衔接点04 几何图形-2025年小升初数学无忧衔接（苏科版2024）

衔接点04. 几何图形 学习要求……………………………………………………………………………………………………………..1 知识衔接……………………………………………………………………………………………………………..2 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..3 题型1、割补法求面积（一）平移与对称 3 题型2、割补法求面积（二）旋转 6 题型3、和差法求面积 10 题型4、整体代换法 15 题型5、等积变换法求面积（体积） 18 题型6、差不变思想（原理） 21 题型7、容斥原理（韦恩图） 23 题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折） 27 题型9、立体图形的拼切重组问题 31 基础通关 38 拓展培优 49 小学阶段 初中阶段 小学阶段主要学习了常见的平面几何图形（三角形、四边形、圆）的周长与面积、立体图形（长、正方体、圆柱、圆锥）的表面积与体积。培养的核心数学素养是学生的几何直观、空间观念和运算能力。 初中阶段较小学阶段在几何图形方面变化极大：不再是停留在建立图形的直观表象和对图形特征的研究上，而要转入对其性质较为系统的研究。中学数学还要求进行数学证明，这对从来没有进行过数学证明的学生来说，要掌握从论据推出结论的方法，来表明论据与结论之间必然的逻辑联系是有一定难度的。培养的核心数学素养是学生的几何直观、抽象能力、推理能力等。 衔接指引 在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理能力等等。难度提升，思维的层次也大为不同。如“三角形的内角和等于180°”这个定理，小学教材中是由实验得出的。初中要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。 1、基本公式 正方形：；。 长方形：；。 平行四边形：。 三角形：。 梯形：。 圆：；。 正方体 表=； 长方体 表； 圆柱体、圆锥体 （:高；：底面积；:底面半径） 圆柱侧面积：；圆柱表面积：；圆柱体积：；圆锥体积： 2、求几何图形面积常见方法及运用： 1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）运用整体思想；5）差不变；6）容斥原理（韦恩图）等。 公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。 割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论。 和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最常用的方法。 等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成。有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或随便求出直角边的平方。 差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积，若S甲=S乙，则S甲+S空白=S乙+S空白，S甲-S空白=S乙-S空白。 容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。 题型1、割补法求面积（一）平移与对称 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（24-25六年级上·四川巴中·期末）转化思想是解决问题的重要思想，它是将未知问题转化为已知知识和方法来解决问题的一种策略，割补是解决图形问题的重要方法，我们推导平行四边形、梯形、圆等图形的面积时都有用到，请用已学知识和方法来解决下面的问题吧。 如图1，若AD＝8厘米，BC＝16厘米，求阴影部分的面积。 先在图2中画一画，涂一涂，再计算。若未使用转化、割补可直接计算。 【答案】作图见详解；32平方厘米 【详解】如图： 8÷2＝4（厘米） 4×4÷2＋（16－4）×4÷2＝8＋12×4÷2＝8＋24＝32（平方厘米） 答：阴影部分的面积是32平方厘米。 例2．（2035六年级·江苏·培优）如图中三个圆的半径都是5，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取) 【答案】39.25 【详解】 将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为 变式1．（23-24六年级上·广东·期中）如图所示，外侧大正方形的边长是10厘米，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影部分的面积为26平方厘米，最小的正方形的边长为多少厘米？ 【答案】2厘米 【详解】10×10×＝100×＝25（平方厘米） 26－25＝1（平方厘米） 1×4＝4（平方厘米） 4＝2×2 答：最小的正方形的边长为2厘米。 变式2．（2024六年级下·山东·专题练习）求阴影部分的面积，如图，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F、G、H是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积。 【答案】8平方厘米 【详解】如下图箭头所示移动阴影部分，这样阴影部分的面积＝正方形的面积－4个等腰直角三角形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可求解。 （平方厘米） 答：四个扇形的弧围成的阴影部分面积是8平方厘米。 变式3．（2025六年级下·江苏·专题练习）如图（单位：厘米），阴影部分的面积是（    ）平方厘米。取 A．50.24 B．18.24 C．32 D．16 【答案】B 【详解】阴影面积是一个不规则图形，可以利用割补法和移补法，将左下角正方形的阴影部分移补到右上角小正方形左上角的空白处，如图：这样阴影部分的面积＝以8厘米为半径的扇形BAD面积＋长方形BCFE面积－大正方形ABCD的面积。扇形面积公式：S＝πR2，正方形的四个角是直角90°，所以扇形的圆心角是90°，据此列式解答即可。 根据分析：4＋4＝8（厘米） ×π×82＝×3.14×64＝50.24（平方厘米） 4×8＝32（平方厘米） 8×8＝64（平方厘米） 50.24＋32－64＝18.24（平方厘米） 阴影部分的面积是18.24平方厘米。故答案为：B 题型2、割补法求面积（二）旋转 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（23-24六年级下·四川内江·期末）如图，在一个三角形中剪掉一个最大的正方形，剩下的阴影部分的面积是( )。 【答案】99 【详解】如图：把小阴影三角形以O点为旋转中心，逆时针旋转90°，则红色阴影的小三角形就是原黑色小阴影三角形，剩下的阴影部分的面积就转化成红色小三角形与大黑色直角三角形组成的底为9、高为22的直角三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据解答即可。 9×22÷2＝9×（22÷2）＝9×11＝99 所以剩下的阴影部分的面积是99。 例2．（23-24六年级下·河南平顶山·期末）如图是由两个圆心角为90°半径为3厘米的扇形组合而成，重叠部分是个正方形（见图①）。要求涂色部分的面积，可以先用转化的策略（见图②），通过( )（填平移或旋转），最后转化成了一个半圆（见图③），涂色部分的面积是( )平方厘米。 【答案】 旋转 5.13 【详解】通过分析可得：要求涂色部分的面积，可以先用转化的策略，通过旋转，最后转化成了一个半圆。 3.14×32÷2－3×3÷2×2＝3.14×9÷2－9＝14.13－9＝5.13（平方厘米） 则涂色部分的面积是5.13平方厘米。 变式1．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）如图，正方形的面积是12平方厘米，、、、分别是中点，阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】2.4 【详解】将正方形ABCD各角上的小三角形沿正方形的顶点顺时针旋转90度，得到5个完全相同的小正方形，5个完全相同的小正方形的面积就是正方形的面积，用 正方形的面积除以5即可解答。 12÷5＝2.4（平方厘米）所以阴影部分的面积是2.4平方厘米。 变式2．（2024六年级下·江苏·培优）如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之几？ 【答案】33％ 【分析】通过观察可知，所给图形阴影的面积正好是大圆面积的四分之一加上中圆和小圆组成的圆环面积的四分之一，圆的半径已知，利用圆和圆环的面积公式可求得阴影的面积，然后在求出大圆的面积，用图中阴影部分的面积除以大圆的面积即可． 【详解】S阴影=π×102+（62-22）=33π S大圆=π×102=100π 33π÷100π=33％ 变式 3．（2023·四川成都·小升初真题）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（取） 【答案】平方厘米 【分析】如图，通过割补知阴影部分面积等于半径为6厘米圆面积的。根据，代入数据计算即可。 【详解】（平方厘米） 即阴影部分面积是平方厘米。 题型3、和差法求面积 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（2035六年级·江苏·培优）如图，在正方形内，以下边两个顶点为圆心，以正方形边长为半径的两个直角扇形在正方形内相交于点，如果正方形的边长为4厘米，那么阴影部分甲的面积比阴影部分乙的面积小（    ）平方厘米（）。 A．12.56 B．4.56 C．25.12 D．9.12 【答案】D 【分析】如图，发现甲的面积＋①的面积＝正方形的面积－直角扇形的面积，乙的面积＋①的面积＝直角扇形的面积，则乙的面积－甲的面积＝直角扇形的面积－（正方形的面积－直角扇形的面积）。直角扇形的面积是对应的圆的面积的，即直角扇形的面积＝，正方形的面积＝边长×边长，根据公式将数据带入计算出两个阴影部分的面积差。 【详解】＝＝＝（平方厘米） 4×4＝16（平方厘米） 12.56－（16－12.56）＝12.56－3.44＝9.12（平方厘米）故答案为：D 例2．（24-25六年级下·山东·期末）求阴影部分的面积（单位：cm）。    【答案】6.86cm2 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝梯形的面积－圆的面积－直角三角形的面积；梯形的上底是2m、下底是4m、高是（2＋4）m；圆的半径是2m；直角三角形的底和高都是4m；根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式S＝πr2，三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算求解。 【详解】梯形的面积：（2＋4）×（2＋4）÷2＝6×6÷2＝18（cm2） 圆的面积：3.14×22×＝3.14×4×＝3.14（cm2） 直角三角形的面积：4×4÷2＝8（cm2） 阴影部分的面积：18－3.14－8＝6.86（cm2）阴影部分的面积是6.86cm2。 例3．（24-25六年级下·浙江温州·期末）求阴影部分的面积。（单位：厘米）    【答案】28.5平方厘米 【详解】如下图，连接BD。阴影①和阴影②的面积和＝以BC为直径的半圆面积－△BDC的面积；阴影③的面积＝以AB为半径的圆面积的－△ABD的面积；用阴影①和阴影②的面积和加上阴影③的面积即可求出图中阴影部分的面积。因为△ABC是等腰直角三角形，所以△BDC和△ABD是完全一样的等腰直角三角形，即△BDC的面积和△ABD的面积相等，都等于△ABC面积的一半。      [3.14×（10÷2）2÷2－10×10÷2÷2]＋[3.14×102×－10×10÷2÷2] ＝[3.14×52÷2－100÷2÷2]＋[3.14×100×－100÷2÷2]＝[3.14×25÷2－25]＋[314×－25] ＝[78.5÷2－25]＋[39.25－25]＝[39.25－25]＋[39.25－25]＝14.25＋14.25＝28.5（平方厘米） 变式1．