期末专题01 整式的乘除（知识梳理+13大题型+2种易错+2种解题秘籍）-2024-2025学年北师大版数学七年级下册

期末专题01 整式的乘除 同底数幂的乘法 1．同底数幂的乘法运算性质 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 用字母表示为（m, n都是正整数） ． 2．同底数幂的乘法运算性质的推广 （1）同底数幂的乘法运算性质对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即 都是正整数）。 （2）同底数幂的乘法运算性质既可正用也可逆用，即 都是正整数 ) ． 特别解读 1．运用同底数幂的乘法运算性质有两个关键：一是底数相同；二是指数相加。 2．指数相加的和作为积中幂的指数，即运算结果仍然是幂的形式。 3．单个字母或数可以看成指数为1的幂． 积的乘方 1．积的乘方运算性质 积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 用字母表示为 （ 为正整数）． 特别解读 1.应用积的乘方运算性质的前提是底数是乘积的形式,2.每个因式可以是单项式，也可以是多项式,3.在进行积的乘方运算时，要把底数中的每一个因式分别乘方，不要漏掉任何一个 幂的乘方 1.幂的乘方运算性质 幂的乘方，底数不变，指数相乘．用字母表示为 都是正整数 )． 2．幂的乘方运算性质的拓展运用 （1）幂的乘方运算性质的推广： 都是正整数）； （2）幂的乘方运算性质也可以逆用，逆用时 都是正整数 ). 特别解读 1．＂底数不变＂是指幂的底数 不变，＂指数相乘＂是指幂的指数 与乘方的指数 相乘。 2．底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式。 同底数幂的除法 同底数幂的除法运算性质 同底数幂相除，底数不变，指数相减。用字母表示为 都是正整数，且 ． 2．同底数幂的除法运算性质的拓展运用 （1）运算性质的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相除，即 ， ， 都是正整数，并且 ； （2）同底数幂的除法运算性质也可以逆用，逆用时 都是正整数，且 ． 特别解读 1．运用同底数幂的除法运算性质要注意两点：一是底数相同；二是指数相减。 2．底数可以是单项式，也可以是多项式，但不能为0． 多项式与多项式相乘 1. 多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2. 多项式与多项式相乘的几何解释 如图1．2－2，大长方形的面积可以表示为 ，也可以表示为四个小长方形的面积之和，即 ．所以 ． 特别解读 1.多项式乘多项式法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式。2.多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积。 平方差公式 1．平方差公式 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 用字母表示为 ． 2.平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式 应用举例 (1)位置变化 (2)符号变化 (3)系数变化 (4)指数变化 (5)增项变化 (6)连用公式 (7)增因式变化 特别解读 1．平方差公式的特征：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。 2．字母的意义：平方差公式中的a, b既可代表一个单项式，也可代表一个多项式。 完全平方公式 1．完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍． 用字母表示为 ． 2.完全平方公式的几种常见变形公式 特别解读 1．公式的特征： 公式的左边是一个二项式的平方，公式的右边是一个三项式，其中的两项是左边二项式的各项的平方，另一项是这两项的乘积的 2 倍。 2．字母a, b的意义： 公式中的字母a, b可以表示单项式，也可以表示多项式． 多项式除以单项式 1. 多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加2.多项式除以单项式的运算步骤(1)用多项式的每一项分别除以单项式;(2)把每一项除得的商相加 特别解读 1. 多项式除以单项式的实质就是转化为单项式除以单项式 2.商的项数与多项式的项数相同 题型一、同底数幂相乘 1．（23-24七年级下·山西期末）计算： ． 2．（23-24七年级下·山西朔州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山西运城·期末）已知，则的值为 ． 题型二、幂的乘方运算 4．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山西大同·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·全国·期末）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 题型三、积的乘方运算 7．（23-24七年级下·山西期末） ． 8．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）下面是小丽同学计算的过程： 解：…① …② …③ 则步骤①②③依据的运算性质分别是（   ） A．积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法 B．幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法 C．同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方 D．幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方 9．（23-24七年级下·全国·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四、同底数幂的除法运算 10．（23-24七年级下·山西期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·全国·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）一种液体每升含有个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死个此种细菌．若将1升这种液体中的有害细菌全部杀死，则需要这种杀菌剂 滴． 题型五、零指数幂 13．（23-24七年级下·山西运城·期末）计算： 14．（23-24七年级下·山西朔州·期末）计算： ． 15．（23-24七年级下·山西大同·期末）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 题型六、负整数指数幂 16．（23-24七年级下·山西临汾·期末）计算 ． 17．（23-24七年级下·山西临汾·期末）计算或化简： （1）；     （2）． 18．（23-24七年级下·山西大同·期末）计算： （1） （2） 题型七、用科学记数法表示绝对值大于1的数 19．（23-24七年级下·山西长治·期末）2024年12月12日是南水北调东中线一期工程全面通水十周年．截至12日，该工程已累计调水超过767亿立方米．数据767亿立方米用科学记数法表示为（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 20．（23-24七年级下·山西临汾·期末）根据北京青年报2024年11月14日发布的数据显示：2023年北京人工智能产业核心产值突破2686亿元，人工智能作为第四次工业革命的核心技术，正在释放科技革命和产业变革积蓄的巨大能量，对经济发展、社会治理、国家安全将产生重大而深远的影响．数据“2686亿元”用科学记数法可表示为（   ）． A．元 B．元 C．元 D．元 21．（23-24七年级下·山西运城·期末）我国2024年5月发射的嫦娥六号探测器，标志着我国对月球背面的研究又进入一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（） A． B． C． D． 题型八、计算单项式乘单项式 22．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）计算： (1)； (2)． 24．（22-23七年级下·山西朔州·期末）计算： ． 题型九、运用平方差公式进行运算 25．（23-24七年级下·山西大同·期末）下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 26．（23-24七年级下·山西太原·期末）先化简，再求值：，其中，． 27．（22-23七年级下·全国·期末）先化简，再求值：，其中，． 题型十、运用完全平方公式进行运算 28．（23-24七年级下·山西临汾·期末）在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为；再如：（是整数），所以也是“妙数”． (1)判断20是否为“妙数”___________（填“是”或者“否”）； (2)已知（是整数）是常数，要使为“妙数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 29．（22-23七年级下·全国·期末）（1）计算：； （2）已知，求的值． 30．（23-24七年级下·全国·期末）若，则A，B各等于（   ） A． B． C． D． 题型十一、多项式除以单项式 31．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 32．（23-24七年级下·山西太原·期末）先化简，再求值： ，其中，． 33． （23-24七年级下·全国·期末）先化简再求值：，其中，． 题型十二、整式四则混合运算 34． （22-23七年级下·山西太原·期末）先化简，再求值：，其中，． 35． （22-23七年级下·山西太原·期末）计算 36．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）计算： (1) (2) 题型十三、整式的混合运算 37．（23-24七年级下·全国·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 38．（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 39．（22-23七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【例1】计算，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、负整数指数幂 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．根据幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的法则进行计算，即可作答． （2）根据多项式乘多项式的法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 多项式乘多项式 --“逐项相乘，不重不漏” 1．逐项相乘：用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项（如 2．有序展开：可按＂降幂排列＂或＂FOIL 法＂（首项、外项、内项、末项）确保不重复、不遗漏。 3．合并同类项：将展开后的所有项中同类项合并，化简结果。 多项式除以单项式 --“分配律逆用，逐项相除” 1．分配律展开：将多项式的每一项分别除以单项式，转化为多个单项式除以单项式的运算（即 2．逐项计算：按＂单项式除以单项式＂的规则计算每一项的商，注意符号随项走（如负项除以正单项式结果为负）。 3．合并结果：将各项的商相加，化简后得到最终结果（若某一项与除式无法整除，需保留分数系数）。 1．某天全国约有人在“学习强国”平台上学习，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 2．若多项式的结果中不含项，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个平行四边形（图②）．这样操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．已知，则 6．如果，那么代数式的值为 ． 7．计算：3（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1，它的结果的个位数字是 ． 8．计算： (1)； (2)． 9．（1）计算：； （2）用乘法公式简便计算：． 期末试题调研与押题预测 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题01 整式的乘除 同底数幂的乘法 1．同底数幂的乘法运算性质 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 用字母表示为（m, n都是正整数） ． 2．同底数幂的乘法运算性质的推广 （1）同底数幂的乘法运算性质对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即 都是正整数）。 （2）同底数幂的乘法运算性质既可正用也可逆用，即 都是正整数 ) ． 特别解读 1．运用同底数幂的乘法运算性质有两个关键：一是底数相同；二是指数相加。 2．指数相加的和作为积中幂的指数，即运算结果仍然是幂的形式。 3．单个字母或数可以看成指数为1的幂． 积的乘方 1．积的乘方运算性质 积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 用字母表示为 （ 为正整数）． 特别解读 1.应用积的乘方运算性质的前提是底数是乘积的形式,2.每个因式可以是单项式，也可以是多项式,3.在进行积的乘方运算时，要把底数中的每一个因式分别乘方，不要漏掉任何一个 幂的乘方 1.幂的乘方运算性质 幂的乘方，底数不变，指数相乘．用字母表示为 都是正整数 )． 2．幂的乘方运算性质的拓展运用 （1）幂的乘方运算性质的推广： 都是正整数）； （2）幂的乘方运算性质也可以逆用，逆用时 都是正整数 ). 特别解读 1．＂底数不变＂是指幂的底数 不变，＂指数相乘＂是指幂的指数 与乘方的指数 相乘。 2．底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式。 同底数幂的除法 同底数幂的除法运算性质 同底数幂相除，底数不变，指数相减。用字母表示为 都是正整数，且 ． 2．同底数幂的除法运算性质的拓展运用 （1）运算性质的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相除，即 ， ， 都是正整数，并且 ； （2）同底数幂的除法运算性质也可以逆用，逆用时 都是正整数，且 ． 