第02讲 一元二次方程的解法（知识清单+6易错+13必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版）

第02讲 一元二次方程的解法 题型梳理 易错分析 易错点一 方程两边同时开平方，忽略被开方数互为相反数的情况致错 易错点二 将一元二次方程进行配方时移项不变号而致错 易错点三 配方时因两边加上一次项系数的平方致错 易错点四 未将一元二次方程化为一般形式就直接利用公式法解一元二次方程导致错误 易错点五 忽略二次项系数不等于0，从而导致字母系数的取值范围扩大 易错点六 方程两边约去相同因式,造成丢根 题型方法 题型一 解形如=p（p≥0）的方程 题型二 解形如=p(p≥0,m≠0) 的方程 题型三 二次三项式的配方（二次项系数为1） 题型四 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 题型五 二次三项式的配方（二次项系数不为1） 题型六 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 题型七 一元二次方程的求根公式 题型八 用公式法解一元二次方程 题型九 一元二次方程的根的判别式 题型十 应用根的判别式判断方程根的情况 题型十一 已知方程根的情况确定字母系数的值或取值范围 题型十二 用因式分解法解一元二次方程 题型十三 选择合适的方法解一元二次方程 知识清单 知识点1：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点3：配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 知识点4一元二次方程的解法（公式法） (1)公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1. 当时， 利用开平方法，得：， 即： 1. 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． (2)求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． (3)用公式法解一元二次方程一般步骤 1. 把一元二次方程化成一般形式（）； 1. 确定a、b、c的值； 1. 求出的值（或代数式）； 1. 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． (4)根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． （5）根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 知识点5：因式分解法（重难点） （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 易错分析 【易错点一】方程两边同时开平方，忽略被开方数互为相反数的情况致错 【例1】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）老师出示问题：“解方程，”四位同学给出了以下答案： 甲；乙；丙；丁，． 下列判断正确的是（    ） A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．丁正确 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得：，， ∴丁同学计算正确， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．利用直接开平方法得或，即可求解 【详解】解：∵， ∴或， 解得：， 故答案为： 【变式2】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组． （1）先移项，再用直接开平方法即可求解； （2）先分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可写出不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：，． （2）解：， 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的步骤成为解题的关键． （1）先移项，然后运用直接开平方法解答即可； （2）先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以原分式方程的解为 【易错点二】将一元二次方程进行配方时移项不变号而致错 【例2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，移项，配方，变形，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 故选A． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若方程的两根为：，，则方程的两根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是配方法解方程的步骤．利用配方法解方程即可． 【详解】解：， 故答案为：， 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 配方得，即， 开方得， 解得． 【变式3】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选取合适的解法是解题的关键； （1）用开平方法即可求解； （2）利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：开平方得：， 解得：． （2）解：移项得：， 配方得：， 即， 解得：． 【易错点三】配方时因两边加上一次项系数的平方致错 【例3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：， ， ，即， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）若将一元二次方程化为的形式，则 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了配方法，把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方确定m、n的值即可得到答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：40． 【变式2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，． (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：开平方，得， ∴，． （2）解：配方，得， 即， 开平方，得， ∴，． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查配方法求解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元一次方程是解题的关键； 根据配方法解一元一次方程的方法即可求解； 【详解】解：两边都除以，得 配方，得 ∴， 【易错点四】未将一元二次方程化为一般形式就直接利用公式法解一元二次方程导致错误 【例4】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用配方法求解即可； （2）方程整理后运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， 整理，得： ， ∵， ， ∴   ∴，． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法，直接开平方法解一元二次方程是解题的关键； （1）直接开平方求解即可； （2）先化为一般式，再求出，再根据求根公式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ，． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得，； （2）解：（公式法）． 整理得， ，，， ， ∴， 解得， 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，并选择合适的解法是解题的关键． （1）利用配方法或公式法求解即可； （2）先将方程化简为，再利用配方法或公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 配方，得：， 即：， 开方，得， 解得：，； （2）解：， 化简，得：， 则， 解得：，． 