第02讲 解一元二次方程（知识清单+4易错+11必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（人教版）

第02讲 解一元二次方程 题型梳理 易错分析 易错点一 已知根与系数的关系求字母系数的值时，忽视Δ≥0 而出错 易错点二 方程两边同时开平方,忽略被开方数互为相反数的情况致错 易错点三 在配方时忽视等式的性质而致错 易错点四 在用公式法时未将方程化为一般形式而出错 题型方法 题型一 一元二次方程根与系数的关系 题型二 利用根与系数的关系确定字母的值或取值范围 题型三 解形如=p(p≥0) 的方程 题型四 解形如=p(m≠0,p≥0) 的方程 题型五 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 题型六 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 题型七 一元二次方程根的判别式 题型八 一元二次方程的求根公式 题型九 公式法解一元二次方程 题型十 用因式分解法解一元二次方程 题型十一 用合适的方法解一元二次方程 知识清单 知识点1：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点3：配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 知识点4：一元二次方程的解法（公式法） 一、公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 二、求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 4、 根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 五、根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 知识点5：因式分解法（重难点） （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点6：一元二次方程根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ． 那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系． 易错分析 【易错点一】已知根与系数的关系求字母系数的值时，忽视Δ≥0 而出错 【例1】（20-21九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程的两根为，且，求m的值． 嘉佳的解题过程如下： 【解】， ， 整理，得， 解得． 嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·北京·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． 若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【变式2】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知一元二次方程有两个根分别为，．若，满足，求m的值． 【变式3】（24-25九年级上·福建厦门·期中）若关于的方程有两个实数根，设，是方程的两个根，且，求的值． 【易错点二】方程两边同时开平方,忽略被开方数互为相反数的情况致错 【例2】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）关于x的一元二次方程的解是 ． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）解方程：． 【变式2】（24-25九年级上·吉林·期中）解方程: ． 【变式3】（23-24九年级上·吉林白山·期末）用适当的方法解方程： 【易错点三】在配方时忽视等式的性质而致错 【例3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）将方程化成的形式是 ． 【变式2】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）解方程：． 【变式3】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【易错点四】在用公式法时未将方程化为一般形式而出错 【例4】（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）用公式法解方程，得到（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河北·期中）阅读材料，并回答问题： 嘉淇在学习一元二次方程时，解方程 的过程如下： 解：∵，， ∴ ∴此方程无解． 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误 （填序号）； (2)请写出正确的解答过程． 【变式2】（22-23九年级上·山西运城·阶段练习）（1）解方程：． （2）小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 解：∵，，，    第一步 ∴，    第二步 ∴，        第三步 ∴，．    第四步 ①小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________________． ②写出此题正确的解答过程． 【变式3】（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如图所示. (1)小明的解答过程是从第___________步开始出错的，其错误的原因是___________； (2)请你写出此题正确的解答过程. 题型方法 【题型一】一元二次方程根与系数的关系 【例1】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A．1 B．6 C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东泰安·期中）关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根 ． 【变式3】（23-24九年级上·广西河池·期末）已知三角形的一边，另两边长恰好是关于的方程的两个根，且．求的周长． 【题型二】利用根与系数的关系确定字母的值或取值范围 【例2】（24-25九年级下·广西玉林·期中）已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，，若，则k的值为 ． 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程 (1)若方程总有两个实数根，求的最小值． (2)若方程的两根为，，，求的值． 【变式3】（24-25九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是负数，求的取值范围． 【题型三】解形如=p(p≥0) 的方程 【例3】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广东梅州·期末）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·北京朝阳·期中）方程的根为 ． 【变式3】（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）一元二次方程的解是 ． 【题型四】解形如=p(m≠0,p≥0) 的方程 【例4】（23-24九年级上·四川成都·期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）方程的正根为 ． 【变式2】（23-24九年级上·广西河池·期中）解方程： 【变式3】（2025·黑龙江大庆·一模）计算： (1)解分式方程：； (2)解方程：． 【题型五】配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【例5】（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程可以通过配方法转化为的形式，则配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如果方程 可以配方成 ，那么 ． 【变式2】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程：． 【变式3】（22-23九年级上·广西玉林·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)．（用配方法） 【题型六】配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【例6】（24-25九年级上·陕西延安·期末）一元二次方程用配方法解可变形为（） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程． 解方程：． 解：， ， ∴__△_ ∴=（△）， 或， ． 若以上解答过程正确，则“△”“△”应分别为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）完成下面的解题过程： 用配方法解方程：． 解：移项，得 ． 二次项系数化为1，得 ． 配方，得 ， ． 开平方，得 ， x1＝ ，x2＝ ． 