特别解读 1．运用同底数幂的除法运算性质要注意两点：一是底数相同；二是指数相减。 2．底数可以是单项式，也可以是多项式，但不能为0． 多项式与多项式相乘 1. 多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2. 多项式与多项式相乘的几何解释 如图1．2－2，大长方形的面积可以表示为 ，也可以表示为四个小长方形的面积之和，即 ．所以 ． 特别解读 1.多项式乘多项式法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式。2.多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积。 平方差公式 1．平方差公式 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 用字母表示为 ． 2.平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式 应用举例 (1)位置变化 (2)符号变化 (3)系数变化 (4)指数变化 (5)增项变化 (6)连用公式 (7)增因式变化 特别解读 1．平方差公式的特征：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。 2．字母的意义：平方差公式中的a, b既可代表一个单项式，也可代表一个多项式。 完全平方公式 1．完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍． 用字母表示为 ． 2.完全平方公式的几种常见变形公式 特别解读 1．公式的特征： 公式的左边是一个二项式的平方，公式的右边是一个三项式，其中的两项是左边二项式的各项的平方，另一项是这两项的乘积的 2 倍。 2．字母a, b的意义： 公式中的字母a, b可以表示单项式，也可以表示多项式． 多项式除以单项式 1. 多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加2.多项式除以单项式的运算步骤(1)用多项式的每一项分别除以单项式;(2)把每一项除得的商相加 特别解读 1. 多项式除以单项式的实质就是转化为单项式除以单项式 2.商的项数与多项式的项数相同 题型一、同底数幂相乘 1．（23-24七年级下·山西期末）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，即可得出结果． 【详解】解：； 故答案为：． 2．（23-24七年级下·山西朔州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方以及幂的乘方进行计算即可求解． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·山西运城·期末）已知，则的值为 ． 【答案】27 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法， 根据可得出，再根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：27． 题型二、幂的乘方运算 4．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项 【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方运算，掌握运算法则是解题关键． 根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方运算法则进行计算，然后作出判断． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，正确，故此选项符合题意， 故选：D． 5．（23-24七年级下·山西大同·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法．根据运算法则逐项计算，即可判断出正确答案． 【详解】解：，故A选项计算错误，不合题意； ，故B选项计算错误，不合题意； ，故C选项计算错误，不合题意； ，故D选项计算正确，符合题意； 故选D． 6．（23-24七年级下·全国·期末）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项 【分析】根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项不符合题意； C. ，计算正确，故选项符合题意； D. ，原计算错误，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方等知识点，熟练掌握幂的运算法则及整式的运算法则是解题的关键． 题型三、积的乘方运算 7．（23-24七年级下·山西期末） ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方运算和幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）下面是小丽同学计算的过程： 解：…① …② …③ 则步骤①②③依据的运算性质分别是（   ） A．积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法 B．幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法 C．同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方 D．幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方 【答案】A 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：…① …② …③ 则步骤①②③依据的运算性质分别是积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法． 故选：A． 9．（23-24七年级下·全国·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项不符合题意； C. ，原计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方等知识点，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 题型四、同底数幂的除法运算 10．（23-24七年级下·山西期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘除法，合并同类项．根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项法则求解即可． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 11．（23-24七年级下·全国·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】运用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 运用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A错误，不符合题意； B. ，故选项B正确，符合题意； C. ，故选项C错误，不符合题意； D. ，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 12．