衔接点01 运算与技巧-2025年小升初数学无忧衔接（苏科版2024）

衔接点01 运算与技巧 学习要求……………………………………………………………………………………………………………1 知识衔接……………………………………………………………………………………………………………2 题型探究……………………………………………………………………………………………………………3 题型1、活用运算定律和性质（凑整思想） 3 题型2、巧分组法 11 题型3、换元法 14 题型4、分数裂项计算 17 题型5、数列求和（等差、等比数列） 21 题型6、运用乘法公式运算 24 题型7、运用图形进行简算 26 基础通关 28 拓展培优 43 小学阶段 初中阶段 小学阶段主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力。 初中阶段：数系扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也在小学正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并增加乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。 衔接指引 对于四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。 对于运算技巧（简便运算），希望大家能发自内心想要让运算简便，而不是题目要求要简便。通过本专题希望大家能同学们多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，深刻理解简算的数学思想。 1．运算定律 1）加法交换律： 加法结合律： 2）乘法交换律： 乘法结合律： 3）乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 2．运算性质 1）减法的性质： 2）除法的性质： 3）商的“不变性”，即若，则，； 3．裂项公式（补充）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。 第一类（“裂差”型运算）：或 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 4．数列求和公式（补充） 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 5．乘法公式（补充） 平方差公式： 完全平方公式：， 题型1、活用运算定律和性质（凑整思想） 【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。 一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律或减法的性质、除法的性质及商的不变性达到凑整的目的。 1．（2024·重庆涪陵·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。  （1）10.5－6.25－3.75＋7.5； （2）  ； （3）； （4） ； （5）； （6）（9＋7）÷（＋） 【答案】（1）8；（2）；（3） ；（4）5；（5）1；（6）13。 【详解】（1）10.5－6.25－3.75＋7.5 ＝10.5＋7.5－6.25－3.75 ＝（10.5＋7.5）－（6.25＋3.75） ＝18－10 ＝8 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） （4） ＝ ＝ ＝ （5）原式= = =1 （6）原式=（＋）÷（＋） =[65×（＋）]÷[5×（＋）] =65÷5 =13 例2．（2024·江苏·小升初真题）脱式计算下面各题，能简算的要简算。 （1）7.6×2.5×4          （2）87×         （3）26.4－3.28－6.4－4.72 （4）1.25×8×4×2.5        （5） 73×101            （6） 【答案】（1）76；（2）85；（3）12；（4）100；（5）7373；（6）28 【详解】（1）7.6×2.5×4 ＝7.6×（2.5×4） ＝7.6×10 ＝76 （2）87× ＝（86＋1）× ＝86× ＝85＋ ＝85 （3）26.4－3.28－6.4－4.72 ＝26.4－6.4－3.28－4.72 ＝（26.4－6.4）－（3.28＋4.72） ＝20－8 ＝12 （4）1.25×8×4×2.5 ＝（1.25×8）×（4×2.5） ＝10×10 ＝100 （5）73×101 ＝73×（100＋1） ＝73×100＋73×1 ＝7300＋73 ＝7373 （6） ＝（）×32 ＝ ＝8＋20 ＝28 变式1．（2024·浙江杭州·小升初真题）选择合理的方法计算。 （1）        （2）          （3） （4）31.4÷12.5÷8     （5）8×3÷[1÷（3－2.95）] （6）2018÷2018＋ 【答案】（1）；（2）1；（3）2；（4）0.314；（5）；（6）1 【详解】（1）2－ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝1 （3） ＝ ＝3 ＝3 ＝2 （4）31.4÷12.5÷8 ＝31.4÷（12.5×8） ＝31.4÷100 ＝0.314 （5）8×3÷[1÷（3－2.95）] ＝8××（3.2－2.95） ＝8××0.25 ＝8×0.25× ＝2× ＝ （6）2018÷2018 ＝2018÷＋ ＝2018÷＋ ＝2018÷＋ ＝2018×＋ ＝＋ ＝1 变式2．（2024·重庆永川·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）     （2） （3）     （4） （5）      （6） 【答案】（1）290；（2）11；（3）18；（4）10.5；（5）80；（6）7.5 【详解】（1） ＝325－35 ＝290 （2） （3） （4） （5） （6） 变式3．