【易错点五】忽略二次项系数不等于0，从而导致字母系数的取值范围扩大 【例5】（22-23九年级上·江苏扬州·期中）关于x的方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程定义．根据题意利用方程有两个不相等的实数根可得，再利用一元二次方程定义即可得出本题答案． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，解出：， ∵方程有两个不等实数根， ∴， ∴且， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此结合二次项系数不为0列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且 【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数n的值． 【答案】(1)且 (2)，或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到，且，然后解不等式即可得到m的范围； （2）在（1）中m的取值范围内确定满足条件的m的值，再解方程，然后把它的解代入可计算出n的值． 【详解】（1）解：根据题意得，且， 解得且； （2）解：∵且， ∴m的最大整数为，此时方程变形为， 解得，， 把代入，得：， 解得； 把代入，得：， 解得． 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围． (2)若整数， 且两个实数根中有一个根是整数，求k 的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的概念，解一元二次方程，熟练掌握方程有两个不相等的实数根即是解题的关键． （1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式，且，建立关于的不等式，求出的取值范围． （2）根据的取值范围确定整数的值为2，3，4，当时，当时，当时，分别 求出方程的解，再根据方程两个实数根中有一个根是整数，确定出k的值即可． 【详解】（1）解：原方程有两个不相等的实数根， ， 解得： 又∵， ∴， ∴且． （2）解：∵且， ∴整数的值为2，3，4， 当时，方程为，解得：， 当时，方程为，解得：， 当时，方程为，解得：，． ∵方程两个实数根中有一个根是整数， ∴． 【易错点六】方程两边约去相同因式,造成丢根 【例6】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）小白同学解方程的过程如下框： 解：两边同除以，得， 则． 你认为小白同学的解法是否正确？若正确请打“√”；错误请打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】×，解答过程见解析 【分析】根据0不能做除数可知当时不成立，即小白同学的解法错误．根据因式分解法解答即可． 【详解】解：×， 解答：， ， ， ， ∴或， ∴，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程．掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）小明与小华两位同学解一元二次方程的过程如下框： 小明： 两边同除以得 ． 则． 小华： 移项，得． 提取公因式，得． 则或． 解得，． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 小明的解法_____，小华的解法_____．（填“正确”或者“不正确”） (2)请你选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】(1)不正确，不正确， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法和步骤． （1）根据一元二次方程的解法，嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中提取公因式中符号错误，进而可作出判断； （2）可根据题目特点选择合适的方法求解即可． 【详解】（1）解：小明的解法中忽略的情况，小华的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确， 故答案为：不正确，不正确； （2）解： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 【变式2】（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下： 嘉嘉： 两边同除以，得 ， 则． 淇淇： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得． (1)嘉嘉的解法_______；淇淇的解法_______；（填“正确”或“不正确”） (2)请你选择合适的方法尝试解一元二次方程． 【答案】(1)不正确；不正确； (2)． 【分析】 本题考查了解一元二次方程，涉及因式分解法解一元二次方程． （1）根据解一元二次方程的解法判断即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：嘉嘉：当时，不满足等式的性质，故嘉嘉得解法不正确； 淇淇：提取公因式时，的符号错误，应该是，故淇淇的解法不正确； 故答案为：不正确；不正确； （2）解： 或 ． 【变式3】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）小丽与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小丽： 解：两边同除以， 得： ∴ 判断：_________ 小芳： 解： 或 ∴， 判断：_________ 你的解答： 解： 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内横线上打“√”；若错误请在框内打横线上“×”，并在右边的方框内写出你的解答过程． 【答案】见解析 【分析】小丽：没有考虑这种情况；小芳：，去括号时，没有变号；利用因式分解法解方程即可． 【详解】 小丽： 解：两边同除得：， ∴． 判断：× 小芳： 解： 或， ∴，． 判断：× 你的解答： 解： ， 或， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 题型方法 【题型一】解形如=p（p≥0）的方程 【例1】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）一元二次方程的根为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得，， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的根是（   ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．两边直接开平方得：，进而可得答案． 【详解】解：， 两边直接开平方得：， 则，． 故选：C． 【变式2】（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）方程的解是 【答案】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程求解即可． 【详解】解：， ． 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直接开平方法解一元二次方程，涉及平方根的性质，利用平方根的含义解方程，根据非负数才有平方根可得答案． 【详解】解： ∵方程可以用直接开平方法求解， ∴． 故答案为 【题型二】解形如=p(p≥0,m≠0) 的方程 【例2】（23-24九年级上·江苏常州·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．直接开方法解方程即可． 【详解】解： 解得， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）用配方法解一元二次方程式，小马得到了方程的一个解为，则另一个解等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．先将代入方程，求出的值，再用开方法求方程的根的即可．熟练掌握直接开方法解方程，是解题的关键． 【详解】解：把代入，得：， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握常见的解一元二次方程的方法是解题的关键． 