杯款奶茶，杯款奶茶共需元；买杯款奶茶，杯款奶茶共需元 素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料． 素材3 班长小林用了元购买，两款共四种不同的奶茶，其中款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的． 问题解决 任务1 问款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，若购买，两种款式的奶茶（两种都要）刚好花元，问有哪几种购买方案？ 任务3 结合素材，班长小林购买的奶茶中款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出答案即可） 【答案】任务一：款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元；任务2：方案1：购买杯款奶茶，杯B款奶茶，方案2：购买杯款奶茶，杯款奶茶；  任务3：班长小林购买的奶茶中款加料的奶茶买了杯 【分析】本题考查实际问题与二元一次方程组，解题的关键是利用题中的等量关系建立方程组；（1）根据题意建立二元一次方程组即可求解；（2）设购买杯A款奶茶，杯B款奶茶，根据题意可得，即可求解；（3）设班长小林购买的奶茶中款不加料奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则款加料的奶茶买了杯，利用等量关系，列出关于，的二元一次方程，根据，，均为正整数，求解，代入，即可求解； 【详解】解：（任务1）设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元； （任务2）设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或， 答：共有种购买方案， 方案1：购买杯款奶茶，杯款奶茶 方案2：购买杯款奶茶，杯款奶茶； （任务3）设班长小林购买的奶茶中款不加料奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则款加料的奶茶买了杯， 根据题意得： ， ，，均为正整数； 班长小林购买的奶茶中款加料的奶茶买了杯． 【变式12-3】（23-24七年级下·浙江温州·期末）综合与实践：设计纸盒制作方案． 素材1：某实践小组欲制作尺寸如图1所示的横式和竖式两种无盖纸盒．    素材2：如图2，现有长，宽的纸板60张．需要对该纸板进行裁切做成的正方形和的长方形，裁切时不计损耗但不浪费纸板． 问题1：用1张纸板能裁切正方形纸板和长方形纸板各多少张？ 问题2：若制作后无材料剩余，设制作横式无盖纸盒个，竖式无盖纸盒个． ①用，的代数式分别表示正方形和长方形的总数量． ②确定纸盒的所有制作方案，求出，的值． 【答案】问题1：方法一：正方形5张，长方形0张；方法二：正方形1张，长方形3张．问题2：①正方形纸板：．长方形纸板：．②方案一：横式无盖纸盒12个，竖式无盖纸盒36个；方案二：横式无盖纸盒31个，竖式无盖纸盒18个． 【分析】本题考查了列代数式、二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出代数式和二元一次方程组是解此题的关键． 问题1：设正方形张，长方形张，根据题意列出二元一次方程，方程即可得出答案； 问题2：①根据题意列出代数式即可；②设方法一用了张纸板，方法二用了张，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：问题1：设正方形张，长方形张． 由题意得：，即， 化简得 当时，； 当时，． 答：方法一：正方形5张，长方形0张；方法二：正方形1张，长方形3张． 问题2：①由题意得：正方形纸板：．长方形纸板：． ②设方法一用了张纸板，方法二用了张． 列方程组得，， 解得， 当时，，， 当时，，， 答：方案一：横式无盖纸盒12个，竖式无盖纸盒36个；方案二：横式无盖纸盒31个，竖式无盖纸盒18个． 【变式12-4】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）2张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张． 素材二 在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券．某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了_______张C型的消费券，此时的实际消费最少为_______元． 任务二 若小明一家用13张型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用付款最少，并求出此过消费券的搭配方案． 【答案】任务一：4；621；任务二：A型的消费券4张，B型的消费券6张，则C型的消费券3张；任务三：付款最少方案为：使用10张A型券，4张C型券 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程（组），准确解方程（组），求出正整数解． 任务一：根据小明一家用了张A型消费券，张型的消费券，消费金额减了元，可求出用了张型的消费券，即可求出实际消费最小值； 任务二：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券张，根据题意列方程组计算即可； 任务三：分别计算三种搭配付款，比较即可． 【详解】解：任务一：用C型的消费券数量为：， ∴满减前至少消费（元）． ∴满减后实际消费（元）． 任务二：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券张， 由题意可得：， 解得． ∴C型的消费券张． 答：A型的消费券4张，B型的消费券6张，则c型的消费券3张； 任务三： ①设小明一家共使用A型的消费券a张，B型的消费券b张，则a，b都是正整数，， ， A、B型：， ∴． ∵a，b都是正整数，， 无符合题意的整数解； ②设小明一家共使用A型的消费券a张，C型的消费券c张，则a，c都是正整数，， ， A、C型：， ∴． ∵a，c都是正整数， ， ∴或． ∴付款为：（元）或（元）． ③设小明一家共使用B型的消费券b张，C型的消费券c张，则b，c都是正整数，， ， B、C型：， ∴． ∵b，c都是正整数， ， ∴， ∴付款为：（元）， 综上：付款最少方案为：使用10张A型券，4张C型券． 【变式12-5】（2025·安徽淮南·三模）根据以下素材，完成项目任务： 有关教辅图书的素材 素材1 因材施教、分层作业是实施国家“双减”政策的重要手段．新华书店为该校九年级学生提供了、两种难易程度不同的数学复习资料，已知每本，种资料的定价和为105元． 素材2 小明按定价计算发现3本种资料的总价与4本种资料的总价相同． 素材3 新华书店规定：种资料按定价的7折出售，种资料按定价的8折出售．九二班共40人，购买种资料的有30人，其余人购买种资料． 问题解决 任务1 设种资料每本的定价为元，种资料每本的定价为元，请根据素材1，则________（用含的代数式）． 任务2 基于素材1和素材2的信息，求、两种资料每本的定价各是多少元． 任务3 请你计算九二班这次购买资料共付新华书店________元． 【答案】任务1：；任务2：种资料每本的定价为60元，种资料每本的定价为45元；任务3： 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，有理数的四则运算，熟知相关等量关系是解题的关键． 任务1：根据每本，种资料的定价和为105元即可解答； 任务2：根据3本种资料的总价与4本种资料的总价相同列方程即可解答； 任务3：按照题意计算价格即可． 【详解】任务1：由题意可得， 故答案为：； 任务2：由题意得， 解得， 答：种资料每本的定价为60元，种资料每本的定价为45元； 任务3：（元）． 故答案为：． 【变式12-6】（23-24七年级下·山东淄博·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计布料剪裁方案？ 素材1 图1中是第31届世界大学生夏季运动会吉祥物“蓉宝”玩偶，经测量，制作该款吉祥物头部所需布料尺寸为，身子布料尺寸．图2是两部分布料的尺寸示意图． 素材2    某工厂制作该款式吉祥物．经清点库存时发现，需在市场上购进某型号布料加工制作该款式的玩偶．已知该布料长为，宽为．（剪裁时不计损耗） 我是布料裁剪师 任务一 拟定剪裁方案 若要不造成布料浪费，请你设计出一匹该布料的所有剪裁方案∶ 方案一：剪裁头部布料张和身子布料张． 方案二：剪裁头部布料_____张和身子布料______张． 方案三：剪裁头部布料_____张和身子布料______张． 任务二 解决实际问题 工厂目前有裁剪好的张头部布料和张身子布料，经商议，现需购买一批该型号布料，其中一部分按照方案二裁剪，另一部分按照方案三裁剪，一共制作个“蓉宝”玩偶，请问：需购买该型号布料共多少匹（恰好全部用完） 【答案】任务一：，，，；任务二：需要购买该布料匹 【分析】本题考查二元一次方程组的运用，解题的关键理解题意，列出二元一次方程和二元一次方程组，任务一：设一卷布料裁切头部布料，身子布料张，列出方程即可；任务二：设用卷该布料按照方案二裁剪，用卷该布料按照方案三裁剪，列出方程即可． 