（2024·重庆垫江·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）； （2）  （3）               （4）   （5）           （6） 【答案】（1）；（2）5100；（3）1.65；420；42；5 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 变式4．（2023·广东广州·小升初真题）用你喜欢的方法计算： （1）12.7×99＋12.7      （2） （3）          （4） （5）    （6）（＋1＋）÷（＋＋） 【答案】（1）1270；（2）21；（3）4；（4）20.2；（5）1    （6）2 【详解】（1）12.7×99＋12.7 ＝12.7×（99＋1） ＝12.7×100 ＝1270 （2）36×（－） ＝36×－36× ＝27－6 ＝21 （3）－－＋ ＝＋－－ ＝（＋）－（＋） ＝5－1 ＝4 （4）28.8－（7.6＋÷0.125） ＝28.8－（7.6＋0.125÷0.125） ＝28.8－（7.6＋1） ＝28.8－8.6 ＝20.2 （5）    = = = =1 （6）（＋1＋）÷（＋＋） =（＋＋）÷（＋＋） =2×（＋＋）÷（＋＋） =2 题型2、巧分组法 【解题技巧】基本运算中的分组策略 观察算式，找出算式分布规律，然后适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。 1）‌加减法的相邻分组‌：针对连续加减混合运算，优先将相邻的数按固定规律分组，简化计算。 ‌示例‌：计算 100 - 99 + 98 - 97 + … + 2 - 1  分析：每两个相邻数为一组：(100-99) + (98-97) + … + (2-1)；每组结果为 1，共 50 组，总和为 50。 2）等差数列与等比数列分组‌：若数列由不同规律的分段组成，可拆分为多个子数列分别求和。 例1．（24-25七年级·重庆·期中）计算： （1）2 （2） 【答案】（1）1012（2）0 【详解】（1） = 每两个数为一组，一共有338组，每组的结果是3；原式． （2）原式＝＝0， 例2．（2024·广东·小升初模拟）计算题，写出计算过程和结果。 （1）；（2） 【答案】（1）；（2）2050 【详解】（1） ＝ ＝ ＝25＋ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2050 变式1.（24-25七年级·浙江·期中）计算 +2025值为（  ） A．-1 B．1 C．2025 D．2026 【答案】B 【详解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+……+2021+2022-2023-2024+2025 =1+（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+（10-11-12+13）+……+（2022-2023-2024+2025） =1+0+0+0+……+0=1＝1．故选B. 变式2．（2024六年级·浙江·培优）计算。 （1） （2）2023-2020+2017-2014＋2011－2008＋……＋19－16+13－10+7－4+1 【答案】（1）（2）1012 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2）2023-2020+2017-2014＋2011－2008＋……＋13－10＋7－4+1 =（2023-2020）+（2017-2014）＋（2011－2008）＋……＋（13－10）＋（7－4）＋1 每两个数为一组，结果是3；一共有337组； =3×337+1 =1012 变式2．（2024·江苏·六年级校考期中）计算： （1）；（2）            【答案】（1）21；（2）5055； 【详解】（1）法1： ＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）＋（） ＝21＋（1－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝21＋（1－） ＝21＋ ＝21 法2： ＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）＋（+－） ＝21＋（＋＋＋＋＋－） ＝21＋（＋＋＋＋－） ＝21＋（＋＋＋－） ＝21＋（＋＋－） ＝21＋（＋－） ＝21＋（1－） ＝21＋ ＝21 （2） ＝1＋＋2＋＋3＋＋4＋＋5＋…＋100＋ ＝（1＋2＋3＋4＋…＋100）＋（＋＋＋＋…＋） ＝（1＋100）×100÷2＋ ＝101×100÷2＋ ＝10100÷2＋ ＝5050＋ ＝5050＋5 ＝5055 题型3、换元法 【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。 例1．（2024·湖南·六年级自主招生）计算。 【答案】 【详解】令＝A，＝B； 原式＝A×（B＋）－（A＋）×B ＝AB＋A－AB－B ＝A－B ＝×（A－B） ＝×[（）－（）] ＝×[] ＝×1 ＝ 例2．（2024·成都市小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。 【答案】 【详解】设＝a， 原式化为：（1＋a）×（a＋）－a×（1＋a＋） ＝a＋＋a2＋－a－ a2－ ＝ 变式1．（2024·广东深圳·六年级校考期中）巧算。 