（24-25六年级下·陕西咸阳·期末）如图BC＝12cm，CD＝DE＝6cm，①与②两阴影部分的面积的差（较大的减去较小的）是多少？ 【答案】12.78cm2 【详解】如下图所示，用③表示一块阴影部分的面积，则①－②＝（①＋③）－（②＋③）。用半径是12cm的大扇形的面积减去半径是6cm的小扇形的面积即可得出①与③两阴影部分的面积之和，而②与③两阴影部分的面积之和等于长方形的面积，那么用大扇形的面积减去小扇形的面积，再减去长方形的面积，即可求出①与②两阴影部分的面积的差。图中扇形的面积是整圆面积的，根据S＝πr2求出整圆面积，再除以4分别求出两个扇形的面积；根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积。最后根据上面的分析结果进行解答。 ＝3.14×27－72（cm2） 答：①与②两阴影部分的面积的差是12.78cm2。 变式2．（2025六年级下·浙江·期中）如图，长方形ABCD把这个长方形绕顶点A向右旋转90度，求CD边扫过的阴影部分面积。（单位：厘米） 【答案】28.26平方厘米 【分析】观察图形，CD扫过的面积阴影部分为不规则图形，考虑整体－空白的算法。在图中画出AC旋转后AE如图所示，可得总面积为扇形CAE面积＋△AFE面积，空白部分面积为△ADC面积＋扇形DAF面积，由题可知△AFE面积＝△ADC面积，所以阴影部分面积为扇形CAE面积－扇形DAF面积 【详解】（平方厘米）（平方厘米） 78.5－50.24＝28.26（平方厘米） 变式3．（2024六年级·广东·期中）如图，直角扇形的半径为7厘米，正方形的边长为4厘米，则阴影部分的面积为( )平方厘米。（取） 【答案】32.5 【分析】阴影部分的面积＝扇形的面积＋正方形的面积－空白部分的面积。扇形是一个直角扇形，则扇形的面积＝×圆的面积＝。正方形的面积＝边长×边长，直角三角形是一条直角边是正方形的边长为4厘米，另外一条直角边是正方形的边长与扇形半径长之和，则直角三角形的面积＝两条直角边的乘积÷2。 【详解】××72＋4×4－（7＋4）×4÷2＝ ＝＝＝32.5（平方厘米） 则阴影部分的面积为32.5平方厘米。 变式4．（23-24六年级·江苏·期末）数学思考：如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积。（单位：平方厘米）。 【答案】87.5平方厘米 【详解】如下图所示；连接PB，P点为半圆周的中点，作三角形PAB的高PG，则G是AB的中点，所以PG的长度为正方形的边长加半圆的半径，正方形的边长是10厘米，半圆的直径是10厘米，所以PG的长度是10＋10÷2＝15厘米，所以三角形PAB的面积是10×15÷2＝75平方厘米；Q点为正方形一边的中点，所以三角形PBQ的面积是5×5÷2＝12.5平方厘米，据此列式解答即可。 10×15÷2＝150÷2＝75（平方厘米） 5×5÷2＝25÷2＝12.5（平方厘米） 75＋12.5＝87.5（平方厘米） 答：空白部分的面积是87.5平方厘米。 题型4、整体代换法 【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整体代换即可。 例1．（23-24六年级上·广东梅州·期中）如图圆的面积是15.7平方厘米，那么圆内正方形的面积最大是( )平方厘米。 【答案】10 【详解】解：设圆的半径为r厘米，则＝15.7÷3.14＝5（平方厘米） 正方形的面积最大是：（÷2）×4＝5÷2×4＝2.5×4＝10（平方厘米） 所以，正方形的面积最大是10平方厘米。 例2．（2025六年级·广东·培优）如图所示的两个同心圆，圆心为O，里边包含一个直角三角形AOB，且OA与小圆相交于点D，OB与小圆相交于点C，四边形ABCD的面积为50cm2，那么圆环的面积是（    ）cm2。（π取3.14） A．300 B．157 C．314 D．628 【答案】C 【详解】设大圆的半径为R，小圆的半径为r。由题意可知， 即 圆环的面积：（cm2）故答案为：C 例3．（23-24六年级上·辽宁·期中）如图，如果直角三角形的面积是25平方厘米，那么圆内空白部分的面积是( )平方厘米。 【答案】132 【详解】解：设圆的半径是r。r×r÷2＝25；r2＝25×2；r2＝50 圆的面积：＝πr2＝3.14×50＝157（平方厘米） 空白部分的面积：157－25＝132（平方厘米） 空白部分的面积是132平方厘米。 变式1．（23-24六年级上·山东济南·期末）如图，如果正方形和圆之间部分的面积是4.56m2，该圆的面积是（    ）m2。 A．12.56 B．6.28 C．4 【答案】A 【详解】假设该圆的半径为rm圆的面积：πr2m2正方形的面积：2r×r＝2r2m2 正方形和圆之间部分的面积：πr2－2r2＝（π－2）r2＝1.14r2m2 r2＝4.56÷1.14＝4（m） 3.14×4＝12.56（m2） 则该圆的面积是12.56m2。 故答案为：A 变式2．（23-24六年级·四川成都·期末）如图所示，O为大小两个圆的圆心，阴影部分的面积是8平方厘米，圆环的面积是 平方厘米。 【答案】25.12 【详解】解：设小圆的半径为r厘米，大圆的半径为R厘米， 则小正方形的边长为r厘米，大正方形边长为R厘米，阴影部分面积＝R2－r2＝8（平方厘米）， 圆环的面积：3.14×（R2－r2）＝3.14×8＝25.12（平方厘米） 变式3．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）有三个大小不一样的正方形叠放在一起，它们有一个公共顶点。这样大正方形被分成了正方形区域甲、L形区域乙和L形区域丙。已知三块区域甲、乙、丙的周长之比4∶5∶6，并且丙的面积为22，则甲的面积是 。 【答案】32 【详解】解：设甲的边长为x，甲的周长为4x，乙的周长是5x，丙的周长是6x。 （6x÷4）2－（5x÷4）2＝22；（x）2－（x）2＝22；x2－x2＝22 x2＝22；x2＝22÷；x2＝22×；x2＝32；甲的面积是32。 变式4．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形（第2幅），画3个正方形能得到8个直角三角形（第3幅），画n个正方形能得到 个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为 平方厘米。 第1幅            第2幅          第3幅         第4幅 【答案】 4n－4 6.28 【详解】由分析可得：画n个正方形能得到（4n－4）个直角三角形。 8×8÷（2×2×2）＝8×8÷8＝8（平方厘米） 8＝（2r）2＝（2r）×（2r）＝4r2 8÷4×3.14＝6.28（平方厘米） 画n个正方形能得到12个直角三角形。 若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为6.28平方厘米。 题型5、等积变换法求面积（体积） 【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系。 例1．（23-24六年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是EC的中点，三角形甲的面积与三角形乙的面积比是( )；如果三角形甲的面积是2平方厘米，那么正方形ABCD的面积是( )平方厘米。 【答案】 1∶2 16 【详解】如图：连接FDE是AD的中点，则AE＝ED，所以三角形甲的面积等于三角形FED的面积。 F是EC的中点，则EF＝EC，则三角形FED的面积是三角形乙面积的一半，所以三角形甲的面积是三角形乙面积的一半，则三角形甲的面积与三角形乙的面积比是1∶2。 ∵甲的面积是2平方厘米，∴乙的面积是=2×2＝4平方厘米， 正方形的面积：4÷＝4×4＝16（平方厘米） 如果三角形甲的面积是2平方厘米，那么正方形ABCD的面积是16平方厘米。 例2．（2023·四川成都·小升初真题）如上图，在△ABC中，D为BC的中点，BE＝AB。若阴影部分的面积是12平方厘米，则三角形ABC的面积是( )平方厘米。 【答案】224 【详解】高相等，面积比等于底边比；BE＝AB △BCE的面积＝×△ABC的面积 △ACE的面积＝（1－）×△ABC的面积＝×△ABC的面积 CD＝BC △CDE的面积＝×△BCE的面积 △CDE的面积＝××△ABC的面积 △CDE的面积∶△ACE的面积＝（×）∶＝∶＝（×8）∶（×8）＝1∶6 根据风筝模型，可知DF∶AF＝1∶6 △DEF的面积∶△AEF的面积＝1∶6 △AEF的面积：12×6＝72（平方厘米） △ADE的面积：72＋12＝84（平方厘米） BE＝AB 则AE＝AB △ADE的面积＝×△ABD的面积 △ABD的面积：84÷＝84×＝112（平方厘米） D为BC的中点 所以BD＝CD △ABD的面积＝△ACD的面积 △ABC的面积：112＋112＝224（平方厘米） 三角形ABC的面积是224平方厘米。 例3．（2024·浙江宁波·小升初真题）（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 【答案】1004.8毫升 【详解】3.14×（8÷2）2×6＋3.14×（8÷2）2×14＝3.14×42×6＋3.14×42×14＝3.14×16×6＋3.14×16×14 ＝3.14×16×（6＋14）＝3.14×16×20＝1004.8（立方厘米） 1004.8立方厘米＝1004.8毫升 答：这个模具的容积是1004.8毫升。 变式1．（2025六年级下·江苏·培优）如图，已知线段DE与AC平行，且与圆的半径相等，都等于6厘米，O为圆的圆心。阴影部分面积是多少平方厘米？ 【答案】18.84平方厘米 【详解】3.14×62＝3.14×36×＝18.84（平方厘米） 答：阴影部分的面积是18.84平方厘米。 变式2．（2025六年级下·广东培优）如下图∶AD＝2BD，BF＝EF＝FC，已知阴影部分的面积是15平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少？ 【答案】135平方厘米 【分析】根据底边关系找对应的公共顶点，所以连接DC 1.计算△BDC的面积 因为AD＝2BD，所以BD∶AB＝1∶3。 由于△BDC与△ABC等高，根据三角形面积公式，面积比等于底的比，可得。 2.分析△BDC内的面积关系 因为BF＝EF＝FC，所以△BDE、△DEF、△DFC等高，且底BF＝EF＝FC。 因此，这三个三角形面积相等，即。 3.计算△ABC的面积 已知平方厘米，可得平方厘米。 又因为，所以平方厘米。 【详解】（平方厘米） （平方厘米） 变式3．（2024六年级上·湖北·培优）一个棱长10cm的正方体容器中装有一些水，将一个高8cm的长方体铁块竖直着放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）。这个铁块的体积是 cm3。 【答案】400 【分析】容器的容积是1000立方厘米，水的体积是700立方厘米，铁块被淹没的体积是300立方厘米，被淹没的高度是6厘米，求出铁块的底面积，再计算其体积。 【详解】（cm3） （cm3） （cm3） （cm2） （cm3） 题型6、差不变思想（原理） 【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。 例1．（23-24六年级·湖北黄冈·期末）如图，半圆的直径是10厘米，阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘米，求直角三角形ABO的边OA的长。 【答案】8.1厘米 【分析】根据题意可知，乙的面积－甲的面积＝1.25平方厘米，给甲、乙分别补上空白部分，它们的面积差不变，即（乙的面积＋空白部分的面积）－（甲的面积＋空白部分的面积）＝1.25平方厘米，可以得出：直角三角形ABO的面积－半圆的面积＝1.25平方厘米； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积，然后除以2，即是半圆的面积，再加上1.25，求出直角三角形ABO的面积；已知直角三角形ABO的面积和高，根据三角形的底＝面积×2÷高，即可求出直角三角形ABO的边OA的长。 【详解】半圆的面积：3.14×（10÷2）2÷2＝3.14×25÷2＝78.5÷2＝39.25（平方厘米） 直角三角形的面积：39.25＋1.25＝40.5（平方厘米） OA的长：40.5×2÷10＝81÷10＝8.1（厘米） 答：直角三角形ABO的边OA的长是8.1厘米。 例2．（2024六年级·广东·培优）如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】50平方厘米． 【分析】因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米． 【详解】解：三角形EFG的面积为：10×8÷2=40（平方厘米）． 平行四边形ABCD的面积为：40+10=50（平方厘米）． 答：平行四边形的面积为50平方厘米． 变式1.（2024.成都市六年级期中）如下图，ABCD是边长为10厘米的正方形，三角形ABF比三角形CEF的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【分析】因为三角形ABF比三角形CEF的面积大20平方厘米，都加上梯形ADCF后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即正方形ABCD比直角三角形ADE的面积大20平方厘米，从而求得直角三角形ADE的面积，再减去直角三角形ADC的面积，即得出阴影部分的面积． 解析：10×10－20－10×10÷2=100-20-50＝30（平方厘米） 答：阴影部分的面积是30平方厘米。 变式2．（2025六年级下·江苏·培优）如图，半圆的半径是4厘米，图形甲面积比图形乙面积大1.12平方厘米，求BC的长。 【答案】6厘米 【分析】观察图形可知，图为一个直角三角形和一个半圆重叠而成，重叠部分（空白部分）面积相等。，，可知与的差为与的差。（平方厘米），因为比大1.12平方厘米，可得（平方厘米） 根据三角形面积公式，知道底边长4×2＝8cm，知道面积即可求高BC，BC＝24×2÷8＝6（厘米） 【详解】（平方厘米） （平方厘米） 4×2＝8（厘米） 24×2÷8＝6（厘米） 题型7、容斥原理（韦恩图） 【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。本文就来重点讲一下，容斥原理在求解阴影部分面积时的妙用。 例1．（24-25六年级下·河南郑州·开学考试）已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4厘米，以AC为直径作圆，又以点B为圆心，BC为半径画弧，交BA于点D，如下图所示，计算图中阴影部分的面积之和（π取3）。 【答案】10平方厘米 【详解】3×（4÷2）2＝3×22＝3×4＝12（平方厘米） 3×42×＝3×16×＝3×16×＝6（平方厘米） 4×4÷2＝8（平方厘米） 12＋6－8＝10（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积之和是10平方厘米。 例2．（23-24六年级·河北张家口·期中）如图，两阴影部分的面积分别是S1、S2，S1－S2＝2.44平方厘米。求图中扇形所在圆的半径。 【答案】4厘米 【分析】根据图形可知，两个阴影部分的面积分别是S1，S2，由于S1－S2＝2.44平方厘米；说明上面阴影部分面积比下面阴影部分面积多2.44平方厘米，由于空白部分加上S2是扇形的面积，空白部分加S1是长方形面积，那么可知长方形面积比扇形面积多了2.44平方厘米，根据长方形面积公式：面积＝长×宽；代入数据，求出长是3厘米，宽是5厘米的长方形的面积；再用长方形的面积减去2.44平方厘米，求出扇形的面积，再乘4，就是这个扇形所在圆的面积，再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，即可求半径。 【详解】（3×5－2.44）×4÷3.14＝（15－2.44）×4÷3.14＝12.56×4÷3.14＝50.24÷3.14＝16（平方厘米） 4×4＝16，扇形所在圆的半径是4厘米。 答：图中扇形所在圆的半径是4厘米。 例3．（2024六年级下·江苏·培优）如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上．三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米．图中阴影部分的面积之和是多少平方厘米？ 【答案】8平方厘米 【分析】根据本题题意和容斥原理知道，从三个圆片的总面积里去掉盖住桌面的总面积以及三张纸片重叠的面积的2倍（因为是两个重叠在一起，所以乘2），由此即可求出答案． 【详解】解：20×3-36-8×2=60-36-16=8（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积和是8平方厘米． 变式1．（23-24六年级·吉林长春·期末）求下图阴影部分的面积。（单位：米。）    【答案】6平方米 【分析】观察图形可知，阴影部分面积＝直径是3米的圆的面积一半＋直径是4米的圆的面积一半＋底是3米，高是4米的三角形面积－直径是5米的圆的面积一半，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（3÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2＋3×4÷2－3.14×（5÷2）2÷2 ＝3.14×1.52÷2＋3.14×22÷2＋12÷2＋3.14×2.52÷2＝3.14×2.25÷2＋3.14×4÷2＋6＋3.14×6.25÷2 ＝3.5325＋6.28＋6－9.8125＝6（平方米）阴影部分的面积是6平方米。 变式2．（2024六年级下·广东·培优）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC内画弧，求阴影部分的面积． 【答案】28.5平方厘米 【详解】如图：阴影部分面积是扇形DBC与扇形EAC的重叠部分，所以阴影部分面积等于扇形DBC，扇形EAC面积之和减去三角形ABC的面积 3.14×102××2-×10×10=28.5（平方厘米） 变式3.（2024.广东六年级期中）在桌面上放置个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，张纸片共同重叠的面积是平方厘米.那么图中个阴影部分的面积的和多少是平方厘米？ 【解析】根据容斥原理得，所以（平方厘米） 变式4．（2025六年级下·广东·培优）如图，已知ABC为扇形，BDF为扇形，CBDE为长方形。CE＝6厘米，CB＝8厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】平方厘米 【分析】观察图形可知，图中有3个图形重叠而成，也称为图形的容斥。现将重叠后分成的小图形进行编号，如图。可得，，，所求阴影部分。观察等量关系可得 【详解】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折） 【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看，与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。 例1．（24-25六年级·江苏·期中）如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是( )厘米。 (3)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中，∠3＋∠4＝( )°。 【答案】(1) 30 60(2)15(3)240 【详解】（1）60°÷2＝30°，所以∠1＝30°，∠2＝60°。 （2）5＋5＋5＝15（厘米），那么得到的三角形的周长是15厘米。 （3）360°－60°－60°＝240°，所以∠3＋∠4＝240°。 例2．（24-25六年级上·江苏扬州·期末）同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。 这两种方法都是求的阴影部分的面积，因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。 仔细观察这个等式，想一想：是不是 任意两个数都具有这样的特征呢？ （1）请举2个例子验证：①102－62＝（      ）×（      ）     ②                                         （2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为：a2－b2＝（      ）×（      ） （3）根据以上结论计算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（      ） 【答案】（1）①（10－6）×（10＋6）②0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5） （2）（a－b）×（a＋b）（3） 【详解】（1）①102－62＝100－36＝64 （10－6）×（10＋6）＝4×16＝64所以，102－62＝（10－6）×（10＋6） ②0.82－0.52＝0.64－0.25＝0.39 （0.8－0.5）×（0.8＋0.5）＝0.3×1.3＝0.39 所以，0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）（答案不唯一） （2）a2－b2＝（a－b）×（a＋b） （3）[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2] ＝（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）＝×××××＝ 例3．（2025六年级·江苏培优）如图1，长方形木块长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米，正方形木桩边长为17厘米。木块从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木块滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长 厘米。（π＝3） 【答案】129 【分析】如图： 通过观察可知，点A经过的路径＝一个半径是5厘米的圆周长的一半＋一个半径是13厘米的圆周长＋一个半径是12厘米的圆周长的一半，根据圆周长公式：C＝2πr，代入数据分别求出每部分的长度，再相加即可。 【详解】2×3×5÷2＋2×3×13＋2×3×12÷2＝15＋78＋36＝129（厘米） 点A经过的路径长129厘米。 例4．（23-24六年级下·四川成都·期末）校园农场要把一块梯形土地分给六年级两个班的同学耕种，要使两个班各种一半，下面有多种分法，请你找一找，哪些方法符合要求？（说明：图中ABCD是任意梯形，E点，F点，M点，N点分别是它们所在边的中点，P点是线段MN上任意一点） 答：（    ）号图符合要求。 【答案】①②③ 【详解】令梯形的上底是4厘米，下底是6厘米，高也是4厘米， 梯形面积：（4＋6）×4÷2＝10×4÷2＝20（平方厘米） 梯形面积的一半：20÷2＝10（平方厘米） ①阴影部分的面积：（4÷2＋6÷2）×4÷2＝（2＋3）×4÷2＝5×4÷2＝10（平方厘米） ②阴影部分的面积：（4÷2＋6÷2）×4÷2＝（2＋3）×4÷2＝5×4÷2＝10（平方厘米） ③空白部分的面积：（4÷2）×4÷2＋6×（4÷2）÷2＝2×4÷2＋6×2÷2＝4＋6＝10（平方厘米） 阴影部分的面积：20－10＝10（平方厘米） ④阴影部分的面积：4×4÷2＝8（平方厘米） 答：①②③号图符合要求。 变式1.（2024六年级·北京·期末）折叠一张长方形纸ABCD，如图，折叠时，C点和A点重合，产生折痕为EF。量得AE长22厘米，如果长方形的宽是20厘米，折叠后图形的面积比原来长方形面积少了( )平方厘米。 【答案】220 【分析】折叠后图形减少的面积等于三角形CEF面积，三角形CEF底边长度等于AE长度、三角形CEF的高是长方形的宽；据此解答即可。 【详解】20×22÷2＝440÷2＝220（平方厘米） 变式2.（23-24六年级·湖北·期末）青青把梯形ABCD按照下图的方法转化成平行四边形EBHG，且面积保持不变。已知梯形ABCD的面积是，高是8cm，平行四边形EBHG中BH的长是( )cm。 【答案】10 【分析】可以判断，平行四边形的面积与梯形面积相等。只要知道平行四边形的高，就能结合面积公式求出底。根据条件可以判断，平行四边形的高是梯形高的一半，也就是4厘米。 【详解】8÷2＝4（厘米） 40÷4＝10（厘米） 变式3．