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）一种液体每升含有个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死个此种细菌．若将1升这种液体中的有害细菌全部杀死，则需要这种杀菌剂 滴． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据“所需杀菌剂滴数有害细菌总数滴杀菌剂可以杀死此种细菌的数目”直接列式计算即可． 【详解】解：所需杀菌剂滴数有害细菌总数滴杀菌剂可以杀死此种细菌的数目 ， 共需要杀虫剂滴 ， 故答案为：． 题型五、零指数幂 13．（23-24七年级下·山西运城·期末）计算： 【答案】1 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 14．（23-24七年级下·山西朔州·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂的运算，先计算负整数指数幂和零指数幂，再计算减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·山西大同·期末）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】利用负整数指数幂的性质和零次幂的性质、乘方的意义进行计算． 【详解】解：A、（−0.1）−1＝−10，故原题计算错误； B、，故原题计算正确； C、，故原题计算正确； D、−12＝−1，故原题计算正确； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握负整数指数幂：a−p＝（a≠0，p为正整数），零指数幂：a0＝1（a≠0）． 题型六、负整数指数幂 16．（23-24七年级下·山西临汾·期末）计算 ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】此题考查了零指数幂和负整数指数幂．根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算后，计算减法即可． 【详解】解：； 故答案为： 17．（23-24七年级下·山西临汾·期末）计算或化简： （1）；     （2）． 【答案】（1）10；（2） 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、多项式除以单项式、实数的混合运算 【分析】（1）先化简绝对值，乘方，零指数幂，负指数幂，再计算乘法与符号化简，最后计算加减法； （2）根据多项式除以单项式转化为单项式除以单项式计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2） ． 【点睛】本题考查实数混合运算，零指数幂，与负指数幂，多项式除以单项式，掌握实数混合运算法则，多项式除以单项式运算法则，零指数幂，与负指数幂是解题关键． 18．（23-24七年级下·山西大同·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【知识点】运用平方差公式进行运算、负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方运算 【分析】（1）根据负整指数幂，有理数的乘方，零次幂进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查了负整指数幂，有理数的乘方，零次幂，平方差公式，正确的计算是解题的关键． 题型七、用科学记数法表示绝对值大于1的数 19．（23-24七年级下·山西长治·期末）2024年12月12日是南水北调东中线一期工程全面通水十周年．截至12日，该工程已累计调水超过767亿立方米．数据767亿立方米用科学记数法表示为（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：767亿立方米立方米立方米， 故选：C． 20．（23-24七年级下·山西临汾·期末）根据北京青年报2024年11月14日发布的数据显示：2023年北京人工智能产业核心产值突破2686亿元，人工智能作为第四次工业革命的核心技术，正在释放科技革命和产业变革积蓄的巨大能量，对经济发展、社会治理、国家安全将产生重大而深远的影响．数据“2686亿元”用科学记数法可表示为（   ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据“2686亿元”用科学记数法可表示为元． 故选：B． 21．（23-24七年级下·山西运城·期末）我国2024年5月发射的嫦娥六号探测器，标志着我国对月球背面的研究又进入一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：C． 题型八、计算单项式乘单项式 22．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式乘单项式、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方，单项式乘以单项式，运用相关运算法则计算出各选项的结果两进行判断即可． 【详解】解：A．，故此选项计算错误，不符合题意； B. ，计算正确，此选项符合题意； C. ，故此选项计算错误，不符合题意； D. ，故此选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 23．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式除以单项式、积的乘方运算、计算单项式乘单项式、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查的是整式的混合运算，解答的关键是熟练掌握相应的运算法则． （1）先利用单项式乘单项式的法则进行运算，再计算积的乘方，最后合并同类项即可； （2）根据单项式乘以多项式，多项式除以单项式的运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 24．（22-23七年级下·山西朔州·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】根据单项式乘单项式的法则进行作答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式的法则，难度较小；单项式乘单项式的法则：系数与系数相乘结果作为积的系数，相同字母相乘，字母不变，指数相加的结果作为积的该字母的指数，对于只在一个单项式里的字母，连同它的指数作为积的一个因式写在积里． 题型九、运用平方差公式进行运算 25．（23-24七年级下·山西大同·期末）下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断．本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 【详解】解：A、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、存在相同的项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项符合题意； C、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 26．（23-24七年级下·山西太原·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，合并同类项，熟练运用完全平方公式，平方差公式对代数式进行化简是解题的关键．利用完全平方公式，平方差公式展开化简，然后代入值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 27．（22-23七年级下·全国·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；3 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、多项式乘多项式——化简求值 【分析】此题考查的是整式的混合运算，掌握完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式法则和合并同类项法则是解题关键． 先根据完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式法则和合并同类项法则化简，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 题型十、运用完全平方公式进行运算 28．（23-24七年级下·山西临汾·期末）在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为；再如：（是整数），所以也是“妙数”． (1)判断20是否为“妙数”___________（填“是”或者“否”）； (2)已知（是整数）是常数，要使为“妙数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)，理由见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）利用完全平方公式，将转换为：，根据新定义，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴20是“妙数”； 故答案为：是； （2）解：，理由如下： ． 为“妙数”， ， 29．（22-23七年级下·全国·期末）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】整式乘法混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先利用完全平方公式展开，去括号，再合并同类项，即可得解； （2）根据已知可得，然后再代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题可得，故， ， ∴， ∴． 30．（23-24七年级下·全国·期末）若，则A，B各等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 将已知等式中间第一项利用完全平方公式化简，右边第一项也利用完全平方公式展开，计算出A与B的值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 题型十一、多项式除以单项式 31．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】负整数指数幂、同底数幂的除法运算、积的乘方运算、多项式除以单项式 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据积的乘方判断A选项，根据同底数幂的除法判断B选项，根据多项式除以单项式判断C选项，根据负整数指数幂的运算法则判断D选项． 【详解】解：A. ，故该选项符合题意； B. ，故该选项不符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项不符合题意； 故选：A ． 32．（23-24七年级下·山西太原·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】，4 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、多项式除以单项式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的化简求值，先计算完全平方公式，平方差公式，再计算括号内的整式加减，然后计算整式的除法，最后将 的值代入计算即可得，熟练掌握整式的运算法则和完全平方公式是解题关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 33．（23-24七年级下·全国·期末）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】多项式除以单项式、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到结果，将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型十二、整式四则混合运算 34．（22-23七年级下·山西太原·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，8 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算，原式根据平方差公式和完全平方公式将小括号展开，合并后再计算除法，得最简结果，再把的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时、原式． 35．（22-23七年级下·山西太原·期末）计算 【答案】 【知识点】整式四则混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算， 先运用平方差公式以及单项式乘以多项式展开，然后合并同类项即可得出答案． 【详解】解： 36．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、整式四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）先运用零次幂、负整数次幂化简，然后再运用有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据整式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： = =1+2 =3． （2）解： = =． 【点睛】本题主要考查了零次幂、负整数次幂、有理数的混合运算、整式的混合运算等知识点，正确使用相关运算法则成为解答本题的关键． 题型十三、整式的混合运算 37．（23-24七年级下·全国·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2），0 【知识点】零指数幂、运用完全平方公式进行运算、负整数指数幂、整式的混合运算 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，以及实数的运算． （1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值代数意义化简，计算即可得到结果； （2）原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 38．（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算 【分析】本题考查有理数及整式的混合运算，解题关键是掌握整式相关运算的法则． （1）先算零指数幂，负整数指数幂及乘方运算，再算加减即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，进行整式的加减即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 39．（22-23七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】整式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的混合运算，乘法公式，熟练掌握相关计算是解题的关键． （1）先计算零指数幂和负整数指数幂及化简绝对值，再计算实数的求和即可； （2）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方法则，再合并同类项，即得答案； （3）先用平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项，即得答案． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 【例1】计算，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、负整数指数幂 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．根据幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的法则进行计算，即可作答． （2）根据多项式乘多项式的法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 多项式乘多项式 --“逐项相乘，不重不漏” 1．逐项相乘：用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项（如 2．有序展开：可按＂降幂排列＂或＂FOIL 法＂（首项、外项、内项、末项）确保不重复、不遗漏。 3．合并同类项：将展开后的所有项中同类项合并，化简结果。 多项式除以单项式 --“分配律逆用，逐项相除” 1．分配律展开：将多项式的每一项分别除以单项式，转化为多个单项式除以单项式的运算（即 2．逐项计算：按＂单项式除以单项式＂的规则计算每一项的商，注意符号随项走（如负项除以正单项式结果为负）。 3．合并结果：将各项的商相加，化简后得到最终结果（若某一项与除式无法整除，需保留分数系数）。 1．某天全国约有人在“学习强国”平台上学习，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：C． 2．若多项式的结果中不含项，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了合并同类项及对多项式“项”的概念的理解，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先把多项式合并，然后令项系数等于，再解方程即可． 【详解】解：， 多项式的结果中不含项， ， ， 故选：C． 3．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个平行四边形（图②）．这样操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据图①可得剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据图②可得剩余部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此即可得． 【详解】解：由图①可知，剩余部分的面积为， 由图②可知，拼成的平行四边形矩形的底为，高为， 则剩余部分的面积为， 所以能验证的等式是， 故选：D． 4．计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式．熟练掌握单项式乘多项式的法则，是解决问题的关键．先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．已知，则 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查了多项式的乘法，根据多项式乘法法则将括号展开后再合并，根据系数相等求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解： 又 ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 6．如果，那么代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、计算单项式乘多项式及求值、整式的加减运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，运算后整体代入求解是关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 故答案为：． 7．计算：3（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1，它的结果的个位数字是 ． 【答案】4 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】把3转化为（22-1），再利用平方差公式进行运算，即可得出结果． 【详解】解：3（22+1）（24+1）…（232+1）-1 =（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）-1 =264-1-1 =264-2， ∵2的尾数是2， 22=4的尾数是4， 23=8的尾数是8， 24=16的尾数是6， 25=32的尾数是2， … 其尾数为：2，4，8，6不断的循环， ∵64÷4=16， ∴264的尾数为6， ∴264-2的个位数字为：6-2=4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查平方差公式，尾数特征，解答的关键是对平方差公式的掌握与应用． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式除以单项式、积的乘方运算、计算多项式乘多项式、整式的混合运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算，平方差公式及完全平方公式，积的乘方和整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算括号内的运算，然后计算除法即可，熟练掌握运算法则是解题关键． （2）先计算积的乘方，进而利用整式的除法运算法则计算得出答案； 【详解】（1）解： . （2）解： ． 9．（1）计算：； （2）用乘法公式简便计算：． 【答案】（1）；（2）159999 【知识点】运用平方差公式进行运算、计算单项式除以单项式、计算单项式乘单项式、积的乘方运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是熟练掌握同底数幂乘法，同底数幂除法，积的乘方，平方差公式． （1）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，单项式除单项式即可； （2）原式化为，利用平方差公式进行运算即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 期末试题调研与押题预测 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$