【变式3】（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程： 【题型七】一元二次方程根的判别式 【例7】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式2】（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【变式3】（23-24八年级上·上海长宁·期中）已知关于x的一元二次方程的根的判别式为，求k的值和方程的根． 【题型八】一元二次方程的求根公式 【例8】（24-25九年级上·福建福州·期中）一元二次方程的求根公式是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）求方程的根时，根据求根公式，列式为，则的值为 ． 【变式3】（23-24九年级上·吉林·期末）用求根公式解方程 【题型九】公式法解一元二次方程 【例9】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·期中）小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【变式3】（24-25八年级下·山东泰安·期中）解方程 (1) (2) 【题型十】用因式分解法解一元二次方程 【例10】（24-25八年级下·广西贺州·期中）一元二次方程的根是（   ） A．， B．， C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程的解为 ． 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式3】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【题型十一】用合适的方法解一元二次方程 【例11】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）解下列方程： (1) (2)． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解方程： (1) (2) 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)． 【变式3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）解方程： (1)； (2)；（用配方法解） (3)．（用公式法解） 好题必刷 一、单选题 1．（24-25八年级下·重庆·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）在下列数中，能使一元二次方程成立的x的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）一元二次方程的一个根是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．17 二、填空题 5．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知，且，则 ． 6．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）在实数范围内分解因式： ． 7．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 8．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数a，b满足，则的最小值 ． 三、解答题 9．（24-25八年级下·重庆·期末）计算： (1) (2) 10．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值． 11．（24-25八年级下·重庆·期末）关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 12．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于的方程有实数根． (1)若方程的两根之和为整数，求的值； (2)若方程的根为有理根，求整数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 解一元二次方程 题型梳理 易错分析 易错点一 已知根与系数的关系求字母系数的值时，忽视Δ≥0 而出错 易错点二 方程两边同时开平方,忽略被开方数互为相反数的情况致错 易错点三 在配方时忽视等式的性质而致错 易错点四 在用公式法时未将方程化为一般形式而出错 题型方法 题型一 一元二次方程根与系数的关系 题型二 利用根与系数的关系确定字母的值或取值范围 题型三 解形如=p(p≥0) 的方程 题型四 解形如=p(m≠0,p≥0) 的方程 题型五 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 题型六 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 题型七 一元二次方程根的判别式 题型八 一元二次方程的求根公式 题型九 公式法解一元二次方程 题型十 用因式分解法解一元二次方程 题型十一 用合适的方法解一元二次方程 知识清单 知识点1：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点3：配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 知识点4：一元二次方程的解法（公式法） 一、公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 二、求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 4、 根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 五、根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 知识点5：因式分解法（重难点） （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点6：一元二次方程根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ． 那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系． 易错分析 【易错点一】已知根与系数的关系求字母系数的值时，忽视Δ≥0 而出错 【例1】（20-21九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程的两根为，且，求m的值． 嘉佳的解题过程如下： 【解】， ， 整理，得， 解得． 嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程． 【答案】的值为． 【分析】根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系解答． 【详解】解：嘉佳的解题过程漏了考虑这一条件．正确的解题过程如下： 根据题意得，解得． ，， 整理得，解得（舍去）， 的值为． 【点睛】本题中忽略这一条件导致错解针对这一类题，我们一定要看清题目中所给的条件，考虑一元二次方程有解的条件是“”，才能得出正确结果． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·北京·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． 若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：根据根与系数的关系，得到关于的方程，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，解得：； ∵，是该方程的两个根， ∴， ∴， 解得：或； ∵， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知一元二次方程有两个根分别为，．若，满足，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式． 【详解】解：∵一元二次方程有两个根， ∴，解得， ∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，， 又∵， ∴， 则， 解得或4， 又∵， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·福建厦门·期中）若关于的方程有两个实数根，设，是方程的两个根，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴，解得； 根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 化简，得， 解得，， ∵， ∴． 【易错点二】方程两边同时开平方,忽略被开方数互为相反数的情况致错 【例2】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）关于x的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法．移项可得，再用直接开平方法求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程．用直接开平方法求解可． 【详解】解：， 开方得， ∴或， ∴， 【变式2】（24-25九年级上·吉林·期中）解方程: ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即或， 解得，． 【变式3】（23-24九年级上·吉林白山·期末）用适当的方法解方程： 【答案】，. 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟知方程特点选择适当的解法是正确解决本题的关键，用直接开平方法或因式分解法都可以． 【详解】解： 开方得，或 解得，． 【易错点三】在配方时忽视等式的性质而致错 【例3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元二次方程，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）将方程化成的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法的运用，掌握配方法的方法是关键． 根据配方法，找出一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：， 等式变形得，， 等式两边同时加上得，， ∴配方得，， 故答案为： ． 【变式2】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而开方解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 【变式3】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤． （1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案； （2）利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 【易错点四】在用公式法时未将方程化为一般形式而出错 【例4】（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）用公式法解方程，得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河北·期中）阅读材料，并回答问题： 嘉淇在学习一元二次方程时，解方程 的过程如下： 解：∵，， ∴ ∴此方程无解． 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误 （填序号）； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)； (2)过程见解析，，． 【分析】（）先把一元二次方程应化为一般形式，然后即可判断； （）根据公式法解一元二次方程即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的计算步骤． 【详解】（1）解：由题意可得，一元二次方程应化为一般形式， ∴从步开始出现了错误， 故答案为：； （2）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【变式2】（22-23九年级上·山西运城·阶段练习）（1）解方程：． （2）小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 解：∵，，，    第一步 ∴，    第二步 ∴，        第三步 ∴，．    第四步 ①小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________________． ②写出此题正确的解答过程． 【答案】（1），；（2）①一，原方程没有化成一般形式；②见解析 【分析】（1）移项，再直接开平方即可； （2）①要在一元二次方程的一般形式下确定a，b，c的值时，由此可确定第一步是错的；②根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可． 【详解】解：（1）方程两边同乘，得：， 开方，得：， ∴，； （2）①根据解题步骤可知第一步是错的，原因是原方程没有化成一般形式． 故答案为：一，原方程没有化成一般形式； ②∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法和公式法解一元二次方程是解题关键． 【变式3】（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如图所示. (1)小明的解答过程是从第___________步开始出错的，其错误的原因是___________； (2)请你写出此题正确的解答过程. 【答案】(1)一，原方程没有化成一般形式 (2)见解析 【分析】（1）公式法必须先化成一般式，故他第一步错误，错误原因是没有化简成一般式； （2）根据公式法解方程计算即可． 【详解】（1）小明的解答过程是从第一步开始出错的；其错误的原因是原方程没有化成一般形式； （2）， ∴，，， ∴， 方程有两个不等的实数根， 即，. 【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握应用公式法的条件和要求． 题型方法 【题型一】一元二次方程根与系数的关系 【例1】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A．1 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·山东泰安·期中）关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系列出关系式，把一个根代入计算即可求出所求． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 即另一个根， 故答案为：1． 【变式3】（23-24九年级上·广西河池·期末）已知三角形的一边，另两边长恰好是关于的方程的两个根，且．求的周长． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，从而可得，则，再根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵的两边长恰好是关于的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵三角形的一边， ∴的周长为． 【题型二】利用根与系数的关系确定字母的值或取值范围 【例2】（24-25九年级下·广西玉林·期中）已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系，理解“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键．首先根据有两个实数根得到，求出，然后由两根同号得到，求出，即可求解． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程有两个同号的实数根， ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，，若，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，．根据根与系数的关系和，可以求得k的值． 【详解】解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 当时，，方程有两个不相等的实数根； 即k的值是3． 故答案为：3． 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程 (1)若方程总有两个实数根，求的最小值． (2)若方程的两根为，，，求的值． 【答案】(1)无论取何值，方程总有两个实数根（可能相等），因此，的取值范围是全体实数，没有最小值 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． （1）计算一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，将已知等式变形得出，继而解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 无论取何值，方程总有两个实数根（可能相等），因此，的取值范围是全体实数，没有最小值； （2）解：∵方程两根、， ， ， ， 即，整理得：， 解得：，即． 【变式3】（24-25九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是负数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵方程， ，，， ， ∴无论为何值，该方程总有两个实数根． （2）解：由求根公式，得． ，， ∵方程有一个根为负数， ． ∴． ∴的取值范围是． 【题型三】解形如=p(p≥0) 的方程 【例3】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 运用直接开方法即可解答． 【详解】解：， ， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广东梅州·期末）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用直接开平方法求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·北京朝阳·期中）方程的根为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，移项，然后利用直接开平方法求解即可． 【详解】 解得． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，移项后，直接开方法即可求解． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为：，． 【题型四】解形如=p(m≠0,p≥0) 的方程 【例4】（23-24九年级上·四川成都·期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，根据偶次方的非负性解答即可．熟记偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）方程的正根为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查直接开方法解一元二次方程，先求出方程的两个根，然后选取正根即可． 【详解】解：， 开方得：， 解得：或， ∴正根为， 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·广西河池·期中）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 【变式3】（2025·黑龙江大庆·一模）计算： (1)解分式方程：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）方程两边都乘，求出整式方程的解，再进行检验即可． （2）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解： 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 即分式方程的解是． （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，． 【题型五】配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【例5】（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程可以通过配方法转化为的形式，则配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握解答的方法是解答本题的关键．根据配方法的步骤解答，即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如果方程 可以配方成 ，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，把方程配方成，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵方程 可以配方成 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 或 ∴，． 【变式3】（22-23九年级上·广西玉林·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)．（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了用直接开平方法和配方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键． （1）直接开平方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先配方，再开平方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， 即， 开平方，得：， 系数化为，得：， 即，； （2）解：， 移项，得：， 配方，得：， 即：， 开平方，得：， 解得：，． 【题型六】配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【例6】（24-25九年级上·陕西延安·期末）一元二次方程用配方法解可变形为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解本题的关键．根据一元二次方程完全平方公式配方，即可得出选项． 【详解】∵， ， ， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程． 解方程：． 解：， ， ∴__△_ ∴=（△）， 或， ． 若以上解答过程正确，则“△”“△”应分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程即可得出答案． 【详解】解方程：． 解：， ， ， ∴， ∴=， 或， ，． 故选：A 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）完成下面的解题过程： 用配方法解方程：． 解：移项，得 ． 二次项系数化为1，得 ． 配方，得 ， ． 开平方，得 ， x1＝ ，x2＝ ． 【答案】 【分析】按照配方法的步骤解方程即可． 本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得，， 开平方，得， ，． 故答案为：，，，，，，． 【变式3】（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 则， ， 直接开平方得， ，． 【题型七】一元二次方程根的判别式 【例7】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的计算是关键． 根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根；由此即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：B ． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分情况讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】解：①当时，，解得：； ②当时，关于x的方程有实数根， ∴， ∴且， 综上所述，k的取值范围为：． 故选：B． 【变式2】（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟记判别式公式是解决问题的关键． 【变式3】（23-24八年级上·上海长宁·期中）已知关于x的一元二次方程的根的判别式为，求k的值和方程的根． 【答案】k的值为4，方程的根为， 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，二次根式有意义的条件，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的判别式，公式法解一元二次方程是解题的关键．由题意知，，，解得，，，计算求出满足要求的解即可；一元二次方程为，公式法求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， ， 整理得，， ， ∴或， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 解得，，， ∴k的值为4，方程的根为，． 【题型八】一元二次方程的求根公式 【例8】（24-25九年级上·福建福州·期中）一元二次方程的求根公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，掌握求根公式成为解题的关键． 根据题意直接运用求根公式即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴该方程有两个实数根， ∴． 故选C． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是根据求根公式，对比已知式子确定a，b，的值． 通过求根公式，分析出a，b，． 【详解】一元二次方程求根公式为，已知， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 将代入一元二次方程， 得到，对应选项B． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）求方程的根时，根据求根公式，列式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了求根公式，解题的关键是掌握求根公式． 对照一元二次方程的一般式（为常数），根据求根公式，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：， 故， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·吉林·期末）用求根公式解方程 【答案】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，主要公式运用的条件是首先确定二次项系数，一次项系数，常数项的值，计算判别式的值确定方程是否有解，若有解即可代入求根公式计算． 【详解】解：，， ， 即 【题型九】公式法解一元二次方程 【例9】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答即可． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·期中）小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 根据求根公式中的意义求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了直接开方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程， （1）根据直接开方法求出解即可； （2）先求出，再根据求出解即可． 