（23-24六年级下·浙江·期末）长方形的长10cm，宽4.8cm，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是( )cm。 【答案】29.6 【分析】如下图，由题意可知：△ABD折叠后落在△A′BD的位置，即A′D＝AD＝4.8cm，A′B＝AB＝10cm，阴影部分的周长＝A′D＋A′B＋DC＋BC，即阴影部分的周长＝（长＋宽）×2，把长方形长、宽的数据代入计算即可。    【详解】（10＋4.8）×2＝14.8×2＝29.6（cm） 所以阴影部分的周长是29.6cm。 变式4．（23-24六年级下·辽宁·月考）做一做，剪一剪。 （1）用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开，你有什么发现？ （2）如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去，你有什么发现？ 【答案】（1）纸带会变成一个更大的细纸环。（2）一个小环套着一个大环。 【详解】（1）用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开， 发现：纸带会变成一个更大的细纸环。 （2）如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去，发现：一个小环套着一个大环。 题型9、立体图形的拼切重组问题 【解题技巧】几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 例1．（2024·四川内江·小升初真题）把一个圆柱沿底面直径竖直切成四块（如图①），表面积增加了48平方厘米；平行于底面切成三块（如图②），表面积增加了50.24平方厘米；削成一个最大的圆锥（如图③），体积减少了多少立方厘米？ 【答案】25.12立方厘米 【详解】底面积：50.24÷4＝12.56（平方厘米） 半径的平方：12.56÷3.14＝4（平方厘米） 因为4＝2×2，所以圆的半径是2厘米； 圆柱的高：48÷8÷2＝3（厘米） 减少的体积：3.14×22×3－×3.14×22×3＝3.14×4×3－×3.14×4×3＝37.68－12.56＝25.12（立方厘米） 答：体积减小了25.12立方厘米。 例2．（24-25六年级下·福建莆田·期末）沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间的。如图，如果再过1分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下部，那么现在已经计量了多少分钟？    【答案】56分钟 【详解】×3.14×（2÷2）2×3＝×3.14×1×3＝3.14（立方厘米）       ×3.14×（8÷2）2×12＝×3.14×16×12＝200.96（立方厘米） ×3.14×（4÷2）2×（12－6）＝×3.14×4×6＝25.12（立方厘米） 200.96—25.12＝175.84（立方厘米） 175.84÷3.14＝56（分钟） 答：现在已经计量了56分钟。 例3．（24-25五年级下·浙江温州·期末）阅读与解答。 同学们，这个学期我们学习了长方体和正方体的有关知识，让我们进一步阅读、解决和探索如下问题： 【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方体会出现4种不同的涂色情况。      ①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共 8 块。 ②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共块。 ③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共块。 ④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共块。 检验：总块数，各类块数之和。 【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？      ①三面涂色的小正方体共 块。②两面涂色的小正方体共 块。 ③一面涂色的小正方体共 块。④没有涂色的小正方体共 块。 检验：总块数＝ ，各类块数之和＝ 。 【探索问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长acm、宽bcm、高ccm的长方体（a、b、c均为大于2的整数），表面涂上颜色。 ①三面涂色的小正方体共 8 块。②两面涂色的小正方体共 块。 ③一面涂色的小正方体共块。④没有涂色的小正方体共 块。 【答案】 8 36 52 24 120 120 【详解】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色。 ①三面涂色的小正方体共8块 ②两面涂色的小正方体： 4×（6－2）＋4×（4－2）＋4×（5－2）＝4×4＋4×2＋4×3＝16＋8＋12＝36（块） ③一面涂色的小正方体：（6－2）×（5－2）×2＋（4－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（4－2）×2 ＝4×3×2＋2×3×2＋4×2×2＝24＋12＋16＝52（块） ④没有涂色的小正方体：（6－2）×（4－2）×（5－2）＝4×2×3＝24（块） 总块数：6×4×5＝24×5＝120（块） 各类块数之和：8＋36＋52＋24＝44＋52＋24＝120（块） 用棱长1cm的小正方体拼成一个长acm、宽bcm、高ccm的长方体，表面涂上颜色。 ②两面涂色的小正方体共块。 ④没有涂色的小正方体共块。 变式1．（24-25六年级上·江苏南通·期末）一块橡皮泥模型（如图）由长方体A和长方体B组成。长方体A上面的面积是15平方厘米，长方体B上面的面积是25平方厘米，长方体A比长方体B高4厘米。如果从A上端取一部分橡皮泥补到B上，使得A、B两长方体一样高。A的高度将下降( )厘米。    【答案】2.5 【详解】解：设B升高了x厘米；则A下降了（4－x）厘米。 15×（4－x）＝25x 15×4－15x＝25x 25x＋15x＝60 40x＝60 x＝60÷40 x＝1.5 A下降：4－1.5＝2.5（厘米） 变式2．（2022·浙江宁波·小升初真题）我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽25米。最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。 （1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开过论。请据他们的思考过程解决问题。 ①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了，所以它的容积大小范围就在（    ）立方米和（    ）立方米之间。” ②小锋同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。” 请根据小锋的方法计算该泳池的容积。 （2）如果在空的泳池内以均匀的注水速度（140立方米/小时）往池内灌水，选一选，下面哪幅图能表示出泳池最深处水位的变化情况？（    ） （3）根据以上信息综合思考。第（2）题图中的a表示的数是（    ）小时。 【答案】（1）①1500；2000；②1750立方米；（2）C；（3）12.5 【详解】（1）①50×25×1.2＝1500（立方米） 50×25×1.6＝2000（立方米） 所以容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。 ②50×25×（1.6＋1.2）÷2＝1250×2.8÷2＝3500÷2＝1750（立方米） 答：泳池的容积是1750立方米。 （2）根据分析得，下面图C能表示泳池最深处水位的变化情况。 （3）1750÷140＝12.5（小时） 所以图中的a表示的数是12.5小时。 变式3．（2024六年级上·山东·培优）如图8所示，一个棱长10厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各需的中心位置挖去一个横截面是边长为3厘米的正方形的正方体（都和对面打通）．求这个立体图形的体积． 【答案】784立方厘米 【分析】挖去的前后、左右、上下三个长方体在正方体内部的中间位置相交，形成一个空的小正方体．本题的一般解法是用大正方体的体积减去三个长方体的体积．必须注意：三个长方体有公共部分，计算体积时要注意不要重复计算． 【详解】此立体图形的体积等于正方体的体积减去前后、左右、上下六长方体的体积． 正方体的体积为10×10×10=1000（立方厘米） 前后长方体的体积为3×3×10=90（立方厘米） 同理，左右长方体和上下长方体的体积也是90立方厘米．正方体内部的小正方体的体积为3×3×3=27（立方厘米） 因此，此立体图形的体积为1000-90×3+27×2=1000-270+54=784（立方厘米） 【点睛】三个长方体有公共部分，计算体积时要注意不要重复计算． 变式4．（23-24六年级下·山东德州·期中）如果把一个圆柱体的木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积就增加6.28平方分米；如果沿着直径截成两部分，表面积就增加8平方分米。圆柱的体积是 立方分米。 【答案】6.28 【详解】圆柱的底面积：6.28÷2＝3.14（平方分米） 底面半径的平方：3.14÷3.14＝1（平方分米） 因为1＝1×1，所以圆柱的底面半径是1分米。 圆柱的底面直径：1×2＝2（分米） 圆柱的高：8÷2÷2＝2（分米） 圆柱的体积：3.14×2＝6.28（立方分米） 所以圆柱的体积是6.28立方分米。 变式5．（2023·四川成都·小升初真题）如图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高。将这个长方体平切两刀，竖切两刀，得到9个小长方体，这9个小长方体表面积之和比原来长方体表面积多624平方厘米。求原来长方体的体积。 【答案】455立方厘米 【分析】已知1刀增加2个切面，平切两刀增加4个（长×宽）的长方形面积，竖切两刀增加4个（长×高）的长方形面积，增加的总面积是624平方厘米，所以长×宽×4＋长×高×4＝624，4×长×（宽＋高）＝624，先把624分解质因数，624＝2×2×2×2×3×13，已知长是质数且最大，则长为13厘米，宽＋高＝12，又已知宽和高也是质数，且宽＞高，则把12拆分成2个质数相加，也就是12＝5＋7，据此得出长方体的长、宽、高，进而根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。 【详解】624＝2×2×2×2×3×13 长＞宽＞高 长是13厘米，2×2×3＝12 12＝5＋7 宽为7厘米，高为5厘米，13×7×5＝455（立方厘米） 答：这个长方体的体积是455立方厘米。 1．（23-24六年级下·湖南株洲·期末）如图，图中A、B两部分的面积比是（    ）。 A．1∶3 B．2∶5 C．3∶8 D．4∶9 【答案】A 【详解】假设，由题可得： A、B两部分的面积和：4×4－3.14×42×＝4×4－3.14×16×＝16－12.56＝3.44 4÷2＝2 A部分的面积：2×2－3.14×22×＝2×2－3.14×4×＝4－3.14＝0.86 B部分的面积：3.44－0.86＝2.58 A、B两部分的面积比：0.86∶2.58＝86∶258＝1∶3故答案为：A 2．（23-24六年级下·陕西西安·开学考试）在长方形中，厘米，厘米，P为上一点，垂直于，垂直于，则与的长度之和是（    ）。 A．10 B．12 C．24 D．30 【答案】C 【详解】因为AB＝30厘米，BC＝40厘米，所以AC＝BD＝50厘米 （厘米） （厘米） 在长方形中，厘米，厘米，P为上一点，垂直于，垂直于，则与的长度之和是24厘米。 故答案为：C 3．（2024·江苏扬州·小升初模拟）如图，两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形如图所示，重叠部分的面积是5平方厘米，正方形的面积是( ) 平方厘米。 【答案】20 【分析】标注字母并做出辅助线，根据正方形的性质可得OA＝OC，△AOB和△COD形状大小完全相同，可以将△COD割补到△AOB的位置，因此阴影部分面积就是正方形面积的，正方形面积就是重叠部分的面积×4，即可解答。 【详解】 5×4＝20（平方厘米） 【点睛】本题考查正方形的特征，利用割补法将阴影部分不规则的图形转化为学过的图形进行解答。 4．（2024·安徽·小升初真题）如图，三角形的面积27cm2，，，三角形的面积是( )cm2。 【答案】12 【详解】因为，则，所以三角形的面积＝×三角形面积＝×27＝18（cm2）； 因为，则，所以三角形的面积＝×三角形面积＝×18＝12（cm2）； 由上可知，三角形的面积是12cm2。 5.（24-25六年级下·湖南邵阳·期末）如图，正方形ABCD的边长为10cm，E、F、G、H分别是正方形四条边上的中点，则阴影部分的面积是( )。    【答案】20 【分析】如图所示，将原图进行割补，则可以得出，正方形的面积就等于5个小正方形的面积和，于是阴影部分的面积就等于大正方形的面积除以5，据此即可得解。 【详解】将原图割补为下图：    S阴影＝100÷5＝100÷5＝20（cm2）阴影部分的面积是20cm2。 6．（24-25六年级上·四川达州·期中）如图，等腰梯形ABCD被对角线分4个小三角形，已知△AOB、△BOC的面积分别是25cm2、35cm2，那么梯形的面积是( )cm2。 【答案】144 【详解】△ABC面积＝△AOB的面积＋△BOC＝25＋35＝60（cm2） △AOD的面积＝60－25＝35（cm2） 假设△DOC的面积为xcm2， 25∶35＝35∶x 25x＝35×35 25x＝1225 x＝1225÷25 x＝49 所以△DOC的面积是49cm2。 49＋60＋35＝144（cm2） 即梯形的面积是144cm2。 7．（2024六年级·江苏·培优）如图所示，圆的直径，阴影部分①的面积与阴影部分②的面积相等，这个平行四边形的面积是 。 【答案】78.5 【分析】③号的面积和④号的面积也是相等的，用过平移旋转等等操作，圆的面积＝①面积＋④面积＋中间共同部分的面积，平行四边形的面积＝②面积＋③面积＋中间共同部分的面积。即平行四边形的面积＝圆的面积。 【详解】3.14×（10÷2）2＝3.14×52＝3.14×25＝78.5（cm2）这个平行四边形ABCD的面积是78.5cm2。 8．（23-24六年级下·四川成都·期末）如图所示，E、F分别是三角形ABC中BC边与AC边上的点，AE与BF交于点O，且三角形AFO、三角形ABO和三角形BEO的面积依次为3，2，1。阴影部分的面积为 。 【答案】24 【分析】连接EF，如下图所示： 根据等高三角形的面积比等于底边比求出三角形EFO的面积，根据三角形CEF和三角形BEF的面积比等于底边比，三角形ACE和三角形ABE的面积比等于底边比求出关于三角形CEF的面积，最后把三角形EFO和三角形CEF的面积相加求和，即可求出阴影部分的面积。 【详解】连接EF，如下图所示： 因为S△AOF∶S△ABO＝S△EFO∶S△BOE＝FO∶BO而S△AOF∶S△ABO＝3∶2所以FO∶BO＝3∶2 又S△BOE＝1所以S△EFO＝S△BOE×FO÷BO＝1×3÷2＝1.5 因为S△CEF∶S△BEF＝CE∶BE，S△BEF＝S△EFO＋S△BOE＝1.5＋1＝2.5即S△CEF∶2.5＝CE∶BE 因为S△ACE∶S△ABE＝CE∶BE，S△ACE＝S△CEF＋S△EFO＋S△AOF＝S△CEF＋1.5＋3＝S△CEF＋4.5，S△ABE＝S△ABO＋S△BOE＝2＋1＝3 即（S△CEF＋4.5）∶3＝CE∶BE 所以S△CEF∶2.5＝（S△CEF＋4.5）∶3 即2.5×（S△CEF＋4.5）＝3×S△CEF所以S△CEF＝22.5 所以S阴影＝S四边形CEOF＝S△EFO＋S△CEF＝1.5＋22.5＝24 所以，阴影部分的面积为24。 9．（23-24六年级下·河南南阳·期中）如图，一个果汁瓶，它的瓶身呈圆柱形，容积为462毫升。当瓶子正放时，瓶内液面高为12厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内装有果汁多少毫升？ 【答案】396毫升 【详解】462毫升＝462立方厘米 圆柱的底面积：462÷（12＋2）＝462÷14＝33（平方厘米） 瓶内果汁的体积：33×12＝396（立方厘米） 396立方厘米＝396毫升 答：瓶内装有果汁396毫升。 10．（23-24六年级上·湖南怀化·期中）如图：O点是半圆的圆心，半圆的直径AB是4厘米，C、D是半圆弧上的三等分点，求图中阴影部分的面积。 【答案】平方厘米 【详解】因为C、D是半圆弧上的三等分点，所以圆心角∠COD＝60° 分析可知，阴影部分的面积＝扇形OCD的面积（平方厘米） 答：阴影部分的面积是平方厘米。 11．（23-24六年级上·河南周口·期末）如图，大正方形的面积比小正方形的面积多平方厘米，求阴影部分的面积。 【答案】5.7平方厘米 【详解】设大方形的边长是a a2－a2＝10；a2＝10；a2÷＝10÷；a2÷＝10÷；a2＝10×2；a2＝20 阴影部分的面积：3.14×20×－×20＝62.8×－10＝15.7－10＝5.7（平方厘米） 答：阴影部分的面积是5.7平方厘米。 12．（2024·六年级统考期末）下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】8平方厘米 【分析】观察图形可知，小正方形部分阴影面积等于长方形空白处面积，如下图：阴影部分面积等于长是（2＋2）厘米，宽是2厘米长方形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】（2＋2）×2＝4×2＝8（平方厘米） 13．（2025六年级下·广东·专题练习）如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是2厘米、3厘米、4厘米。最大正方形的面积是( )平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 81 127.17 【详解】（2＋3＋4）×（2＋3＋4）＝9×9＝81（平方厘米） 81÷2×3.14＝40.5×3.14＝127.17（平方厘米） 因此，最大正方形的面积是81平方厘米，圆的面积是127.17平方厘米。 14．（2025六年级下·全国·专题练习）在智能手机中，都可以利用手势密码进行解锁，其中最常见的就是利用3×3的正方形点阵设置密码，我们将其称为“9点码”。在设置“9点码”时，只能连接相邻的两点（如图，不妨将9个点依次对应数字1~9，图中路线Ⅰ、Ⅱ是可行的，路线Ⅲ、Ⅳ是不可行的），不能走重复的路线，从而形成相应的密码线段，线段越多，密码越复杂。已知小明设置的“9点码”从右上角的点“3”出发，且用了3个数字，一共可以设置( )种密码；横向和纵向的相邻两点之间的距离均为1，且小明设置的“9点码”的密码线段恰好构成了一个等腰直角三角形，则该等腰直角三角形的面积为( )。 【答案】 15 或1 【详解】3→2→1，3→2→4，3→2→5（等腰直角三角形），3→2→6（等腰直角三角形）；3→5→1（等腰直角三角形），3→5→2（等腰直角三角形），3→5→4，3→5→6（等腰直角三角形），3→5→7，3→5→8，3→5→9（等腰直角三角形）；3→6→2（等腰直角三角形），3→6→5（等腰直角三角形），3→6→8，3→6→9，一共可以设置15种密码；其中等腰直角三角形有两种，面积如下： 面积1：1×1÷2＝ 面积2：2×2×＝4×＝1 所以，该等腰直角三角形的面积为或1。 15．（24-25六年级下·河南郑州·开学考试）暑假期间小静一家从A地出发前往B地自驾游。小静的爸爸在出发前将汽车油箱加满，汽车油箱的容积为70升。已知小静家的汽车百公里油耗为7升，即每行驶一百公里平均耗油7升。自驾游路线为下图所示，图中长度的单位为km，当小静一家到达B地后，油箱大约还剩( )%的汽油。 【答案】91.4 【分析】先求出图中4条弧的圆心角的和，将周角度数看作单位“1”，4条弧长的和＝半径2千米的圆周长×4条弧的圆心角和对应分率，圆的周长＝2×圆周率×半径，据此求出4条弧长的和，再与已知的3段距离相加，求出总路程。百公里油耗÷100×总路程＝全程油耗。将汽车油箱的容积看作单位“1”，（汽车油箱的容积－全程油耗）÷汽车油箱的容积＝油箱大约还剩百分之几的汽油。 【详解】85°＋142°＋138°＋85°＝450° ＝ 2×3.14×2×＝12.56×＝15.7（千米） 总路程：15.7＋34.4＋14.2＋21.7＝86（千米） 全程油耗：7÷100×86＝6.02（升） （70－6.02）÷70＝63.98÷70＝0.914＝91.4% 油箱大约还剩91.4%的汽油。 16．（2024·浙江·小升初模拟）求下列图形中阴影部分的面积。     【答案】18.24平方厘米；平方厘米 【分析】（1）连接CD、DB发现ABDC是一个正方形，根据箭头的方向将阴影部分移动到扇形里面。则阴影部分的面积＝扇形面积－正方形面积，其中扇形是一个圆心角为90°，半径为8厘米的扇形，则扇形的＝。正方形的面积＝边长×边长，但是本题不知道边长的长度，可以将正方形看成两个直角三角形的面积和。则直角三角形ACD面积＝底×高×＝直径×半径×，则正方形的面积＝直径×半径××2＝直径×半径。 （2）连接CO，则阴影部分面积平行四边形的面积－扇形面积－三角形面积。平行四边形的面积＝底×高；三角形BOC是一个等腰三角形，则两个底角都是30°，则顶角就是120°即∠BOC＝120°，∠BOC和∠AOC合在一起是平角，为180°，则∠AOC＝60°。则扇形AOC的圆心角是60°。扇形AOC面积＝＝，半径是平行四边形底的一半。三角形面积＝底×高×，底是半径，高是平行四边形的高。 【详解】（1）连接CD、DB，＝＝＝＝18.24（平方厘米） 则阴影部分的面积是18.24平方厘米。 （2）（平方厘米） ＝180°－（180°－60°）＝180°－120°＝60° ＝＝（平方厘米） （平方厘米） ＝＝（平方厘米） 则阴影部分的面积是3.16平方厘米。 17.（2024六年级上·江苏·专题练习）如图，阴影部分的面积是25平方米，求圆环面积。 【答案】157平方米 【详解】如图：S阴影＝S大直角三角形－S小直角三角形＝R2－r2＝（R2－r2）＝25即R2－r2＝50 所以π（R2－r2）＝3.14×50＝157（平方米） 18．（2024·河南郑州·小升初真题）在去伏羲山的路上，他们看到了一块平行四边形的玫瑰花田。 （1）观察如图，请你简要写出平行四边形面积计算公式产生的过程。 在数学学习中，经常运用“转化”思想变未知为已知。请你应用转化的思想解决下列问题。 （2）在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个（    ）角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是（        ），面积是（        ），这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12平方厘米，则原来三角形的面积是（      ）。 （3）伏羲山悬崖酒店准备新建一个游泳池，泳池长25米，宽11米，由分道线分成5个泳道（如图a）。游泳池底部有一定的倾斜度，使游泳池由1.2米深的浅水区自然过渡到1.6米深的深水区（如图b）。 淘淘根据平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式及圆柱、圆锥的体积计算公式推导方法，设计了一个计算游泳池容积的研究模型，（如图c示意图）。 ①说一说他是怎么研究的？ ②根据这个研究模型，试着算一算这个游泳池的容积是多少？ ③至少要购进多少米的分道线，才能保证5个泳道的分道？（只列式，不计算） 【答案】（1）见详解（2）平；高的一半；三角形面积的一半；24平方厘米 （3）①见详解②385立方米③25×（5－1） 【详解】（1）把平行四边形转化成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，利用长方形的面积＝长×宽可知，平行四边形的面积＝底×高。 （2）12×2＝24（平方厘米） 在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个（平）角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是（高的一半），面积是（三角形面积的一半），这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12平方厘米，则原来三角形的面积是（24平方厘米）。 （3）①把两个完全一样的游泳池模型拼成一个长是25米，宽是11米，高是（1.2＋1.6）米的长方体模型，那么游泳池的容积等于这个长方体模型容积的一半。 ②25×11×（1.2＋1.6）÷2＝25×11×2.8÷2＝385（立方米） 答：这个游泳池的容积385立方米。 ③25×（5－1）＝25×4＝100（米） 答：至少要购进25×（5－1）米的分道线，才能保证5个泳道的分道。 1．（2034·浙江·小升初模拟）在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝10厘米，A为扇形AEF的圆心，且阴影部分①与②面积相等，求扇形所在圆的面积。 【答案】400平方厘米 【详解】10×10÷2÷＝100÷2÷＝50÷＝400（平方厘米） 答：扇形所在的圆的面积为400平方厘米。 2.（2023·四川成都·小升初真题）如图，在长方形中，厘米，厘米，扇形的半径厘米，扇形的半径厘米，则图中阴影部分的面积为( )平方厘米。（结果保留，不取近似值） 【答案】 【详解】扇形CBF的面积：＝＝4（平方厘米） 不规则图形ABFD：4×6－4＝（24－4）平方厘米 扇形ABE面积：＝＝9（平方厘米） 阴影部分的面积：＝＝（）平方厘米 则图中阴影部分的面积是为（13π－24）平方厘米。 3．（2023·陕西西安·小升初真题）如图，点D、E、F分别为BC、AC、AB边的四等分点、五等分点和六等分点，则△DEF与△ABC的面积比为( )。 【答案】61∶120 【详解】如图： 连接CF、BE，设； ，，； 那么，，； ，则； ，则； ，则； ∶＝∶＝∶1＝（×120）∶（1×120）＝61∶120 所以△DEF与△ABC的面积比是61∶120。 4．（2024六年级·江苏·培优）下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，左图中阴影部分是右图中阴影部分的面积( )%。     【答案】150 【分析】如下图，左图BG与CE相交于一点I，I是长方形BCGE的中心点，同时是三角形BCI的顶点，可得三角形BCI的面积是长方形BCGE的四分之一，而长方形BCGE的面积又是正方形ABCD的二分之一，所以三角形BCI的面积是正方形的八分之一，这样的三角形有4个，也就是非阴影的面积为正方形面积的二分之一，阴影的面积为正方形面积的二分之一；右图点M为长方形ABFH的中心，故EM＝OM，所以三角形HEK与三角形HOK的面积相等，同理可得三角形HEK和三角形EOK的面积相等，S△HEK＝S△HOK＝S△EOK，可得出的面积为：S阴影＝4××S△HEO＝4×××S正方形AHOE＝4××××S正方形ABCD；再用左边阴影部分的面积除以右边阴影部分的面积即可解答。 【详解】把正方形ABCD的面积看作单位“1”。 左图：S空白＝4×S△BCI＝4××S△BCE＝4×××S长方形BCGE＝4××××S正方形ABCD＝ S阴影＝1－＝ 右图：点M为长方形ABFH的中心，故EM＝OM，所以三角形HEK与三角形HOK的面积相等，同理可得三角形HEK和三角形EOK的面积相等，S△HEK＝S△HOK＝S△EOK； S阴影＝4××S△HEO＝4×××S正方形AHOE＝4××××S正方形ABCD＝ ÷＝150% 左图中阴影部分是右图中阴影部分的面积 150%。 5．（2024·辽宁沈阳·六年级校考期末）直角三角形ABC中，阴影甲比乙的面积大28平方厘米，厘米，AB有多长？ 【答案】32.8厘米 【分析】甲是三角形ABC的一部分，乙是半圆的一部分，甲乙分别加上空白部分，差不变。阴影甲比乙的面积大28平方厘米，所以三角形ABC比半圆面积多28平方厘米。求出三角形ABC面积，利用三角形面积公式倒推AB边长度即可。 【详解】3.14×（）2＝1256（平方厘米） 1256÷2＝628（平方厘米） 628＋28＝656（平方厘米） 656×2＝1312（平方厘米） 1312÷40＝32.8（厘米） 答：AB有32.8厘米长。 6．（23-24六年级上·江苏·课后作业）如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】45平方厘米 【分析】如图：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，大正方形的面积=大圆的半径×大圆的半径＝大圆半径的平方，小圆的面积=小圆的半径×小圆的半径＝小圆半径的平方，设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积为π（R2－r2）＝141.3（平方厘米），据此用圆环的面积除以π即可解答。 【详解】设大圆半径为R，小圆半径为r。则圆环面积为：π（R2－r2）＝141.3（平方厘米） R2－r2＝141.3÷3.14＝45（平方厘米） 答：阴影部分的面积是45平方厘米。 7．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）观察下列等式： 设第5个等式左右两边的计算结果为，的首位、末位数字之和为，如图，三角形是等腰直角三角形，，，以为直径的半圆与交于点，以为圆心、为半径的弧交于交于点，试求图中阴影部分的面积。 【答案】28.5平方厘米 【详解】第4个算式：31＋32＋⋯＋39＋40＝41＋42＋43＋44＋45＋46＋47＋48－1 第5个算式：49＋50＋⋯＋59＋60＝61＋62＋63＋⋯＋69＋70－1 则a＝49＋50＋⋯＋59＋60＝（49＋60）×12÷2＝109×12÷2＝1308÷2＝654 b＝6＋4＝10 半圆的面积：3.14×（10÷2）2÷2＝3.14×52÷2＝3.14×25÷2＝78.5÷2＝39.25（平方厘米） 扇形的面积：3.14×102×＝3.14×100×＝314×＝39.25（平方厘米） 三角形ABC面积：10×10÷2＝100÷2＝50（平方厘米） 阴影部分面积：39.25＋39.25－50＝78.5－50＝28.5（平方厘米） 答：这个阴影部分的面积是28.5平方厘米。 8．（2025六年级下·江苏·专题练习）在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”。以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②。 (1)如果一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③周长是( )厘米。 (2)如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是( )厘米。（用含有的式子表示） 【答案】(1)144 (2) 【详解】（1）边长是27厘米的等边三角形，周长是27×3＝81（厘米）。 第一个“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第二次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 因此一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形周长是144厘米。 （2）边长为a厘米等边三角形，周长是（3a）厘米。 第一次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第二次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第三次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第四次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 因此一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是厘米。 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点04. 几何图形 学习要求……………………………………………………………………………………………………………..1 知识衔接……………………………………………………………………………………………………………..2 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..3 题型1、割补法求面积（一）平移与对称 3 题型2、割补法求面积（二）旋转 6 题型3、和差法求面积 10 题型4、整体代换法 15 题型5、等积变换法求面积（体积） 18 题型6、差不变思想（原理） 21 题型7、容斥原理（韦恩图） 23 题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折） 27 题型9、立体图形的拼切重组问题 31 基础通关 38 拓展培优 49 小学阶段 初中阶段 小学阶段主要学习了常见的平面几何图形（三角形、四边形、圆）的周长与面积、立体图形（长、正方体、圆柱、圆锥）的表面积与体积。培养的核心数学素养是学生的几何直观、空间观念和运算能力。 初中阶段较小学阶段在几何图形方面变化极大：不再是停留在建立图形的直观表象和对图形特征的研究上，而要转入对其性质较为系统的研究。中学数学还要求进行数学证明，这对从来没有进行过数学证明的学生来说，要掌握从论据推出结论的方法，来表明论据与结论之间必然的逻辑联系是有一定难度的。培养的核心数学素养是学生的几何直观、抽象能力、推理能力等。 衔接指引 在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理能力等等。难度提升，思维的层次也大为不同。如“三角形的内角和等于180°”这个定理，小学教材中是由实验得出的。初中要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。 1、基本公式 正方形：；。 长方形：；。 平行四边形：。 三角形：。 梯形：。 圆：；。 正方体 表=； 长方体 表； 圆柱体、圆锥体 （:高；：底面积；:底面半径） 圆柱侧面积：；圆柱表面积：；圆柱体积：；圆锥体积： 2、求几何图形面积常见方法及运用： 1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）运用整体思想；5）差不变；6）容斥原理（韦恩图）等。 公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。 割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论。 和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最常用的方法。 等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成。有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或随便求出直角边的平方。 差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积，若S甲=S乙，则S甲+S空白=S乙+S空白，S甲-S空白=S乙-S空白。 容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。 题型1、割补法求面积（一）平移与对称 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（24-25六年级上·四川巴中·期末）转化思想是解决问题的重要思想，它是将未知问题转化为已知知识和方法来解决问题的一种策略，割补是解决图形问题的重要方法，我们推导平行四边形、梯形、圆等图形的面积时都有用到，请用已学知识和方法来解决下面的问题吧。 如图1，若AD＝8厘米，BC＝16厘米，求阴影部分的面积。 先在图2中画一画，涂一涂，再计算。若未使用转化、割补可直接计算。 例2．（2035六年级·江苏·培优）如图中三个圆的半径都是5，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取) 变式1．（23-24六年级上·广东·期中）如图所示，外侧大正方形的边长是10厘米，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影部分的面积为26平方厘米，最小的正方形的边长为多少厘米？ 变式2．（2024六年级下·山东·专题练习）求阴影部分的面积，如图，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F、G、H是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积。 变式3．（2025六年级下·江苏·专题练习）如图（单位：厘米），阴影部分的面积是（    ）平方厘米。取 A．50.24 B．18.24 C．32 D．16 题型2、割补法求面积（二）旋转 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（23-24六年级下·四川内江·期末）如图，在一个三角形中剪掉一个最大的正方形，剩下的阴影部分的面积是( )。 例2．（23-24六年级下·河南平顶山·期末）如图是由两个圆心角为90°半径为3厘米的扇形组合而成，重叠部分是个正方形（见图①）。要求涂色部分的面积，可以先用转化的策略（见图②），通过( )（填平移或旋转），最后转化成了一个半圆（见图③），涂色部分的面积是( )平方厘米。 变式1．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）如图，正方形的面积是12平方厘米，、、、分别是中点，阴影部分的面积是( )平方厘米。 变式2．（2024六年级下·江苏·培优）如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之几？ 变式 3．（2023·四川成都·小升初真题）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（取） 题型3、和差法求面积 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1．（2035六年级·江苏·培优）如图，在正方形内，以下边两个顶点为圆心，以正方形边长为半径的两个直角扇形在正方形内相交于点，如果正方形的边长为4厘米，那么阴影部分甲的面积比阴影部分乙的面积小（    ）平方厘米（）。 A．12.56 B．4.56 C．25.12 D．9.12 例2．（24-25六年级下·山东·期末）求阴影部分的面积（单位：cm）。    例3．（24-25六年级下·浙江温州·期末）求阴影部分的面积。（单位：厘米）    变式1．（24-25六年级下·陕西咸阳·期末）如图BC＝12cm，CD＝DE＝6cm，①与②两阴影部分的面积的差（较大的减去较小的）是多少？ 变式2．（2025六年级下·浙江·期中）如图，长方形ABCD把这个长方形绕顶点A向右旋转90度，求CD边扫过的阴影部分面积。（单位：厘米） 变式3．（2024六年级·广东·期中）如图，直角扇形的半径为7厘米，正方形的边长为4厘米，则阴影部分的面积为( )平方厘米。（取） 变式4．（23-24六年级·江苏·期末）数学思考：如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积。（单位：平方厘米）。 题型4、整体代换法 【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整体代换即可。 例1．（23-24六年级上·广东梅州·期中）如图圆的面积是15.7平方厘米，那么圆内正方形的面积最大是( )平方厘米。 例2．（2025六年级·广东·培优）如图所示的两个同心圆，圆心为O，里边包含一个直角三角形AOB，且OA与小圆相交于点D，OB与小圆相交于点C，四边形ABCD的面积为50cm2，那么圆环的面积是（    ）cm2。（π取3.14） A．300 B．157 C．314 D．628 例3．（23-24六年级上·辽宁·期中）如图，如果直角三角形的面积是25平方厘米，那么圆内空白部分的面积是( )平方厘米。 变式1．（23-24六年级上·山东济南·期末）如图，如果正方形和圆之间部分的面积是4.56m2，该圆的面积是（    ）m2。 A．12.56 B．6.28 C．4 变式2．（23-24六年级·四川成都·期末）如图所示，O为大小两个圆的圆心，阴影部分的面积是8平方厘米，圆环的面积是 平方厘米。 变式3．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）有三个大小不一样的正方形叠放在一起，它们有一个公共顶点。这样大正方形被分成了正方形区域甲、L形区域乙和L形区域丙。已知三块区域甲、乙、丙的周长之比4∶5∶6，并且丙的面积为22，则甲的面积是 。 变式4．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形（第2幅），画3个正方形能得到8个直角三角形（第3幅），画n个正方形能得到 个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为 平方厘米。 第1幅            第2幅          第3幅         第4幅 题型5、等积变换法求面积（体积） 【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系。 例1．（23-24六年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是EC的中点，三角形甲的面积与三角形乙的面积比是( )；如果三角形甲的面积是2平方厘米，那么正方形ABCD的面积是( )平方厘米。 例2．（2023·四川成都·小升初真题）如上图，在△ABC中，D为BC的中点，BE＝AB。若阴影部分的面积是12平方厘米，则三角形ABC的面积是( )平方厘米。 例3．（2024·浙江宁波·小升初真题）（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 变式1．（2025六年级下·江苏·培优）如图，已知线段DE与AC平行，且与圆的半径相等，都等于6厘米，O为圆的圆心。阴影部分面积是多少平方厘米？ 变式2．（2025六年级下·广东培优）如下图∶AD＝2BD，BF＝EF＝FC，已知阴影部分的面积是15平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少？ 变式3．（2024六年级上·湖北·培优）一个棱长10cm的正方体容器中装有一些水，将一个高8cm的长方体铁块竖直着放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）。这个铁块的体积是 cm3。 题型6、差不变思想（原理） 【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。 例1．（23-24六年级·湖北黄冈·期末）如图，半圆的直径是10厘米，阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘米，求直角三角形ABO的边OA的长。 例2．（2024六年级·广东·培优）如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积． 变式1.（2024.成都市六年级期中）如下图，ABCD是边长为10厘米的正方形，三角形ABF比三角形CEF的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 变式2．（2025六年级下·江苏·培优）如图，半圆的半径是4厘米，图形甲面积比图形乙面积大1.12平方厘米，求BC的长。 题型7、容斥原理（韦恩图） 【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。本文就来重点讲一下，容斥原理在求解阴影部分面积时的妙用。 例1．（24-25六年级下·河南郑州·开学考试）已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4厘米，以AC为直径作圆，又以点B为圆心，BC为半径画弧，交BA于点D，如下图所示，计算图中阴影部分的面积之和（π取3）。 例2．（23-24六年级·河北张家口·期中）如图，两阴影部分的面积分别是S1、S2，S1－S2＝2.44平方厘米。求图中扇形所在圆的半径。 例3．（2024六年级下·江苏·培优）如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上．三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米．图中阴影部分的面积之和是多少平方厘米？ 变式1．（23-24六年级·吉林长春·期末）求下图阴影部分的面积。（单位：米。）    变式2．（2024六年级下·广东·培优）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC内画弧，求阴影部分的面积． 变式3.（2024.广东六年级期中）在桌面上放置个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，张纸片共同重叠的面积是平方厘米.那么图中个阴影部分的面积的和多少是平方厘米？ 变式4．（2025六年级下·广东·培优）如图，已知ABC为扇形，BDF为扇形，CBDE为长方形。CE＝6厘米，CB＝8厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？ 题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折） 【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看，与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。 例1．（24-25六年级·江苏·期中）如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是( )厘米。 (3)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中，∠3＋∠4＝( )°。 例2．（24-25六年级上·江苏扬州·期末）同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。 这两种方法都是求的阴影部分的面积，因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。 仔细观察这个等式，想一想：是不是 任意两个数都具有这样的特征呢？ （1）请举2个例子验证：①102－62＝（      ）×（      ）     ②                                         （2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为：a2－b2＝（      ）×（      ） （3）根据以上结论计算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（      ） 例3．（2025六年级·江苏培优）如图1，长方形木块长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米，正方形木桩边长为17厘米。木块从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木块滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长 厘米。（π＝3） 例4．（23-24六年级下·四川成都·期末）校园农场要把一块梯形土地分给六年级两个班的同学耕种，要使两个班各种一半，下面有多种分法，请你找一找，哪些方法符合要求？（说明：图中ABCD是任意梯形，E点，F点，M点，N点分别是它们所在边的中点，P点是线段MN上任意一点） 答：（    ）号图符合要求。 变式1.（2024六年级·北京·期末）折叠一张长方形纸ABCD，如图，折叠时，C点和A点重合，产生折痕为EF。量得AE长22厘米，如果长方形的宽是20厘米，折叠后图形的面积比原来长方形面积少了( )平方厘米。 变式2.（23-24六年级·湖北·期末）青青把梯形ABCD按照下图的方法转化成平行四边形EBHG，且面积保持不变。已知梯形ABCD的面积是，高是8cm，平行四边形EBHG中BH的长是( )cm。 变式3．（23-24六年级下·浙江·期末）长方形的长10cm，宽4.8cm，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是( )cm。 变式4．（23-24六年级下·辽宁·月考）做一做，剪一剪。 （1）用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开，你有什么发现？ （2）如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去，你有什么发现？ 题型9、立体图形的拼切重组问题 【解题技巧】几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 例1．（2024·四川内江·小升初真题）把一个圆柱沿底面直径竖直切成四块（如图①），表面积增加了48平方厘米；平行于底面切成三块（如图②），表面积增加了50.24平方厘米；削成一个最大的圆锥（如图③），体积减少了多少立方厘米？ 例2．（24-25六年级下·福建莆田·期末）沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间的。如图，如果再过1分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下部，那么现在已经计量了多少分钟？    例3．（24-25五年级下·浙江温州·期末）阅读与解答。 同学们，这个学期我们学习了长方体和正方体的有关知识，让我们进一步阅读、解决和探索如下问题： 【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方体会出现4种不同的涂色情况。      ①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共 8 块。 ②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共块。 ③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共块。 ④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共块。 检验：总块数，各类块数之和。 【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？      ①三面涂色的小正方体共 块。②两面涂色的小正方体共 块。 ③一面涂色的小正方体共 块。④没有涂色的小正方体共 块。 检验：总块数＝ ，各类块数之和＝ 。 【探索问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长acm、宽bcm、高ccm的长方体（a、b、c均为大于2的整数），表面涂上颜色。 ①三面涂色的小正方体共 8 块。②两面涂色的小正方体共 块。 ③一面涂色的小正方体共块。④没有涂色的小正方体共 块。 变式1．（24-25六年级上·江苏南通·期末）一块橡皮泥模型（如图）由长方体A和长方体B组成。长方体A上面的面积是15平方厘米，长方体B上面的面积是25平方厘米，长方体A比长方体B高4厘米。如果从A上端取一部分橡皮泥补到B上，使得A、B两长方体一样高。A的高度将下降( )厘米。    变式2．（2022·浙江宁波·小升初真题）我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽25米。最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。（1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开过论。请据他们的思考过程解决问题。①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了，所以它的容积大小范围就在（    ）立方米和（    ）立方米之间。” ②小锋同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。” 请根据小锋的方法计算该泳池的容积。 （2）如果在空的泳池内以均匀的注水速度（140立方米/小时）往池内灌水，选一选，下面哪幅图能表示出泳池最深处水位的变化情况？（    ） （3）根据以上信息综合思考。第（2）题图中的a表示的数是（    ）小时。 变式3．（2024六年级上·山东·培优）如图8所示，一个棱长10厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各需的中心位置挖去一个横截面是边长为3厘米的正方形的正方体（都和对面打通）．求这个立体图形的体积． 变式4．（23-24六年级下·山东德州·期中）如果把一个圆柱体的木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积就增加6.28平方分米；如果沿着直径截成两部分，表面积就增加8平方分米。圆柱的体积是 立方分米。 变式5．（2023·四川成都·小升初真题）如图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高。将这个长方体平切两刀，竖切两刀，得到9个小长方体，这9个小长方体表面积之和比原来长方体表面积多624平方厘米。求原来长方体的体积。 1．（23-24六年级下·湖南株洲·期末）如图，图中A、B两部分的面积比是（    ）。 A．1∶3 B．2∶5 C．3∶8 D．4∶9 2．（23-24六年级下·陕西西安·开学考试）在长方形中，厘米，厘米，P为上一点，垂直于，垂直于，则与的长度之和是（    ）。 A．10 B．12 C．24 D．30 3．（2024·江苏扬州·小升初模拟）如图，两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形如图所示，重叠部分的面积是5平方厘米，正方形的面积是( ) 平方厘米。 4．（2024·安徽·小升初真题）如图，三角形的面积27cm2，，，三角形的面积是( )cm2。 5.（24-25六年级下·湖南邵阳·期末）如图，正方形ABCD的边长为10cm，E、F、G、H分别是正方形四条边上的中点，则阴影部分的面积是( )。    6．（24-25六年级上·四川达州·期中）如图，等腰梯形ABCD被对角线分4个小三角形，已知△AOB、△BOC的面积分别是25cm2、35cm2，那么梯形的面积是( )cm2。 7．（2024六年级·江苏·培优）如图所示，圆的直径，阴影部分①的面积与阴影部分②的面积相等，这个平行四边形的面积是 。 8．（23-24六年级下·四川成都·期末）如图所示，E、F分别是三角形ABC中BC边与AC边上的点，AE与BF交于点O，且三角形AFO、三角形ABO和三角形BEO的面积依次为3，2，1。阴影部分的面积为 。 9．（23-24六年级下·河南南阳·期中）如图，一个果汁瓶，它的瓶身呈圆柱形，容积为462毫升。当瓶子正放时，瓶内液面高为12厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内装有果汁多少毫升？ 10．（23-24六年级上·湖南怀化·期中）如图：O点是半圆的圆心，半圆的直径AB是4厘米，C、D是半圆弧上的三等分点，求图中阴影部分的面积。 11．（23-24六年级上·河南周口·期末）如图，大正方形的面积比小正方形的面积多平方厘米，求阴影部分的面积。 12．（2024·六年级统考期末）下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。 13．（2025六年级下·广东·专题练习）如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是2厘米、3厘米、4厘米。最大正方形的面积是( )平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。 14．（2025六年级下·全国·专题练习）在智能手机中，都可以利用手势密码进行解锁，其中最常见的就是利用3×3的正方形点阵设置密码，我们将其称为“9点码”。在设置“9点码”时，只能连接相邻的两点（如图，不妨将9个点依次对应数字1~9，图中路线Ⅰ、Ⅱ是可行的，路线Ⅲ、Ⅳ是不可行的），不能走重复的路线，从而形成相应的密码线段，线段越多，密码越复杂。已知小明设置的“9点码”从右上角的点“3”出发，且用了3个数字，一共可以设置( )种密码；横向和纵向的相邻两点之间的距离均为1，且小明设置的“9点码”的密码线段恰好构成了一个等腰直角三角形，则该等腰直角三角形的面积为( )。 15．（24-25六年级下·河南郑州·开学考试）暑假期间小静一家从A地出发前往B地自驾游。小静的爸爸在出发前将汽车油箱加满，汽车油箱的容积为70升。已知小静家的汽车百公里油耗为7升，即每行驶一百公里平均耗油7升。自驾游路线为下图所示，图中长度的单位为km，当小静一家到达B地后，油箱大约还剩( )%的汽油。 16．（2024·浙江·小升初模拟）求下列图形中阴影部分的面积。     17.（2024六年级上·江苏·专题练习）如图，阴影部分的面积是25平方米，求圆环面积。 18．（2024·河南郑州·小升初真题）在去伏羲山的路上，他们看到了一块平行四边形的玫瑰花田。 （1）观察如图，请你简要写出平行四边形面积计算公式产生的过程。 在数学学习中，经常运用“转化”思想变未知为已知。请你应用转化的思想解决下列问题。 （2）在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个（    ）角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是（        ），面积是（        ），这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12平方厘米，则原来三角形的面积是（      ）。 （3）伏羲山悬崖酒店准备新建一个游泳池，泳池长25米，宽11米，由分道线分成5个泳道（如图a）。游泳池底部有一定的倾斜度，使游泳池由1.2米深的浅水区自然过渡到1.6米深的深水区（如图b）。 淘淘根据平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式及圆柱、圆锥的体积计算公式推导方法，设计了一个计算游泳池容积的研究模型，（如图c示意图）。 ①说一说他是怎么研究的？ ②根据这个研究模型，试着算一算这个游泳池的容积是多少？ ③至少要购进多少米的分道线，才能保证5个泳道的分道？（只列式，不计算） 1．（2034·浙江·小升初模拟）在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝10厘米，A为扇形AEF的圆心，且阴影部分①与②面积相等，求扇形所在圆的面积。 2.（2023·四川成都·小升初真题）如图，在长方形中，厘米，厘米，扇形的半径厘米，扇形的半径厘米，则图中阴影部分的面积为( )平方厘米。（结果保留，不取近似值） 3．（2023·陕西西安·小升初真题）如图，点D、E、F分别为BC、AC、AB边的四等分点、五等分点和六等分点，则△DEF与△ABC的面积比为( )。 4．（2024六年级·江苏·培优）下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，左图中阴影部分是右图中阴影部分的面积( )%。     5．（2024·辽宁沈阳·六年级校考期末）直角三角形ABC中，阴影甲比乙的面积大28平方厘米，厘米，AB有多长？ 6．（23-24六年级上·江苏·课后作业）如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 7．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）观察下列等式： 设第5个等式左右两边的计算结果为，的首位、末位数字之和为，如图，三角形是等腰直角三角形，，，以为直径的半圆与交于点，以为圆心、为半径的弧交于交于点，试求图中阴影部分的面积。 8．（2025六年级下·江苏·专题练习）在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”。以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②。 (1)如果一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③周长是( )厘米。 (2)如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是( )厘米。（用含有的式子表示） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$