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）2020÷ ＝2020÷ ＝2020÷ ＝2020× ＝ （2）（＋＋＋）×（＋＋＋）－（＋＋＋＋）×（＋＋） ＝（＋＋＋）×[（＋＋）＋]－[（＋＋＋）＋]×（＋＋） ＝（＋＋＋）×（＋＋）＋（＋＋＋）×－（＋＋＋）×（＋＋）－×（＋＋） ＝（＋＋＋）×－×（＋＋） ＝×（＋＋＋－－－） ＝× ＝ 变式2.（2024·广东·校考小升初模拟）用简便方法计算。 【答案】 【详解】假设， 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 题型4、分数裂项计算 【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算 第一类（“裂差”型运算）：①或 ②。 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）观察下列等式： ，，…… 用你发现的规律解答下列问题：（）猜想并写出：__________． （）直接写出下列各式的计算结果： ①…… .②…… . （）探究算式，直接写出计算结果：……_____． 【答案】（1）;（2）①;②;（3）. 【详解】(1) . ①…+ ==1−， ②…… =1−； (3) …… = = = 故答案为（1）;（2）①;②;（3）. 例2.（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）观察下列等式：，，…… 用你发现的规律解答下列问题：（）猜想并写出：__________； （）探究算式，并计算：； （3）探究算式，并计算：。 【详解】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）。答案： （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ 变式1.（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列材料：计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ． 【答案】 【详解】解：依题意得： 变式 2．（2022·广西南宁·校考小升初真题）观察下列等式：，，， 请将以上三个等式两边分别相加得： 。 （1）猜想并写出：（    ）。（2）（    ）。 （3）探究并计算：（    ）。 （4）计算： 【答案】（1）（2）（3）（4） 【详解】（1）＝ ＝ 变式3．（24-25七年级上·河北·期中）计算： 【答案】 【详解】 ＝ 题型5、数列求和（等差、等比数列） 【解题技巧】 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 ； 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 例1．（2024六年级·广东·培优）计算： （1） （2） （3）1＋＋＋…＋20 【答案】4950 （2）235 （3）214.2 【详解】（1）1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋95＋96＋97＋98＋99 ＝（1＋99）×99÷2 ＝100×99÷2 ＝9900÷2 ＝4950 （2）1＋6＋11＋16＋21＋26＋31＋36＋41＋46 ＝（1＋46）×10÷2 ＝47×5 ＝235 （3）1＋＋＋…＋20 例2．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题：（1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为，故答案为：； （2）∵，，，∴，故答案为：； （3）设①，则②， 得，∴． 变式1．（2024·四川成都·小升初真题）下列各题要写出主要计算过程。 （1）      （2） 【答案】（1）1001；（2） 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ 变式2．（2023·四川成都·小升初模拟）计算： 【答案】 【详解】 ＝ ＝＝ 故答案为： 变式2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）【旧题重现】计算的值． 解：设，则 ， 得： ，，即 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．请用你学到的方法计算：． 【新方法生成】将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题： （1）　 　；（2）　 　；（3）　 　； 【新方法迁移】（4）　 　；    【答案】旧题重现：；新方法生成:（1）（2）（3）；新方法迁移:（4） 【详解】解：旧题重现：设，则： 所以， 新方法生成：结合图形可得： （1）；（2）；（3）； 新方法迁移：（4）故答案为： 题型6、运用乘法公式运算 【解题技巧】平方差公式： 完全平方公式：， 例1．（2024·浙江·小升初模拟）计算： 【答案】。 【详解】 例2．（2022·四川绵阳·小升初真题）计算题：   【答案】330； 【详解】 例3．（2024·山东·六年级培优）利用乘法公式进行简便计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)9996(2)9801(3) 【解析】 (1)解：． (2)解：． (3)原式 变式1．（2022·重庆沙坪坝·小升初真题）计算：     【答案】2006； 【解析】＝ ＝＝＝2006 变式2.（1）（2024·江苏·七年级期中）计算：＝___． （2）（2022·湖南汉寿·七年级期中）计算：799×801﹣8002＝_____． 【答案】；-1 【详解】（1）．故答案为： （2）解：799×801﹣8002＝（800﹣1）×（800+1）﹣8002＝8002﹣1﹣8002＝﹣1，故答案为：-1 变式3．