直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解∶ ， ， ， 所以该方程组的解为：，． 故答案为：，． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方的非负性是解题关键．根据直接开平方法可得关于m的不等式，进而求解可得． 【详解】解：可以用直接开平方法求解， ， ． 故答案为 【题型三】二次三项式的配方（二次项系数为1） 【例3】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）若二次三项式是一个完全平方式，则的值为（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可知两平方项分别为，据此可得一次项可以为，由此可得答案． 【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：C 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏镇江·期中）已知实数满足，则代数式的最小值等于（    ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】由已知得，代入代数式即得变形为，再配方，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，代入代数式即得，得 ， ， ， ∵， ∴， ∴的最小值等于， 故选：C 【点睛】本题考查配方法的应用，通过变形将代数式化成是解题的关键 【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）若有理数使得二次三项式是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式．解题的关键是熟练掌握常数项等于一次项系数一半的平方．符合形式的式子叫完全平方式． 根据常数项等于一次项系数一半的平方建立方程，解方程即得． 【详解】∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型四】用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【例4】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 利用移项，添项，构成完全平方式进行整理即可． 【详解】解： 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到、的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ，， ， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，则方程可变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．先移项，再两边配上，写成完全平方公式即可． 【详解】解：， 移项得， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．配方法解一元二次方程，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】解：移项，得， 配方，得，即，. 开平方，得， 移项，得，． 【题型五】二次三项式的配方（二次项系数不为1） 【例5】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）关于x的二次三项式4x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．﹣12 B．±12 C．±6 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：关于的二次三项式， 它是一个完全平方式， ， 故选：B 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若一个关于x的多项式的完全平方是，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，把握公式有和差两种情形计算即可． 【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为 ． 【答案】9或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要， 根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】详解：∵， ， 解得9或， 故答案为9或． 【变式3】（22-23七年级下·江苏盐城·期末）若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】或 【分析】符合形式的式子叫完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【详解】解：∵关于的二次三项式是完全平方式， 又∵， ∴， ∴或， ∴的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查完全平方式，掌握完全平方式的特点是解题的关键． 【题型六】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【例6】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）解下列方程： (1)（用配方法） (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（1）根据配方法，配成完全平方求解即可； （2）先把移到左边，然后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：整理得， 配方得，即， ∴， ∴，； （2）解：， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的配方法和因式分解法是解决本题的关键． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1) (2) （配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解： 或 解得：，； （2）解： 或 解得：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】利用配方法解方程即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式3】（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）解下列方程： (1)解方程：．（用配方法） (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）用配方法解一元二次方程即可求解； （2）两边同时乘以最简公分母，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）， 两边同时乘以最简公分母，得 ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，正确的计算是解题的关键． 【题型七】一元二次方程的求根公式 【例7】（23-24九年级·江苏·假期作业）一元二次方程，其中较大的一个根为，下列最接近的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用求根公式解方程得到，，然后利用无理数的估算进行判断． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 而， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·江苏泰州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a2），BC＝2．以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F．下列哪条线段的长度是方程的一个根（  ） A．线段AE的长 B．线段BF的长 C．线段BD的长 D．线段DF的长 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出BF，利用求根公式解方程，比较即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴CD=AB=a 在Rt△BCD中，由勾股定理得，， ∴BF=， 解方程得， ∴线段BF的长是方程的一个根． 