【详解】任务一：设一卷布料裁切头部布料张，身子布料张， ∴， 解得：， ∵，均为非负整数， ∴或或， 即方案二：剪裁头部布料张和身子布料张；方案三：剪裁头部布料张和身子布料张 故答案为：，，，． 任务二：设用卷该布料按照方案二裁剪，用卷该布料按照方案三裁剪， ∴， 解得：， ∴需要购买的布料为：． 答：需购买该型号布料共匹． 【变式12-7】（24-25七年级下·福建福州·期中）根据以下素材，完成任务． 如何生产纸盒 素材1 某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位） 素材2 工厂仓库内现存有的正方形纸板150张，的长方形纸板300张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 素材3 库存纸板用完后，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有400张，乙纸板有300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为1和4．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 任务一 求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完，且每张纸板利用率均为． 任务二 若用本次重新采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，纸板恰好用完，且每张纸板利用率均为．请你帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】任务一：做了竖式无盖纸盒30个，横式无盖的纸盒60个；任务二：丙纸板有140张或145张 【分析】本题考查长方体和正方体展开图，二元一次方程组应用等． 任务一：设竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，再结合题意列出方程组即可求解； 任务二：设竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，丙种纸板为张，根据题意列式再分析代入数值即可得到本题答案． 【详解】任务一：解：设做了竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个， 依题意得， 解得， 答：做了竖式无盖纸盒30个，横式无盖的纸盒60个； （2）设做了竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，丙纸板有张， 依题意得， 解得：， 为非负整数，， 或5， 丙纸板有140张或145张． 【变式12-8】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 “以体树人”是以身体为媒介，将教育回归到“人”的全面发展．它让学生在奔跑中理解坚持的意义，在合作中领悟共情的力量，在竞争中学会优雅地接受输赢． 素材1 某体育用品商场销售A、两款足球，A款、款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、款两种足球共60个，进货共用4400元． 素材2 由于各校“以体树人”系列活动的开展，足球生意火爆．该商场决定4月份再购进一批A、款足球（A、两款足球都需要购买），另购进款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款4400元不变．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球． 问题解决 任务1 求3月份该商场购进A款、款足球各多少个？ 任务2 若4月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，则4月份该商场购进A、、款足球各多少个？ 【答案】任务1：3月该商场购进A款足球20个、款足球40个； 任务2：方案1该商场购进A、、款足球分别为45、15、25个；方案2该商场购进A、、款足球分别为24、30、28个；方案3该商场购进A、、款足球分别为3、45、31个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：熟练掌握总价与单价和数量的关系，正确列出二元一次方程组，二元一次方程． 任务1：设3月该商场购进A款足球个、款足球个，根据“A款、款足球的进价分别为60元、80元，购进A款、款两种足球共60个，进货共用4400元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设4月该商场购进A款足球个、款足球个，根据“总进货款4400元不变．买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球”，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，赋值即可得出结论． 【详解】解：任务1：设3月该商场购进A款足球个、款足球个， 根据题意，得， 解得． 答：3月该商场购进A款足球20个、款足球40个． 任务2：设4月该商场购进A款足球个、款足球个， 根据促销方案：买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球， ∵4月商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案， ∴购进款足球个． 根据题意，得， 化简，得． ∵A、两款足球都需要购买，、均为正整数， ∴解得，，． 答：方案1该商场购进A、、款足球分别为45、15、25个； 方案2该商场购进A、、款足球分别为24、30、28个； 方案3该商场购进A、、款足球分别为3、45、31个． 【变式12-9】（23-24七年级下·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务： 如何设计购买方案？ 素材1 某校30名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和2张B场馆门票共需130元，购买3张A场馆门票和1张B场馆门票共需190元．C场馆门票为每张15元． 素材2 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 在出发前，某同学初步统计了大家的参观意向，其中有12位同学想参观A场馆，9位同学想参观C场馆，其余同学想参观B场馆，求在大家初步意向下所需花费的最少门票总额． 任务3 拟定购买方案 到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观C场馆的同学人数多于参观A场馆的同学人数，且最终购买三种门票共花费了750元，请你写出符合条件的所有购买方案． 【答案】任务1：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价40元； 任务2：在大家初步意向下所需花费的最少门票总额960元； 任务3：共有2种购买方案，方案1：购买10张A场馆门票，4张B场馆门票，6张C场馆门票；方案2：购买5张A场馆门票，8张B场馆门票，12张C场馆门票． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数混合运算的应用、二元一次方程的应用等知识点，正确建立方程组和代数式是解题关键． 任务1：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，根据两种购买方案所需金额列出方程组求解即可； 任务2：直接根据意义列式，然后根据有理数的四则混合运算计算即可； 任务3：设购买A场馆门票m张，B场馆门票n张，则购买C场馆门票，根据预算可得，最后根据n为正整数进行列举分析即可解答． 【详解】解：任务1：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元， ，解得：． 答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价40元． 任务2： 任务3：设购买A场馆门票m张，B场馆门票n张，则购买C场馆门票， 依题意得： ， ∴． 又∵m，n均为正整数， ∴或． ∴共有2种购买方案， 方案1：购买10张A场馆门票，4张B场馆门票，6张C场馆门票； 方案2：购买5张A场馆门票，8张B场馆门票，12张C场馆门票． 【变式12-10】（23-24七年级下·福建泉州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 奖品购买及兑换方案设计 素材1 小明在瓷都爱心超市购物时发现：顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元． 