（2024·广东·梅州市七年级阶段练习）简便计算：(1)20022 (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】(1)解：； (2)解：． 题型7、利用图形进行简算 【解题技巧】利用图形进行简便运算的方法，通常被称为‌图形法‌或‌几何法‌。这种方法通过将数学问题转化为图形问题，利用图形的直观性和几何性质来简化运算过程。需要注意的是，虽然图形法可以简化运算过程并提高解题效率，但在使用时应确保图形的准确性和规范性。此外，对于一些特殊问题或复杂情况，可能需要结合其他数学方法或工具来共同求解。 例1．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，以形助数更直观．例如：计算时，可以用图形来解释：把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形；再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形．所以，阴影部分的面积：． (1)利用上述图形思路，你能猜想出下式的结果吗？． (2)利用上题猜想的结果，计算：． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵图中阴影部分的面积为． ∴可得出阴影部分的面积等于总面积减去空白的面积， ∴可以看成是把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形；再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形．．．一直等分成两个面积为的长方形，∴； （2）解：可以看成是把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形；再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形．．．一直等分成两个面积为的长方形， ∴． 变式1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）如图，把一个面积为 1 的正方形分成两个面积为 的长方形，再把其中一个面积为 的长方形分成两个面积为 的正方形，再把其中一个面积为 的正方形分成两个面积为 的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算： ． 【答案】 【详解】解：由图可知：，，…, ∴故答案为： 变式2．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，如此下去，利用图中示的规律计算＝ ；＝ ． 【答案】 【详解】解：根据以上分析可得＝1－. . 1．（2024·广东广州·小升初真题）用递等式计算。                                    【答案】13；2 5； 【详解】（1） ＝（2.38＋0.62）＋（＋） ＝3＋10 ＝13 （2） ＝3－－ ＝3－（＋） ＝3－1 ＝2 （3） ＝36×－36× ＝32－27 ＝5 （4） ＝ ＝×（＋） ＝×1 ＝ 2．（2024·山西大同·小升初真题）运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程。 ÷＋× 2.5÷1.25÷8×4 68÷－68 【答案】；1；6800 【详解】 3．（2025·北京·小升初模拟）递等式计算。 560＋210÷7×42         2.5×128×0.4                 【答案】1820；128；；7 【详解】560＋210÷7×42 ＝560＋30×42 ＝560＋1260 ＝1820 2.5×128×0.4 ＝2.5×0.4×128 ＝1×128 ＝128 ＝ ＝×× ＝× ＝ ＝（－＋）×12 ＝×12－×12＋×12 ＝9－8＋6 ＝7 4．（2024·浙江温州·小升初真题）递等式计算。 （1）5.67－3.56－1.44     （2） （3）       （4） 【答案】（1）0.67；（2）12（3）8.1；（4）5 【详解】（1）5.67－3.56－1.44 ＝5.67－（3.56＋1.44） ＝5.67－5 ＝0.67 （2） ＝12×－12×＋12× ＝8－6＋10 ＝12 （3）2.7÷[－（－）] ＝2.7÷[－＋] ＝2.7÷[＋－] ＝2.7÷[1－] ＝2.7÷ ＝2.7×3 ＝8.1 （4） ＝1.7×＋4.3× ＝（1.7＋4.3）× ＝6× ＝5 5．（2024·海南海口·小升初真题）递等式计算。 560＋210÷7×42             9.43－2.8－1.43             2.5×128×0.4                       【答案】1820；5.2；128；1；；7 【详解】560＋210÷7×42 ＝560＋30×42 ＝560＋1260 ＝1820 9.43－2.8－1.43 ＝9.43－1.43－2.8 ＝8－2.8 ＝5.2 2.5×128×0.4 ＝2.5×0.4×128 ＝1×128 ＝128 ＝÷[×] ＝÷ ＝1 ＝×÷ ＝× ＝ ＝（－＋）×12 ＝×12－×12＋×12 ＝9－8＋6 ＝7 6．（2024·江苏连云港·小升初真题）简便计算。                  【答案】；7； 【详解】 ＝3×＋3×－ ＝＋－ ＝－＋ ＝ ＝24×＋24×－24× ＝6＋4－3 ＝7 ＝ ＝ ＝ ＝ 7．（2024·四川内江·小升初真题）用递等式计算（能简算的请你简算）。 2800－928÷29×18                        ÷[（－）×] 19×（－）×15                    7.5×5.6＋28×＋75%×16 5＋＋＋＋＋＋＋＋＋ 【答案】2224；3 7；75 【分析】（1）根据四则混合运算，先算乘除运算，再算减法运算； （2）先算小括号里的减法运算，然后算中括号里的乘法运算，再算除法运算，在计算分数的除法，根据除以一个分数相当于乘这个分数的倒数计算。 （3）利用乘法分配律，将括号里面的数分别与括号外的数相乘最后相加进行简便运算； （4）先把分数，百分数化成小数，然后利用乘法分配律进行简便运算； （5），，，以此类推，然后根据加法的结合律，先将几个分数相加简便计算，最后再与整数相加。 【详解】（1）2800－928÷29×18 ＝2800－576 ＝2224 （2）÷[（－）×] ＝÷[（）×] ＝÷[] ＝÷ ＝3 （3）19×（－）×15 ＝ ＝45－38 ＝7 （4）7.5×5.6＋28×＋75%×16 ＝0.75×56＋28×0.75＋0.75×16 ＝0.75×（56＋28＋16） ＝0.75×100 ＝75 （5）5＋＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝5＋（1－）＋（）＋（）＋（）＋（）＋（）＋（）＋（）＋（） ＝5＋1－ ＝5＋1－ ＝ 8．（2024·四川成都·小升初真题）下列各题要写出主要计算过程。 （1）      （2） （3）      （4） （5）      （6） 【答案】（1）；（2）752；（3）100；（4）；（5）1001；（6） 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （5） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （6） ＝ ＝ ＝ 9．（2025·福建泉州·小升初模拟）神机妙算。 （1）8×3÷[1÷（3－2.95）] （2）×39＋×25＋2× （3）＋＋＋＋ （4）2018÷2018＋ （5）1－＋－＋ 【答案】；30；1680；1； 【详解】（1）8×3÷[1÷（3－2.95）] ＝8××（3.2－2.95） ＝8××0.25 ＝8×0.25× ＝2× ＝ （2）×39＋×25＋2× ＝（1－）×39＋×25＋2× ＝39－×39＋×25＋2× ＝39－×（39－25－2） ＝39－×12 ＝39－9 ＝30 （3）＋ ＝2016×（） ＝2016×（） ＝2016×（－－－－－） ＝2016×（1－－－－－） ＝2016× ＝1680 （4）2018÷2018 ＝2018÷＋ ＝2018÷＋ ＝2018÷＋ ＝2018×＋ ＝＋ ＝1 （5）1－＋－＋ ＝1＋－＋－＋ ＝1＋－－＋＋－－＋＋ ＝1＋－－＋＋－－＋＋ ＝1＋ ＝ 10．（2024六年级·江苏·培优）能简算的要简算。                    【答案】444444；2470；160； 【详解】 11．（2025六年级下·广东·培优）计算：（1）（）÷（） （2）2004÷2004 （3） 【答案】（1） （2） （3）1 【详解】（1）原式＝（）÷（） ＝2016（2012） ＝20162012 （2） （3） 12．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）计算。 （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1）；（2）9.25；（3）；（4）；（5）253764 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝× ＝× ＝× =÷× ＝×× ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （5） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ = ＝253764 1．（2024六年级·江苏·培优）计算题：（1）     （2） （3）（结果不用计算） （4）    （5） （结果不用计算） 【答案】；；；1； 【详解】 （结果不用计算） =11 （结果不用计算） 2．（2024六年级·山东·培优）计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （请将结果写成带分数） （7）（请将结果写成带分数） （8）（请将结果写成带分数） 【答案】 2 50.5 245 1 1246 10 【详解】 3．（2025六年级·广东汕尾·培优）计算： （1）＋＋＋……＋ （2）＋＋＋…＋－－－…－ （3） （4） 【答案】（1） （2）0 （3） （4） 【详解】（1）＋＋＋……＋ ＝（－）×＋（－）×＋……＋（－）× ＝（－＋－＋…＋－）×＝（－）×＝×＝ （2）＋＋＋…＋－－－…－ （3） （4）将算式中的整数与整数相加，分数与分数相加，分母裂项进行相加： 原式= ）= 4．（2024六年级·广东·培优）计算题： （1）      （2） （3）      （4）。 【答案】（1）1；（2）；（3） ；（4） 【详解】（1） （2） （3） （4） ＝ ＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝＝ 5．（2025·四川成都·小升初模拟）计算： （1）；（2） （3）；（4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）5050 【详解】（1） （2） （3）设＝a，＝b，则 原式＝（1＋a）b－（1＋b）a＝b＋ab－a－ab＝b－a ＝（）－（）＝ （4）＝ ＝＝＝＝ 6．（2024·湖北·六年级期中）计算题： （1） （2） （3） （4） 【答案】；；； 【详解】 ＝ ＝2×2012＋ ＝4024＋ ＝4024＋＝4024＋＝ ＝ ＝＝＝＝ ＝5××（）＝5××（）＝5××＝ ＝（1＋2＋4＋…＋256＋512）＋（） ＝1023＋（）＝1023＋＝ 7．（24-25七年级上·重庆·期末）如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列（Geometric Sequences）．