期末专题02 相交线与平行线（知识梳理+13大题型+2种易错+2种解题秘籍）-2024-2025学年七年级下学期期末试题调研与押题预测

期末专题02 相交线与平行线 垂直的定义及垂线的画法 1.定义 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足 特别解读:垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角 特别解读 垂直和垂线是两个不同的概念，垂直是两条直线的位置关系，是相交的一种特殊情况，特殊在夹角为直角，而垂线是一条直线 垂线的性质 1.垂线的性质 (1)性质1:同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直 (2) 性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短 2． 点到直线的距离 如图，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，线段 $A B$ 的长度叫作点 到直线 的距离． 垂线段与点到直线的距离的区别:垂线段是一条线段，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度 特别解读 1.性质1中隐含两个关键条件:一是“同一平面内是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外2.垂线是一条直线，长度不可度量，而垂线段是一条线段长度可度量 平行线的判定方法1 1．方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简述：同位角相等，两直线平行。 两直线平行，用符号＂／／＂表示．例如，直线 与直线 平行，记作a / / b． 2．表达方式 如图，因为 （已知），所以 （同位角相等，两直线平行）． 特别提醒 此判定方法是通过两个同位角的大小关系(相等)推导出两直线的位置关系(平行).它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁 平行线的判定方法2，3 1.方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等那么这两条直线平行． 简述：内错角相等，两直线平行． 表达方式 如图因为 （已知），所以 （内错角相等，两直线平行）． 2.方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补那么这两条直线平行 简述：同旁内角互补，两直线平行．表达方式 如图，因为 （已知），所以 （同旁内角互补，两直线平行) 特别解读 在“三线八角”中，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，只要其中一个结论成立，则利用对顶角、补角等相关知识，可得到另两个结论也成立 平行线的性质 1.性质1:两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等简述：两直线平行，同位角相等． 2．表达方式：如图，因为 （已知），所以 （两直线平行，同位角相等） 特别警示 1.两条直线平行是前提，只有在这个前提下才有同位角相等. 2.书写时，顺序不能颠倒，与判定不能混淆. 3.性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等简述：两直线平行，内错角相等． 4．表达方式 如图，因为 （已知），所以 （两直线平行，内错角相等）． 特别警示 并不是所有的内错角都相等，只有在“两直线平行”的前提下，才有内错角相等 5.性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简述：两直线平行，同旁内角互补． 6．表达方式 如图，因为 （已知），所以 （两直线平行，同旁内角互补) 警示误区 1.两直线平行时，同旁内角是互补的关系而不是相等的关系 2.平行线的性质是由“直线的位置关系”到“角的数量关系”;而平行线的判定是由“角的数量关系到“直线的位置关系 题型一、对顶角相等 1．（23-24七年级下·山西大同·期末）近年来，新中式风格的装修越来越受到年轻人的喜爱，它不仅具有传统中式装修的古典、雅韵，也自然流露出现代元素的气息，下图是某款式角花的局部示意图，若，则的依据是 ． 【答案】对顶角相等 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，解决本题的关键是熟练掌握对顶角的性质．根据对顶角的性质回答即可． 【详解】由，则的依据是对顶角相等， 故答案为：对顶角相等 2．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，直线与直线相交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了邻补角的性质，对顶角的性质，由邻补角的性质可得，进而由可得，再根据对顶角的性质即可求解，掌握邻补角和对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（22-23七年级下·山西吕梁·期末）如图，直线，相交于点，于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】根据直角分成两个角的比求得∠AOE，根据对顶角，利用两角和求出∠BOC． 【详解】解：∵OE⊥CD于点O，∠AOE∶∠AOC=2∶3 ∴∠COE=∠EOD= 90° ，∠AOE=90°=36° ∴∠BOC=∠AOE+∠EOD=126° 故选：B． 【点睛】此题考查了求角的度数、对顶角，解题的关键是根据角的比例求出角． 题型二、求一个角的余角 4．（23-24七年级下·山西大同·期末）已知，与互为余角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题主要考查了余角的定义，掌握互余的两个角的和为是解题的关键． 根据余角的定义列式计算即可． 【详解】解：∵，与互为余角， ∴． 故选B． 5．（23-24七年级下·山西·期末）两直角三角板按如图所示方式摆放，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个角的余角 【分析】根据题意得出∠1+∠2=90°和∠1=25°，两等式相减，即可求出答案． 【详解】解：∵∠1+∠2+90°=180°， ∴∠1+∠2=180°-90°=90°， 又∵∠1=25°， ∴∠2=90°-25°=65°， 故选：D． 【点睛】本题考查了余角和补角，能根据题意得出算式∠1+∠2=90°是解此题的关键． 6．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，直线，相交于点O，，垂足为点O，若，则的度数为（    ） A．40° B．45° C．50° D．55° 【答案】A 【知识点】求一个角的余角、对顶角相等 【分析】根据对顶角相等得到，再根据作余角定义，求的度数． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了对顶角的性质和互为余角的性质，熟悉相关性质并能进行计算是解题的关键． 题型三、与余角、补角有关的计算 7．（22-23七年级下·山西运城·期末）以直线上一点为端点作射线，将一块直角三角板的直角顶点放在处（注：）． (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，且，求的度数； (2)在（1）的条件下，将直角三角板绕点逆时针转动，当点落在直线上时停止转动，在转动过程中，存在某一时刻，恰好满足，请在图②中画出这一时刻示意图，并求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是平分线． 【答案】(1)； (2)图见解析，或； (3)见解析． 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）利用角的和差关系直接求解即可； （2）分在右侧和在左侧两种情况讨论即可； （3）由角平分线定义得出得，再根据平角的定义得即可得证. 【详解】（1）解：，， （2）解：如图所示，当在右侧时，设，则． ， ， ，， ， 解得， 即， ， 当在左侧时， 设，则． ，，， ， 解得， 即， ． 综上所述，的度数为或． （3）证明：平分， ， ，， ， ， ， 即所在射线是的平分线． 8．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如果一个角的余角是，那么这个角的补角的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】根据余角和补角的定义求解即可． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角的度数为， ∴这个角的补角的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了余角和补角，解题的关键在于熟知如果两个角的度数之和为，那么这两个角互余，如果两个角的度数之和为，那么这两个角互补． 9．（22-23七年级下·山西晋中·期末）将一副三角板如图所示放置，若，那么的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】根据余角的定义求出的度数，代入求出即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了余角的应用，解此题的关键是求出的度数，注意：如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角． 题型四、垂线的定义理解 10．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，直线，相交于点， ，垂足为．若，则 ． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、利用邻补角互补求角度 【分析】本题主要考查了角的和差，垂直定义，补角，先根据垂直定义得出，即可求出，再根据补角定义求出答案即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，点O是直线上一点，，是的平分线，则的度数是 °．    【答案】25 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查与角平分线有关的计算．先求出的度数，进而求出的度数，利用，进行计算即可．正确的识图，找准线段之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴； 故答案为：25． 12．（22-23七年级下·山西吕梁·期末）如图，直线AB⊥CD于点G，交EF于点H，射线GM交EF于点M，已知∠AGM∶∠DGM＝2∶7，∠AHF比∠DGM大10°，求∠GHM的度数． 【答案】100° 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】由题意得∠AGD＝90°，设∠AGM＝，∠DGM＝，则，进行计算即可得，即可得∠AGM＝20°，∠DGM＝70°，根据∠AHF比∠DGM大10°得∠AHF＝80°，即可得． 【详解】解：∵AB⊥CD， ∴∠AGD＝90°， ∵∠AGM∶∠DGM＝2∶7， 设∠AGM＝，∠DGM＝， ∴， ∴， ∴∠AGM＝20°，∠DGM＝70°， 又∵∠AHF比∠DGM大10°， ∴∠AHF＝80°， ∴． 【点睛】本题考查了角的计算，垂直，平角，解题的关键是掌握这些知识点． 题型五、垂线段最短 13．（23-24七年级下·山西忻州·期末）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】D 【知识点】垂线段最短 【分析】根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：， 要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是垂线段最短． 故选：D． 14．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图是小明同学在体育课上跳远时留下的脚印，测量跳远成绩是过点A作起跳线的垂线段的长度，其中的数学依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．连接两点，线段的长度 D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，进行判断即可． 【详解】解：测量跳远成绩是过点A作起跳线的垂线段的长度，其中的数学依据是垂线段最短； 故选B． 15．（22-23七年级下·山西吕梁·期末）中考体育测试，测量跳远成绩的依据是（    ） A．过直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两点之间，线段最短 C．垂线段量短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【知识点】垂线段最短 【分析】垂线段最短指的是从直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．根据垂线段的性质，可得答案． 【详解】解：中考体育测试，测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线段最短的应用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 题型六、同位角、内错角、同旁内角 16．（2023七年级下·山西·专题练习）如图，已知四边形，点在的延长线上，连接、，下列说法中正确的是（   ） A．和是同旁内角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、同位角、内错角、同旁内角、同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了同旁内角的定义、平行线的判定定理等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解题的关键． 根据同旁内角的定义可判断A选项，根据平行线的判断定理可判断B、C、D选项． 【详解】解：A、和不是同旁内角，故该选项说法错误，不符合题意； B、若，则，故该选项说法错误，不符合题意； C、若，则，故该选项说法正确，符合题意； D、若，则，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 17．（2023七年级下·山西·专题练习）如图，与成同位角的角有 个． 【答案】 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角的定义，熟练掌握同位角的定义是解答本题的关键． 根据同位角的定义：两条直线、被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线、的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，所以与成同位角的角有个，据此解答． 【详解】解：如图， 与构成同位角的有，， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，与是一对（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】A 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角，根据同位角的概念进行判断．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手． 【详解】解：与是一对同位角， 故选：A． 题型七、两直线平行同位角相等 19．（23-24七年级下·山西大同·期末）下列说法中错误的是（    ） A．把命题“邻补角互补”改写成“如果，那么”的形式是：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． C．同位角相等． D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算、平行公理的应用、两直线平行同位角相等 【分析】本题主要考查简单几何的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键．根据同位角、平行线、邻补角等基础知识点进行逐一判断即可． 【详解】解：A．把命题“邻补角互补”改写成“如果，那么”的形式是：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补．原说法正确，故A选项不符合题意； B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原说法正确，故B选项不符合题意； C．两直线平行，同位角相等，原说法错误，故C选项符合题意； D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，原说法正确，故D选项不符合题意． 故选：C 20．（22-23七年级下·山西晋城·阶段练习）如图，直线，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】首先根据平行线的性质求出，，然后利用角的和差求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 21．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角相等、两直线平行同位角相等 【分析】由对顶角相等得到，再由平行线的性质得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵两条平行线a，b被第三条直线c所截， ∴， 故选：D 【点睛】此题考查了平行线的性质、对顶角相等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 题型八、两直线平行内错角相等 22．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，直线与的一边相交于点E，且，若，则的度数等于 ． 【答案】/70度 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 23．（23-24七年级下·山西晋中·期末）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉、已知，，，，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等即可求得结果，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：D． 24．（22-23七年级下·山西吕梁·期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角 ．      【答案】/122度 【知识点】垂线的定义理解、两直线平行内错角相等 【分析】由可求得的度数，再根据即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 题型九、两直线平行同旁内角互补 25．（22-23七年级下·山西吕梁·期末）如图，已知，直线分别与相交于点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（  ）      A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，从而得到，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键． 26．（22-23七年级下·山西·期末）如图，已知，直线分别交于点E、F，平分，交于点G，，求的度数．    解：∵ (     ) ∴ (           ) ∵ ∴ ∵EG平分∠BEF ∴ ∴ （          ） 【答案】已知；；两直线平行，同旁内角互补；；；；角平分线的定义 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】先利用平行线的性质求得，再利用角的平分线定义求得，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵(已知) ∴(两直线平行，同旁内角互补) ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴（角平分线的定义） 故答案为：已知；；两直线平行，同旁内角互补；；；；角平分线的定义． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 27．（22-23七年级下·山西期末）如图，，，，则的度数为 °． 【答案】90 【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】作，可得到，由于，故，可得，可得，即可得到的度数． 【详解】解：作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故填：90． 【点睛】本题考查了平行线性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 题型十、根据平行线的性质探究角的关系 28．（23-24七年级下·山西忻州·期末）综合与实践 问题背景：如图，这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术，如图1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． 探索发现： （1）如图1，太阳光线平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则，和之间存在的数量关系是_____； （2）如图2，，点M，N分别在，上，点P是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，，之间的数量关系，并写出解答过程． 拓展延伸： （3）如图3，在（2）的条件下，在，之之间，MN左侧再取一点Q，连接，，，若使求与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线性质的应用－拐点问题，常用的解答方法是过过拐点作其中一条线的平行线，利用平行线的传递性说明与另一条线也平行，然后利用平行线的性质解答即可． （1）过点作，由平行线的传递性得，由平行线的性质得，，进而可得； （2）由（1）得，然后结合邻补角的定义可得； （3）由（1）（2）知，，结合，可证结论成立； 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， ． （2） 理由： 由（1）得， ， ； （3）由（1）（2）知，， ∴， ， ． 29．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知直线，，有三个命题：①；②；③．下列说法中正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和③正确 D．①②③都正确 【答案】A 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查两直线平行的性质，由平行线的性质得，和为同位角，和为同位角，和互余，根据等量代换即可解答． 【详解】因为直线， ∴，， ∴，，故只有①正确． 故选：A． 30．（22-23七年级下·山西期末）已知，的两条角边分别平行，，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：和的两条角边分别平行，且， 和相等或互补， 的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 题型十一、根据平行线的性质求角的度数 31．（23-24七年级下·山西忻州·期末）在学习了平行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线从液体中射向空气时会发生折射，光线变成，点G在射线上，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 32．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，，，点D，E分别在上，若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两直线平行，同旁内角互补可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 33．（23-24七年级下·山西运城·期末）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，根据平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， 故选：D． 题型十二、根据平行线判定与性质求角度 34．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图，把一个含角的直角三角板放在直尺上，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角，如图，过点作，进而得到，根据平行线的性质和对顶角相等，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 35．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知直线被所截，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了邻补角的性质，平行线的判定和性质，由邻补角的性质可得，由可得，进而由平行线的性质可得，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 36．（23-24七年级下·山西太原·期末）超市的分层小推车能够更有效增加角落的收纳空间，十分便捷．如图是它抽象出来的平面图形，已知，．若，，则∠3的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，作，则，根据平行线的性质推出，再由垂直的定义和平行线的性质得到，则． 【详解】解：如图所示，过点E和F分别作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型十三、根据平行线判定与性质证明 37．（24-25七年级下·山西太原·期中）综合与实践 如图，已知为钝角，点分别在射线，上，在内部分别过点作射线，在内部过点作射线． 【感知模型】 （1）如图1，若平分，猜想与的数量关系，并说明理由； 【数学思考】（2）如图2，若不是的平分线，直接写出，和之间的数量关系； 【深入探究】 （3）如图3，作的平分线，交于点，过点作的平行线交于点，的平分线交射线于点，点与点不重合．请补全图形，若，则的度数为______°．（用含的式子表示） 【答案】（1），理由见解析 （2） （3），图见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查作图-作角的平分线，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结论：．由平行线的性质得，，利用等角的补角相等证明； （2）结论：．利用平行线的判定和性质证明即可； （3）过点E作．证明得，由平分得，由得，然后根据求解即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）结论：． 理由：如图2中，过点P作． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3中，过点E作． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 38．（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，已知，平分，点是线段上一点（不与点，重合）． (1)在图中求作直线，使得，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、尺规作一个角等于已知角、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了尺柜作图，平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）以为一边，在的上方作即可； （2）先由角平分线的定义求出，再由平行线的性质求出，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】（1）如图直线即为所求． （2）平分， ． ， ， ．           ， ．． 39．（24-25七年级下·山西·期中）已知：如图，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先由内错角相等，两直线平行，得，再结合，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【例1】1．如图，已知：的两边与的两边分别平行，即，，与AC相交于点G．求证：． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等得到，，再等量代换即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴． 【例2】2．如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短，掌握点到直线垂线段最短是解题的关键． 根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， 在中， 由面积公式得：， 即， 解得，； 故答案为：． 添加辅助线构造平行线，转化角的关系 当题目中已知的平行线与所求角之间没有直接的截线关联(如出现“拐角”“折线”图形)，通过添加辅助线(通常是过拐点作已知平行线的平行线)，利用平行线的传递性(平行于同一直线的两直线平行)和性质，将复杂图形分解为多个“三线八角”基本模型，从而转化角的关系。 利用角的数量关系判定或推导直线位置关系 通过分析两条直线被第三条直线所截形成的角(同位角、内错角、同旁内角)的数量关系，判定直线是否平行或利用直线平行的性质推导角的关系。具体包括:1．判定平行：若同位角相等，则两直线平行； 若内错角相等，则两直线平行；若同旁内角互补（和为 ），则两直线平行。 2．利用平行性质： 若两直线平行，则同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。 1．如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 2．下列语句正确的是（   ） A．一条直线的平行线有且只有一条 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的角叫对顶角 D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、平行公理的应用、相交线、对顶角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，对顶角的性质，相交线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用平行线的性质，垂线的性质，对顶角的性质，相交线的性质逐项进行判定即可． 【详解】解：A. 一条直线的平行线有无数条，该选项说法错误，不符合题意； B. 该选项说法正确，符合题意； C. 相等的角不一定是对顶角，该选项说法错误，不符合题意； D. 过直线上一点能作无数条直线和这条直线相交，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．下图中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是确定三线八角，熟知同位角，内错角，同旁内角的特征是解题的关键． 根据三线八角中，同位角，内错角，同旁内角的特征解题即可． 【详解】A．和是两条直线被第三条直线所截形成的，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧 ，符合同位角的定义． B． 和是内错角，它们是两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且夹在两条被截直线之间． C．和是同旁内角，它们是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在两条被截直线之间． D．和既不是同位角、内错角，也不是同旁内角，它们的位置关系不满足三种角的定义． 故选：A ． 4．如图，直线、相交于点，平分，，垂足为．若，则的度数是 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题是几何图形中角度的计算，考查了垂直定义，角平分线定义，根据对顶角的性质得，再根据垂直定义得，然后根据角平分线定义得，由此根据可得出答案．理解垂直定义，角平分线定义，对顶角相等，熟练掌握角的计算是解题的关键． 【详解】解：：∵直线、相交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即的度数是． 故答案为：． 5．如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质， 据题意可知，根据折叠得，可得，再根据平行线的性质和折叠的性质得，接下来求出，然后根据“两直线平行同旁内角互补”得，则答案可得． 【详解】解：根据题意可知，根据折叠得. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 6．如图，，点，分别在，上，，于点，连结，且恰好平分，，则下列结论：①，②，③，其中结论正确的为 ．（请填写所有正确结论的序号）． 【答案】②③/③② 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、垂直的定义等知识点．先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断②；作，利用平行线的判定和性质即可判断③． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 解得，则结论①错误； ， ， ，则结论②正确； 作， ∵， ∴， ∴，， ∴，则结论③正确； 综上，正确的是②③， 故答案为：②③． 7．一个角的补角比它的余角的2倍多，则这个角的度数是 ． 【答案】/30度 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角的知识，一元一次方程的应用，设这个角为x，则补角为，余角为，根据题意列出关x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设这个角为x，则补角为，余角为， 由题意得，， 解得：． 即这个角的度数是． 故答案为：． 8．如图，直线和相交于点O，，垂足为O，平分，若，求的度数． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题主要考查垂直和角平分线的性质、对顶角、角度之间的关系，根据题意得，，结合角平分线得，有，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴． 9．把下面的推理过程补充完整，并在括号内填上理由． 已知：B、C、E三点在一条直线上，． 试说明： 解：∵（已知） ∴ （ ） ∵（已知） ∴ （ ） ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴（ ），（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） 【答案】；内错角相等，两直线平行；∴；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， 先根据“内错角相等，两直线平行”得，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得，进而得出，然后根据“两直线平行，内错角相等”得，进而得出答案. 【详解】解：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）. ∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等. 10．【问题情境】（1）如图1，，，，求度数． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动，（点P与点O，A，B不重合），，．直接写出，，之间的数量关系． 【拓展应用】（3）如图3，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，利用上面的结论，求的度数． 【答案】（1）；（2），，之间的数量关系为：或者或者；（3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）分点在线段上，点在线段右侧，点在线段左侧三种情况，过点P作，根据（1）的方法，利用平行线的性质解答即可； （3）过点P作，过点Q作，利用（2）的结论和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）过点P作，则：， ， ∴． ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． （2），，之间的数量关系为：或者或者． ①当点在线段上时，；理由如下： 如图，过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； ②当点在线段右侧时，；理由如下： 如图，过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即； ③当点在线段左侧时，；理由如下： 过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即； （3）过点P作，过点Q作，如图， 由（2）的结论可得：，， ∵的平分线与的平分线相交于点Q， ∴，． ∴ ． 期末试题调研与押题预测 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题02 相交线与平行线 垂直的定义及垂线的画法 1.定义 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足 特别解读:垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角 特别解读 垂直和垂线是两个不同的概念，垂直是两条直线的位置关系，是相交的一种特殊情况，特殊在夹角为直角，而垂线是一条直线 垂线的性质 1.垂线的性质 (1)性质1:同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直 (2) 性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短 2． 点到直线的距离 如图，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，线段 $A B$ 的长度叫作点 到直线 的距离． 垂线段与点到直线的距离的区别:垂线段是一条线段，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度 特别解读 1.性质1中隐含两个关键条件:一是“同一平面内是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外2.垂线是一条直线，长度不可度量，而垂线段是一条线段长度可度量 平行线的判定方法1 1．方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简述：同位角相等，两直线平行。 两直线平行，用符号＂／／＂表示．例如，直线 与直线 平行，记作a / / b． 2．表达方式 如图，因为 （已知），所以 （同位角相等，两直线平行）． 特别提醒 此判定方法是通过两个同位角的大小关系(相等)推导出两直线的位置关系(平行).它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁 平行线的判定方法2，3 1.方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等那么这两条直线平行． 简述：内错角相等，两直线平行． 表达方式 如图因为 （已知），所以 （内错角相等，两直线平行）． 2.方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补那么这两条直线平行 简述：同旁内角互补，两直线平行．表达方式 如图，因为 （已知），所以 （同旁内角互补，两直线平行) 特别解读 在“三线八角”中，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，只要其中一个结论成立，则利用对顶角、补角等相关知识，可得到另两个结论也成立 平行线的性质 1.性质1:两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等简述：两直线平行，同位角相等． 2．表达方式：如图，因为 （已知），所以 （两直线平行，同位角相等） 特别警示 1.两条直线平行是前提，只有在这个前提下才有同位角相等. 2.书写时，顺序不能颠倒，与判定不能混淆. 3.性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等简述：两直线平行，内错角相等． 4．表达方式 如图，因为 （已知），所以 （两直线平行，内错角相等）． 特别警示 并不是所有的内错角都相等，只有在“两直线平行”的前提下，才有内错角相等 5.性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简述：两直线平行，同旁内角互补． 6．表达方式 如图，因为 （已知），所以 （两直线平行，同旁内角互补) 警示误区 1.两直线平行时，同旁内角是互补的关系而不是相等的关系 2.平行线的性质是由“直线的位置关系”到“角的数量关系”;而平行线的判定是由“角的数量关系到“直线的位置关系 题型一、对顶角相等 1．（23-24七年级下·山西大同·期末）近年来，新中式风格的装修越来越受到年轻人的喜爱，它不仅具有传统中式装修的古典、雅韵，也自然流露出现代元素的气息，下图是某款式角花的局部示意图，若，则的依据是 ． 2．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，直线与直线相交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·山西吕梁·期末）如图，直线，相交于点，于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型二、求一个角的余角 4．（23-24七年级下·山西大同·期末）已知，与互为余角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山西·期末）两直角三角板按如图所示方式摆放，若，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，直线，相交于点O，，垂足为点O，若，则的度数为（    ） A．40° B．45° C．50° D．55° 题型三、与余角、补角有关的计算 7．（22-23七年级下·山西运城·期末）以直线上一点为端点作射线，将一块直角三角板的直角顶点放在处（注：）． (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，且，求的度数； (2)在（1）的条件下，将直角三角板绕点逆时针转动，当点落在直线上时停止转动，在转动过程中，存在某一时刻，恰好满足，请在图②中画出这一时刻示意图，并求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是平分线． 8．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如果一个角的余角是，那么这个角的补角的度数是 ． 9．（22-23七年级下·山西晋中·期末）将一副三角板如图所示放置，若，那么的度数是（  ） A． B． C． D． 题型四、垂线的定义理解 10．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，直线，相交于点， ，垂足为．若，则 ． 11．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，点O是直线上一点，，是的平分线，则的度数是 °．    12．（22-23七年级下·山西吕梁·期末）如图，直线AB⊥CD于点G，交EF于点H，射线GM交EF于点M，已知∠AGM∶∠DGM＝2∶7，∠AHF比∠DGM大10°，求∠GHM的度数． 题型五、垂线段最短 13．（23-24七年级下·山西忻州·期末）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 14．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图是小明同学在体育课上跳远时留下的脚印，测量跳远成绩是过点A作起跳线的垂线段的长度，其中的数学依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．连接两点，线段的长度 D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 15．（22-23七年级下·山西吕梁·期末）中考体育测试，测量跳远成绩的依据是（    ） A．过直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两点之间，线段最短 C．垂线段量短 D．两点确定一条直线 题型六、同位角、内错角、同旁内角 16．（2023七年级下·山西·专题练习）如图，已知四边形，点在的延长线上，连接、，下列说法中正确的是（   ） A．和是同旁内角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 17．（2023七年级下·山西·专题练习）如图，与成同位角的角有 个． 18．（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，与是一对（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 题型七、两直线平行同位角相等 19．（23-24七年级下·山西大同·期末）下列说法中错误的是（    ） A．把命题“邻补角互补”改写成“如果，那么”的形式是：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． C．同位角相等． D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 20．（22-23七年级下·山西晋城·阶段练习）如图，直线，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 21．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型八、两直线平行内错角相等 22．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，直线与的一边相交于点E，且，若，则的度数等于 ． 23．（23-24七年级下·山西晋中·期末）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉、已知，，，，的度数为（    ） A． B． C． D． 24．（22-23七年级下·山西吕梁·期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角 ．      题型九、两直线平行同旁内角互补 25．（22-23七年级下·山西吕梁·期末）如图，已知，直线分别与相交于点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（  ）      A． B． C． D． 26．（22-23七年级下·山西·期末）如图，已知，直线分别交于点E、F，平分，交于点G，，求的度数．    解：∵ (     ) ∴ (           ) ∵ ∴ ∵EG平分∠BEF ∴ ∴ （          ） 27．（22-23七年级下·山西期末）如图，，，，则的度数为 °． 题型十、根据平行线的性质探究角的关系 28．（23-24七年级下·山西忻州·期末）综合与实践 问题背景：如图，这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术，如图1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． 探索发现： （1）如图1，太阳光线平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则，和之间存在的数量关系是_____； （2）如图2，，点M，N分别在，上，点P是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，，之间的数量关系，并写出解答过程． 拓展延伸： （3） 如图3，在（2）的条件下，在，之之间，MN左侧再取一点Q，连接，，，若使求与之间的数量关系． 29．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知直线，，有三个命题：①；②；③．下列说法中正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和③正确 D．①②③都正确 30．（22-23七年级下·山西期末）已知，的两条角边分别平行，，则的度数为 ． 题型十一、根据平行线的性质求角的度数 31．（23-24七年级下·山西忻州·期末）在学习了平行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线从液体中射向空气时会发生折射，光线变成，点G在射线上，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，，，点D，E分别在上，若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 33．（23-24七年级下·山西运城·期末）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型十二、根据平行线判定与性质求角度 34．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图，把一个含角的直角三角板放在直尺上，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知直线被所截，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24七年级下·山西太原·期末）超市的分层小推车能够更有效增加角落的收纳空间，十分便捷．如图是它抽象出来的平面图形，已知，．若，，则∠3的度数为（    ） A． B． C． D． 题型十三、根据平行线判定与性质证明 37．（24-25七年级下·山西太原·期中）综合与实践 如图，已知为钝角，点分别在射线，上，在内部分别过点作射线，在内部过点作射线． 【感知模型】 （1）如图1，若平分，猜想与的数量关系，并说明理由； 【数学思考】（2）如图2，若不是的平分线，直接写出，和之间的数量关系； 【深入探究】 （3）如图3，作的平分线，交于点，过点作的平行线交于点，的平分线交射线于点，点与点不重合．请补全图形，若，则的度数为______°．（用含的式子表示） 38．（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，已知，平分，点是线段上一点（不与点，重合）． (1)在图中求作直线，使得，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 39．（24-25七年级下·山西·期中）已知：如图，，求证：． 【例1】1．如图，已知：的两边与的两边分别平行，即，，与AC相交于点G．求证：． 【例2】2．如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 添加辅助线构造平行线，转化角的关系 当题目中已知的平行线与所求角之间没有直接的截线关联(如出现“拐角”“折线”图形)，通过添加辅助线(通常是过拐点作已知平行线的平行线)，利用平行线的传递性(平行于同一直线的两直线平行)和性质，将复杂图形分解为多个“三线八角”基本模型，从而转化角的关系。 利用角的数量关系判定或推导直线位置关系 通过分析两条直线被第三条直线所截形成的角(同位角、内错角、同旁内角)的数量关系，判定直线是否平行或利用直线平行的性质推导角的关系。具体包括:1．判定平行：若同位角相等，则两直线平行； 若内错角相等，则两直线平行；若同旁内角互补（和为 ），则两直线平行。 2．利用平行性质： 若两直线平行，则同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。 1．如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．下列语句正确的是（   ） A．一条直线的平行线有且只有一条 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的角叫对顶角 D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 3．下图中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线、相交于点，平分，，垂足为．若，则的度数是 5．如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值 ． 6．如图，，点，分别在，上，，于点，连结，且恰好平分，，则下列结论：①，②，③，其中结论正确的为 ．（请填写所有正确结论的序号）． 7．一个角的补角比它的余角的2倍多，则这个角的度数是 ． 8．如图，直线和相交于点O，，垂足为O，平分，若，求的度数． 9．把下面的推理过程补充完整，并在括号内填上理由． 已知：B、C、E三点在一条直线上，． 试说明： 解：∵（已知） ∴ （ ） ∵（已知） ∴ （ ） ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴（ ），（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） 10．【问题情境】（1）如图1，，，，求度数． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动，（点P与点O，A，B不重合），，．直接写出，，之间的数量关系． 【拓展应用】（3）如图3，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，利用上面的结论，求的度数． 期末试题调研与押题预测 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$