2.3 用公式法求解一元二次方程 第1课时　课件　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程 第1课时　公式法 复习导入 回顾配方法 用配方法解方程：2x2 - 4x - 6 = 0. 解：方程两边都除以 3，得 x2 - 2x - 3 = 0 移项，得 x2 - 2x = 3 配方，得 x2 - 2x + 1 = 3 + 1 (x - 1)2 = 4 两边开平方，得 x - 1= ±2 x1= 3，x2= -1 实践探究 探究1：推导求根公式 用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0). 方程两边都除以a，得 解: 移项，得 配方，得 即 能用直接开平方解吗？ 即 一元二次方程的求根公式 特别提醒 ∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时， ∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ＜0时， 而x取任何实数都不能使上式成立. 因此，方程无实数根. 归纳总结 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0. 注意 探究2：认识根的判别式 什么叫一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式？如何运用根的判别式判断根的情况？ (1)把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示． (2) 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程没有实数根． 归纳 用求根公式法解一元二次方程x2－2x＝8时，应先把方程化成一般形式为_______________，再计算出b2－4ac＝____．最后利用公式求得方程的两个根为x1＝_____，x2＝_____． 练一练 x2－2x－8＝0 4 －2 36 应用举例 例1 解方程：x2-7x-18=0 解：这里a＝1，b＝－7，c＝－18. ∵b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝121＞0， 即：x1＝9，x2＝－2； 解方程：4x2+1=4x 解：将原方程化为一般形式，得：4x2－4x＋1＝0. 这里a＝4，b＝－4，c＝1. ∵b2－4ac＝(－4)2－4×4×1＝0， 例2 解方程： （精确到0.001）. 解： 用计算器求得： 例3 解方程：4x2-3x+2=0 因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根. 解： 例4 已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m＞0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状． 【方法指导】先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定a，b，c之间的关系，即可判定△ABC的形状． 例5 解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2ax＋(c－b)m＝0. ∵原方程有两个相等的实数根． ∴(－2 a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0， 即4m(a2＋b2－c2)＝0. 又∵m≠0， ∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2. 根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形． 归纳总结 (1)当Δ＝b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，即 (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等实数根，即 (3)当Δ＝b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根． 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 根的判别式b2-4ac 务必将方程化为一般形式 课堂小结 16 随堂练习 知识点1　用公式法解一元二次方程 1.用公式法解一元二次方程2x2－3x＝1时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述中，正确的是( ) A.a＝2，b＝－3，c＝－1 B.a＝2，b＝3，c＝1 C.a＝2，b＝－3，c＝1 D.a＝2，b＝3，c＝－1 A 2.如果一元二次方程x2＋px＋q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是( ) A.p2－4q≥0 B.p2－4q≤0 C.p2－4q＞0 D.p2－4q＜0 A 3.下列一元二次方程中，根为x＝的是( ) A.2x2＋4x＋1＝0 B.2x2－4x＋1＝0 C.2x2－4x－1＝0 D.2x2＋4x－1＝0 A 4.用公式法解下列方程： (1)－x2＋3x＋2＝0； 解：∵a＝－1，b＝3，c＝2， ∴b2－4ac＝32－4×(－1)×2＝17＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝. 4.用公式法解下列方程： (2)2x2＋4x＝－x－7； 解：将原方程化为一般形式，得2x2＋5x＋7＝0， 则a＝2，b＝5，c＝7. ∵b2－4ac＝52－4×2×7＝－31＜0， ∴原方程无实数根. 4.用公式法解下列方程： (3)(x－1)(x＋3)＝1. 解：将原方程化为一般形式，得x2＋2x－4＝0， 则a＝1，b＝2，c＝－4. ∵b2－4ac＝22－4×1×(－4)＝20＞0， ∴x＝＝＝， ∴x1＝－1，x2＝－－1. 知识点2　一元二次方程的根的判别式 5.下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的是( ) A.x2＋2x－1＝0 B.x2＋4＝0 C.2x2＋3x＋3＝0 D.4x2－4x＋1＝0 D 6.已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 A 7.当k为何值时，关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－1＝0分别满足下列条件？ (1)有两个不相等的实数根； 解：由题意，得Δ＝32－4×1×(k－1)＝13－4k. 若方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0， 即13－4k＞0，解得k＜. 7.当k为何值时，关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－1＝0分别满足下列条件？ (2)有两个相等的实数根； 解：由题意，得Δ＝32－4×1×(k－1)＝13－4k. 若方程有两个相等的实数根，则Δ＝0， 即13－4k＝0，解得k＝. 7.当k为何值时，关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－1＝0分别满足下列条件？ (3)有实数根； 解：由题意，得Δ＝32－4×1×(k－1)＝13－4k. 若方程有实数根，则Δ≥0， 即13－4k≥0，解得k≤. 7.当k为何值时，关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－1＝0分别满足下列条件？ (4)没有实数根. 解：由题意，得Δ＝32－4×1×(k－1)＝13－4k. 若方程没有实数根，则Δ＜0， 即13－4k＜0，解得k＞. 易错点　混淆一元二次方程与方程的概念 8.已知关于x的方程kx2＋3x－1＝0没有实数根，则k的取值范围是__________. [变式1] 若关于x的方程(m－1)x2＋2mx＋m－2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________. [变式2] 若关于x的方程(k＋1)x2－2kx＋k－5＝0有实数根，则k的取值范围是__________. 　k＜－　 　m＞且m≠1　 　k≥－　 9.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”.已知x2＋mx＋n＝0是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根，则mn＝_______. 　－2　 10.若等腰三角形的一边长是4，另外两边的长是关于x的方程 x2－6x＋n＝0的两个根，则n的值为________. 　8或9　 11.用公式法解下列方程： (1)3x2＋1＝2x； 解：将原方程化为一般形式，得3x2－2x＋1＝0， 则a＝3，b＝－2，c＝1. ∵Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×3×1＝0， ∴x＝， ∴x1＝x2＝. 11.用公式法解下列方程： (2)x(3x－5)＝9－7x； 解：将原方程化为一般形式，得3x2＋2x－9＝0， 则a＝3，b＝2，c＝－9. ∵Δ＝b2－4ac＝22－4×3×(－9)＝112＞0， ∴x＝＝＝， ∴x1＝，x2＝. 11.用公式法解下列方程： (3)4y2－3＝(y＋2)2. 解：将原方程化为一般形式，得3y2－4y－7＝0， 则a＝3，b＝－4，c＝－7. ∵Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－7)＝100＞0， ∴y＝＝， ∴y1＝，y2＝－1. 12.【新考法·新定义】定义：如果关于x的方程 a1x2＋b1x＋c1＝0(a1≠0，a1，b1，c1是常数)与a2x2＋b2x＋c2＝0(a2≠0，a2，b2，c2是常数)中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，那么称这两个方程互为“对称方程”.例如，方程2x2－3x＋1＝0的“对称方程”是－2x2－3x－1＝0. 根据上述材料，解决下面的问题： (1)方程x2－4x＋3＝0的“对称方程”是__________________； 　－x2－4x－3＝0　 12.【新考法·新定义】定义：如果关于x的方程 a1x2＋b1x＋c1＝0(a1≠0，a1，b1，c1是常数)与a2x2＋b2x＋c2＝0(a2≠0，a2，b2，c2是常数)中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，那么称这两个方程互为“对称方程”.例如，方程2x2－3x＋1＝0的“对称方程”是－2x2－3x－1＝0. 根据上述材料，解决下面的问题： (2)若关于x的方程5x2＋(m－1)x－n＝0与－5x2－x＝－1互为“对称方程”，求m，n的值以及方程5x2＋(m－1)x－n＝0的解. 解：方程－5x2－x＝－1，移项，得－5x2－x＋1＝0. ∵方程5x2＋(m－1)x－n＝0与－5x2－x＋1＝0互为“对称方程”， ∴m－1＝－1，－n＋1＝0，解得m＝0，n＝1. 将m＝0，n＝1代入方程5x2＋(m－1)x－n＝0，得 5x2－x－1＝0， 解得x1＝，x2＝. ∴x＝＝， ∴x＝＝，即：x1＝x2＝. x1＝，x2＝； x1＝x2＝－； $$