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）． （1）观察一个等比数列1，，…，它的公比q＝　 　；如果an（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，那么a18＝　 　，an＝　 　； （2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行：令S＝1+2+4+8+16+…+230…① 等式两边同时乘以2，得2S＝2+4+8+16++32+…+231…② 由②﹣①式，得2S﹣S＝231﹣1 即（2﹣1）S＝231﹣1 所以 请根据以上的解答过程，求3+32+33+…+323的值； （3）用由特殊到一般的方法探索：若数列a1，a2，a3，…，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，请用含a1，q，n的代数式表示an；如果这个常数q≠1，请用含a1，q，n的代数式表示a1+a2+a3+…+an． 【答案】（1） ， ， ；（2）；（3） 【详解】解：（1）÷1＝，a18＝1×（）17＝，an＝1×（）n﹣1＝， 故答案为：，，；     （2）设S＝3+32+33+…+323，则3S＝32+33+…+323+324，∴2S＝324﹣3，∴S＝ （3）根据定义可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1•q，a3=a2•q=a1q•q=a1•q2，a4=a3•q=a1•q2=a1•q3，…an=a1.qn-1． 设S=a1+a2+a3+…+an①，则qS=a1q+a2q+a3q+…+anq=a2+a3+a4+…+an+an+1②， ②-①得qS-S=(a-1)S=an+1-a1，∴S==．答案：an=a1qn-1； 37 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点01 运算与技巧 学习要求……………………………………………………………………………………………………………1 知识衔接……………………………………………………………………………………………………………2 题型探究……………………………………………………………………………………………………………3 题型1、活用运算定律和性质（凑整思想） 3 题型2、巧分组法 11 题型3、换元法 14 题型4、分数裂项计算 17 题型5、数列求和（等差、等比数列） 21 题型6、运用乘法公式运算 24 题型7、运用图形进行简算 26 基础通关 28 拓展培优 43 小学阶段 初中阶段 小学阶段主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力。 初中阶段：数系扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也在小学正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并增加乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。 衔接指引 对于四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。 对于运算技巧（简便运算），希望大家能发自内心想要让运算简便，而不是题目要求要简便。通过本专题希望大家能同学们多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，深刻理解简算的数学思想。 1．运算定律 1）加法交换律： 加法结合律： 2）乘法交换律： 乘法结合律： 3）乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 2．运算性质 1）减法的性质： 2）除法的性质： 3）商的“不变性”，即若，则，； 3．裂项公式（补充）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。 第一类（“裂差”型运算）：或 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 4．数列求和公式（补充） 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 5．乘法公式（补充） 平方差公式： 完全平方公式：， 题型1、活用运算定律和性质（凑整思想） 【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。 一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律或减法的性质、除法的性质及商的不变性达到凑整的目的。 1．（2024·重庆涪陵·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。  （1）10.5－6.25－3.75＋7.5； （2）  ； （3）； （4） ； （5）； （6）（9＋7）÷（＋） 例2．（2024·江苏·小升初真题）脱式计算下面各题，能简算的要简算。 （1）7.6×2.5×4          （2）87×         （3）26.4－3.28－6.4－4.72 （4）1.25×8×4×2.5        （5） 73×101            （6） 变式1．（2024·浙江杭州·小升初真题）选择合理的方法计算。 （1）        （2）          （3） （4）31.4÷12.5÷8     （5）8×3÷[1÷（3－2.95）] （6）2018÷2018＋ 变式2．