第01讲 一元二次方程（知识清单+易错+4必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（人教版）

第01讲 一元二次方程 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错 题型方法 题型一 一元二次方程的定义 题型二 一元二次方程的一般形式 题型三 一元二次方程的根（解） 题型四 建立一元二次方程模型 知识清单 知识点1一元二次方程的定义（重点） （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2一元二次方程的一般形式（重点） （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3一元二次方程的解（重点） （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 易错分析 【易错点一】忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错 【例1】（24-25九年级上·全国·期末）关于的方程：是一元二次方程，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）关于x的方程是一元二次方程的条件是 ． 【变式2】（22-23九年级上·广西柳州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【变式3】（22-23九年级上·江西景德镇·期中）当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 题型方法 【题型一】一元二次方程的定义 【例1】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级下·黑龙江大庆·期中）下列叙述正确的是（　　） A．形如的方程叫一元二次方程 B．方程不含有常数项 C．是一元二次方程 D．一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为0 【变式2】（22-23九年级上·湖北恩施·期末）下列关于x的方程：①，②，③，④，⑤，是一元二次方程的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】（24-25九年级上·辽宁·期末）下列选项：①；②；③；④；⑤．其中是一元二次方程的是 （填序号）． 【题型二】一元二次方程的一般形式 【例2】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）将方程改写成的形式，则a，b，c的值分别为（    ） A．3，， B．3，2，4 C．3，，4 D．3，2， 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·广西贺州·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一元二次方程化成一般形式后为 ． 【变式3】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【题型三】一元二次方程的根（解） 【例3】（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是一元二次方程的一个根，则 ． 【变式2】（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【变式3】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 【题型四】建立一元二次方程模型 【例4】（24-25九年级上·云南昭通·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某公司今年一月的营业额为万元，按计划第一季度的总营业额要达到万元，求该公司二、三两个月营业额的月平均增长率．设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）某超市一月份的营业额为200万元，二月份、三月份每月的营业额逐月递增，三月份营业额为242万元．设营业额的平均月增长率为，由题意可列方程为 ． 【变式3】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）在2024年大满贯比赛期间，买一件文创T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．商店以40元每件的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售．经统计，四月份的销售量为192件，六月份的销售量为300件． (1)求该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率． (2)从七月份起，商场决定采用降价销售回馈顾客，经试验，发现该款T恤在六月销售量的基础上，每降1元，月销售量就会增加20件，则七月份的利润能达到8000元吗？请说明理由． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 二、填空题 6．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知是关于x的方程的一个根，则 ． 7．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一元二次方程的常数项是 ． 8．（24-25九年级上·广东佛山·期末）某污水净化站今年10月份净化污水6万吨，12月份增加到7.26万吨，则这两个月净化污水量每月的平均增长率为 ． 9．（24-25八年级下·重庆·期末）若a是关于x的方程的一个根，则= 三、解答题 10．（22-23九年级上·北京海淀·期末）已知为方程的一个根，求代数式的值． 11．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值； (2)若方程有两个不相等实数根，求实数的取值范围． 12．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 13．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． (1)的长为___________m；（用含的代数式表示） (2)若羊的活动范围的面积为，求的长； (3)羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 14．（24-25九年级上·全国·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一元二次方程 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错 题型方法 题型一 一元二次方程的定义 题型二 一元二次方程的一般形式 题型三 一元二次方程的根（解） 题型四 建立一元二次方程模型 知识清单 知识点1一元二次方程的定义（重点） （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2一元二次方程的一般形式（重点） （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3一元二次方程的解（重点） （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 易错分析 【易错点一】忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错 【例1】（24-25九年级上·全国·期末）关于的方程：是一元二次方程，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的二次项的系数不能为，所以关于的方程：是一元二次方程，则一定有，解不等式求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程：是一元二次方程， ， 解得：． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）关于x的方程是一元二次方程的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据二次项的系数不为0列式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（22-23九年级上·广西柳州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】m的值为． 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意得，， 由①得，， 由②得，， 所以，m的值为． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【变式3】（22-23九年级上·江西景德镇·期中）当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，， 【分析】先把方程化成一般形式，再根据一元二次方程的定义得出当时，方程是一元二次方程，再求出答案即可． 【详解】解：， ， 关于的方程是一元二次方程， ， 即当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，． 题型方法 【题型一】一元二次方程的定义 【例1】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，注意．形如的式子是一元二次方程，根据定义选择即可． 【详解】解：．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．是一元二次方程，故本选项符合题意； C．该方程化简为，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级下·黑龙江大庆·期中）下列叙述正确的是（　　） A．形如的方程叫一元二次方程 B．方程不含有常数项 C．是一元二次方程 D．一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为0 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】解：A、当时，形如的方程叫一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； B、变形为，则常数项为-6，故本选项错误，不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项正确，符合题意； D、一元二次方程中，二次项系数不能为0，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【变式2】（22-23九年级上·湖北恩施·期末）下列关于x的方程：①，②，③，④，⑤，是一元二次方程的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：①即是一元二次方程； ②是二元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元三次方程； ⑤即是一元二次方程； 所以是一元二次方程的有3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁·期末）下列选项：①；②；③；④；⑤．其中是一元二次方程的是 （填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，需要根据定义对每个选项进行分析判断． 【详解】①，经过移项化简后为，未知数最高次数是 1 ，是一元一次方程，不是一元二次方程； ②，含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 ，是整式方程，所以是一元二次方程； ③，展开左边可得，化简后为，未知数最高次数是 1 ，是一元一次方程，不是一元二次方程； ④，展开可得，含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2，是整式方程，所以是一元二次方程； ⑤，方程中含有分式和，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程． 答案：②④ 【题型二】一元二次方程的一般形式 【例2】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）将方程改写成的形式，则a，b，c的值分别为（    ） A．3，， B．3，2，4 C．3，，4 D．3，2， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项将方程转化为一般式后，进行判断即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴，，的值分别为3，2，． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·广西贺州·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一元二次方程化成一般形式后为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 【题型三】一元二次方程的根（解） 【例3】（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解的定义进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴方程必有一根为； 故选B． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值， 据此把代入原方程得到的值即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由一元二次方程有一个根为零，得到，然后求解，再利用一元二次方程的定义确定的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程有一个根为零， ， 解得：，， ∵方程为一元二次方程， ∴ ；即， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为． 【题型四】建立一元二次方程模型 【例4】（24-25九年级上·云南昭通·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某公司今年一月的营业额为万元，按计划第一季度的总营业额要达到万元，求该公司二、三两个月营业额的月平均增长率．设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为，则二月份公司的营业额为万元，三月份公司的营业额为万元，根据第一季度的总营业额包括一月、二月、三月的营业额总和，可列方程． 【详解】解：设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为， 则二月份公司的营业额为万元， 三月份公司的营业额为万元， 第一季度的总营业额要达到万元， ， 即． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）某超市一月份的营业额为200万元，二月份、三月份每月的营业额逐月递增，三月份营业额为242万元．设营业额的平均月增长率为，由题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：由题意，； 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）在2024年大满贯比赛期间，买一件文创T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．商店以40元每件的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售．经统计，四月份的销售量为192件，六月份的销售量为300件． (1)求该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率． (2)从七月份起，商场决定采用降价销售回馈顾客，经试验，发现该款T恤在六月销售量的基础上，每降1元，月销售量就会增加20件，则七月份的利润能达到8000元吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． （1）该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率x，根据销售量列出方程，求解即可； （2）设降y元，建立一元二次方程，判断方程是否有解，从而确定利润是否能达到目标值． 【详解】（1）解：该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率x， 则， ，（舍）， 答：该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设降y元， 则， ， ， 方程无实数解， 答：所以七月份的利润不能达到8000元 好题必刷 一、单选题 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式是关键． 根据一元二次方程的概念及一般式“”判定即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为， 故选：D ． 2．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得出方程，即可求解． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得 故选：D． 3．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． 由常数项为2，求出m的值，再结合，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，由常数项为2， 则， 解得：或， ∵， ∴， ∴或都符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义； 根据满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， ， 两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得， ， ． ∴当时，方程成立． ∴方程必有一根为 ， 故选：D． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的解的定义可知是的解，则有，因为，方程两边同时乘以，可得：，所以方程一定有一个解为，所以可知甲同学的观点正确；如果方程有公共解，则有，可得解为：或，即这两个方程的公共解是或中的一个． 【详解】解：是的解， 方程两边同时乘以， 可得：， 方程一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 方程的公共解为：或， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知是关于x的方程的一个根，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查解一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义．把代入方程把问题转化为关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：6． 7．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一元二次方程的常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解． 【详解】解∶ 一元二次方程的常数项是， 故答案为： ． 8．（24-25九年级上·广东佛山·期末）某污水净化站今年10月份净化污水6万吨，12月份增加到7.26万吨，则这两个月净化污水量每月的平均增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这两个月净化污水量每月的平均增长率为x，根据今年10月份净化污水6万吨，12月份增加到7.26万吨，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设这两个月净化污水量每月的平均增长率为， 由题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·重庆·期末）若a是关于x的方程的一个根，则= 【答案】2022 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． 将代入得出，再作为整体代入即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：2022 ． 三、解答题 10．（22-23九年级上·北京海淀·期末）已知为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】1 【分析】将a代入方程中得，将所求代数式化简整理后，把整体代入即可. 【详解】解：∵为方程的一个根， ∴． ∴． ∴原式=． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，以及用整体代入法求代数式的值.解题的关键是掌握整体代入法. 11．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值； (2)若方程有两个不相等实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的根，掌握根的判别式是解题的关键． （1）将代入方程求解即可； （2）根据根的判别式大于即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）解：时，原方程为：， ； （2）关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ， ． 12．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 13．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． (1)的长为___________m；（用含的代数式表示） (2)若羊的活动范围的面积为，求的长； (3)羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)的长为或； (3)羊的活动范围的面积不能为．理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据得到，整理即可得到答案； （）根据羊的活动范围的面积为列出代数式即可； （）依题意得：，根据根的判别式，即可得到答案； 【详解】（1）解：依题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：依题意得：羊的活动范围的面积为， ∴，即， 解得， ∴的长为或； （3）解：羊的活动范围的面积不能为．理由如下， 依题意得：，即， ∵， ∴羊的活动范围的面积不能为． 14．（24-25九年级上·全国·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$