第03讲 实际问题与一元二次方程（知识清单+6必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（人教版）

第03讲 实际问题与一元二次方程 题型梳理 题型方法 题型一 传播问题 题型二 循环问题 题型三 数字问题 题型四 平均变化率问题 题型五 销售问题 题型六 几何图形面积问题 知识清单 知识点1：列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 题型4：利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 题型6：传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型方法 【题型一】传播问题 【例1】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡，与全组共送贺卡90张，据此列出关于x的一元二次方程即可解答． 【详解】解：设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡， 依题意得：． 故选A． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，准确理解题意是解题的关键．设这种植物每个支干长出x个小分支，根据每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，列方程即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得， 故答案为： 【变式2】（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)7 (2)512 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）设每轮传染中平均每人传染了人， 或(舍去)． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人； （2）(人． 答：第三轮感染后，患流感的共有512人 【变式3】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 【题型二】循环问题 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）有人参加了一次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手66次，则可以列出关于的方程： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据每两人都握手一次手，有人共握手66次，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）某市第四中学将组织一次八年级篮球联赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），恰好需要打场比赛，问共有多少支球队参加比赛？ 【答案】有支球队参加比赛 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设应邀请支球队参加比赛，根据计划安排171场比赛，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】设有支球队参加比赛，由题意得， ， 解得， 又 有支球队参加比赛． 【变式3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 【答案】初中组共有支球队参加比赛． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设初中组有支球队参赛，利用比赛总场数参赛球队数参赛球队数，即可得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】设有支球队参赛，则每个队参加场比赛， 则共有场比赛， 由题意得， 整理得： 即 解得：或（舍去） 答：初中组共有支球队参加比赛． 【题型三】数字问题 【例3】（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（  ） A．6 B．7 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个最大的数为，则最小的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个最大的数为，则最小的数为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这个最大的数为16． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，用含的代数式把这个两位数表示出来为，根据十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，可列方程，解方程求出的值，再把这个两位数表示出来即可． 【详解】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， 这个两位数为， 又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为： ． 【变式2】（24-25九年级上·吉林松原·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴周瑜去世的年龄为岁， 【变式3】（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 【题型四】平均变化率问题 【例4】（24-25九年级下·重庆江津·期中）在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握利用增长率和减少率列一元二次方程是解题的关键．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则年初为，年初为，即可解答． 【详解】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为， 根据题意，得；， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）某汽车销售4S店10月份销售某型号新能源汽车20辆，由于该型号汽车优越的经济适用性，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．设该4S店销售该型号汽车11月份和12月份的平均增长率为，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用12月份该公司销售该型号汽车的数量10月份该公司销售该型号汽车的数量（增长率），即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）某个体户网上直播出售当地土特产，第一天收到40份下单，第三天收到90份下单． (1)已知第二天、第三天收到下单的平均增长率相同，求第二天和第三天下单的平均增长率； (2)已知第四天下单增长率不变，求第四天能收到多少份下单． 【答案】(1) (2)135 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程再求解． （1）设第二天和第三天下单的平均增长率为，则第三天的下单量为元，根据第三天的单量为90份，建立方程求出的值即可； （2）根据第四天的单量第三天的单量（增长率）求解即可． 【详解】（1）解：设第二天和第三天下单的平均增长率为． ， （舍），， ， 答：第二天和第三天下单的平均增长率为． （2）解：（份） 答：第四天能收到135份下单． 【变式3】（24-25九年级上·山东聊城·期末）在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． (1)求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； (2)若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车的销量是多少？ 【答案】(1)2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为 (2)估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x， 2024年新能源汽车年销售量为万辆，据此列出方程并解方程即可解决． （2）根据（1）中所求增长率计算求出即可． 【详解】（1）解：设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，由题意得， ， 解得：（不合题意舍去） 答：2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为． （2）解：若增长率保持不变为，估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆， 答：估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆． 【题型五】销售问题 【例5】（24-25九年级上·山东聊城·期末）葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用总利润=每千克的销售利润×一天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为， 故选：D 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设降价元，根据题意列出方程求出即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设降价元， 由故意得，， 整理得，， 解得，， ∵要让顾客得实惠， ∴， ∴应将销售单价定为元， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·期中）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情滞销该店采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若该商品经过两次降价后，每件可以获得的利润是元，求这两次降价的平均降价率是多少？ (2)经调查，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．若该商店每天预期销售利润为1232元，则每件商品应降价多少元？ 【答案】(1) (2)若该商店每天销售利润为1232元，每件商品可降价12元 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设这两次平均降价率是，再根据题意列式计算即可； （2）设每件商品降价x元，则每件盈利元，平均每天可售出件，再根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设这两次平均降价率是， 根据题意可得：， 解得：或（舍）， 答：这两次降价的平均降价率是． （2）解：设每件商品降价x元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴， 答：若该商店每天销售利润为1232元，每件商品可降价12元． 【变式3】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． (1)若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克樱桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)①每千克樱桃应降价4元或6元；②该店应按原售价的9折出售 (2)不可以达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）①设每千克樱桃应降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可； ②为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折． （2）设每千克樱桃应降价y元，利用销售量×每件利润=2400元列出方程，化简为一元二次方程一般式，利用根的判别式即可判断． 【详解】（1）①解：设每千克樱桃应降价x元，根据题意，得： ， 解得  ，， 答：每千克樱桃应降价4元或6元； ②由（1）可知每千克樱桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克樱桃应降价6元． 此时，售价为（元）， ∴． 故答案是：9． （2）设每千克樱桃应降价y元，根据题意，得： ， 即， ∵， ∴原方程没有实根． 答：该专卖店销售这种樱桃平均每天获利不可以达到2400元． 【题型六】几何图形面积问题 【例6】（24-25九年级上·四川成都·期末）在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是(   )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形的面积=矩形的长矩形的宽．根据题意可知：矩形挂图的长为，宽为；则运用面积公式列方程即可． 【详解】解：挂图长为，宽为， 所以根据矩形的面积公式可得： 故选： 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）在一幅长为，宽为的矩形挂画四周镶上相同宽度的金色纸边，设金色纸边的宽为，如果要使镶边后整个挂画的面积是，那么满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽为，根据整个挂图的面积是列出方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽为， 根据题意得：， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个矩形场地，若垂直于墙的一边长为，它的面积为． (1)求矩形的面积与的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）； (2)当长为时，求矩形场地的面积． 【答案】(1)， (2)当长为时，矩形场地的面积为 【分析】此题主要考查了二次函数的关系式的确定和求函数值，关键是根据长方形的面积公式列出函数关系式． （1）先利用长方形的面积公式列出二次函数关系式即可； （2）当时，代入二次函数关系式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得； （2）解：当时，， 答：当长为时，矩形场地的面积为． 【变式3】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）在一块长、宽的矩形荒地上，要建一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小红和小星的设计方案． 小红说：我的设计方案如图①，其中花园四周小路的宽度相等，若设四周小路的宽度为，列出方程可以求解； 小星说：我的设计方案如图②，其中花园中小路的宽度相等，若设小路的宽度为，列出方程可以求解． 请你选择上述其中一种方案，求出相应小路的宽． 【答案】如果选择①，四周小路的宽为，如果选择②，四周小路的宽为，详见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据花园所占面积为荒地面积的一半列出方程，即可求解，根据面积得到相应的关系式是解决本题的关键． 【详解】如果选择①： 设四周小路的宽度为， 依题意，得， 整理，得， ∴， ∴，（不合题意，舍去） 答：四周小路的宽度为， 如果选择②： 设小路的宽度为， 依题意，得， 整理，得， ∴， ∴，（不合题意，舍去） 答：小路的宽度为． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北唐山·期中）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这两个奇数分别为，由题意得方程，求得n的值，即可求得这两个奇数的和． 【详解】解：设这两个奇数分别为， 由题意得：， 即， 解得：， 而， 故两个奇数和为：或28； 故选：D． 2．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 故每个支干长出个小分支， 故选：C． 3．（24-25八年级下·北京·期中）我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年10月新能源汽车销量约为万辆，2024年12月新能源汽车销量约为万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平均增长率问题，正确列方程解答是解题的关键．设新能源汽车销量的月平均增长率为，根据题意，得，解答即可． 【详解】解：设新能源汽车销量的月平均增长率为，根据题意，得， 故选：C． 4．（24-25九年级上·山东济宁·期中）扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度，设花带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程与图形问题．找到各图形面积之间的等量关系是解题关键． 种花区域矩形空地面积，剩下区域矩形空地面积，据此即可求解． 【详解】解：观察图形可知，剩下区域为规则的矩形，其长为，宽为， ∵种花区域矩形空地面积 ∴剩下区域矩形空地面积， ∴． 故选：D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·黑龙江鹤岗·期中）某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（营销问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设该小家电每个定价是元，根据“每个利润销量总利润”可得，解方程即可求出的值，再结合“定价不得超过55元”，即可得出答案． 【详解】解：设该小家电每个定价是元， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，， 定价不得超过55元， ， 即：该小家电每个定价是元， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数），即可列出关于一元二次方程． 【详解】解：设参加比赛的队伍共有支，根据题意得： ． 故答案为： ． 7．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 人． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每轮传染中，平均一个人传染了人，根据“感染1个人，此人未被有效隔离，经过两轮传染后共有121名感染者”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设平均一个人传染了个人，根据题意得， 解得，，（舍去） 所以，平均一个人传染了10个人， 故答案为：10． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．则该包装盒图中的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意表示出长方体的长和宽，进而表示出长方体的体积即可．再解得或，本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程的应用，正确表示长方体的棱长是解题的关键． 【详解】解：由题意得：长方体的长为 ，宽为 则根据题意 ， 整理得：； 解得或， 故答案为：或 三、解答题 9．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】第四轮传染后共有7056人患流感 【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患了流感，可求出x，进而求出第四轮过后，又被感染的人数． 本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：， 故， ∴或， ∴，（不合题意，舍去）， （人）． 答：第四轮传染后共有7056人患流感． 10．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件． (1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？ 【答案】(1)平均下降率为 (2)单价应降低元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设平均下降率为，根据平均下降率的等量关系，列出等量关系，进行求解即可； （2）设单价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设平均下降率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：平均下降率为． （2）设单价应降低元，由题意，得：， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴； 答：单价应降低元． 11．（24-25八年级下·浙江温州·期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：不能，见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙最长可利用，舍掉不符合题意的数据． 任务1：根据可以砌长的墙的材料，即总长度是，，则，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可； 任务2：利用根的判别式进行判断即可． 【详解】任务1：解：设的长为米， 由题意，得， 解得，（舍去）， 所以， 任务2：解：由题意得， 方程无解， 不能围成的长方形菜园． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）某景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少． (1)设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a ①____________ ②____________ (2)求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率； (3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件．若商家想要达到日利润432元，为尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 【答案】(1)填表见解析 (2) (3)每件售价应定为52元 【分析】（1）先根据增长的情况，计算出五月份的人数，再计算出六月份的人数即可； （2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为，根据四月份人数和六月份的人数列出方程求解即可； （3）设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，根据商家想要达到日利润432元，列出方程求解即可． 本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵该景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了，且该景区4月份的游客人数为万人， ∴该景区5月份的游客人数为万人， ∴6月份的游客人数为万人． ∴五月的人数为万人，六月的人数为万人； 填表如下： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a （2）解：设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为； （3）解：设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵为尽快销售完该款商品 ∴． 答：每件售价应定为52元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 实际问题与一元二次方程 题型梳理 题型方法 题型一 传播问题 题型二 循环问题 题型三 数字问题 题型四 平均变化率问题 题型五 销售问题 题型六 几何图形面积问题 知识清单 知识点1：列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 题型4：利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 题型6：传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型方法 【题型一】传播问题 【例1】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程 ． 【变式2】（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【变式3】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【题型二】循环问题 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）有人参加了一次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手66次，则可以列出关于的方程： ． 【变式2】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）某市第四中学将组织一次八年级篮球联赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），恰好需要打场比赛，问共有多少支球队参加比赛？ 【变式3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 【题型三】数字问题 【例3】（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（  ） A．6 B．7 C．14 D．16 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 【变式2】（24-25九年级上·吉林松原·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【变式3】（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【题型四】平均变化率问题 【例4】（24-25九年级下·重庆江津·期中）在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）某汽车销售4S店10月份销售某型号新能源汽车20辆，由于该型号汽车优越的经济适用性，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．设该4S店销售该型号汽车11月份和12月份的平均增长率为，根据题意可列方程为 ． 【变式2】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）某个体户网上直播出售当地土特产，第一天收到40份下单，第三天收到90份下单． (1)已知第二天、第三天收到下单的平均增长率相同，求第二天和第三天下单的平均增长率； (2)已知第四天下单增长率不变，求第四天能收到多少份下单． 【变式3】（24-25九年级上·山东聊城·期末）在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． (1)求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； (2)若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车的销量是多少？ 【题型五】销售问题 【例5】（24-25九年级上·山东聊城·期末）葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为 元． 【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·期中）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情滞销该店采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若该商品经过两次降价后，每件可以获得的利润是元，求这两次降价的平均降价率是多少？ (2)经调查，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．若该商店每天预期销售利润为1232元，则每件商品应降价多少元？ 【变式3】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． (1)若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克樱桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2) 在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由． 【题型六】几何图形面积问题 【例6】（24-25九年级上·四川成都·期末）在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是(   )    A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）在一幅长为，宽为的矩形挂画四周镶上相同宽度的金色纸边，设金色纸边的宽为，如果要使镶边后整个挂画的面积是，那么满足的方程是 ． 【变式2】（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个矩形场地，若垂直于墙的一边长为，它的面积为． (1)求矩形的面积与的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）； (2)当长为时，求矩形场地的面积． 【变式3】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）在一块长、宽的矩形荒地上，要建一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小红和小星的设计方案． 小红说：我的设计方案如图①，其中花园四周小路的宽度相等，若设四周小路的宽度为，列出方程可以求解； 小星说：我的设计方案如图②，其中花园中小路的宽度相等，若设小路的宽度为，列出方程可以求解． 请你选择上述其中一种方案，求出相应小路的宽． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北唐山·期中）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 2．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·北京·期中）我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年10月新能源汽车销量约为万辆，2024年12月新能源汽车销量约为万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东济宁·期中）扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度，设花带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·黑龙江鹤岗·期中）某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是 元． 6．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，可列方程 ． 7．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 人． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．则该包装盒图中的值为 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 10．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件． (1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？ 11．（24-25八年级下·浙江温州·期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）某景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少． (1)设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a ①____________ ②____________ (2)求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率； (3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件．若商家想要达到日利润432元，为尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$