（2024·重庆永川·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）     （2） （3）     （4） （5）      （6） 变式3．（2024·重庆垫江·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）； （2）  （3）               （4）   （5）           （6） 变式4．（2023·广东广州·小升初真题）用你喜欢的方法计算： （1）12.7×99＋12.7      （2） （3）          （4） （5）    （6）（＋1＋）÷（＋＋） 题型2、巧分组法 【解题技巧】基本运算中的分组策略 观察算式，找出算式分布规律，然后适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。 1）‌加减法的相邻分组‌：针对连续加减混合运算，优先将相邻的数按固定规律分组，简化计算。 ‌示例‌：计算 100 - 99 + 98 - 97 + … + 2 - 1  分析：每两个相邻数为一组：(100-99) + (98-97) + … + (2-1)；每组结果为 1，共 50 组，总和为 50。 2）等差数列与等比数列分组‌：若数列由不同规律的分段组成，可拆分为多个子数列分别求和。 例1．（24-25七年级·重庆·期中）计算： （1）2 （2） 例2．（2024·广东·小升初模拟）计算题，写出计算过程和结果。 （1）；（2） 变式1.（24-25七年级·浙江·期中）计算 +2025值为（  ） A．-1 B．1 C．2025 D．2026 变式2．（2024六年级·浙江·培优）计算。 （1） （2）2023-2020+2017-2014＋2011－2008＋……＋19－16+13－10+7－4+1 变式2．（2024·江苏·六年级校考期中）计算： （1）；（2）            题型3、换元法 【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。 例1．（2024·湖南·六年级自主招生）计算。 例2．（2024·成都市小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。 变式1．（2024·广东深圳·六年级校考期中）巧算。 （1） （2） 变式2.（2024·广东·校考小升初模拟）用简便方法计算。 题型4、分数裂项计算 【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算 第一类（“裂差”型运算）：①或 ②。 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）观察下列等式： ，，…… 用你发现的规律解答下列问题：（）猜想并写出：__________． （）直接写出下列各式的计算结果： ①…… .②…… . （）探究算式，直接写出计算结果：……_____． 例2.（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）观察下列等式：，，…… 用你发现的规律解答下列问题：（）猜想并写出：__________； （）探究算式，并计算：； （3）探究算式，并计算：。 变式1.（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列材料：计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ． 变式 2．（2022·广西南宁·校考小升初真题）观察下列等式：，，， 请将以上三个等式两边分别相加得： 。 （1）猜想并写出：（    ）。（2）（    ）。 （3）探究并计算：（    ）。 （4）计算： 变式3．（24-25七年级上·河北·期中）计算： 题型5、数列求和（等差、等比数列） 【解题技巧】 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 ； 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 例1．（2024六年级·广东·培优）计算： （1） （2） （3）1＋＋＋…＋20 例2．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题：（1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 变式1．（2024·四川成都·小升初真题）下列各题要写出主要计算过程。 （1）      （2） 变式2．（2023·四川成都·小升初模拟）计算： 变式2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）【旧题重现】计算的值． 解：设，则 ， 得： ，，即 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．请用你学到的方法计算：． 【新方法生成】将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题： （1）　 　；（2）　 　；（3）　 　； 【新方法迁移】（4）　 　；    题型6、运用乘法公式运算 【解题技巧】平方差公式： 完全平方公式：， 例1．（2024·浙江·小升初模拟）计算： 例2．（2022·四川绵阳·小升初真题）计算题：   例3．（2024·山东·六年级培优）利用乘法公式进行简便计算： (1)；(2)；(3)． 变式1．（2022·重庆沙坪坝·小升初真题）计算：     变式2.（1）（2024·江苏·七年级期中）计算：＝___． （2）（2022·湖南汉寿·七年级期中）计算：799×801﹣8002＝_____． 变式3．（2024·广东·梅州市七年级阶段练习）简便计算：(1)20022 (2) 题型7、利用图形进行简算 【解题技巧】利用图形进行简便运算的方法，通常被称为‌图形法‌或‌几何法‌。