【详解】（1）解：整理，得， 开方，得， ∴或， 则； （2）解：， 由， 可知， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·山东泰安·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用公式法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ 解得：，． （2）， ，． 【题型十】用因式分解法解一元二次方程 【例10】（24-25八年级下·广西贺州·期中）一元二次方程的根是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程可以得解． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程的解为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了二次根式有意的条件，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握利用因式分解求解方程． 【详解】解：， 或， 解得：， 故答案为：3或． 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴或， 解得，． （2）解：， ， 或， ，． 【变式3】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此解方程即可； （2）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解： ∴， 解得； （2）解： ∴或， 解得． 【题型十一】用合适的方法解一元二次方程 【例11】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ∴，． （2）解：， ， ， ， ， ∴． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及公式法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （2）方程利用公式法求出解即可． 【详解】（1）解：， 方程整理得：， 分解因式得：， 解得：，． （2）解：，，， ， ， 则，； 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【变式3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）解方程： (1)； (2)；（用配方法解） (3)．（用公式法解） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程的方法解答即可； （2）根据配方法解一元二次方程的方法解答即可； （3）先化为一元二次方程的一般式，再利用公式法求解． 【详解】（1）解：， 整理，得． ∴， ∴或， 解得：； （2）解：． ∴， ∴， 即， 所以； （3）解：， 整理，得． ∴， ， ， 即 好题必刷 一、单选题 1．（24-25八年级下·重庆·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键； 先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：由可得 ∴原方程有两个相等的实数根， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）在下列数中，能使一元二次方程成立的x的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用因式分解法求出方程的解即可判断求解．掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得 故选：C． 3．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）一元二次方程的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 利用直接开平方法解方程即可解答． 【详解】解：， 则， 解得：，， 故选：A． 4．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．17 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先利用配方法将方程化成的形式，从而可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ∵将一元二次方程化成的形式， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 5．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知，且，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题关键．先判断出，且，再把已知等式化成，将看作一个整体，利用因式分解法解方程即可得． 【详解】解：∵， ∴，且， ∵， ∴，即， ∴， ∴或， 故答案为：或1． 6．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解一元二次方程，正确的解一元二次方程是解题的关键． 先解方程，再写成因式分解的形式即可． 【详解】解：令， ∴， 则， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出的取值范围． 【详解】解：要使有两个不相等的实数根， 则， ， 故答案为：． 8．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数a，b满足，则的最小值 ． 【答案】1 【分析】由已知等式变形表示出，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】解：， ， ，即， ， ， 当，即时，的最小值为 故答案为： 【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 三、解答题 9．（24-25八年级下·重庆·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）设，则原方程化为，得到或，当时，解得；当时，方程无实数解；即可得到答案； （2）整理方程得到，用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 设，则原方程化为， 解得或， 当时，解得； 当时，方程无实数解； ； （2）解： 或 解得：． 10．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可． （2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可． 【详解】（1）证明： ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解： 又 ． 11．（24-25八年级下·重庆·期末）关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及方程根的应用．解题的关键是利用判别式确定参数的取值范围，并通过代入相同根求解方程中的未知参数，同时要注意一元二次方程二次项系数不为零的条件． （1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，，分别代入一元二次方程求出对应的m，同时满足即可． 【详解】（1）解：x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵； ∴k的最大整数为2， 方程则为， 解得，， ∵与方程有一个相同的根， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得， 而， ∴m的值为． 12．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于的方程有实数根． (1)若方程的两根之和为整数，求的值； (2)若方程的根为有理根，求整数的值． 【答案】(1) (2)0或10或或12 【分析】（1）根据关于的方程有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知，若方程的两根之和为整数，即为整数，即可确定的值； （2）分两种情况讨论：当时，此时关于的方程为，求解可得，符合题意；当时，对于关于的方程可有，若方程的根为有理根，且为整数，则为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个根，且为实数根， ∴，且， 根据一元二次方程的根与系数的关系，可知， 若方程的两根之和为整数，即为整数， ∵， ∴是整数， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，，，为整数，符合题意； ∴的值为； （2）当时，此时关于的方程为，解得； 当时，对于关于的方程的根为：， 若方程的根为有理根，且为整数， 则为完全平方数， 设（为正整数）， 则：， ∵为整数， 设（为正整数）， ∴， ∴或或或， 解得：或或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去） ∴或； 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或， 综上所述，若方程的根为有理根，则整数的值为0或10或或12． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$