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·江苏镇江·期中）在关于x的一元二次方程中，a、b、c是有理数，且方程的一个根是，则方程的另一个根是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据求根公式比较再结合a、b、c是有理数即可发现规律． 【详解】∵关于x的一元二次方程的解为，，且a、b、c是有理数，且方程的一个根是 ∴当时，， 此时另一个解： ∴当时，， 此时另一个解： ∴方程的另一个根是． 故选：A 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，解此题的关键是根据a、b、c是有理数把求根根式的结果与已知解对应． 【变式3】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）解方程 (1) (2)（用求根公式求解） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 对于（1），根据因式分解法求出解即可； 对于（2），先求出，再根据求根公式求出解． 【详解】（1）解：整理，得， 因式分解，得， ∴或， 解得，； （2）解：， 由， ∵， ∴， 即． 【题型八】用公式法解一元二次方程 【例8】（21-22九年级上·江苏苏州·阶段练习）用公式法解x2 ＋ 3x - 1 = 0时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（    ） A．1，3，-1 B．1，-3，-1 C．-1，-3，-1 D．1，3，1 【答案】A 【分析】先把方程化为一般式，然后确定a、b、c的值． 【详解】解：方程化为一般式为x2+3x-1=0， 所以a=1，b=3，c=-1． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·江苏扬州·期末）若关于x的方程有两个不相等的正整数根，则整数m的值为 ． 【答案】-1 【分析】用公式法解方程，得出方程的解，根据有两个不相等的正整数根，求出整数m的值即可． 【详解】解：由题意可知：Δ＝（3﹣m）2﹣4m×（﹣3） ＝m2+6m+9＝（m+3）2≥0， ∴x＝， ∴x＝1或x＝﹣， 由方程有两个不相等的正整数根，可知：m＝﹣1， 故答案为：﹣1 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）用指定的方法解下列方程： (1)（用配方法解）； (2)（用公式法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算，是解题的关键． （1）先把移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可； （2）先求出的值，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解： ，，， ， ∴， ∴， ∴，． 【变式3】（2023九年级上·江苏·专题练习）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将方程化为一般形式，再代入公式法即可求解； （2）先将方程化为一般形式，再代入公式法即可求解． 【详解】（1）解：方程可化为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ （2）解：两边同时乘以10，方程最终可化为， ∴， ∴，   ∴， ∴． 【点睛】本题考查利用公式法求解一元二次方程．注意公式法的使用前提为：方程为的一般形式． 【题型九】一元二次方程的根的判别式 【例9】用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0时，计算b2﹣4ac的结果为（    ） A．17 B．14 C．11 D．8 【答案】A 【分析】根据公式法求解一元二次方程可进行求解． 【详解】解：由一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0可知：， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查公式法求一元二次方程，熟练掌握公式法是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：17 【变式2】（20-21九年级上·江苏·阶段练习）一元二次方程根的判别式的值为 ． 【答案】1 【分析】首先找出一元二次方程中，，，然后根据根的判别式计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，，， ， 故答案是：1． 【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式． 【变式3】（九年级上·江苏南通·期中）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1，求的值及该方程的根． 【答案】， 【分析】根据根的判别式的值为1，求出的值，再利用求根公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）或； ∴一元二次方程化为：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查根的判别式，公式法解一元二次方程．解题的关键是掌握根的判断式为． 【题型十】应用根的判别式判断方程根的情况 【例10】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．令，得到关于的一元二次方程，再根据根的判别式进行计算即可． 【详解】解：令， 则代入， 得， ， ， 解得， ， 则的最大值为，则的最大值为． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程，请你判断根的情况，并说明理由． 【答案】方程有两个不相等的实数根，见解析 【分析】根据方程的根的判别式，计算判断解答即可． 本题考查了根的判别式应用，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的一元二次方程， ∴， ∴， ， ， 故此方程有两个不相等的实数根． 【变式3】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知关于x的一元二次方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 计算一元二次方程根的判别式，通过配方法得出判别式大于等于0即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ； ∵不论m为何值， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根 【题型十一】已知方程根的情况确定字母系数的值或取值范围 【例11】（24-25九年级下·江苏南通·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式时，方程有两个相等的实数根． 根据题意可知该一元二次方程根的判别式，即，解出即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴其根的判别式， 即， 解得：． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．由方程有一个根为，将代入方程即可求出的值． 【详解】解：根据题意将代入方程得： ， 解得，． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的一元二次方程． (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求的值． 【答案】(1)方程有两个不相等的根 (2) 【分析】此题考查根的判别式及一元二次方程的解结合运用，解题关键在于通过判别式判断根的情况． （1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负判断根的情况即可； （2）将代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值． 【详解】（1）解：由题意可得： 故方程有两个不相等的根； （2）根据题意，将代入方程得： ∴． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． (2)当时，求方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了根的判别式及解一元二次方程公式法，熟知一元二次方程根的判别式及公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）将代入方程，并对所得方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴m的取值范围为； （2）解：当时，原方程为， ，， ∴ ∴，． 【题型十二】用因式分解法解一元二次方程 【例12】（24-25九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏常州·期中）一元二次方程的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用平方差公式法求解即可． 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： ， ， 【变式3】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式为，故或，即可作答． （2）先整理原式为，故或，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【题型十三】选择合适的方法解一元二次方程 【例13】（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程－公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ，； （2）解：， ， ， ∴，． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∴，． 【变式3】（22-23九年级上·江苏扬州·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接用公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，再提取公因式进行因式分解并计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：移项得：， 提取公因式得：， 或， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法主要有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选取合适简便的方法解方程是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）一元二次方程的两个实数根分别为（   ） A．1，2 B．， C．，2 D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，因式分解法进行解方程，每个因式为0进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴或， 解得或， 故选：B 2．（22-23九年级上·江苏连云港·期末）一元二次方程的两实数根都是整数，则下列选项中a可以取的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【分析】分别代入数值解方程，逐一判断即可解题． 【详解】解：当时，方程为，解得不是整数，故A选项不符合题意； 当时，方程为，解得不是整数，故B选项不符合题意； 当时，方程为，解得或是整数，故C选项符合题意； 当时，方程为，解得不是整数，故D选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握解一元二次方程的配方法是解题的关键． 利用配方法解一元二次方程，进行计算即可解答． 【详解】解： ， 移项得：， 配方得：， 即， 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程没有实数根，得到判别式小于，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 或 解得，． 故答案为：，． 6．（20-21八年级下·江苏扬州·期末）一元二次方程的根的情况是 ． 【答案】有两个相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由一元二次方程可得：， ∴， ∴一元二次方程的根的情况是有两个相等的实数根； 故答案为：有两个相等的实数根． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出二个满足题意的的值为 ． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出k的取值范围，再在范围内取值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴可以取值，， 故答案为：，1（答案不唯一）． 8．（23-24八年级下·江苏南通·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若此方程的两根均为正整数，则正整数m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了根的判别式以及求根公式． 利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到和3， 利用求根公式解方程得到，，然后利用（1）的范围可确定m的值． 【详解】解∶由题意得：且， ∴当和3时，原方程有两个不相等的实数根． ∵此方程的两根均为正整数，即， 解方程得，． ∴可取的正整数m的值为1． 故答案为：1． 三、解答题 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解： ∴ ∴； ∴ （2）解：∵， ∴； ∴． 10．（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法或因式分解法或公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法或公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：法1： ， ∴， ∴， ∴，． 法2：∵，，， ∴， ∴． ∴，． 法3：原式可化为， ∴或． ∴，． （2）解：法1：， ∴． ∴，． ∴，． 法2：， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴，． 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根； (2)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)，另一根为0 (2)详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先把代入方程，得，然后再把代入方程，求出，即可作答． （2）先求出，然后分析无论k取何值，，即可作答． 【详解】（1）解：把代入方程， 得 ∴； 把代入方程， 得， ∴， 即，另一根为0； （2）解：∵， ∴， ∵无论k取何值，， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“黄金方程”，理由见解析 (2)的最小值为． 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【详解】（1）解：是“黄金方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一元二次方程的解法 题型梳理 易错分析 易错点一 方程两边同时开平方，忽略被开方数互为相反数的情况致错 易错点二 将一元二次方程进行配方时移项不变号而致错 易错点三 配方时因两边加上一次项系数的平方致错 易错点四 未将一元二次方程化为一般形式就直接利用公式法解一元二次方程导致错误 易错点五 忽略二次项系数不等于0，从而导致字母系数的取值范围扩大 易错点六 方程两边约去相同因式,造成丢根 题型方法 题型一 解形如=p（p≥0）的方程 题型二 解形如=p(p≥0,m≠0) 的方程 题型三 二次三项式的配方（二次项系数为1） 题型四 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 题型五 二次三项式的配方（二次项系数不为1） 题型六 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 题型七 一元二次方程的求根公式 题型八 用公式法解一元二次方程 题型九 一元二次方程的根的判别式 题型十 应用根的判别式判断方程根的情况 题型十一 已知方程根的情况确定字母系数的值或取值范围 题型十二 用因式分解法解一元二次方程 题型十三 选择合适的方法解一元二次方程 知识清单 知识点1：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点3：配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 知识点4一元二次方程的解法（公式法） (1)公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1. 