这种方法通过将数学问题转化为图形问题，利用图形的直观性和几何性质来简化运算过程。需要注意的是，虽然图形法可以简化运算过程并提高解题效率，但在使用时应确保图形的准确性和规范性。此外，对于一些特殊问题或复杂情况，可能需要结合其他数学方法或工具来共同求解。 例1．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，以形助数更直观．例如：计算时，可以用图形来解释：把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形；再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形．所以，阴影部分的面积：． (1)利用上述图形思路，你能猜想出下式的结果吗？． (2)利用上题猜想的结果，计算：． 变式1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）如图，把一个面积为 1 的正方形分成两个面积为 的长方形，再把其中一个面积为 的长方形分成两个面积为 的正方形，再把其中一个面积为 的正方形分成两个面积为 的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算： ． 变式2．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，如此下去，利用图中示的规律计算＝ ；＝ ． 1．（2024·广东广州·小升初真题）用递等式计算。                                    2．（2024·山西大同·小升初真题）运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程。 ÷＋× 2.5÷1.25÷8×4 68÷－68 3．（2025·北京·小升初模拟）递等式计算。 560＋210÷7×42         2.5×128×0.4                 4．（2024·浙江温州·小升初真题）递等式计算。 （1）5.67－3.56－1.44     （2） （3）       （4） 5．（2024·海南海口·小升初真题）递等式计算。 560＋210÷7×42             9.43－2.8－1.43             2.5×128×0.4                       6．（2024·江苏连云港·小升初真题）简便计算。                  7．（2024·四川内江·小升初真题）用递等式计算（能简算的请你简算）。 2800－928÷29×18                        ÷[（－）×] 19×（－）×15                    7.5×5.6＋28×＋75%×16 5＋＋＋＋＋＋＋＋＋ 8．（2024·四川成都·小升初真题）下列各题要写出主要计算过程。 （1）      （2） （3）      （4） （5）      （6） 9．（2025·福建泉州·小升初模拟）神机妙算。 （1）8×3÷[1÷（3－2.95）] （2）×39＋×25＋2× （3）＋＋＋＋ （4）2018÷2018＋ （5）1－＋－＋ 10．（2024六年级·江苏·培优）能简算的要简算。                    11．（2025六年级下·广东·培优）计算：（1）（）÷（） （2）2004÷2004 （3） 12．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）计算。 （1） （2） （3） （4） （5） 1．（2024六年级·江苏·培优）计算题：（1）     （2） （3）（结果不用计算） （4）    （5） （结果不用计算） 2．（2024六年级·山东·培优）计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （请将结果写成带分数） （7）（请将结果写成带分数） （8）（请将结果写成带分数） 3．（2025六年级·广东汕尾·培优）计算： （1）＋＋＋……＋ （2）＋＋＋…＋－－－…－ （3） （4） 4．（2024六年级·广东·培优）计算题： （1）      （2） （3）      （4）。 5．（2025·四川成都·小升初模拟）计算： （1）；（2） （3）；（4） 6．（2024·湖北·六年级期中）计算题： （1） （2） （3） （4） 7．（24-25七年级上·重庆·期末）如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列（Geometric Sequences）．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）． （1）观察一个等比数列1，，…，它的公比q＝　 　；如果an（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，那么a18＝　 　，an＝　 　； （2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行：令S＝1+2+4+8+16+…+230…① 等式两边同时乘以2，得2S＝2+4+8+16++32+…+231…② 由②﹣①式，得2S﹣S＝231﹣1 即（2﹣1）S＝231﹣1 所以 请根据以上的解答过程，求3+32+33+…+323的值； （3）用由特殊到一般的方法探索：若数列a1，a2，a3，…，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，请用含a1，q，n的代数式表示an；如果这个常数q≠1，请用含a1，q，n的代数式表示a1+a2+a3+…+an． 37 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $$