第01讲 一元二次方程（知识清单+易错+4必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版）

第01讲 一元二次方程 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略二次项系数不为0的条件而致错 题型方法 题型一 一元二次方程的概念 题型二 一元二次方程的一般形式 题型三 一元二次方程的解 题型四 建立一元二次方程的模型 知识清单 知识点1一元二次方程的定义（重点） （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2一元二次方程的一般形式（重点） （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3一元二次方程的解（重点） （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 易错分析 【易错点一】忽略二次项系数不为0的条件而致错 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【变式3】（20-21九年级上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程有一个解为0，试求的值． 题型方法 【题型一】一元二次方程的概念 【例1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级上·江苏·专题练习）在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【题型二】一元二次方程的一般形式 【例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·江苏徐州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　） A．0 B．±3 C．3 D．-3 【变式3】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式是 ； ， ， ． 【题型三】一元二次方程的解 【例3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知是方程的一个解，则实数c的值为（   ） A． B． C．2 D．6 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）已知方程的一个根为，则的值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若是一元二次方程的一个根，则 ． 【题型四】建立一元二次方程的模型 【例4】（21-22八年级下·江苏南通·期末）一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则经过三轮传染后患流感的人数共有（    ） A．7人 B．49人 C．121人 D．512人 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某药品原价60元/盒，降价两次后，现在售价元/盒，则该药品平均降价率是 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）在某校运动会入场式的彩排中，国旗护卫队的20名学生排成了4行5列的矩形方阵，为了表演的需要，又增加了22名学生，与之前的学生一起排成一个新的矩形方阵．与原方阵相比，新方阵增加的行数和增加的列数相同．求新方阵增加了多少列？ 【变式3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）泰州蟹黄汤包享誉全国，某饭店销售旺季平均每天卖300份蟹黄汤包礼盒，卖出1份礼盒的利润是23元．如果每份礼盒的售价下降1元，那么平均每天多卖出20份． (1)如果每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为_____元，平均每天可卖出礼盒____份（结果用含的代数式表示）； (2)每份礼盒售价下降多少元时，该饭店每天获得的利润是6720元？ 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．6 D． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）将一元二次方程化为的形式，其常数项是（   ） A．15 B． C．14 D． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）我国经过多年坚持不懈地植树造林，到年底全国森林覆盖率为．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，继续大力发展植树造林，至年底全国森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）目前，新能源汽车在中国市场已进入快速普及阶段，某企业2024年的电动汽车销量是20万辆，计划在两年内使电动汽车的年销量达到40万辆，设在这两年中销量的年平均增长率为，则可列方程 ． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为 ． 三、解答题 10．（21-22九年级上·江苏镇江·期中）解下列方程 (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 11．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）先化简再求值：，其中a是方程的根． 12．（21-22九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足b＝+3，求c的值． 13．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）已知m为方程的根，求的值． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． (1)求商家购买A书籍和B书籍的进价； (2)商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？ 15．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）为了丰富市民的文化生活，我市某湿地自然保护区特推出了如下门票收费标准： 标准一：如果人数不超过20人，门票价格70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元/人． (1)若我校组织28名师生去该湿地自然保护区旅游，购买门票共需费用多少元？ (2)若我校共支付该湿地自然保护区门票费用共计1500元，试求我校这次共有多少名师生去该湿地自然保护区旅游？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一元二次方程 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略二次项系数不为0的条件而致错 题型方法 题型一 一元二次方程的概念 题型二 一元二次方程的一般形式 题型三 一元二次方程的解 题型四 建立一元二次方程的模型 知识清单 知识点1一元二次方程的定义（重点） （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2一元二次方程的一般形式（重点） （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3一元二次方程的解（重点） （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 易错分析 【易错点一】忽略二次项系数不为0的条件而致错 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程， 故即， 故选D． 【举一反三】【变式1】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入关于的一元二次方程中得，且，解出的值即可． 【详解】解：由题意，得且， 或，且， ， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出且，再求出答案即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：1． 【变式3】（20-21九年级上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程有一个解为0，试求的值． 【答案】1 【分析】据方程根的意义，把x=0代入方程得到关于m的方程，求出m的值再代入到2m-1中，问题可解． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为0， ∴， ∴m=±1， ∵m+1≠0， ∴m=1， ∴2m-1=2-1=1． 【点睛】此题考查一元二次方程的概念和方程根的概念．其易错点是对于一般形式的一元二次方程，要注意． 题型方法 【题型一】一元二次方程的概念 【例1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴， 故选：． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程；根据概念进行判断即可． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不符合题意； B、方程不是整式方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的概念，符合题意； D、方程的次数不是2次，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2024九年级上·江苏·专题练习）在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：①，是一元二次方程，故本小题正确； ②时是一元二次方程，故本小题错误； ③，整理后得，即是一元二次方程，故本小题符合题意； ④，是一元二次方程，故本小题符合题意． 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住：化简后的方程：含有“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断即可． 【详解】解：A、未知数最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B、只有当时，才是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【题型二】一元二次方程的一般形式 【例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式：，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·江苏徐州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　） A．0 B．±3 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，解题关键是理解一元二次方程的一般形式，将一元二次方程化为一般式，根据不含一次项可得一次项系数为0，求解即可． 【详解】解：方程化为一般形式为： 由题意可得： 解得 故选：C 【变式3】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式是 ； ， ， ． 【答案】 1 【分析】先移项，把方程化为，从而可得各项的系数． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 故答案为：，1，，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一元二次方程的各项系数，熟记基本概念是解本题的关键． 【题型三】一元二次方程的解 【例3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知是方程的一个解，则实数c的值为（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，将代入原方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得到关于m的方程解题即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）已知方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】此题主要考查由一元二次方程的根求代数式的值．首先将代入方程，得出，然后转换所求代数式即可得解． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴，即， ∴， 故答案为：2024． 【变式3】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若是一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 把代入一元二次方程，可得，然后代入原式计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为：2025． 【题型四】建立一元二次方程的模型 【例4】（21-22八年级下·江苏南通·期末）一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则经过三轮传染后患流感的人数共有（    ） A．7人 B．49人 C．121人 D．512人 【答案】D 【分析】设每轮传染中平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有(x+1)人患流感，第二轮共有[x+1+(x+1)x]人，即64人患了流感，由此列方程求出x，再据此即可求得经过三轮传染后患流感的总人数． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 根据题意得：1+x+x(1+x)=64， 整理得，(x+1)2=64， 解得x=7或x=−9(舍去)， 故每轮传染中平均一个人传染了7人， 则经过三轮传染后患流感的人数为：(人)， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程，关键是得到两轮传染人数的数量关系，从而可列方程求解． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某药品原价60元/盒，降价两次后，现在售价元/盒，则该药品平均降价率是 ． 【答案】 【分析】设该药品每次的降价率是x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，检验后可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设该药品每次的降价率是x， 依题意，得：， 解得：（舍去）， 答：该药品每次的降价率是， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）在某校运动会入场式的彩排中，国旗护卫队的20名学生排成了4行5列的矩形方阵，为了表演的需要，又增加了22名学生，与之前的学生一起排成一个新的矩形方阵．与原方阵相比，新方阵增加的行数和增加的列数相同．求新方阵增加了多少列？ 【答案】新方阵增加了2列 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设新方阵增加了列．根据新方阵增加的行数和增加的列数相同，再建立方程求解即可． 【详解】解：设新方阵增加了列． 根据题意，得． 整理，得． 解这个方程，得（不合题意，舍去），． 答：新方阵增加了2列． 【变式3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）泰州蟹黄汤包享誉全国，某饭店销售旺季平均每天卖300份蟹黄汤包礼盒，卖出1份礼盒的利润是23元．如果每份礼盒的售价下降1元，那么平均每天多卖出20份． (1)如果每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为_____元，平均每天可卖出礼盒____份（结果用含的代数式表示）； (2)每份礼盒售价下降多少元时，该饭店每天获得的利润是6720元？ 【答案】(1)， (2)每份礼盒售价下降9元时，该饭店每天获得的利润为6720元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）设每份礼盒售价下降x元时，根据题意得到方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为元， 平均每天可卖出礼盒份； （2）解：设每份礼盒售价下降x元， 根据题意可得：， 解得：（负值舍去） 故每份礼盒售价下降9元时，该饭店每天获得的利润为6720元． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：含有一个未知数，且未知数的次数为的整式方程， ，是一元二次方程，故选项A符合题意； ，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； ，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； ，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； 故选A． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解． 【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是； 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．将代入，再求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入， 得， 解得：， 故选：A． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）将一元二次方程化为的形式，其常数项是（   ） A．15 B． C．14 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键是熟知一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是一次项，为常数项．先移项将一元二次方程化为一般式，再找出常数项即可． 【详解】解： ∴ ∴ 常数项是 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）我国经过多年坚持不懈地植树造林，到年底全国森林覆盖率为．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，继续大力发展植树造林，至年底全国森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年森林覆盖率的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这两年森林覆盖率的年平均增长率为， 由题意得， 故选：． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程的解求参数．一元二次方程的一个根是，把代入一元二次方程中，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根是， ， 解得： 故答案为： ． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，先把把代入，得，则，即可作答． 【详解】解：把代入， 得， 则， 则， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）目前，新能源汽车在中国市场已进入快速普及阶段，某企业2024年的电动汽车销量是20万辆，计划在两年内使电动汽车的年销量达到40万辆，设在这两年中销量的年平均增长率为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，解题的关键是理解年平均增长率的含义，并根据其列出相应的方程． 根据初始销量，年平均增长率与增长后的销量之间的关系，结合题目中给定的2024年销量和计划达成的销量列出方程． 【详解】根据题意得：． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解一元二次方程的几何解法是解题关键．先得出小刚构造的大正方形的面积、四个矩形的长与宽、中间小正方形的边长，再根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4建立方程，解方程即可得． 【详解】解：关于的方程可转化为，即， 则小刚构造的大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，其中矩形的长为、宽为，中间小正方形的边长为， ∵小刚构造的大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴，， ∴， 解得， 则关于的方程的正数解为， 故答案为：． 三、解答题 10．（21-22九年级上·江苏镇江·期中）解下列方程 (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将方程进行移项配方得，开方计算即可得； （2）将方程移项得，则，，，进行解答即可得； （3）将方程进行去括号移项得，再因式分解得，即可得； （4）将方程进行去括号移项得，再因式分解得，即可得． 【详解】（1）解： ， ，． （2）解： ，， ，． （3）解： ，． （4）解： ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． 11．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）先化简再求值：，其中a是方程的根． 【答案】，． 【分析】先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把化为，再整体代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，一元二次方程的解的含义，掌握“分式的混合运算以及整体代入法求值”是解本题的关键． 12．（21-22九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足b＝+3，求c的值． 【答案】-5 【分析】先根据二次根式有意义的条件得到a-2≥0，a-2≤0，解得a=2，则可计算出b=3，再根据一元二次方程解的定义得到a+b+c=0，然后把a和b的值代入即可求出c的值． 【详解】解：∵a、b满足b＝+3， ∴a-2≥0，a-2≤0， ∴a=2， ∴b=3， ∵一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1， ∴a+b+c=0， ∴2+3+c=0， ∴c=-5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了二次根式有意义的条件． 13．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）已知m为方程的根，求的值． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后利用降次的方法对原式进行化简即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． (1)求商家购买A书籍和B书籍的进价； (2)商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？ 【答案】(1)商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元 (2)29元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元，根据购买书籍的数量是书籍的2倍建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本，根据利润（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量建立方程，解方程求出的值，再根据要促进书籍的销量，选择较小的值即可得． 【详解】（1）解：设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则， 答：商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元． （2）解：设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵要促进书籍的销量， ∴， 答：每本书籍的售价为29元． 15．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）为了丰富市民的文化生活，我市某湿地自然保护区特推出了如下门票收费标准： 标准一：如果人数不超过20人，门票价格70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元/人． (1)若我校组织28名师生去该湿地自然保护区旅游，购买门票共需费用多少元？ (2)若我校共支付该湿地自然保护区门票费用共计1500元，试求我校这次共有多少名师生去该湿地自然保护区旅游？ 【答案】(1)购买门票共需费用1540元 (2)共有25名师生去该湿地自然保护区旅游 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出算式和方程是解题的关键． （1）先计算出按照标准2每张门票的费用，若小于54，则每张门票价格为55元，若不小于55，则每张门票的费用为计算的结果，据此求出总费用即可； （2）设我校这次共有x名师生去该湿地自然保护区旅游，可求出，据此根据标准后表示出每张门票的费用，进而根据总费用为1500元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴每张门票的价格为55元， ∴总费用为元， 答：购买门票共需费用1540元； （2）解：设我校这次共有x名师生去该湿地自然保护区旅游， ∵， ∴， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：共有25名师生去该湿地自然保护区旅游． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$