素材2 瓷都中学花费600元购买该超市的风琴包和精美书签作为奖品颁发给七年级期末考试优秀学生，两种奖品的购买数量均不少于20个，且购买精美书签的数量是10的倍数． 素材3 学校花费600元后，该超市赠送张兑换券（如右图）用于商品兑换．兑换后，精美书签与风琴包数量相同．    问题解决 任务1 探求商品单价 请运用列方程组的方法，求出风琴包与精美书签的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买风琴包和精美书签数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，求所有符合条件的兑换方式．（求风琴包和精美书签分别用的兑换券张数） 【答案】任务1：风琴包的单价为15元，精美书签的单价为5元；任务2：可购买精美书签30个，风琴包30个；或购买精美书签60个，风琴包20个；任务3：当购买精美书签60个，风琴包20个时，超市赠送5张兄换券时，其中5张兄换风琴包；或者，超市赠送9张兑换券时，其中8张兑换风琴包，1张兑换精美书签 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：任务1：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；任务2：找准等量关系，正确列出二元一次方程；任务3：找准等量关系，正确列出二元一次方程． 任务1：设风琴包的单价为元，精美书签的单价为元，根据“顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设购买个风琴包，个精美书签，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，，，为整数，且是10的倍数，即可得出各购买方案； 任务3：由任务2的结论，可知分两种情况考虑，当购买30个风琴包，30个精美书签时，设用张兑换券兑换风琴包，则用张兑换精美书签，根据兑换后精美书签与风琴包数量相同，可列出关于，的二元一次方程，结合，为整数，，均为自然数，即可得出各兑换方案；当购买购买20个风琴包，60个精美书签时，设用张兑换券兑换风琴包，则用张兑换精美书签，根据兑换后精美书签与风琴包数量相同，可列出关于，的二元一次方程，结合，为整数，，均为自然数，即可得出各兑换方案． 【详解】解：任务1：设风琴包的单价为元，精美书签的单价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：风琴包的单价为15元，精美书签的单价为5元； 任务2：设购买个风琴包，个精美书签， 根据题意得：， ． 又，，，为整数，且是10的倍数， 或， 共有2种购买方案， 方案1：购买30个风琴包，30个精美书签； 方案2：购买20个风琴包，60个精美书签； 任务3：①当购买30个风琴包，30个精美书签时，设用张兑换券兑换风琴包，则用张兑换精美书签， 根据题意得：， ， ，为整数，，均为自然数， 或， 当购买30个风琴包，30个精美书签时，若超市赠送4张兑换券，则3张兑换风琴包，1张兑换精美书签；若超市赠送8张兑换券，则6张兑换风琴包，2张兑换精美书签； ②当购买购买20个风琴包，60个精美书签时，设用张兑换券兑换风琴包，则用张兑换精美书签， 根据题意得：， ， ，为整数，，均为自然数， 或， 当购买20个风琴包，60个精美书签时，若超市赠送5张兑换券，则5张兑换风琴包：若超市赠送9张兑换券，则8张兑换风琴包，1张兑换精美书签． 答：当购买30个风琴包，30个精美书签时，若超市赠送4张兑换券，则3张兑换风琴包，1张兑换精美书签；若超市赠送8张兑换券，则6张兑换风琴包，2张兑换精美书签；当购买20个风琴包，60个精美书签时，若超市赠送5张兑换券，则5张兑换风琴包：若超市赠送9张兑换券，则8张兑换风琴包，1张兑换精美书签． 【压轴题型十三】二元一次方程（组）实际应用之实践探究问题 例题13（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）综合与实践 【问题背景】 《礼记》有言：“孟春之月，盛德在木”，树是地球的活力，为了鼓励全民植树造林，绿化环境，我国以3月12日为中国的植树节，某校积极开展“校园绿化实践活动”，实践小组的同学们设计在校园中栽种三棵杏树和三棵桃树以及甲、乙两种花卉． 【设计方案】 如图，已知杏树的位置用坐标表示为．连接将三角形向右平移3个单位，向上平移2个单位得到三角形在点处栽种桃树． （1）请你根据点的坐标建立平面直角坐标系； （2）画出平移后的三角形并直接写出点的坐标． 【解决问题】 （3）现将甲、乙两种花卉栽种在三角形，三角形内部，每平方单位可栽种30棵花卉，请你帮助计算共栽种花卉______棵．（结果直接填在横线上） （4）在（1）的条件下，实践小组的同学在采购花卉时，甲种花卉每棵价格为0.7元，乙种花卉每棵价格为0.5元，原价购买这些花卉共需173元，由于购买的数量较多，商家提供给实践小组两种方案进行采购： 方案一：所有花卉采购打八折； 方案二：乙种花卉原价采购，甲种花卉由于购买数量多，不超过60棵数量的部分不打折，对超过60棵数量的部分打五折； 请你帮助计算哪种方案购买更合算． 【答案】（1）见解析；（2）图见解析，；（3）；（4）方案二更合算． 【详解】（1）建立坐标系如图， （2）如图，即为所求；，，． （3）（平方单位）， ∴栽种花卉的面积为（平方单位） ∵每平方单位可栽种30棵花卉， ∴共栽种花卉（棵）． 故答案为： （4）设甲种花卉棵，乙种花卉棵． 由题意得 解得 ∴栽种甲种花卉190棵，乙种花卉80棵 方案一：（元） 方案二：甲种花卉费用（元） 乙种花卉费用（元） 总费用（元） ∵ ∴方案二购买更合算． 【变式13-1】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）学科实践： 【驱动任务】： 第33届夏季奥森匹克运动会（Games of the XXXIII Olympiad），又称2024年巴黎奥运会，将于2024年7月26日到2024年8月11日在法国首都巴黎举办．为了迎接巴黎奥运会．某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．数学研习小组协助商店进行销售及采的方案设计． 【研究要素】： 已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣共花费130元．已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期末考试，王老师打算给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额． 【问题解决】： 根据以上素材和相关数据，完成下列任务： 任务1：假设明信片的售价为元/套，钥匙扣的住价为元个，问：__________（用含的代数式表示），请协助解决问题． 任务2：基于任务1的假设和素材条件，请尝试求出吉样物钥匙扣和明信片的售价． 【拟定设计方案】 任务3：请结合素材中的信息，帮助王老师完成此次促销活动可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高？ 【答案】任务1：；任务2：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元；任务3：购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套商家获利最高 【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 任务1：根据一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，得； 任务2：根据小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，得，可解得答案； 任务3：设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n张，得：，由是非负整数，可求出的值，再计算每种方案商家的利润，比较可得答案． 【详解】解：任务1： 一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元， ． 故答案为：． 任务2： 由素材2，得， 解得， （元）， 答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元． 任务3： 设购买吉祥物钥匙扣个，明信片套， 根据题意，得， ． 是非负整数，， 吉祥物钥匙扣每件利润为（元），明信片每套利润为（元）， 购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套，商家获利元； 购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套，商家获利元； 购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套，商家获利元； 购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套商家获利最高． 【变式13-2】（23-24八年级上·山西运城·期末）综合与实践 小许是个爱动脑筋的学生，她在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：如图1，长方形中放置个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． (1)小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积． 解决问题： 请按照小许的思路完成上述问题： (2)动手实践：解决完上面的问题后，小许在家里找了张形状大小都相同的卡片，恰好拼成了一个大的长方形如图所示，打乱后又拼成如图那样的大正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，求每个小长方形的面积．请给出解答过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用， （1）设小长方形的长为、宽为，根据图示可以列出方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积即可； （2）设小长方形的长为，宽为，根据“长方形的对边相等及小正方形的边长为”列出方程组，求解后再根据长方形的面积公式即可得出答案； 根据图示找出数量关系并列出方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得， ∴ 答：阴影部分的面积为； （2）设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得：， ∴ 答：每个小长方形的面积为． 【变式13-3】（2025·江苏淮安·一模）综合与实践 【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产． 【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 江浙沪地区 江西省 首重 续重 收费说明： 每件快递按送达地分别计算运费； 运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）． 【素材2】 电子存单 电子存单 托寄物：捆蹄、萝卜干 目的地：江苏常州 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：鸡糕、捆蹄 目的地：江西南昌 计量重量：千克 件数： 总费用：元 【问题解决】 (1)求、的值； (2)小美给在上海的哥哥寄出了千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小美给在江西的外婆寄特产花了元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【答案】(1)；(2)元；(3)这份特产重量的取值范围为大于千克且不超过千克． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解决本题的关键是列方程组求出首重需要的费用和续重需要的费用． 根据快递单上的收费，列出二元一次方程组求解即可； 根据小美邮寄的特产的重量和快递公司的收费标准计算即可； 设这份特产的重量是，小美在江西邮寄的特产，根据江西的收费标准列出一元一次方程，解方程求出，即这份特产最多重，因为不足的按收费，可知这份特产的重量为大于8千克且不超过9千克． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 解得：， 答：的值为，的值为； （2）解：元， 答：小美需要支付元快递费； （3）解：设这份特产重量按计费， 小美在江西， 首重需要付费元，续重需要付费元， 根据题意可得：， 解得：， 这份特产重量的取值范围是大于8千克且不超过9千克， 答：这份特产重量的取值范围为大于8千克且不超过9千克． 【变式13-4】（2025·福建泉州·二模）日常生活收纳物品时，人们通常以空间利用率（）来衡量收纳效果．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长，宽，高，收纳口在储物箱的上方．现计划收纳A，B两种长方体物品（数量足够多），其中A物品的尺寸为长，宽，高，B物品的尺寸为长，宽，高． 根据实际要求，收纳物品时，储物箱内的同一层只能以同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式，但物品的叠加高度不得超过储物箱的高度，物品叠加时储物箱及物品都不会产生形变．A物品可选择方式①②③进行摆放，B物品只按方式④进行摆放． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)若储物箱只收纳A物品且以方式①摆放，求储物箱最多可收纳A物品的数量（单位：件）； (2)若储物箱同时收纳A，B两种物品且A物品以方式①摆放，请你判断储物箱的空间利用率是否可以达到．若能，请分别求出收纳A，B两种物品的数量（单位：件）；若不能，请说明理由； (3)若储物箱同时收纳A，B两种物品，且箱子的承重量足够，已知每个A物品重，每个B物品重，现选择其中若干种摆放方式进行组合，请你直接写出一种空间利用率最大的组合方式及收纳物品的总重量．（要求：组合方式及收纳物品的总重量的回答格式：如“一层①和两层④组合，总重量***”、“一层①、两层②、一层③组合，总重量***”；本题将综合考虑“空间利用率最大”和“收纳物品的总重量”给分，空间利用率不是最大的不得分，空间利用率最大但总重量不是最大的酌情得分，空间利用率最大且总重量最大的才能得满分．） 【答案】(1)储物箱最多可收纳A物品24件 (2)空间利用率可以达到，A物品有4件，B物品有112件或A物品有16件，B物品有48件 (3)三层①，一层②，一层④组合，总重量 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用、阅读理解以及方案选择等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依题意可算出每层摆放4件，再由高度计算可摆放6层，据此求解； （2）根据题意可知每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙，进而可设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层，得到，求整数解即可； （3）依题意，列举方案，逐一比较即可． 【详解】（1）解：因为， 所以每一层以方式①摆放4件A物品且无空隙， 因为， 所以最多可摆放6层， 所以储物箱最多可收纳A物品24件； （2）解：空间利用率可以达到100%，理由如下： 因为， 所以每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙． 设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层， 依题意，得， 所以或， 当，时，A物品有4件，B物品有112件： 当，时，A物品有16件，B物品有48件； （3）解：三层①，一层②，一层④组合，总重量． 有以下四种组合方式： （i）三层①，一层②，一层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品22件，B物品16件 因为， 此时总重量为； （ii）四层①，三层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品16件，B物品48件， 因为， 此时总重量为； （iii）一层②，五层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品10件，B物品有80件， 因为， 此时总重量为； （iv）一层①，七层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品4件，B物品有112件． 因为， 此时总重量为． 综上可知，空间利用率最大的组合方式为三层①，一层②，一层④组合，总重量． 【变式13-5】（2025·福建三明·一模）综合与实践 【背景】住尤溪的小颖想给亲朋好友寄送尤溪特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 福建省内 江浙沪地区 首重 续重 素材2： 电子存单1 电子存单2 托寄物：尤溪特产 目的地：福州 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：尤溪特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)小颖给在厦门的朋友寄出了千克的尤溪特产，她需要支付快递费多少元？ (2)小颖给在杭州的外婆寄特产快递费花了72元，求这份特产重量的取值范围． 【答案】(1)支付快递费16元． (2)这份特产的重量大于10千克，小于等于11千克． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用． （1）根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，确定．根据福建省内收费标准计算即可． （2）设这份特产按千克计费，根据江浙沪地区收费标准列出关于x的一元一次方程，解方程，再结合不足1千克按1千克计算即可得出这份特产重量的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知： 解得． ∵不足1千克按1千克计算，故千克按4千克计算， 即（元）． 她需要支付快递费16元． （2）解：设这份特产按千克计费， 则 解得． 所以这份特产的重量大于10千克，小于等于11千克． 【变式13-6】（2025·福建三明·二模）综合与实践：阅读下列材料，回答问题． “校安工程”全称为“全国中小学校舍安全工程”，是党中央、国务院做出的一项重大决策．某中学校安工程需要制作个矩形铝合金窗框，每个窗框由根长管（长度米/根）和根短管（长度米/根）组成，这些铝合金管用长度足够的铝合金型材作为原材料进行切割获得，切割后剩余的原材料（长度小于米）称为废料．已知有型材（长度为米/根）、型材（长度为米/根）两种铝合金型材可供选择，它们的价格均为元/米，且只能整根购买． 数学综合实践小组对如何节约原材料的购买成本展开讨论，各自发表了意见： 小聪：需要使用的铝合金管的总长度是确定的，而原材料购买成本只与购买的总长度有关，因此废料最少时原材料的购买成本最低； 小颖：若全部采用型材比全部采用型材的购买成本更高； 小亮：除了选择原材料，还要制定合理的切割方法，才能使得购买原材料的成本最低． (1)分别写出，两种型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度； (2)为了使这个矩形铝合金窗框所需原材料的购买成本最低，请设计方案，方案应说明，两种型材的购买数量及对应切割方法，但不必说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)为了使这个矩形铝合金窗框所需原材料的购买成本最低，应购买根型材和根型材，切割方法如下：根型材按方法④切割，得到根长管；根型材按方法⑤切割，得到根短管；根型材按方法①切割，得到根长管和根短管． 【分析】（1）结合两种型材的长度和所需长管、短管的长度分析即可得解； （2）根据三位同学的意见，通过设采用方法④的共根，推出不同情况下的废料长度，结合购买成本最低的要求分类讨论即可得解． 【详解】（1）解：依题得： 方法①：每根型材切割出长管、短管各根，废料长度为每根米； 方法②：每根型材切割出短管根，废料长度为每根米； 方法③：每根型材切割出长管、短管各根，废料长度为每根米； 方法④：每根型材切割出长管根，废料长度为每根米； 方法⑤：每根型材切割出短管根，无废料． （2）解：购买数量：应购买根型材和根型材，切割方法如下： 根型材按方法④切割，得到根长管； 根型材按方法⑤切割，得到根短管； 根型材按方法①切割，得到根长管和根短管． 理由如下： 依题意，共需切割出长管、短管各根， 比较方法①与方法③，因为，方法①比方法③的废料更少，因此不必考虑方法③； 设采用方法④的共根，可得到根长管，另有根长管只能采用方法①切割根型材获得，这样共可获得长管根和短管根，废料为（米）； 另外还需要方法②或方法⑤得到短管根， 比较方法②与方法⑤，当需要获得的短管数量为的倍数时，应采用方法⑤， 所以要使得购买成本最低，采用方法②的最多为根， （）若都不采用方法②，则采用方法⑤的根数为，且为整数，废料的总长度为米，当时，废料的总长度最小，其值为米； （）若采用方法②的为根，则采用方法⑤的为根，且为整数，废料的总长度为（米），当时，废料的总长度最小，其值为米； （）若采用方法②的为根，则采用方法⑤的为根，且为整数，废料总长度为，当时，废料的总长度最小，其值为米． 因为，所以当时，废料的总长度最小，此时所需原材料的购买成本最低， 即购买成本最低的方案是： 根型材按方法④切割，得到根长管； 根型材按方法⑤切割，得到根短管； 根型材按方法①切割，得到根长管和根短管． 【压轴题型十四】三元一次方程（组）实际应用 例题14（24-25七年级下·四川眉山·期中）“一马当先，当仁不让”，2025年仁寿举办中国首个白金标半马赛，引来世界各地朋友前来参赛，某酒店有二人间，三人间，四人间客房供参赛者租住．某地区20人组团参赛，准备租住客房7间，若每种房型均有居住且房间都住满，则租住方案有 种． 【答案】 【详解】解：设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意得： ； 解得：， ， ，，是正整数， 当时，，； 当时，，； 当时，，；(不符合题意，舍去) 租房方案有种． 故答案为：． 【变式14-1】（2025七年级下·全国·期中）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？ 【答案】C水果的销售额为150元 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用，能够根据等量关系正确列方程组，然后运用加减法整体求得的值即可． 设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套，根据该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元建立方程组求解． 【详解】解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套． 则由题意得， 即 由得，即， 所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为（元）； 答：C水果的销售额为150元． 【变式14-2】（24-25七年级下·北京·期中）列方程组解应用题： 越野爱好者吴悠分三次从甲地出发，沿着不同的线路（线，线，线）去乙地．在每条线路上，行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登山峰这三种路况，且他在同种路况下行进的速度不以线路改变而变化．已知他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等．线、线路程相等，都比线路程多，线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，在线中一共用了，其中涉水行走所用时间比线上升了，攀登山峰所用时间也比线上升了．若他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，且都为正整数，求，，的值． 【答案】，，或，，， 【分析】本题考查了三元一次方程组，难度较大，解题的关键是理解题意，学会利用参数方程解决问题．设涉水行走的速度为、攀登的速度为、穿越丛林的速度为，结合题意建立方程组解题即可． 【详解】解：他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等， 可以假设涉水行走的速度为、攀登的速度为、穿越丛林的速度为， 由题意得： 整理得：， 解得：，①， ∵线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线， ∴； 由消去z得到：， ∵，是正整数， ∴，，或，，， 【变式14-3】（24-25六年级下·上海·期中）有这样一个问题；甲、乙、丙三种商品：①购买甲3件、乙5件、丙7件共需要490元；②购买甲4件、乙7件、丙10件共需要690元；③购买甲2件、乙3件、丙1件共需要170元．求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？ 欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案． 乐乐认为：这道题目去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求得答案． (1)请你根据欢欢的思路解决问题． (2)你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用， 对于（1），先设甲，乙，丙商品的单价，再根据总价相等列出三元一次方程组，求出解即可； 对于（2），仿照（1）列出两个方程，再根据整体的思想求出答案即可． 【详解】（1）解：设甲，乙，丙商品的单价为x元，y元，z元，根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：购买甲，乙，丙三种商品各一件共需90元； （2）解：乐乐的说法正确． 设购买甲，乙商品的单价为x元，y元，根据题意，得 ， 得． 答：购买甲，乙，丙三种商品各一件共需90元． 【变式14-4】（23-24七年级下·全国·期末）已知满足求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这种方法利用了“整体思想”．请你利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则_______，_______； (2)买5支铅笔，2块橡皮，1本日记本共需35元，买4支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需47元，求购买11支铅笔，3块橡皮，1本日记本共需多少元． 【答案】(1)，5(2)共需58元 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将两方程相减可求的值，将两方程相加可求的值； （2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，由题意列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：， 可得：； 可得：， ∴； （2）解：设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元， 由题意可得：， ∴可得， 答：购买11支铅笔、3块橡皮、1本日记本共需58元． 【变式14-5】（2024七年级下·全国·期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则___________，___________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需多少元？ (3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么___________． 【答案】(1)，5(2)36元(3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解； （3）根据新运算法则列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：， 由可得：， 由可得：． 故答案为：，5； （2）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 依题意得：， 由可得：， ． 答：购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需36元； （3）解：依题意得：， 由可得：， 即． 故答案为：． 【变式14-6】（23-24七年级下·湖南长沙·期中）阅读以下内容：已知实数x，y满足，求的值．两位同学分别采用了以下两种不同的解题方法： 甲同学：先解关于x，y的方程组解得，的值，再代入． 乙同学：先，可得，再可得． 李老师对两位同学的解法进行了点评，甲同学的解法是常规思路，其运算量比较大，乙同学利用两个方程未知数的系数之间的关系，通过变形，求得该整式的值，这种解题思想就是数学中常见的“整体思想”．两种解法中，选择你欣赏的解法解答下面问题． (1)已知方程组，则的值为_________； (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变； (3)盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱若干，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个无线充电宝，1个迷你音箱；B盒中3个蓝牙耳机，5个无线充电宝，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个无线充电宝，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱的成本之和），求C盒的成本． 【答案】(1)7(2)见解析(3)155元 【分析】本题考查了三元一次方程组和二元一次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系列出方程（组），熟练运用等式的性质进行方程变形，整体求值． （1）根据题意用即可得出答案； （2）根据题意得，再即可得出答案； （3）设一个蓝牙耳机成本为x元，一个无线充电宝成本为y元，一个迷你音箱成本为z元，根据题意列出方程组，根据整体代换的思想可求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 得：； （2）解：方程组中，得， 得：， 则， 即无论a取何值，的值始终不变； （3）解：设一个蓝牙耳机成本为x元，一个无线充电宝成本为y元，一个迷你音箱成本为z元， 依题意得：， 得：， 得：， 得：， 答：C盲盒成本为155元． 【变式14-7】（2024七年级下·江苏·期末）2022杭州亚运会吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，某厂家需要制作吉祥物“琼琼”、“莲莲”、“宸宸”三个为一组的礼盒套装若干套． 已知甲、乙、丙三个小组每天可完成的数量如下： 琮琮个 莲莲个 宸宸个 甲组 15 10 乙组 25 10 丙组 5 10 20 (1)如果安排甲组生产3天．乙组生产2天，最多能搭配 个套装． (2)若现已有20个琮琮，厂家还需安排甲组工作天，乙组工作天，恰好可以搭配成若干个套装． ①请填写下表：（用，的代数式表示） 琮琮个 莲莲个 宸宸个 ②结合上表，列方程组，求一共可以搭配多少个套装？ (3)若现已有100个琮琮，甲、乙两组分别生产天，天后被委派其他任务，此时该工作由丙组接替完成，要使吉祥物恰好可以搭配成若干个套装，则甲组至少要生产 天，共可搭配 个套装． 【答案】(1)45 (2)①；；②一共可以搭配200个套装 (3)8；240 【分析】（1）分别求出生产琼琼、莲莲、宸宸的数量，结合套装中含吉祥物琼琼、莲莲、宸宸各一个，即可得出最多能搭配45个套装； （2）①利用生产总量生产效率生产时间，即可用含，的代数式表示出生产莲莲、宸宸的数量； ②根据恰好可以搭配成若干个套装，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论； （3）设丙组生产天，则生产琮琮个，莲莲，宸宸，根据已有的和生产的吉祥物恰好可以搭配成若干个套装，可得出关于，，的三元一次方程组，解之可得出，结合，均为正整数，可得出的最小值，代入后可得出值，将，值代入方程①中可求出值，再将其代入中，即可求出搭配套装数． 【详解】（1）解：生产琮琮的数量为（个， 生产莲莲的数量为（个， 生产宸宸的数量为（个， ，且套装中含吉祥物琼琼、莲莲、宸宸各一个， 如果安排甲组生产3天．乙组生产2天，最多能搭配45个套装． 故答案为：45； （2）①根据题意得：生产莲莲个，宸宸个． 故答案为：；； ②根据题意得：， 解得：， ． 答：一共可以搭配200个套装； （3）设丙组生产天，则生产琮琮个，莲莲，宸宸， 根据题意得：， 即， 方程①②得：， ． 又，均为正整数， 当时，取得最小值，最小值， 将，代入方程①得：， 解得：， ， 甲组至少要生产8天，共可搭配240个套装． 故答案为：8；240． 【变式14-8】（23-24七年级上·四川成都·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量． 【答案】(1)需甲车型8辆，需车型10辆； (2)方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆；方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆；方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解． （1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为非负整数，求出x，y，z的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据题意，得： ， 解得：， 答：需甲车型8辆，需车型10辆； （2）解：甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据题意，得： ， 消去z得， ∴， 因x，y是非负整数，且不大于18，得，5，10，15， 则，10，8，6； 又z是非负整数，解得z=6，3，0， ∴或或， ∴共有三种运送方案： 方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆； 方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆； 方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 【变式14-9】（23-24八年级上·陕西西安·期末）问题提出 已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为______． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景-共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）1330朵 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用： （1）由，即可求解； （2）由，可得，即可求解； （3）黄花一共用了M朵．则，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：（1）得， 故答案为：． （2）， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变． （3）设黄花一共用了M朵．则， 由题意，得， 由，得④， 由，得，即． 答：黄花一共用了1330朵． 1．《九章算术》中记载了这样一个问题：“甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．”其大意为：“甲、乙两人各自带了若干钱．若甲拿到乙的一半钱后刚好凑成五十文；若乙拿到甲的三分之二钱后也能凑成五十文．问两人原本各带了多少文钱？”设甲、乙原有钱分别为x，y文，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题步骤与解法，抓住等量关系是解题关键．设甲带了x钱，乙带了y钱，利用等量关系“甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．”列方程组即可． 【详解】解：设甲带钱x，乙带钱y，根据题意， 得， 故选：A． 2．在长为，宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出3个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中每个小长方形花圃的面积为（   ） A．30 B．27 C．21 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形花圃的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设小长方形花圃的长为，宽为， 根据题意可得：， 解得：， ， 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据1张桌子配4把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的4倍可列方程组． 【详解】解：设安排x天生产桌子，y天生产椅子， 根据题意可列方程组为：． 故选：A． 4．（2025·湖北恩施·一模）已知一个两位数，十位数字比个位数字大1，若将个位数字与十位数字对调后，新得的两位数比原来的两位数小9，设原来的两位数个位数字为，十位数字为，则可列方组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；先表示出颠倒前后的两位数，然后根据十位上的数字y比个位上的数字x大1，颠倒个位与十位数字的位置，得到新数比原数小9，列方程组即可． 【详解】解：根据十位上的数字y比个位上的数字x大1，得方程即； 根据对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，得方程． 列方程组为； 故选B． 5．（23-24七年级下·新疆和田·期末）在早餐店里，亚森买了个馒头，个包子，老板少收了元，只要元；艾力江买了个馒头，个包子，老板以售价的九折优待，只要元．若每个馒头元，每个包子元，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列二元一次方程组，读懂题意是关键． 根据“亚森买了个馒头，个包子，老板少收了元，只要元；艾力江买了个馒头，个包子，老板以售价的九折优待，只要元”分别列出两个方程，联立成方程组即为所求． 【详解】解：根据题意有， 故选：B． 6．（2025·广西钦州·二模）随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套．设该书店第一次购进x套，第二次购进y套，根据题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用——购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键．该书店第一次购进x套，则第二次购进y套，根据两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，列方程组． 【详解】解：∵该书店第一次购进x套，第二次购进y套，两次购进该漫画册共3500套，两次进价都是40元/套．第二次的总价比第一次多20000元， ∴． 故选：C． 7．如图，小明准备将78张形状、大小完全相同的小长方形（长是宽的3倍）卡片，既不重叠又无空隙地放在一个长方形（长与宽的比为）的蛇年插画边沿，则得到的新长方形的长与宽的比为 . 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设在长上放了x张小长方形卡片，在宽上放了y张小长方形卡片，设小长方形的长为，宽为，根据四边共放了张小长方形卡片且长与宽的比为，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再求出长、宽之比即可． 【详解】解：设在长上放了x张小长方形卡片，在宽上放了y张小长方形卡片，小长方形的长为，宽为， 依题意，得：， 解得：， ∴新长方形的长与宽的比为： 故答案为：． 8．（2025·浙江杭州·二模）如图，款式相同的4个碗叠放在一起总高度为，若同款的7个碗叠放在一起总高度为，则一个碗的高度为 ．    【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设一个碗的高度为，每增加一个水杯，增加的高度为，根据“4个碗叠放在一起总高度为，若同款的7个碗叠放在一起总高度为”列出二元一次方程组，计算即可求解． 【详解】解：设一个碗的高度为，每增加一个水杯，增加的高度为， 根据题意得， 解得， ∴一个碗的高度为， 故答案为：7． 9．（2025·山东青岛·二模）如图是一张长为，宽为的长方形硬纸板，在四个直角处分别剪去边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等的底面是正方形的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正方形的边长为，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， 由图形可得，， 解得， ∴的值为， 故答案为：． 10．（2025·山西晋中·三模）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值钱；行酒（劣质酒）1斗，价值钱．现有钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据数量关系列二元一次方程组即可． 【详解】解：醇酒（优质酒）1斗，价值钱；行酒（劣质酒）1斗，价值钱，现有钱，买得2斗酒， 设醇酒为斗，行酒为斗， ， 故答案为： ． 11．（2025·宁夏吴忠·二模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格：将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．先计算左下的数为4，再表示中间的数，再根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：依题意，左下角的数为：， ∴最中间的数为：， 或最中间的数为：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则需要 米布料做玩偶A． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据题意可知：生产玩偶A的布的米数生产玩偶B的布的米数总的布的米数，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，然后即可列出相应的二元一次方程组． 【详解】解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B， 依题意，得：． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·北京·期中）某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共25个，搭配成三种盲盒各一个，其中盲盒中有3个蓝牙耳机，5个多接口优盘，1个迷你音箱；盲盒中蓝牙耳机数量与迷你音箱数量之和等于多接口优盘数量，并且蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比是3：2，盲盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．若一个迷你音箱的成本是35元，盲盒成本是210元，盲盒成本是155元，则盲盒成本是 元，一个蓝牙耳机与一个多接口优盘的成本之和是 元．（每种盲盒的成本是盒中所有蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和） 【答案】 245 45 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是根据题目信息求出B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的数量，并根据题意列方程组． 根据题意B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的数量个．B盒中多接口优盘数量个，蓝牙耳机的数量个，迷你音响数量个．然后设蓝牙耳机、多接口优盘的成本价分别为x，y元，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共25个，盲盒中有3个蓝牙耳机，5个多接口优盘，1个迷你音箱，盲盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱． ∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的数量（个）． ∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量， ∴B盒中多接口优盘数量(个)， 蓝牙耳机的数量(个)， 迷你音响数量(个)， 设蓝牙耳机、多接口优盘的成本价分别为x，y元， 由题得：， 解得： ∴盲盒成本为：元． 一个蓝牙耳机与一个多接口优盘的成本之和是元， 故答案为：245；45． 14．（2025·江苏泰州·二模）某公司组织50名员工外出团建，有两种出行方案及对应费用如下表： 方案类型 坐动车人数 坐飞机人数 总费用 方案一 10人 40人 24000元 方案二 15人 35人 23750元 根据表中信息，求动车和飞机票价分别是多少元？ 【答案】动车的票价是440元/张，飞机的票价是490元/张 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设动车的票价是元/张，飞机的票价是元/张，根据表格数据列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设动车的票价是元/张，飞机的票价是元/张． 根据题意得：， 解方程组得； 答：动车的票价是440元/张，飞机的票价是490元/张． 15．（24-25七年级下·北京·期中）填空并完成下面的解答过程． 探究：用含药和-的两种消毒药水，配置含药的消毒药水18千克，两种药水各需要多少？ 解： (1)设需要含药的消毒药水千克，含药的消毒药水千克，根据药水中含药量和需要配置的药水量，找出相等关系，可以列出方程组 (2)将（1）中所列方程组整理并化简，得， (3)解（2）中方程组，得 (4)答：需要含药30%的消毒药水___________千克，需要含药75%的消毒药水___________千克． 【答案】(1)(2)(3) (4)需要含药的消毒药水10千克，需要含药的消毒药水8千克 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系找出关于x、y的二元一次方程是解题关键． （1）根据等量关系可得出关于x、y的二元一次方程组； （2）将方程组化简即可； （3）运用加减消元法解方程组即可； （4）根据结果作答即可． 【详解】（1）解：由题意得：． （2）整理得： （3）， 得：， 将代入①得， ∴； （4）答：需要含药的消毒药水10千克，需要含药的消毒药水8千克． 16．（24-25七年级下·全国·期中）某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加，高中在校学生增加，这样会使该中学在校学生增加．这所中学现在的初中和高中在校学生分别有多少人？ (1)设现在的初中在校学生有x人，高中在校学生有y人，填写下表： 学生情况 初中在校学生 高中在校学生 总人数 现有学生数/人 x y 4200 一年后学生数/人 (2)列出关于x，y的二元一次方程组：______． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据“初中在校学生增加，高中在校学生增加，这样会使该中学在校学生增加”填表即可； （2）根据“一年后初中在校学生一年后高中在校学生一年后全校在校学生”列出方程组即可， 【详解】（1）填写下表： 学生情况 初中在校学生 高中在校学生 总人数 现有学生数/人 x y 4200 一年后学生数/人 故答案为：，，； （2）解：设现在的初中在校学生有x人，高中在校学生有y人，根据题意得 故答案为：． 17．（24-25七年级下·全国·期中）某动物园的门票价格如下： 门票类型 票价 成人票 20元/人 儿童票 10元/人 小明爸爸带客人游玩该动物园，共买了10张票，花去140元，成人票和儿童票各买了多少张？ (1)设成人票买了x张，儿童票买了y张，根据题意列出方程组； (2)设成人票买了x张，列一元一次方程进行求解； (3)比较第（1）题与第（2）题，思考如何解第（1）题的二元一次方程组． 【答案】(1) (2)成人票买了4张，儿童票买了6张 (3)见解析 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意能力，关键是以票的总钱数作为等量关系列方程求解，得到结果． （1）根据共买了10张票，花费了140元，列出方程组即可求解； （2）可得儿童票买了张，根据花费了140元，列出方程即可求解； （3）根据代入法解第（1）小题的二元一次方程组． 【详解】（1）解：依题意有：； （2）解：可得儿童票买了张， 依题意有：， 解得， 则． 故成人票买了4张，儿童票买了6张； （3）解：， 由①得③， 把③代入②得， 解得， 把代入③得． 所以原方程组的解为， 故成人票买了4张，儿童票买了6张． 18．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2(2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 19．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）某实验室进行物体浸没实验，使用底面积为的长方体容器，初始水深为，已知每次实验物体均完全浸没． 第一次实验放入4个A型物体和3个B型物体后，水位上升至． 第二次实验放入2个A型物体和5个B型物体后，水位上升至． (1)求每个A型物体和B型物体的体积； (2)若第三次实验放入3个A型物体和4个B型物体，求此时容器内的水深． 【答案】(1)每个A型物体的体积为，每个B型物体的体积为 (2)此时容器内的水深为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）先求得第一和第二次实验浸没物体总体积，再列二元一次方程组，求解即可； （2）根据第三次实验放入3个A型物体和4个B型物体，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：第一次实验：浸没物体总体积， 第二次实验：浸没物体总体积． 列方程组， 解得：， 答：每个A型物体的体积为，每个B型物体的体积为； （2）解：， 答：此时容器内的水深为． 20．（23-24七年级下·全国·期末）某景区门票售价如下： 购票人数 1~50 51~100 100以上 单人门票售价/元 130 110 90 今有甲、乙两个旅行团，已知甲旅行团人数少于50，乙旅行团人数不超过100．若分别购票，则两旅行团共计应付门票费13920元；若合在一起作为一个团体购票，则总计应付门票费10800元． (1)请判断乙旅行团的人数是否也少于50； (2)求甲、乙两旅行团各有多少人． 【答案】(1)乙旅行团的人数超过50 (2)甲旅行团有36人，乙旅行团有84人 【分析】本题考查解应用题，涉及逻辑推理、二元一次方程组解应用题等知识，读懂题意，根据题意描述计算推理，准确列出二元一次方程组是解决问题的关键． （1）假设乙旅行团的人数也少于50，根据题意，结合票价，计算分开购票花费及合在一起购票的花费，再与题中应付门票比较即可得到答案； （2）由（1）知乙旅行团的人数超过50，设甲旅行团有人，乙旅行团有人，则当时，列方程组，根据即可判断，重新列方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：假设乙旅行团的人数也少于50，由甲旅行团人数少于50，景区门票售价可知， 当分开购票，可知甲乙两个旅行团单人门票售价130/元， 按照甲乙两个旅行团刚好人计算，单独买票花费； 当合在一起作为一个团体购票，可知甲乙两个旅行团单人门票售价110/元， 按照甲乙两个旅行团刚好人计算，合在一起购票花费； 综上所述，乙旅行团的人数超过50； （2）解：由（1）知乙旅行团的人数超过50， 设甲旅行团有人，乙旅行团有人，则 当时， ， ，不是整数，故 ， 解得， 答：甲旅行团有36人，乙旅行团有84人． 1 / 154 学科网（北京）股份有限公司 $$