当时， 利用开平方法，得：， 即： 1. 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． (2)求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． (3)用公式法解一元二次方程一般步骤 1. 把一元二次方程化成一般形式（）； 1. 确定a、b、c的值； 1. 求出的值（或代数式）； 1. 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． (4)根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． （5）根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 知识点5：因式分解法（重难点） （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 易错分析 【易错点一】方程两边同时开平方，忽略被开方数互为相反数的情况致错 【例1】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）老师出示问题：“解方程，”四位同学给出了以下答案： 甲；乙；丙；丁，． 下列判断正确的是（    ） A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．丁正确 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）方程的解是 ． 【变式2】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）解方程： (1)； (2)． 【易错点二】将一元二次方程进行配方时移项不变号而致错 【例2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若方程的两根为：，，则方程的两根为 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)； 【变式3】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【易错点三】配方时因两边加上一次项系数的平方致错 【例3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）若将一元二次方程化为的形式，则 ． 【变式2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）解方程： (1) (2) 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）用配方法解方程：． 【易错点四】未将一元二次方程化为一般形式就直接利用公式法解一元二次方程导致错误 【例4】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程 (1) (2) 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2)（公式法） 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【易错点五】忽略二次项系数不等于0，从而导致字母系数的取值范围扩大 【例5】（22-23九年级上·江苏扬州·期中）关于x的方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【举一反三】【变式1】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数n的值． 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围． (2)若整数， 且两个实数根中有一个根是整数，求k 的值． 【易错点六】方程两边约去相同因式,造成丢根 【例6】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）小白同学解方程的过程如下框： 解：两边同除以，得， 则． 你认为小白同学的解法是否正确？若正确请打“√”；错误请打“×”，并写出你的解答过程． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）小明与小华两位同学解一元二次方程的过程如下框： 小明： 两边同除以得 ． 则． 小华： 移项，得． 提取公因式，得． 则或． 解得，． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 小明的解法_____，小华的解法_____．（填“正确”或者“不正确”） (2) 请你选择合适的方法解一元二次方程． 【变式2】（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下： 嘉嘉： 两边同除以，得 ， 则． 淇淇： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得． (1)嘉嘉的解法_______；淇淇的解法_______；（填“正确”或“不正确”） (2)请你选择合适的方法尝试解一元二次方程． 【变式3】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）小丽与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小丽： 解：两边同除以， 得： ∴ 判断：_________ 小芳： 解： 或 ∴， 判断：_________ 你的解答： 解： 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内横线上打“√”；若错误请在框内打横线上“×”，并在右边的方框内写出你的解答过程． 题型方法 【题型一】解形如=p（p≥0）的方程 【例1】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）一元二次方程的根为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的根是（   ） A． B． C．， D． 【变式2】（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）方程的解是 【变式3】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ． 【题型二】解形如=p(p≥0,m≠0) 的方程 【例2】（23-24九年级上·江苏常州·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）用配方法解一元二次方程式，小马得到了方程的一个解为，则另一个解等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）方程的解是 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是 ． 【题型三】二次三项式的配方（二次项系数为1） 【例3】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）若二次三项式是一个完全平方式，则的值为（    ） A．6 B． C． D．12 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏镇江·期中）已知实数满足，则代数式的最小值等于（    ） A．1 B． C． D．无法确定 【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）若有理数使得二次三项式是一个完全平方式，则 ． 【变式3】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【题型四】用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【例4】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，则方程可变形为 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程． 【题型五】二次三项式的配方（二次项系数不为1） 【例5】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）关于x的二次三项式4x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．﹣12 B．±12 C．±6 D．6 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若一个关于x的多项式的完全平方是，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为 ． 【变式3】（22-23七年级下·江苏盐城·期末）若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为 ． 【题型六】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【例6】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）解下列方程： (1)（用配方法） (2) 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1) (2) （配方法） 【变式2】（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）解方程：． 【变式3】（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）解下列方程： (1)解方程：．（用配方法） (2)． 【题型七】一元二次方程的求根公式 【例7】（23-24九年级·江苏·假期作业）一元二次方程，其中较大的一个根为，下列最接近的范围是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·江苏泰州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a2），BC＝2．以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F．下列哪条线段的长度是方程的一个根（  ） A．线段AE的长 B．线段BF的长 C．线段BD的长 D．线段DF的长 【变式2】（22-23九年级上·江苏镇江·期中）在关于x的一元二次方程中，a、b、c是有理数，且方程的一个根是，则方程的另一个根是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式3】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）解方程 (1) (2)（用求根公式求解） 【题型八】用公式法解一元二次方程 【例8】（21-22九年级上·江苏苏州·阶段练习）用公式法解x2 ＋ 3x - 1 = 0时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（    ） A．1，3，-1 B．1，-3，-1 C．-1，-3，-1 D．1，3，1 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·江苏扬州·期末）若关于x的方程有两个不相等的正整数根，则整数m的值为 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）用指定的方法解下列方程： (1)（用配方法解）； (2)（用公式法）． 【变式3】（2023九年级上·江苏·专题练习）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【题型九】一元二次方程的根的判别式 【例9】用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0时，计算b2﹣4ac的结果为（    ） A．17 B．14 C．11 D．8 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）一元二次方程根的判别式的值是 ． 【变式2】（20-21九年级上·江苏·阶段练习）一元二次方程根的判别式的值为 ． 【变式3】（九年级上·江苏南通·期中）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1，求的值及该方程的根． 【题型十】应用根的判别式判断方程根的情况 【例10】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知x，y满足，则的最大值为 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程，请你判断根的情况，并说明理由． 【变式3】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知关于x的一元二次方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根． 【题型十一】已知方程根的情况确定字母系数的值或取值范围 【例11】（24-25九年级下·江苏南通·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若是方程的一个根，则的值为___________． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的一元二次方程． (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求的值． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． (2)当时，求方程的解． 【题型十二】用因式分解法解一元二次方程 【例12】（24-25九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏常州·期中）一元二次方程的根为 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【变式3】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）解下列方程： (1) (2) 【题型十三】选择合适的方法解一元二次方程 【例13】（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程： (1)； (2)． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式3】（22-23九年级上·江苏扬州·期末）解下列方程： (1)； (2)． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）一元二次方程的两个实数根分别为（   ） A．1，2 B．， C．，2 D．， 2．（22-23九年级上·江苏连云港·期末）一元二次方程的两实数根都是整数，则下列选项中a可以取的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 3．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）方程的解为 ． 6．（20-21八年级下·江苏扬州·期末）一元二次方程的根的情况是 ． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出二个满足题意的的值为 ． 8．（23-24八年级下·江苏南通·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若此方程的两根均为正整数，则正整数m的值为 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1) (2) 10．（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程： (1)； (2)． 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根； (2)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$